Förord. Stockholm, maj Jonas Gerland

Transkript

1

2

3 Förord Denna rapport utgör en vidare fördjupning inom ett av de kursmoment som behandlar stålbalkars kapacitet vid böjknäckning i kursen AF2130 Dimensionering av stålkonstruktioner enligt Eurocode 3. I samband med ovan nämnda kurs har jag fått ovärderlig hjälp av kursens examinator och tillika kursansvarige, universitetslektor Bert Norlin, som ägnat mycket tid utanför lektionerna till att ge mig fördjupad kunskap inom områdena stålkonstruktion och Eurocode 3. Jag vill också rikta ett särskilt tack till Maija Engberg, studievägledare för Samhällsbyggnadsprogrammet på KTH, som gjorde denna specialinriktning på kandidatarbetet möjlig. Stockholm, maj 2018 Jonas Gerland i

4 ii

5 Sammanfattning I den mest grundläggande delen av Eurocode 3, SS-EN , finns olika sätt att kontrollera bärförmågan för en balkpelare som utsätts för böjknäckning, d.v.s. en kombination av transversell och axiell last. Genom att använda formler där det dimensionerande värdet på andra ordningens moment ingår kan man kontrollera om balkpelaren håller för den aktuella belastningen. Beräkningar av andra ordningens moment ger differentialekvationer som kan vara besvärliga och tidskrävande att lösa, men beräkningarna kan förenklas om man känner till den momentfaktor, kallad C m -faktor, som tar hänsyn till momentfördelningens form i det aktuella lastfallet. Denna rapport visar hur man kan härleda både exakta och approximativa värden på C m - faktorer genom att studera två lastfall som skulle kunna vara av intresse för praktiskt bruk då konsolbalkar utsätts för böjknäckning. Resultaten visar att den approximativa metoden, som innebär avsevärt förenklade beräkningar, ger fullgoda resultat för de två fall som behandlas i rapporten. C m -faktorerna presenteras som grafer för att kunna läsas av då normalkraften som angriper i konsolbalkens fria ände varierar. I rapporten ges även bakgrunden till begreppet momentfaktor genom förklaring och beräkning av förstoringsfaktorn, ofta kallad f. En sammanfattning av de i rapporten härledda C m -faktorerna redovisas i Tabell 1. Tabell 1: C m - faktorer för två olika lastfall. Fall Upplagsvillkor & laster Exakt 1 x (1 N ) Momentfaktorer (C m ) Dimensioneringsvärde 2 Approx 3 1 x = tan(kl) kl (1 + 1 ) 1 π2 k 2 L 2 1 0,446 N 1 0,428 N 2 x = 1 βl L (β 1)]+sin(k L) [sin[k ] k cos(k L) Beror av värdet på β 1 + [ π2 β(β 3) 1] N 24 1 Motsvarar den exakta lösningen till den styrande differentialekvationen. 2 Linjär approximation av den exakta C m - faktorn. 3 C m -faktor helt baserad på en approximativ beräkning av andra ordningens moment via traditionell förstoringsfaktor. iii

6 iv

7 Abstract In the most basic part of Eurocode 3, SS-EN , there are various ways to verify the load carrying capacity of a beam column exposed to flexural column buckling, i.e. a combination of transverse and axial loads, by using different formulas. These formulas include the value of the second order moment that is provided by differential equations that can be tedious and difficult to solve. By using a correction factor C m that takes the shape of the moment distribution for the current load case into account, the calculations can be considerably simplified. This report shows how to derive both exact and approximate C m -factors by studying two load cases that might be of practical use when a beam column is subjected to flexural column buckling. The results show that the approximate method, which involves considerably simplified calculations, gives good results for the two load cases discussed in the report. The C m -factors are presented graphically for varying values of the normal force acting at the free end of the beam column. The report also gives the background to the concept of C m - factors by explaining and deriving the magnification factor, often called f. A summary of the C m -factors derived in the report is shown in Table 2. Table 2: C m -factors for two different load cases. Case Boundary conditions and load cases Exact 4 x (1 N ) Moment factors (C m ) Dimesion value 5 Approx 6 1 x = tan(kl) kl (1 + 1 ) 1 π2 k 2 L 2 1 0,446 N 1 0,428 N 2 x = 1 βl L (β 1)]+sin(k L) [sin[k ] k cos(k L) Varies with β 1 + [ π2 β(β 3) 1] N 24 4 Corresponds to the exact solution of the governing differential equation. 5 Linear approximation of the exact C m -factor. 6 C m -factor entirely based on an approximate calculation of second order moment via traditional magnification factor. v

8 vi

9 Innehållsförteckning Förord... i Sammanfattning... iii Abstract... v Kapitel 1 - Inledning Bakgrund Syfte Beskrivning av rapporten Avgränsningar Rapportens struktur och innehåll... 2 Kapitel 2 - Analys enligt Eurocode Olika dimensioneringsmetoder där Cm-faktorer kan användas i Eurocode Snittkontroll enligt SS-EN Interaktionssamband enligt SS-EN Kapitel 3 - Andra ordningens teori och momentfaktorer Teoretiska förutsättningar Grundläggande materialsamband Andra ordningens teori Bakgrund till begreppet förstoringsfaktor Ekvivalent momentfaktor Kapitel 4 - Fallstudier Konsol med sinusformad last och normalkraft Konsolbalk med punktlast i varierande läge samt normalkraft Kapitel 5 - Resultat och slutsats Resultat Slutsats Källförteckning Bilaga - Beräkningsexempel vii

10 Kapitel 1 - Inledning 1.1 Bakgrund Böjknäckning innebär att en balk eller pelare samtidigt belastas av tryckande normalkraft och böjande moment, och då den fungerar som både balk och pelare samtidigt benämns den alltså som balkpelare. Det böjande momentet orsakas av yttre transversallast och/eller böjande ändmoment (t.ex. orsakade av excentriskt angripande normalkraft). Böjknäckning är ett plant problem vilket innebär att balkpelaren endast böjer ut i samma plan som transversallasten och/eller ändmomenten verkar. Om normalkrafterna är stora kan de få stor inverkan på balkböjningen, vilket gör att man måste ta hänsyn till dem vid dimensionering. Då man vill veta exempelvis momentfördelningen för en balkpelare som utsätts för samtidig transversell last och stor normalkraft måste därför en jämviktsekvation ställas upp i balkpelarens deformerade läge, vilket ger en differentialekvation av andra ordningen som är besvärligare och mer tidskrävande att lösa än om inte hänsyn hade tagits till den verkande normalkraften. Detta kallas för beräkningar enligt andra ordningens teori. I de formler som anges i den första delen av Eurocode 3, SS-EN , behöver man känna till värdet på det dimensionerande moment som verkar i något snitt av balkpelaren för att kontrollera bärförmågan vid den aktuella belastningen. Vid böjknäckning beräknas detta dimensionerande moment utifrån andra ordningens teori. För att slippa att använda andra ordningens teori kan man använda momentfaktorer och med hjälp av ex. tabellfall utifrån första ordningens teori få fram både exakta och approximativa värden på andra ordningens moment för att kontrollera balkpelarens bärförmåga. Dessa momentfaktorer kallas för C m - faktorer och tar hänsyn till momentfördelningens form för det aktuella belastningsfallet. I denna rapport görs den typen av beräkningar som i Sarvell (2012), men för två elementarfall som inte behandlas i rapporten eller i Appendix A i SS-EN För en djupare beskrivning av de begränsningar som formelpaketet för bärförmågan vid böjknäckning i Eurocode 3 har hänvisas till Sarvell (2012). 1

