Kommentar: i boken gillar de kmol och kj, så var försiktig! Det är alltid OK att jobba med SI-grundenheter om man vill, så att kj/kmol = J/mol.
|
|
- Mona Britta Larsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningsmanual till ST-kompendiet (De här lösningarna är väldigt detaljerade, ni behöver inte skriva så här mycket om liknande skulle komma på tentan.) september 2015 Kommentar: i boken gillar de kmol och kj, så var försiktig! Det är alltid OK att jobba med SI-grundenheter om man vill, så att kj/kmol = J/mol. 1.1 Det blir 24 liter vid atmosfärstryck, men prova gärna för andra tryck. Eftersom v = RT/ kommer dubbelt atmosfärstryck att ge hälften volym, alltså 12 liter, och så vidare. Det är en enkel lag, därför kan vi inte heller vänta oss att den gäller exakt alltid, vi skall prata mer om när den inte gäller. För fördjupning: slå upp massdensiteten (kg per kubikmeter) för argon på engelska Wikipedia och använd molmassan M för att kolla hur många liter en mol motsvarar. Densiteten ges ofta vid noll grader Celsius. 1.2 Med molmassan M syre massan för en partikel: = 32 kg/kmol = 0,032 kg/mol från boken Tab A-1 får man m p = M N A = 0,032 kg/mol 6, partiklar/mol kg/partikel = 5, kg/partikel Enhetsanalysen stämmer. Notera att varken partiklar eller mol är någon riktig enhet, de är som stycken eller dussin. Men man måste ändå hålla reda på det. Med den här något lägre massan blir hastigheten 477 m/s, men det är inom marginalen för avrundningsfel, faktum är att tar man med fler decimaler i Boltzmanns och Avogadros konstanter blir det 478 m/s även här. 1.3 Vi får totala inre energin U = 3 2 V = ka 0,024m3 = 3,6 kj. Dimensionsanalys: a m 3 = (N/m 2 ) m 3 = Nm = J. Det är alltså inre energin för en mol. Boken ger ofta för en kilomol i tabellerna, då blir det alltså 3600 kj. 1
2 1.4 oängen är bara att c till väldigt god noggrannhet är 20,8 J/(K mol), det är i motsats till mycket annat vi gör på den här kursen korrekt till bättre än en procent. Man skulle t.o.m. kunna tänka sig att använda mätning av värmekapacitet av ädelgas för att definiera en standard för gaskonstanten R u genom R u = (2/5) c! Då skulle svaret för c vara exakt 5R u /2 per definition. (I själva verket använder man en något mer komplicerad relation för standarddefinitionen av gaskonstanten R u, men det är mycket riktigt argon och värmekapacitet man använder.) 1.5 Vi approximerar en diatomär molekyl som vad man i mekanik ibland kallar en hantel (eng. dumbbell), vilket betyder två punktlika massiva partiklar som sitter ihop med en oböjlig stång med försumbar massa. artiklarnas hastighetsvektorer är ortogonala mot rotationsaxeln: där ω i är vinkelhastigheterna r i v i = r i v i = r 2 i ω (i = 1, 2) (1) ω = v i r i (2) som i princip skulle kunna vara olika, men om vi antar att stången (bindningen mellan atomerna) är rigid måste ω 1 = ω 2. a) Rörelseenergin hos hanteln är alltså där tröghetsmomentet I är E = 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1r 2 1ω m 2r 2 2ω 2 = 1 2 Iω2 (3) b) Beloppet av rörelsemängsmomenten är: I = m 1 r m 2 r 2 2. (4) L = m 1 r 1 v 1 + m 2 r 2 v 2 = m 1 r 2 1ω + m 2 r 2 2ω = Iω. (5) Jämför vi E och L har vi att energin kan uttryckas i tröghetsmomentet: E rot = L2 2I. (6) c) Om den ena är i läget x 1 = r 1 i och den andra i läget x 2 = r 2 i får vi { r1 m 1 r 2 m 2 m 1 +m 2 = 0 r = r 1 + r 2 (7) 2