11 1.2 Syfte Syftet med denna rapport är härleda C m -faktorer för två elementarfall då balkpelare utsätts för böjknäckning. 1.3 Beskrivning av rapporten Denna rapport beskriver teorin bakom momentfaktorer och visar genom två beräkningsexempel hur C m -faktorer kan tas fram för balkpelare. 1.4 Avgränsningar C m -faktorerna begränsas till att användas endast i det plana böjknäckningsfallet. 1.5 Rapportens struktur och innehåll I kapitel 2 beskrivs hur bärförmågan vid böjknäckning kontrolleras i SS-EN I kapitel 3 ges bakgrunden till andra ordningens teori och härledning av förstoringsfaktorn, samt hur denna är relaterad till C m -faktorn. I kapitel 4 härleds exakta och approximativa C m -faktorer för två fall då balkpelare utsätts för böjknäckning. I kapitel 5 redovisas resultat och rapportens slutsats. I bilagan ges ett beräkningsexempel där det visas hur man kan tillämpa C m -faktorer i ett praktiskt dimensioneringsfall med andra ordningens beräkning och snittkontroll enligt SS-EN som redovisas i kapitel 2. 2

12 Kapitel 2 - Analys enligt Eurocode Olika dimensioneringsmetoder där C m -faktorer kan användas i Eurocode 3 Då man vill kontrollera bärförmågan hos en balkpelare som utsätts för böjknäckning utifrån kriterierna i Eurocode 3, SS-EN , kan man använda snittkontroll eller interaktionskontroll. Snittkontroll måste genomföras om det inte är uppenbart att snittkontroll är gynnsammare än stabilitetskontroll med interaktionssamband. Notera att de flesta ekvationerna i detta kapitel har getts samma nummer som i SS-EN Redogörelsen av kapitlets innehåll är hämtad ur Norlin (2003) Snittkontroll enligt SS-EN avsnitt 6.2 Balktvärsnitten förutsätts tillhöra tvärsnittsklass (TK) 1, 2 eller 3. Balkpelarens initialkrokighet, egenspänningar samt inverkan av plasticering för TK 1 och 2 måste beaktas genom att använda tabell 5.1 i SS-EN Vid beräkningar enligt andra ordningens teori måste längs en given struktur alla balktvärsnitt uppfylla snittkontrollen. Andra ordningens moment kan enkelt beräknas exakt eller approximativt om man känner till C m -faktorn för det aktuella böjknäckningsfallet. Det exakta eller approximativa värdet på andra ordningens moment är det dimensionerande värde för momentet som ska användas i brottkriterierna (6.1), (6.2) och (6.31) då balkpelaren utsätts för böjknäckning. Då man utför snittkontroll utifrån en elastisk analys med ett balktvärsnitt tillhörande tvärsnittsklass 3 måste den mest utsatta delen på balkpelaren uppfylla brottkriteriet (6.1) ( σ 2 x,ed ) f y γ M0 2 ) f y γ M0 + ( σ z,ed ( σ x,ed ) ( σ z,ed ) + 3 ( τ Ed f y γ M0 f y γ M0 f y γ M0 2 ) 1 (6.1) där σ x,ed är det dimensionerande värdet av den lokala longitudinella spänningen vid bedömningspunkten. σ z,ed är det dimensionerande värdet av den lokala tvärspänningen vid bedömningspunkten. τ Ed är dimensioneringsvärdet av den lokala skjuvspänningen vid bedömningspunkten. Genom att summera kvoten mellan dimensioneringsvärde och kapacitet för varje spänningsresultant fås N Ed N Rd + M y,ed M y,rd + M z,ed M z,rd 1 (6.2) 3

13 där N Ed, M y,ed och M z,ed är dimensioneringsvärdena för normalkraft och böjande moment kring y- respektive z-axeln, och där N Rd, M y,rd och M z,rd är normalkrafts- respektive momentkapaciteten för motsvarande. (6.1) och (6.2) speciellt (6.2) får användas för att på säkra sidan kontrollera tvärsnitt i klass 1 och 2. För tvärsnitt tillhörande klass 1 eller 2 måste följande villkor vara uppfyllt M Ed M N,Rd (6.31) Vilket betyder att det dimensionerande momentet måste vara mindre än eller lika stort som tvärsnittets momentkapacitet då detta samtidigt påverkas av en normalkraft. För dubbelsymmetriska I-och H-tvärsnitt tillhörande klass 1 eller 2 och med böjning kring y- axeln kan momentkapaciteten kontrolleras genom M N,y,Rd = M pl,y,rd 1 n 1 0,5a men M N,y,Rd < M pl,y,rd (6.36) där M N,y,Rd är momentkapaciteten vid y-axelböjning. M pl,y,rd är tvärsnittets plastiska momentkapacitet vid y-axelböjning. n = N Ed N pl,rd är kvoten mellan yttre normalkraft och plastisk normalkraftskapacitet. a = A 2 b t f A men a 0,5 kvoten mellan livarea och total tvärsnittsarea. För dubbelsymmetriska I-och H-tvärsnitt tillhörande klass 1 eller 2 och med böjning kring z- axeln kan momentkapaciteten kontrolleras genom M N,z,Rd = M pl,z,rd om n a (6.37) M N,z,Rd = M pl,z,rd [1 ( n a 1 a )2 ] om n > a (6.38) där M N,z,Rd är momentkapaciteten vid z-axelböjning. M pl,z,rd är tvärsnittets plastiska momentkapacitet vid z-axelböjning. 4