3 där den första ekvationen är från definitionen av masscentrum. Vi kan lösa det för r 1 och r 2 : { r 1 = m 2 m 1 +m 2 r r 2 = m (8) 1 m 1 +m 2 r Vi sätter in i ekv. (4) och får: ( m1 m 2 2 I = (m 1 + m 2 ) 2 + m2 1 m ) 2 (m 1 + m 2 ) 2 r 2 = m 1m 2 r 2 = µr 2 (9) m 1 + m 2 där vi använde definitionen av reducerad massa µ. Alltså gäller E rot = L 2 /(2µr 2 ). d) I kvantfysik har vi ett lägsta möjliga rörelsemängdsmoment: Så för hanteln får vi Om vi definierar L 2 min = 2 2 (10) E rot,min = 2 2 2µr 2 = 2 µr 2 (11) T rot = E rot,min k B = 2 k B µr 2 (12) där k B är Boltzmanns konstant, då får vi för HCl-molekyler (r 1, m går att slå upp, samt atommassorna för väte H och klor Cl): 1 T rot 30 K (13) Det här är extremt kallt, 243 C, så uppe vid rumstemperatur kommer rotation att spela roll för HCl, liksom för de flesta andra diatomära molekyler. 1.6 Vi har sett i kompendiet att U = 3 2NkT för monatomär gas (tre frihetsgrader, de tre hastighetskomponenterna hos en fri punktpartikel) och U = 5 2NkT för diatomär gas (fem frihetsgrader, där de två extra jämfört med en fri punktpartikel inkluderar rotation i planet men inte inkluderat rotation runt själva axeln). Vi jämför nu temperaturen T med någon karaktäristisk temperatur T rot under vilken molekylerna inte har tillräckligt med energi för att rotera, i förra uppgiften såg vi att den temperaturen vanligtvis är väldigt låg, under 100 C. Då har vi för extremt låg temperatur T < T rot och för n mol samma resultat som för monatomär (utan inre struktur): c V = 1 U n T = 3 2 N Ak = 3 2 R u 12 J/(K mol) (14) 1 Ibland, t.ex. i gratisboken Gould & Tobochnik, definierar man T rot istället som T rot = 2 vilket 2k B µr 2 leder till T rot 15 K för HCl-molekylen. Eftersom T rot definierar en övergång mellan två uppföranden (jfr. förra uppgiften) finns det ingen unik definition utan vi ser att övergången sker någon gång mellan 15 och 30 kelvingrader. 3
4 (dvs. ungefär konstant), men för T > T rot får vi ytterligare värmekapacitet från rotationsfrihetsgraderna: c V = 1 U n T = 5 2 N Ak = 5 2 R u 21 J/(K mol) (15) (dvs.ungefär konstant). Notera att varken det ena eller det andra värdet på c V är perfekt ideal gas är ju hursomhelst inte en perfekt approximation, och experimentdata på c V är aldrig precis konstant som funktion av T men det stämmer ganska bra i vissa intervall. Oftare tabellerat är c, som för ideala gaser uppfyller c = c V + R u (exempel 12-9), så för T > T rot är: c = 5 2 R u + R u = 7 2 R u 29 J/(K mol). (16) Stoppar man in T = 293 K för t.ex. syrgas i formeln i tabell A-2 på s.901 så får man c = 29.3 J/(K mol) så det fungerar bra. Å andra sidan blir c = 35 J/(K mol) vid T = 1000 K så då fattas något. Vid höga temperaturer måste man också ta med vibrationella frihetsgrader, men då behövs mer kvantfysik och det ingår inte i den här kursen. 2.1 Jämför bild och bildtext på fig. s. 137 i boken. Notera att de har ett absolutbelopp i bildtexten: v table v ideal v table Det är inte lätt att läsa av siffror perfekt, särskilt eftersom v-axeln är logaritmisk skala, poängen är bara: när är det 1 procent fel ( OK ) och när är det riktigt dåligt (klart mer än en procent)? Jag gör det här i videon Ideal kontra reell gas. unkten på 10 Ma-isobaren där det står 49,5% kan man läsa av ungefär v = 0,02 m 3 /kg medan v = RT = 0, J/(kg K) ( ) K a = 0,0269 m 3 /kg så v table v ideal 0,02 0,0269 = = 35% v table 0,02 Inte exakt 49,5%, man kan få bättre genom att verkligen slå upp det i tabell med angivet temperatur och tryck. Men det behövs inte, poängen är klar: ideal gas är inte ens en hyfsad approximation i den här punkten. (Grov tumregel: mer än 10% fel räknas nästan alltid som dålig approximation). 4
5 2.2 Specifika volymen v är given, så vi kan räkna ut V lika väl som självt. Vi börjar med att räkna ut densiteten och konstanterna a och b per partikel: ( ) M 2 a p = a = N A ( ) 0, , = 3, m 6 a/partikel2 (kom ihåg att den givna M i tabell A-1 är i kg/kmol och att boken gillar ka) och b p = M ( ) 0,028 a = N A ,00138 = 6, m 3 /partikel och partikeldensiteten blir ρ p = N A M ρ = N A M 1 v = ( ,028 ) = 5, partiklar/m 3 Den givna ekvationen ger korrektionstermen ( ρ p b p a ) p = 0,36 0,90 = 0,53 = 53% fel k B T Av totala korrektionen 53% kommer alltså +36% från b och 90% från a. (I de flesta exempel vi tittar på är a (växelverkan) viktigare än b (partikelstorlek). Vi ser här att för mycket högre temperatur kan b vinna. ) Det här är alltså procentuell korrektion till ideal, så trycket är tydligen ca 53% lägre i van der Waals-kvävgas än i ideal gas under de här betingelserna. I exemplet i boken blir det ( )/9471 = 46%, som är nära nog. (Säkerställ att du inte förvirrar det här med procenten som vdw skiljer från data, som är 9471/10000, betydligt mindre.) Den förbättrade gaslagen vdw kan alltså användas för att uppskatta hur mycket fel allmänna gaslagen är, trots att vdw själv inte är helt perfekt. 2.3 Uppgiften var bara att räkna ut integralen och få entalpiändringen men vilket temperaturintervall använde du? Väljer du samma intervall för vatten som i exemplet för ammoniak (10 till 110 grader C, dvs. 283 till 383 grader K) så blir det till synes h ideal = 3735 J/mol. Men då är vatten en vätska, och då kan man inte räkna med att tabellen stämmer! (Ammoniak kokar redan vid 33 grader C så i motsats till vatten är ammoniak en gas i hela intervallet.) rova ett högre intervall, t.ex grader C istället, då blir det h ideal = 3486 J/mol. Jämför med tabell för entalpi h. 5
6 2.4b Formeln för c c 0 står i kap c c 0 = T 0 ( 2 ) v T 2 d Vi kan välja per mol istället så ser det mer ut som i exemplet i texten i kompendiet, och eftersom Mv = 1 nv (testa enheterna) har vi c c 0 = 1 ( 2 ) n T V 0 T 2 d och det är står i texten att (vi fick anta b = 0 så b p = 0): V = Nk BT Na p k B T. (Här har jag explicit löst ut volymen åt dig. Alternativt tar man vdw-lagen direkt och löser ut v själv med pq-formeln, då kan man använda approximationen för (1 + x) 1/2 som var given i uppgiften.) Deriverar vi två gånger med avseende på T får vi: så resultatet är ( 2 ) V T 2 c c 0 = 1 n T 0 = 0 2Na p k B T 3 ( 2Na ) p k B T 3 d = 2Na p nk B T 2 där jag använde (som i exemplet i texten) att vi integrerar över en isoterm (T =konstant). I texten konverterade jag till per mol, men nu gällde det per kg: c c 0 = c c 0 M = 2Na p Mnk B T 2 = 2N(aM 2 /N 2 A ) Mnk B T 2 = = 2a = = 65 J/(kg K). RT ( ) 2 eftersom N = nn A, N A k B = R u och R = R u /M. Det här är bara 65/2066 = 3% extra, så i det här fallet kommer vdw inte riktigt nära 15% extra som tabellen ger, men det är i alla fall åt rätt håll jämfört med ideal gas. Notera att det var viktigt med de två minustecknen ovan. 2.5 Vi har van der Waals gaslag med a p 0: (V Nb p ) = Nk B T. 6