14 För rektangulära ihåliga tvärsnitt med konstant tjocklek samt för sammansvetsade tvärsnitt med lika flänsar och liv kan momentkapaciteten för y- samt z-axelböjning kontrolleras genom 1 n M N,y,Rd = M pl,y,rd men M 1 0,5a N,y,Rd < M pl,y,rd (6.39) w 1 n M N,z,Rd = M pl,z,rd men M 1 0,5a N,z,Rd < M pl,z,rd (6.40) f där a w = (A 2 b t) A a w = (A 2 b t f ) A men a w 0,5 för ihåliga tvärsnitt. men a w 0,5 för sammansvetsade lådtvärsnitt. a f = (A 2 h t) A a f = (A 2 b t w ) A men a f 0,5 men a f 0,5 för ihåliga tvärsnitt. för sammansvetsade lådtvärsnitt Interaktionssamband enligt SS-EN Begränsningar För att tillämpa de interaktionssamband för konstruktionselement som är föremål för böjknäckning i SS-EN avsnitt måste hänsyn tas till följande begränsningar: Endast dubbelsymmetriska tvärsnitt kan hanteras, Tvärsnittsformen får inte ändras vid belastning av t.ex. koncentrerade laster, men tvärsnittsklass 4 är okej. Interaktionsformlerna är framtagna och kalibrerade för en vid båda ändar fritt upplagd balk. Interaktionskontroll Interaktionssambanden i SS-EN avsnitt används för konstruktionselement som utsätts för böjknäckning med syftet att andra ordningens teori ej behöver tillämpas. Interaktionssambanden kan användas på två sätt, antingen genom att beräkna de ingående parametrarna enligt Appendix A eller Appendix B. I den nationella bilagan till SS-EN anges att Appendix A bör användas. Enligt SS-EN avsnitt måste följande villkor vara uppfyllda för en balkpelare som utsätts för böjknäckning: N Ed M N χ Rk + k y,ed + M y,ed M yy M y,rk + k z,ed + M z,ed yz M z,rk 1 (6.61) y γ χ M1 LT γ M1 γ M1 N Ed M N χ Rk + k y,ed + M y,ed M zy M y,rk + k z,ed + M z,ed zz M z,rk 1 (6.62) z γ χ M1 LT γ M1 γ M1 5

15 där N Ed, M y,ed, M z,ed är maximala dimensioneringsvärdet för yttre normalkraft och böjmoment kring y-respektive z-axeln längs med hela balkpelaren. M y,ed, M z,ed är tillskottsmoment kring y-respektive z-axeln som uppkommer p.g.a. att neutrala lagrets läge kan ändras något vid areareducering för profiler i tvärsnittsklass 4. N Rk, M y,rk, M z,rk är normalkraftskapaciteten samt momentkapaciteten kring y- respektive z- axeln. Dessa värden är beroende av tvärsnittsklass. χ y, χ z är reduktionsfaktorer för knäckning av centriskt tryckt stång. χ LT är en reduktionsfaktor för inverkan av vippning. k yy, k yz, k zy, k zz är interaktionsfaktorer enligt tabellerna A.1 och A.2 i Appendix A i SS-EN Då böjknäckning är ett plant problem kan endast böjning ske kring antingen y- eller z-axeln vilket förenklar (6.61) till N Ed M N χ Rk + k y,ed + M y,ed yy M y,rk 1 (2.1) y γ χ M1 LT γ M1 och (6.62) till N Ed M N χ Rk + k z,ed + M z,ed zz M z,rk 1 (2.2) z γ M1 γ M1 där k yy = C my (1 χ y N Ed Ncr,y )C yy och k zz = C mz (1 χ z N Ed Ncr,z )C zz för tvärsnittsklass 1 och 2 samt k yy = C my (1 χ y N Ed Ncr,y ) och k zz = C mz (1 χ z N Ed Ncr,z ) för tvärsnittsklass 3 och 4 C yy och C zz i formlerna för k yy och k zz i fallen med tvärsnittsklass 1 eller 2 ovan är en korrektionsfaktor som beaktar inverkan av den plastiska responsen.,y är balkpelarens kritiska knäckningslast med avseende på knäckning i den styva riktningen. C my är den C m -faktor som beaktar momentfördelningens form enligt tabellerna A.1 och A.2 i SS-EN Appendix A och som härleds för två andra lastfall i denna rapport. 6

16 Kapitel 3 - Andra ordningens teori och momentfaktorer 3.1 Teoretiska förutsättningar Förutsättningar för matematisk behandling av elastisk instabilitet som de beskrivs i Höglund (2006): Linjärt elastiskt material, d.v.s. töjning och spänning förutsätts vara linjärt relaterade oavsett vilken spänningsnivå som gäller. Små töjningar och därmed små böjdeformationer. Vid bestämning av kritiska laster anses konstruktionselementen som imperfektionsfria, d.v.s. ingen initialkrokighet och inga egenspänningar anses förekomma. 3.2 Grundläggande materialsamband Den grundläggande teorin i detta kapitel är hämtad ur Heyden m.fl. (2011). Vid ren böjbelastning utgörs materialsambandet av elastiska linjens differentialekvation som beskriver relationen mellan deformation, böjmomentet och böjstyvheten: d 2 w dx 2 = M EI (3.1) som kan skrivas som M = EI d2 w dx 2 (3.2) Om elastiska linjens differentialekvation löses för en ledat infäst pelare som belastas med en tryckande normalkraft N i båda ändar fås den kritiska knäckningslasten = π2 EI L 2. Den allmänna lösningen kan skrivas som = π2 EI L2 (3.3) cr där L cr är knäckningslängden, en fiktiv längd som används för att knäckningslasten skall kunna uttryckas med samma ekvation oberoende av belastningens form, stångens geometri samt upplagsförhållandena. För pelare med olika upplagsvillkor är de vanligaste de fyra fall som benämns som Eulers knäckningsfall, då L cr = 2L för en i ena änden fast inspänd pelare, L cr = 1L för en ledat infäst pelare, L cr = 0,7L för en i ena änden fast inspänd och i den andra änden ledat infäst pelare och L cr = 0,5L för en i båda ändar fast inspänd pelare. 7

17 3.3 Andra ordningens teori För balkpelare, alltså en balk som utsätts för både transversell och axiell last, måste jämvikten ställas upp i det deformerade läget då normalkrafterna är stora. I momentjämvikten ingår då en okänd utböjning w(x) som insatt i elastiska linjens differentialekvation ger en differentialekvation av andra ordningen. Beräkningar enligt andra ordningens teori visar att en stor normalkraft ger större utböjningar och moment i en balkpelare än vad en beräkning enligt första ordningen gör. Ju större normalkraft som balkpelaren utsätts för, desto mindre transversallast klarar den av. Då normalkraften närmar sig värdet av den kritiska knäckningslasten kommer balkpelaren att kollapsa utan att klara någon transversell belastning alls. 3.4 Bakgrund till begreppet förstoringsfaktor Om andra ordningens moment skall kunna beräknas måste det finnas en initialkrokighet, som antingen finns där från början eller orsakas av en transversallast eller ändmoment. Nedan följer en beräkning av utböjningen för en ledat infäst pelare som utsätts för en normalkraft och som är krökt redan då den är obelastad. Pelaren antas ha en initialutböjning med formen av en halv sinusvåg som visas i Figur 3.1. a(x) = a 0 sin ( πx L ) (3.4) Figur 3.1: Pelare med sinusformad initialutböjning belastad med normalkraft i ena änden. 8