7 Vi fick ett tips att bryta ut V : V ( 1 Nb ) p = Nk B T V alltså kan vi dela ned parentesen i högerledet: V = Nk BT 1 Nbp V = Nk BT 1 ρ p b p eftersom ρ p = N/V. Man skall egentligen bara taylorutveckla i dimensionslösa storheter (vad händer om e x = 1 + x + x och x mäts i meter?) så definiera x = ρ pb p som är dimensionslöst och använd taylorutvecklingen 2 1/(1 x) 1 + x så får vi V = Nk BT 1 x Nk BT (1 + x) = Nk B T (1 + ρ p b p ) som stämmer med ekvationen vi skulle visa. Alternativ: man hade också kunnat göra det per kg (här tar jag med a, det är inte mycket svårare), bryt ut specifika volymen v: Nu kan vi taylorutveckla: = RT v b a v 2 = RT v ( 1 1 b/v a ) RT v eftersom 1/(1 x) = 1 + x Stoppar vi in det får vi 1 1 b/v = 1 + b v +... (17) = RT v ( 1 + b v a ) RT v rova att stoppa in siffror i den här per-kg-formeln och jämföra med uppgift Multiplicera ekvationen i uppgift 2.6 med en ekvation på formen Z = 1+ någonting, där kompressionsförhållandet Z = v/(rt ). Det står v i vänsterledet så då måste vi gångra med /(RT ): ( b Z = 1 + RT a ) ( b (RT ) 2 = 1 + RT a ) (RT ) 2 2 En del studenter är oroliga att taylorutveckling vid x = 0 heter maclaurinutveckling, men det är en ahistorisk användning, slå upp mclaurinserie på t.ex. Wikipedia så ser du att Colin Maclaurin kom efter Brook Taylor, och Maclaurin series omdirigeras till Taylor series. 7
8 Varje kurva i figuren i boken är för fix temperatur, så betrakta t.ex. T R = 1,5, dvs. T = 1,5T cr. De kurvorna går alltid nedåt, så b är tydligen mindre effekt än a. Ovanstående är linjär funktion av, så den gäller bara under kritiskt tryck, dvs. R < 1, vänstra delen av figuren. Eftersom vi har linjäriserat vdw kan vi inte vänta oss att det funkar bra ända till R = 1. (Notera att i många tillämpningar är vi långt under kritiskt tryck, fast i grafen i boken har de pressat ihop R < 1-delen av grafen ganska ordentligt.) 3.1 Sannolikheten att få minst en sexa är lika med 100% minus sannolikheten att man får noll sexor, som är 5/6 för varje försök och: efter N försök så svaret är 1 (5/6) 24. ( ) 5 N Det är 6 3 = 216 kombinationer, så försök komma på alla sätt att få 11 eller 12. Till exempel 1+4+6=11. Hur många permutationer, dvs. olika ordningar, finns det av de tre siffrorna? Det finns 3!=6. (Tänk på tre personer som står i kö, hur många permutationer? erson A kan stå först och de andra kan stå 2:a eller 3:a. Och så vidare, det blir 3!=6. Notera att om några av objekten man permuterar är identiska så blir det färre åtskiljbara kombinationer, t.ex finns bara i tre kombinationer.) (Överkurs: ett smidigt sätt att lösa kombinatoriska problem är med genererande funktion, som vi diskuterar på kursen Matematisk fysik II. I det här fallet är genererande funktionen ( 1 6 (x + x2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 )) 3, vilket betyder att om du multiplicerar ut det polynomet så är koefficienten av t.ex. x 12 det sökta värdet 25/216.) 3.5 Från definitionen: x = 1 6 ( ) = 7 2 = Eftersom p = 1/6 så borde det vara ungefär 6 gånger. Men hur räknar man ut det? Man kan tro att det bara skulle vara att multiplicera antalet kast med sannolikheten, men det kan inte vara riktigt sant, för det är inte 100% chans att få en sexa efter 6 kast (eller ens efter 24 kast, som i uppgift 1.1). Mer fullständiga svar finns i gratisboken G&T exempel 3.10 (men det är överkurs!). 8
9 3.7 a,b: Bara att stoppa in! c) Med Stirlings approximation för stora x får man med produktregeln att d d ln x! dx dx (x ln x x) = ln x + x x 1 = ln x vilket kan vara praktiskt att använda t.ex. om man skall derivera en entropi som man räknat ut via kombinationer av antal tillstånd. 4.1 Tillståndssumman för en partikel är Z 1 = e β 0 + e β = 1 + e β (18) där β = 1/(k B T ). (Man kan ha kvar β så blir det lite kortare.) Tillståndssumman blir Medelenergin är E = β ln Z = β ln(1+e β ) 2 = 2 β ln(1+e β ) = Z = Z 2 1 = (1 + e β ) 2 (19) e β e β = 2 e β + 1 I sista steget har vi förlängt med e β, det blir lite snyggare men det är inte nödvändigt. För T får man β 0 och E 2 /(1 + 1) =. (I kompendiefacit stod svar för en partikel.) Helmholtz fria energi är och totala värmekapaciteten är A = k B T ln Z = 2k B T ln(1 + e β ) (20) C V = E T = 1 k B T 2 E β = 1 k B T 2 β 2 e β + 1 = + 1 k B T e β (e β + 1) 2 (21) För T, alltså β 0, får man C V 2 /(2k B T 2 ) 0. Värmekapaciteten för system med ändligt antal tillstånd kan avta för hög temperatur, vilket är tvärtom för en ideal gas (som inte har ändligt antal tillstånd) då C V växer ju fler tillstånd som blir tillgängliga vid högre temperaturer. 9
10 4.3 Kalla de två angivna energierna E 1 = J, E 2 = J. Det finns tre tillstånd: bägge till vänster (energi E 1 ), bägge till höger (energi E 1 ), och en i varje (energi E 2 ). Z = e βe 1 + e βe 1 + e βe 2 (22) där β = 1/(k B T ) och T = 293 K. Sannolikheten för partiklarna i olika delar får vi av att de måste vara i det tredje tillståndet: (olika) = e βe 2 Z = 0,05 = 5% (23) Kraften måste vara attraktiv eftersom det är 95% chans att de hamnar tillsammans. Notera att vi får ut ganska mycket information med ganska lite information in. Vi angav bara två energivärden, ingen kraft egentligen, och vi kan räkna ut sannolikheterna för vilken temperatur T som helst. (Vad händer för stora och små temperaturer?) 4.4. Mikroskopiska parametrar från tryck och temperatur I boken har vi tabell A-1, och vi skriver också upp atomnummer från periodiska systemet: ämne atomnummer T cr cr neon K a argon K a krypton K a Nu är a p och b p i kompendiet per partikel och inte per mol, så 3 a = ā/n 2 A och b = b/n A, där N A = partiklar/mol. Så svaren på deluppgift a och b ges av a) r 0 = ( ) 1/3 ( ) 1/3 3bp 3 b =, b) u 0 = a p = ā/n A 2 = 2π 2πN A b p b/na ā N A b. (24) När man skall stoppa in siffror går det bra att svara i enheterna J/kg eller J/mol för u 0, bara man anger tydligt vad det är för enhet! En annan populär enhet för små energier är elektronvolt (ev), där 1 ev = J, här blir det milli-elektronvolt (mev). Vill man skriva enhet uttryckligen kan man skriva med streck: ū 0 = N A u 0. ämne ā (m 6 a/mol2 ) b (m 3 /mol) ū 0 (J/mol) u 0 (mev/partikel) r 0 (nm) neon argon krypton En kommentar om konvertering. Eftersom a specifik är given per kg 2 (för den har R 2 ) och b specifik är given per kg (för den har R), måste vi konvertera med M 2 i ena fallet och M i andra fallet. Bara vi har rätt potens av M i konverteringen så behöver vi inte veta vad M är. 10