18 En momentjämvikt enligt Figur 3.2 ställs upp i pelarens deformerade läge då normalkraften verkar. M(x) N(a(x) + w) = 0, där w är tillskottsutböjningen som ges av normalkraften N. Figur 3.2: Momentjämvikt i snitt för normalkraftsbelastad pelare med initialutböjning. Detta ger momentekvationen M(x) = N(a(x) + w) (3.5) som insatt (3.1) ger d 2 w dx 2 = N a EI 0 sin ( πx ) Nw L EI (3.6) Genom att definiera k = N EI blir k2 = N EI och (3.6) kan skrivas om som d 2 w + dx 2 k2 w = a 0 sin ( πx ) (3.7) L Den allmänna lösningen till (3.7) blir w(x) = A cos(kx) + B sin(kx) + Randvillkoren w(0) = 0 och w(l) = 0 för (3.8) ger A = B = 0 k2 π 2 L 2 k2 a 0sin ( πx L ) (3.8) Om k 2 skrivs om genom att utnyttja (3.3) med L cr = 1L för en ledat infäst pelare blir k 2 = Nπ2 L2 och tillskottsutböjningen orsakad av normalkraften N kan skrivas som: w(x) = N 1 N a 0 sin ( πx L ) (3.9) 9

19 I mitten av pelaren blir denna tillskottsutböjning, när x = L sätts in i (3.9) 2 w ( L 2 ) = N 1 N a 0 (3.10) Genom att i (3.4) sätta x = L 2 fås pelarens initialutböjning i mitten a ( L 2 ) = a 0 (3.11) Den maximala utböjningen, som alltså inträffar i pelarens mitt och som fås genom addition av (3.10) och (3.11), blir enligt andra ordningens teori w 2 = w ( L 2 ) + a (L 2 ) = N 1 N a 0 + a 0 = a0 1 N (3.12) Initialutböjningen vid pelarens mitt, L 2, som utan normalkraftspåverkan var a 0 har nu multiplicerats med faktorn f = 1 1 N (3.13) Faktorn (3.13) brukar kallas för en förstoringsfaktor då uttryckets nämnare aldrig kan bli större än 1 och förstorar alltså täljarens värde. Om normalkraften N närmar sig värdet av den kritiska knäckningslasten kommer uttrycket att bli oändligt stort. Om man ställer upp momentjämvikten och bortser från den tillskottsutböjning w som ges av normalkraften N hade momentet blivit M = Na 0 Om (3.10) och (3.11) sätts in i (3.5) fås värdet på andra ordningens moment M 2 = N a 0 1 N (3.14) Även här har momentet M = Na 0 multiplicerats med faktorn f = 1 1 N För att erhålla en mycket bra approximation av andra ordningens maximala utböjning kan alltså första ordningens utböjning multipliceras med förstoringsfaktorn f =. 1 1 N Detta förutsätter dock att första ordningens utböjning har en form som liknar formen hos aktuell knäckningsmod. I varianten med enbart sinusformig initialkrokighet har både knäckningsmoden och initialkrokigheten exakt samma form och då ger förstoringsfaktorn exakt lösning. Om formerna avviker lite blir approximationen mycket bra, om formerna är helt olika blir approximationen också helt fel.. 10

20 Då första ordningens moment är formad som eller liknar formen av den kurva som knäckningsmoden motsvarar kan även första ordningens moment multipliceras med förstoringsfaktorn f för att få en approximation av andra ordningens moment. I de flesta fall är approximationen av andra ordningens utböjning betydligt bättre än approximationen av andra ordningens moment. 3.5 Ekvivalent momentfaktor Man kan alltså uppnå ett bra värde på andra ordningens utböjning och moment, dock med bättre precision på utböjningen, genom att multiplicera första ordningens utböjning och moment med förstoringsfaktorn f under antagande att de båda i formen liknar den sinuskurva som knäckningsmoden motsvarar. 1 w 2 = w 1 1 N 1 M 2 = M 1 1 N (3.15) (3.16) Om så inte är fallet måste ettan i förstoringsfaktorns täljare ersättas med en korrektionsfaktor C m som kan ge det exakta eller approximativa värdet på andra ordningens moment, M 2. Ekvation (3.16) kan då skrivas som M 2 = M 1 C m 1 N (3.17) och om man ur denna ekvation löser ut korrektionsfaktorn C m, som härefter benämns som momentfaktorn eller C m -faktorn, samt skriver första och andra ordningens moment som funktioner av x-koordinaten längs balkpelaren kan momentfaktorn anges som en funktion av x och kvoten N : N C m (x, ) = M 2(x) (1 N ) (3.18) M 1 (x) Denna momentfaktor kommer att ha olika värden för varje värde på x-koordinaten längs balkpelaren. För en balkpelare som belastas med transversallaster eller transversallaster i kombination med koncentrerade moment kan ett approximativt värde på andra ordningens moment beräknas enligt M 2,approx (x) = M 1 (x) + N[w 1 (x) w m (x)]f (3.19) 11

21 Jämför med ekvation (3.14), där i ekvation (3.19) första ordningens moment M 1 (x) adderats till följd av de transversallaster eller ändmoment som också kan påverka pelaren. Faktorn w m är en korrektion som gör att skillnaden w 1 (x) w m (x) får en form som så nära som möjligt liknar den på första ordningens moment. Denna faktor används inte i några av de beräkningar som görs i denna rapport, men för en mer ingående förklaring hänvisas till Sarvell (2012). Om andra ordningens moment, M 2 i ekvation (3.18), syftar till det exakta värdet på M 2 som fås genom att lösa den styrande differentialekvationen (3.7) (dock med högerledet utbytt mot första ordningens moment M 1 (x)), så betecknas också C m som exakt. N C m,exakt (x, ) = M 2,exakt(x) (1 N ) (3.20) M 1 (x) Om M 2 (x) löses ur (3.18) och sätts lika med (3.19) kan den approximativa C m - faktorn skrivas som N C m,approx (x, ) = 1 + [ (w 1 (x) w m(x)) M 1 (x) 1] N (3.21) Denna formel återfinns som fall 2 i SS-EN Appendix A tabell A.2. I denna rapport kommer faktorn w m alltid vara lika med noll. Det bör påpekas att det finns ett alternativt sätt att uttrycka (3.17) i litteratur med koppling till Eurocode 3, där C m = 1 + δ N, och där faktorn δ kallas för Dischinger faktorn, se Lindner m.fl. (2017). Ekvation (3.17) skrivs då som M 2 = M 1 1+δ N Ncr 1 N Ncr (3.22) 12

22 Kapitel 4 - Fallstudier Nedan följer två härledningar av C m -faktorer för fast inspända balkpelare som utsätts för både transversell och axiell last. För båda fallen gäller att maximalt första ordningens moment M 1, maximalt andra ordningens moment M 2, och maximal första ordningens utböjning w 1 inträffar i den fast inspända änden, dvs där x = L. Utböjningen sker i endast det plan som lasterna verkar. C m -faktorerna kommer att redovisas med grafer för olika värden på kvoten N i intervallet 0 N 1. En approximation med ett förstagradspolynom kommer även att göras till kurvan för C m,exakt. 4.1 Konsol med sinusformad last och normalkraft Figur 4.1: Konsol med sinusformad last och normalkraft. Momentjämvikt enligt andra ordningens teori ger enligt Figur 4.1 M 2 (x) = N w(x) + M 1 (x) (4.1) där första ordningens moment är M 1 (x) = q 0Lx q 0L 2 sin π π 2 (πx L ) (4.2) För beräkning av (3.21) behövs även värdet på första ordningens böjdeformation w 1 (x) = 1 EI [ Lq 0(π 3 x 3 +6L 3 sin( πx L )+6πL2 x 3π 3 L 2 x) 6π 4 ] (4.3) 13

23 Uttrycket (4.2) insatt i (4.1) ger M 2 (x) = N w(x) + q 0Lx q 0L 2 sin π π 2 (πx L ) (4.4) och (4.4) insatt i elastiska linjens differentialekvation, (3.1), ger krökningen enligt d 2 w dx 2 = M 2 (x) EI = 1 EI (N w(x) + q 0Lx q 0L 2 sin π π 2 (πx L )) (4.5) Detta är en linjär differentialekvation av andra ordningen havande konstanta koefficienter. Genom att definiera k = N EI till (4.5) - kan skrivas som blir k2 = N, och andra ordningens böjdeformation - lösningen EI w(x) = A cos(kx) + B sin(kx) + q 0 L 2 sin ( πx ) q 0Lx Nπ 2 (1 π2 k 2 L 2) L Nπ (4.6) Randvillkoret w(0) = 0 A = 0 Andra ordningens vinkeländring blir w (x) = B k cos(kx) + q 0 L Nπ(1 π2 cos ( πx ) q 0L k 2 L 2) L Nπ (4.7) Randvillkoret w (L) = 0 B = Andra ordningens nedböjning kan nu skrivas som q 0 L (1 + 1 N π k cos(kl) ) 1 π2 k 2 L 2 w(x) = q 0 L (1 + 1 N π k cos(kl) 1 π2 k 2 L 2 ) sin(kx) + q 0 L 2 sin ( πx ) q 0Lx Nπ 2 (1 π2 k 2 L 2) L Nπ (4.8) Andra ordningens moment M 2 erhålles genom att derivera utböjningen två gånger och multiplicera med EI. M 2 (x) = q 0 L (1 + 1 π k cos(kl) 1 π2 k 2 L 2 ) sin(kx) + q 0 k 2 (1 π2 sin ( πx ) (4.9) k 2 L 2) L Genom insättning av x = L i (4.9) fås maximalt andra ordningens moment i inspänningssnittet enligt 14

24 M 2 (L) = M 2,max = q 0L tan(kl) πk ( π2 k 2 L 2 ) (4.10) Även maximalt första ordningens moment inträffar i inspänningssnittet, x = L sätts in i ekvation (4.2) M 1 (L) = M 1,max = q 0L 2 π (4.11) Genom insättning av (4.10) och (4.11) i (3.20) fås C m,exakt ( N ) = tan(kl) (1 + 1 ) (1 N ) (4.12) kl 1 π2 k 2 L 2 Det maximala värdet på första ordningens utböjning behövs för beräkningen av C m,approx. Insättning av x = L i (4.3) ger w 1 (L) = q 0L 4 EI ( 1 1 3π π3) (4.13) Insättning av (4.11), (4.13) och (3.3) med knäckningslängden L cr = 2L, samt w m = 0 i (3.21) ger C m,approx ( N ) = 1 + ( π ) N 1 0,4275 N (4.14) Graferna i Figur 4.2 visar sambandet mellan C m -faktorn och kvoten N. Den första som benämns Exact visar C m -värden enligt ekvation (4.12). Den andra, benämnd Exact design curve, är en kurvanpassning med ett förstagradspolynom till kurvan Exact i intervallet 0 N 1. Den tredje, Approx, visar approximativa värden enligt ekvation (4.14). Knäckningslängden har satts till L cr = 2,0L enligt Eulers första knäckningsfall. Graferna visar att approximativ lösning enligt (3.21) eller (4.14) stämmer mycket bra med exakt lösning enligt (3.20) eller (4.12). 15

25 Figur 4.2: Momentfaktorer för en konsol med sinusformad last. 16

26 4.2 Konsolbalk med punktlast i varierande läge samt normalkraft Figur 4.3: Konsolbalk med punktlast i varierande läge samt normalkraft. Beteckningen w h i följande beräkningar syftar på nedböjningen för den del av balken som ligger till höger om punktlastens verkningspunkt och har ingenting med riktningen på x-axeln att göra. Nedböjningen w v berör den del av balken som ligger mellan punktlastens verkningspunkt och den fasta inspänningen. Dessa beteckningar används då skarvvillkor förekommer i beräkningen. βl är sträckan mellan den fasta inspänningen och transversallastens verkningspunkt. För delen 0 x L βl: Momentjämvikt enligt Figur 4.3 ger M 2,h (x) = N w h (x) (4.15) Funktionen (4.15) insatt i (3.1) ger krökningen d 2 w h dx 2 = M 2,h (x) EI = N w h(x) EI (4.16) Genom definition k = N EI och k2 = N EI (4.17) skrivs (4.16) som d 2 w h dx 2 + k2 w h (x) = 0 (4.18) 17

27 Den allmänna lösningen till (4.18) är w h (x) = A cos(kx) + B sin(kx) (4.19) Det randvillkor som kan användas är w h (0) = 0 A = 0 w h (x) = B sin(kx) (4.20) Derivering av (4.20) ger lutningen w h (x) = B k cos(kx) (4.21) För delen L βl x L: Momentjämvikt ger M 2,v = N w v (x) + P(x L + βl) (4.22) Uttrycket (4.22) insatt i (3.1) ger krökningen d 2 w v dx 2 = M 2,v (x) EI = 1 (N w (x) + Px PL + PβL) (4.23) EI och genom att använda definitionen (4.17) kan (4.23) skrivas som d 2 w v dx 2 + k2 w v (x) = k2 P [ x + L βl] (4.24) N Differentialekvationen (4.24) har lösningen w v (x) = C cos(kx) + D sin(kx) + P [ x + L βl] (4.25) N Derivering ger w v (x) = C k sin(kx) + D k cos(kx) P N (4.26) Randvillkoret w v (L) = 0 ger D = C sin (kl) cos (kl) + P k N cos (kl) (4.27) Ekvationerna (4.25) och (4.26) kan nu skrivas om innan skarvvillkoren används genom att använda (4.27) 18