11 där jag använde att enheten m 3 a= m 3 (N/m 2 )=Nm =J. För att jämföra med t.ex. Wikipedia kan man behöva konvertera någon faktor 10: 1 bar = 10 5 a, 1 liter = 10 3 m 3 1 liter 2 bar/mol 2 = 0.1 m 6 a/mol 2 (25) c) Från makroskopiska mätdata (kritiskt tryck och temperatur) kan vi tydligen lära oss något om mikroskopiska storheter: att atomerna är större för ökande atomnummer (r 0 ), och de attraherar varandra starkare (u 0 ). Med andra ord, hade de inte varit givna i atomnummersordning hade vi kunnat ordna dem i den ordningen utifrån värdena vi fick på u 0 och r 0. Omvänt kan man försöka uppskatta förhållanden mellan de kritiskt tryck och temperatur för olika ämnen från de mikroskopiska parameterna. Till exempel kan vi säga (utan att titta efter i tabellen) att det kritiska trycket borde vara större för krypton än för argon, och större för argon än för neon artiklars storlek. Om vi har r 0 = 0,24 nm för neonatomer (se tabell i kompendiet) kap 4 får vi volymen för en partikel som ungefär ett litet klot med den radien: v p = 4πr3 0 = m 3 /partikel (26) 3 ( ungefär för atomen kanske inte är perfekt sfärisk, men det försummar vi) så volymen per mol får man genom att gångra med Avogadros tal: v = N A v p = m 3 /mol = 0,03 liter/mol. (27) En mol ideal gas vid atmosfärstryck och rumstemperatur har volym ca 24 liter som vi räknade ut i kapitel 1, så förhållandet är v v ideal = 0,15% (28) dvs. drygt en tusendel av behållaren är partiklar. Resten är tomrum (ingenting!) Inversionstemperaturen. Inversionstemperaturen T inv är temperaturen då en fluid övergår från att kylas av strypning (throttling) till att värmas av strypning. Det beskrivs enligt kap 12-5 av att Joule- Thomson-koefficienten µ JT = 0 är noll, vilket ger: ( ) V V T = 0 (29) T (rova först att stoppa in allmänna gaslagen i ovanstående ekvation: en ideal gas varken kyls eller värms av strypning, men reella gaser kyls eller värms oftast!) Van der Waals gaslag är approximativt, enligt kap.2 här i kompendiet V = Nk BT + N 11 ( b p a p k B T ) (30)
12 Nu får vi ( ) V T = Nk B så termen med b föll bort när vi deriverade. Alltså är ( ) ( V NkB V T = V T T + Na ) k B T 2 = V Nk BT Na p = N ( b p + Na p k B T 2 (31) a k B T = Nb 2Na p k B T k B T ) Na p k B T där jag använde (30) i näst sista steget. För någon viss temperatur T inv skall det här alltså vara noll, som inträffar om Nb p = 2Na p /(k B T inv ), dvs. (32) (33) (34) (35) T inv = 2a p k B b p. (36) Från uttrycken i kompendiet kan vi observera att a p = u 0 b p och då får vi T inv = 2u 0b p k B b p = 2u 0 k B. (37) vilket med u 0 = 44 mev från exemplet i kompendiet ger T int = 1020 K för argon. Det experimentella värdet är 780 K. Notera att T int inte beror på r 0 alls utan bara på u 0, och det verkar heller inte bero på totala antalet partiklar N. Men det gäller bara om partikeltätheten N/V är tillräckligt liten, vilket