28 w v (x) = C cos(kx) + [C sin (kl) + cos (kl) P ] sin(kx) + P [ x + L βl] (4.28) k N cos (kl) N w v (x) = C k sin(kx) + k [C sin(kl) cos(kl) + P k N cos(kl) ] cos(kx) P N (4.29) En balk som deformeras elastiskt får inga knyckar vilket innebär att lutning och nedböjning i den punkt där punktlasten verkar måste vara lika. Skarvvillkoren w h (L βl) = w v (L βl) och w h (L βl) = w v (L βl) ger de hittills okända konstanterna B, C och D: B = P k N [sin2 k(l βl) sink(l βl) cosk(l βl) cos(kl) sin(kl) + 1 cos(kl) 1 cos k(l βl) ] (4.30) C = P sink(l βl) (4.31) k N D = P [ 1 sink(l βl) sin(kl) k N cos (kl) k N cos(kl) ] (4.32) Genom att använda (4.30), (4.31) och (4.32) skrivs (4.28) och (4.29) som w v (x) = P sin k(l βl) k N cos(kx) + [ P k N cos(kl) P sin k(l βl) k N sin(kl) cos(kl) ] sin(kx) + P [ x + L β] (4.33) N w v (x) = Psin k(l βl) N sin(kx) + [ P N cos(kl) P sin k(l βl) sin(kl) ] cos(kx) P N cos(kl) N (4.34) Den del av balken som är betydelsefull då C m -faktorerna beräknas är den vänstra delen, mellan den fasta inspänningen och punktlasten. Nedan följer de ekvationer som behövs för att ta fram C m -faktorerna för den delen, d.v.s. för: L βl x L Första ordningens moment: M 1 (x) = P(x L + βl) (4.35) Första ordningens nedböjning: w 1 (x) = 1 [ P(L3 β 3 3L 3 β 2 +3L 3 β L 3 6L 2 βx+3l 2 x+3lβx 2 3Lx 2 +x 3 ) ] (4.36) EI 6 Andra ordningens moment fås genom att derivera (4.34) vilket ger andra ordningens krökning. Efter multiplikation med EI fås det exakta värdet på andra ordningens moment. M 2 (x) = P sin k(l βl) k cos(kx) + [ P k cos(kl) P sin k(l βl) k sin(kl) cos(kl) ] sin (kx) (4.37) 19

29 Genom insättning av x = L i (4.37) fås maximalt andra ordningens moment i inspänningssnittet enligt M 2 (L) = M 2,max = P sin[kl(β 1)+sin(kL)] k cos(kl) (4.38) Även maximalt första ordningens moment inträffar i inspänningssnittet, x = L sätts in i (4.35) M 1 (L) = M 1,max = PβL (4.39) Genom insättning av (4.38) och (4.39) i (3.20) fås C m,exakt ( N, β) = 1 βl sin[k L (β 1)]+sin(k L) k cos(k L) (1 N ) (4.40) Det maximala värdet på första ordningens utböjning behövs för beräkningen av C m,approx. Insättning av x = L i (4.36) ger w 1 (L) = PL3 β 2 (β 3) 6 (4.41) Insättning av (4.39), (4.41) och (3.3) med knäckningslängden L cr = 2L, samt w m = 0 i (3.21) ger C m,approx ( N, β) = 1 + [ π2 β(β 3) 24 1] N (4.42) Det är viktigt att notera att (4.40) och (4.42) endast är giltiga för den vänstra sidan av balken. Om β = 0 försvinner den vänstra sidan vilket gör att (4.40) och (4.42) förlorar sin innebörd. Det som är på den högra sidan är helt enkelt Eulers första knäckningsfall då det inte finns någon initialkrokighet eller någon initiallutning hos stången. Figur 4.4 och Figur 4.5 visar sambandet mellan C m -faktorer och kvoten mellan normalkraft och knäckningslast för fallet då β = 1, d.v.s. då punktlasten angriper i konsolens fria ände och fallet då β = 0,5, då punktlasten angriper i konsolens mitt. När β minskar ökar lutningen på graferna vilket betyder att andra ordningens effekter avtar och att punktlasten P gör mindre skada ju närmre den flyttas mot balkpelarens fasta inspänning. 20

30 Figur 4.4: Momentfaktorer för en konsol med punktlast i fria änden, β = 1. Figur 4.5: Momentfaktorer för en konsol med punktlast i balkens mitt, β = 0, 5. 21

31 Figur 4.6 visar för tre olika kvoter på N hur de approximativa C m -faktorerna varierar beroende av var på balkpelaren punktlasten angriper mätt från den fasta inspänningen. Man ser återigen tydligt att lutningen på graferna ökar då β minskar, vilket är lätt att se på formel (4.42) som är den C m -faktor som visas i Figur 4.6. Punktlasten P gör alltså mer skada ju närmre balkpelarens fria ände den angriper. Figur 4.6: Den i inspänningssnittet approximativa momentfaktorns variation beroende av punktlastens läge. 22

32 Kapitel 5 - Resultat och slutsats 5.1 Resultat Resultaten för de i föregående kapitel beräknade C m -faktorerna presenteras i Tabell 5.1. De tre fallen motsvarar Exakt - beräknad utifrån andra ordningens teori, Dimensioneringsvärde - en kurvanpassning med ett förstagradspolynom till det exakta värdet, samt Approx beräknad med den approximativa metoden. Notera att det är svårt att skriva ett enkelt uttryck för kurvanpassningen Dimensioneringsvärde för fall 2 som beror av värdet på β utmed balkpelaren. Tabell 5.1: C m - faktorer för två olika lastfall. Fall Upplagsvillkor & laster Exakt 7 x (1 N ) Momentfaktorer (C m ) Dimensioneringsvärde 8 Approx 9 1 x = tan(kl) kl (1 + 1 ) 1 π2 k 2 L 2 1 0,446 N 1 0,428 N 2 x = 1 βl L (β 1)]+sin(k L) [sin[k ] k cos(k L) Beror av värdet på β 1 + [ π2 β(β 3) 1] N Slutsats I denna rapport har jag noga redovisat beräkningar för två fall av exakta och approximativa värden på C m -faktorer som jag ej har funnit i litteratur som behandlar dylika fall. Resultaten i rapporten visar att det i dessa två fall är mycket liten skillnad på de exakta och approximativa värdena. 7 Motsvarar den exakta lösningen till den styrande differentialekvationen. 8 Linjär approximation av den exakta C m - faktorn. 9 C m -faktor helt baserad på en approximativ beräkning av andra ordningens moment via traditionell förstoringsfaktor. 23