vi antog. Van der Waals gaslag är hursomhelst uppenbarligen bättre än allmänna gaslagen när det gäller strypning, för för en ideal gas är alltid Joule-Thomson-koefficienten µ JT = 0, så det finns ingen inversionstemperatur alls och ideala gaser varken kyls eller värms av strypningsprocesser. Riktiga gaser kyls eller värms ofta ganska märkbart (utom just runt inversionstemperaturen)! (Se exempel i boken, och uppgifterna om strypning i kap. 12) Terrasspunkten. Vi har ( + a v 2 ) (v b) = RT (38) Vi vill ha trycket som funktion av volymen och det går bra att lösa ut: = RT v b a v 2 (39) 12
13 Vi betraktar nu en isoterm, T = konstant, så är bara en funktion av v. En terrasspunkt är per definition: (v cr ) = RT cr (v cr b) 2 + 2a (v cr ) = Lös ut a och b från de här två ekvationerna: 2RT cr (v cr b) 3 6a vcr 4 v 3 cr = 0 (40) = 0. (41) a = 9 8 RT crv cr, b = 1 3 v cr. (42) (Verkar det svårt? Skriv t.ex. RT/(v b) 2 = (v b) RT/(v b) 3 = (v b) 6a/(2v 4 ).) Vi har i kritiska punkten att cr = RT cr v cr b a v 2 cr. (43) Att försöka lösa ut v cr explicit skulle ge en tredjegradsekvation. Men vi kan ta en liten genväg och stoppa in a och b från (42) i (43), då får vi ganska direkt att och stoppar vi in det i (42) får vi äntligen svaret för a och b: v cr = 3 RT cr (44) 8 cr a = 27 R 2 Tcr 2, b = 1 RT cr, (45) 64 cr 8 cr som det står i boken i kap. 3. Kommentar: det är egentligen tveksamt att göra så här som boken gör eftersom vdw själv bara gäller till dålig approximation i kritiska punkten. Men det illustrerar i alla fall att allmänna gaslagen inte gäller där hur många procent skiljer trycket man får från ekvation (44) från trycket man skulle ha fått från ideal gas v = RT? Beror det felet på vilket ämne det är? (Se nedan, rinciple of corresponding states.) 4.8 Enligt uppgift i slutet av kap.2 i häftet har vi Z 1 + (b/rt a/(rt ) 2 ), där som vanligt a = 27 R 2 Tcr 2, b = 1 RT cr, (46) 64 cr 8 cr Från definitionerna av reducerat tryck och temperatur (se kap.3) kan vi lösa ut kritiskt tryck och temperatur: cr = / R, T cr = T/T R, och stoppa in i a och b: a = 27 R 2 (T/T R ) 2 = / R 64 (RT ) 2 R TR 2, b = 1 RT/T R = 1 RT R, (47) 8 / R 8 T R 13
14 Vi får a (RT ) 2 = R TR 2, b RT = 1 R (48) 8 T R alltså är kompressionsförhållandet för ganska små tryck approximativt ( 1 1 Z ) 1 R. (49) 8 T R 64 Välj värde på T R så ger uttrycket i parentesen lutningen på den räta linjen som funktion av R, utan att specificera vilket ämne det är. Ämnesberoendet var i a och b, eller i cr och T cr, och dem har vi skalat bort genom att uttrycka allt i R och T R. I approximationen med låg densitet (lågt tryck) har vi alltså bevisat lagen om korresponderande tillstånd, ( principle of corresponding states ), att kurvorna i Z-figuren i kap.3 i boken alla ser samma ut för olika reella gaser (ifylld prick för vatten, halvifylld för koldioxid, triangel för kväve, etc.). Funktionen ovan stämmer hyfsat för T R = 1,1 till T R = 1,3, men den är som väntat inte perfekt vi har linjäriserat vdw och vdw är inte perfekt till att börja med. Men det är bättre än ideal gas som säger att Z är exakt 1 alltid, då finns inget cr och T cr! (Kommentar: de har bara tagit med ämnen i figuren för vilka lagen om korresponderande tillstånd gäller. Den gäller för många ämnen men inte alla, se t.ex. Wikipedia. Som exempel, om kvantfysik behövs i uträkningen, vilket det gör för de lättaste atomerna som t.ex. för vätgas, så ger vdw inte något bra resultat.) T 2 R 14