33 24

34 Källförteckning Skriftliga källor EN Eurocode 3: Design of steel structures - part 1-1: General rules and rules for buildings. (2005). European Committee for Standartisation. Heyden, S., Dahlblom, O., Olsson, A., & Sandberg, G. (2011). Introduktion till strukturmekaniken. Lund: Studentlitteratur. Höglund, T. (2006). Modul 6 Stabilitet för balkar och stänger. Stockholm: Kunliga Tekniska Högskolan. Lindner, J., Kuhlmann, U., & Jörg, F. (2017). Initial bow imperfections e_0 for the verification of Flexural Buckling According to Eurocode 3 Part 1-1- additional considerations. Muratagic, D. (2010). Verifiering av interaktionsformlers gränser i Eurokod 3. Norlin, B. (2003). Dimensionering av stålkonstruktioner enligt Eurocode 3, föreläsningar & tal. Sarvell, F. (2012). Verifiering av interaktionsformlers gränser för balkpelare i Eurokod 3 En fallstudie av balkpelare med godtyckliga last- och randvillkor. Stockholm. Muntliga källor Norlin, Bert. Universitetslektor på Institutionen för byggvetenskap, bro- och stålbyggnad, återkommande samtal och granskningar under vårterminen

35 26

36 Bilaga - Beräkningsexempel I följande exempel beräknas normalkraftsbärförmågan för tvärsnittet HEA 280 då ett elastiskt brottkriterium enligt (6.2) och ett plastiskt brottkriterium enligt (6.31) i SS-EN används. Balkpelaren kan bara böjknäcka i veka riktningen och är fast inspänd med en normalkraft verkande i den fria änden. Tvärsnittets sträckgräns och balkpelarens längd är olika för det elastiska och det plastiska fallet. Detta är för att samma tvärsnittsprofil skall kunna användas tillsammans med båda brottkriterierna samt för att anpassa så att slankhetstalet λ, som är ett mått på en tryckt pelares benägenhet att knäcka, i båda fallen blir lika med ett. I denna bilaga används Eurokodens numrering av ekvationer hämtade från denna standard. Tvärsnittsdata HEA 280 Stålets E-modul E = 210 GPa Partialkoefficient γ M1 = 1,0 Profilbredd Profilhöjd Livtjocklek Flänstjocklek Hålkälsradie b = 280 mm h = 270 mm t w = 8,0 mm t f = 13,0 mm R = 24 mm Tvärsnittsarea A = 9726 mm 2 Tröghetsmoment I z = 47, mm 4 Elastiskt böjmotstånd W z,el = mm 3 Plastiskt böjmotstånd W z,pl = mm 3 Elastiskt brottkriterium enligt SS-EN (6.2) Tvärsnittsklassning Flytspänning f y = 620 MPa 27

37 Roten ur kvoten mellan referensflytspänningen och aktuell flytspänning 235 MPa ε = = 0,616 f y Slankhet hos flänsplåten som utsätts för tryck c f = b 2 t w 2 R t f = 8,62 Gränser för tryckt fläns enligt Tabell 5.2 SS-EN ε 5,54 ( 10ε) = ( 6,16) 14ε 8,62 Klass 1 Tryckflänsen Klass 2 tillhör klass 3 Klass 3 Slankhet hos livplåten under antagande att hela livplåten är tryckt c w = h 2 t f 2R t w = 24,5 Gränser för tryckt livplåt enligt Tabell 5.2 SS-EN ε 20,3 ( 38ε) = ( 23,4) 42ε 25,9 Klass 1 Livplåten Klass 2 tillhör klass 3 Klass 3 Tvärsnittet tillhör alltså tvärsnittsklass 3. Bärförmåga med hänsyn till normalkraft och momentkapacitet Tvärsnittets normalkraftsbärförmåga N Rd = Af y γ M1 = 6, kn (6.10) Tvärsnittets elastiska momentbärförmåga M z,rd = W z,el f y γ M1 = 211 knm (6.14) 28

38 Slankheten Då slankheten λ har bestämts till värdet 1 för både den elastiska och plastiska analysen uttrycks längden L 1 via parametrarna: slankheten λ, elasticitetsmodulen E, tröghetsmomentet I z och normalkraftsbärförmågan N Rd. L 1 = π 2 λ EI z N Rk = 2,02 m Kritisk knäckninglast Den kritiska knäckningslasten beräknas,z = π2 EI z L2 = 6, kn där L cr = 2L 1 cr Bärförmåga för knäckning enligt SS-EN & Brottvillkoret N Ed N b,rd 1,0 (6.46) där normalkraftskapaciteten för knäckning är N b,rd = χaf y γ M1 (6.47) Reduktionsfaktorn χ kan antingen avläsas ur Figur 6.4 eller beräknas enligt formeln 1 χ = (6.49) Φ+ Φ 2 λ 2 där hjälpparametern Φ skrivs som Φ = 0,5[1 + α(λ 0,2) + λ 2 ] 29

39 Då (6.49) används avläses imperfektionsparametern α i Tabell 6.1 utifrån villkoren i Tabell

40 Då flytspänningen f y = 620 MPa inte finns med i Tabell 6.2 används värdet för S 460 och knäckningskurva a används vilket ger α = 0,21. Φ = 1,08 insatt i (6.49) ger χ = 0,67 Normalkraftskapaciteten för knäckning (6.47) blir N b,rd = 4, kn 31

41 Bärförmågan enligt andra ordningens teori Då bärförmågan kontrolleras utifrån andra ordningens teori måste enligt Eurocode 3 balkpelaren förses med två imperfektioner för att analysen skall bli relevant. Imperfektionerna är en initiallutning enligt (5.5) och en initialkrokighet enligt Tabell 5.1 i EN där 0 = = 0 α h α m (5.5) α h = 2 h men 2 3 α h 1,0 och i detta fall är h = L 1 α m = 0,5 (1 + 1 ) där m är antalet pelare i rad. m Uttrycket (5.5) ger = = Enligt Tabell 5.1 blir initialkrokigheten enligt elastisk analys e 0 = L 1 = 6,74 mm 300 Initiallutningen och initialkrokigheten läggs på som fiktiva laster som verkar åt olika håll enligt Figur 5.4 SS-EN

42 Den fiktiva horisontalkraften vid den fria änden blir då F = N Ed + 4N Ede 0 L 1 = N Ed [ ] = 0,0183N Ed kn och den fiktiva jämnt utbredda lasten i motsatt riktning blir q = 8N Ede 0 L 1 2 = 0,0132 N Ed kn m Det dimensionerande momentet vid den fasta inspänningen kan skrivas som andra ordningens moment av jämnt utbredda fiktiva lasten q subtraherat från andra ordningens moment av den fiktiva punktlasten F i pelarens fria ände: M z,ed = F L 1 C m,approx 1 N Ed ql 1 L 1 2 C m,d 1 N Ed och där C m.approx beräknas med uttrycket (4.42) för punktlast med β = 1 i avsnitt 4.2 tidigare i denna rapport och där C m,d är en C m -faktor hämtad från examensarbetet Muratagic (2010) enligt Tabell B. 33

43 Tabell B: Faktorn C m,d Med Ψ = 1 motsvarar detta en jämnt utbredd last: Brottkriteriet C m,d = 1 0,382 N Ed N Ed N Rd + M z,ed M z,rd 1 (6.2) kan slutligen skrivas som N Ed N Rd + N Ed (1 N [L 1 ( + 4e0 Ed Ncr,z ) L1 )(1 0,178 N Ed Ncr,z ) 8e 0 2 (1 0,382 N Ed Ncr,z )] 1 M z,rd där den enda okända parametern är andra ordningens normalkraftsbärförmåga, N Ed : N Ed N N Ed + (1 N [0,037(1 0,178 Ed Ed 6, ) 6, ) 0,027(1 0,382 N Ed 6, )] 6, Detta löses förslagsvis med något beräkningsprogram N Ed = 3, kn Kvoten mellan andra ordningens normalkraftsbärförmåga och första ordningens normalkraftsbärförmåga kan skrivas 1 N 2 N 1 = N Ed N b,rd = 3, = 0,840 Andra ordningens beräkning gav alltså en lägre bärförmåga. 34

44 Plastiskt brottkriterium enligt SS-EN (6.31) Tvärsnittsklassning Flytspänning f y = 275 MPa Roten ur kvoten mellan referensflytspänningen och aktuell flytspänning 235 MPa ε = = 0,924 f y Slankhet hos flänsplåten som utsätts för tryck c f = b 2 t w 2 R t f = 8,62 Gränser för tryckt fläns enligt Tabell 5.2 SS-EN ε 8,32 ( 10ε) = ( 9,24 ) 14ε 12,94 Klass 1 Tryckflänsen Klass 2 tillhör klass 2 Klass 3 Slankhet hos livplåten under antagande att hela livplåten är tryckt c w = h 2 t f 2R t w = 24,5 Gränser för tryckt livplåt enligt Tabell 5.2 SS-EN ε 30,5 ( 38ε) = ( 35,1) 42ε 38,8 Tvärsnittet tillhör alltså tvärsnittsklass 2. Klass 1 Livplåten Klass 2 tillhör klass 1 Klass 3 Plastisk normalkraftsbärförmåga och momentkapacitet Tvärsnittets plastiska normalkraftsbärförmåga N pl,rd = Af y γ M1 = 2, kn (6.6) 35

45 Tvärsnittets plastiska momentkapacitet Slankheten M pl,z,rd = W pl,zf y γ M1 = 1, knm (6.13) Slankheten λ sätts lika med 1 för att räkna ut längden, L 2. L 2 = π 2 λ EI z N pl,rd = 3,04 m Kritisk knäckningslast Den kritiska knäckningslasten beräknas,z = π2 EI z L2 = 2, kn där L cr = 2L 2 cr Bärförmåga för knäckning enligt SS-EN avsnitten & Den beräknas på samma sätt som vid den elastiska analysen med den enda skillnaden att knäckningskurva c väljs i Tabell 6.2 eftersom flytspänningen nu är f y = 275 MPa. Detta ger α = 0,49 i Tabell 6.1. Hjälpparametern Φ beräknas till Φ = 1,20 vilket ger reduktionsfaktorn χ = 0,54. Bärförmågan för knäckning ger vid plastisk analys: N b,rd = χaf y γ M1 = 1, kn (6.47) Bärförmågan enligt andra ordningens teori Den beräknas på samma sätt som vid den elastiska analysen med den enda skillnaden att knäckningskurva c enligt ovan valts i Tabell 6.2 vilket ger en annan initialkrokighet, e o = L 2 = 20,3 mm, vid avläsning i Tabell 5.1 för plastisk analys. 150 Den fiktiva horisontalkraften enligt Figur 5.4 vid den fria änden blir då F = N Ed + 4N Ede 0 L 2 = N Ed [ ] = 0,0317N Ed kn och den fiktiva jämnt utbredda lasten i motsatt riktning enligt Figur 5.4 blir q = 8N Ede 0 L 2 2 = 0,0176 N Ed kn m 36

46 Liksom vid den elastiska analysen skrivs det dimensionerande momentet vid den fasta inspänningen som andra ordningens moment för den jämnt utbredda fiktiva lasten q subtraherad från andra ordningens moment av den fiktiva punktlasten F i pelarens fria ände: M z,ed = F L 2 C m,approx 1 N Ed Ncr ql 2 L 2 2 Brottkriteriet vid plastisk analys är C m,d 1 N Ed Ncr M z,ed M N,z,Rd (6.31) där M N,z,Rd = M pl,z,rd om n a (6.37) M N,z,Rd = M pl,z,rd [1 ( n a 1 a )2 ] om n > a (6.38) och n = N Ed N pl,rd är kvoten mellan yttre normalkraft och plastisk normalkraftskapacitet. a = A 2 b t f A men a 0,5 a är kvoten mellan livarea och total tvärsnittsarea. Villkoret (6.31) kan nu skrivas N Ed (1 N [L 2 ( + 4e0 Ed Ncr,z ) L2 )(1 0,178 N Ed Ncr,z ) 8e o 2 (1 0,382 N Ed Ncr,z )] M N,z,Rd =M pl,z,rd om n a 1 [ M N,z,Rd =M pl,z,rd [1 ( n a 1 a )2 ] om n>a ] där den enda okända parametern är andra ordningens normalkraftsbärförmåga, N Ed : N Ed N (1 N [0,0962(1 0,178 Ed Ed ) ) 0,0810 (1 0,382 N Ed )] N M N,z,Rd = om Ed [ N 2 Ed M N,z,Rd = [1 ( N ) ] om Ed >0.251 ] Detta löses förslagsvis med något beräkningsprogram N Ed = 1, kn 37

47 Kvoten mellan andra ordningens normalkraftsbärförmåga och första ordningens normalkraftsbärförmåga kan skrivas N 2 N 1 = N Ed N b,rd = 1, , = 1,16 Kontroll av n ger n = N Ed N pl,rd = 1, = 0,625 > 0,251 2, och alltså valdes det undre uttrycket i nämnaren vid beräkningen. Denna gång gav andra ordningens beräkning en större bärförmåga än första ordningens beräkning. Bärförmågan enligt andra ordningen är denna gång cirka 16 % större än enligt första ordningen. 38

48