Termodynamik Föreläsning 4
Termodynamik Föreläsning 4 Ideala Gaser & Värmekapacitet Jens Fjelstad 2010 09 08 1 / 14 Innehåll Ideala gaser och värmekapacitet TFS 2:a upplagan (Çengel & Turner) 3.6 3.11 TFS 3:e upplagan (Çengel, Turner
Termodynamik FL4. 1:a HS ENERGIBALANS VÄRMEKAPACITET IDEALA GASER ENERGIBALANS FÖR SLUTNA SYSTEM
Termodynamik FL4 VÄRMEKAPACITET IDEALA GASER 1:a HS ENERGIBALANS ENERGIBALANS FÖR SLUTNA SYSTEM Energibalans när teckenkonventionen används: d.v.s. värme in och arbete ut är positiva; värme ut och arbete
Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.
Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell
Kinetisk Gasteori. Daniel Johansson January 17, 2016
Kinetisk Gasteori Daniel Johansson January 17, 2016 I kursen har vi under två lektioner diskuterat kinetisk gasteori. I princip allt som sades på dessa lektioner sammanfattas i texten nedan. 1 Lektion
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.
Statistisk Termodynamik Kompendium
juli 2017 Statistisk Termodynamik Kompendium Jens Fjelstad, Marcus Berg Det här kompendiet utgör kurslitteratur för kursmomentet statistisk termodynamik i kurserna EMGA70 (civ.ing.) och FYGB02 (fysikprogrammet
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 204-08-30. a Vid dissociationen av I 2 åtgår energi för att bryta en bindning, dvs. reaktionen är endoterm H > 0. Samtidigt bildas två atomer ur en molekyl,
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 2012-05-23 1. a Molekylerna i en ideal gas påverkar ej varandra, medan vi har ungefär samma växelverkningar mellan de olika molekylerna i en ideal blandning.
Kap 4 energianalys av slutna system
Slutet system: energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: kolvmotor med stängda ventiler 1 Volymändringsarbete (boundary work) Exempel: arbete med kolv W b = Fds = PAds = PdV 2 W b =
Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00
Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien
KEMISK TERMODYNAMIK. Lab 1, Datorlaboration APRIL 10, 2016
KEMISK TERMODYNAMIK Lab 1, Datorlaboration APRIL 10, 2016 ALEXANDER TIVED 9405108813 Q2 ALEXANDER.TIVED@GMAIL.COM WILLIAM SJÖSTRÖM Q2 DKW.SJOSTROM@GMAIL.COM Innehållsförteckning Inledning... 2 Teori, bakgrund
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 203-0-9. Sambandet mellan tryck och temperatur för jämvikt mellan fast och gasformig HCN är givet enligt: ln(p/kpa) = 9, 489 4252, 4 medan kokpunktskurvan
4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll
4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 8 Allmänna gaslagen 4: 9 Trycket i en ideal gas 4:3 10 Gaskinetisk tolkning av temperaturen 4:6 Svar till kontrolluppgift 4:7 rörelsemängd 4:1 8 Allmänna gaslagen
Kap 3 egenskaper hos rena ämnen
Rena ämnen/substanser (pure substances) Har fix kemisk sammansättning! Exempel: N 2, luft Även en fasblandning av ett rent ämne är ett rent ämne! Blandningar av flera substanser (t.ex. olja blandat med
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Bose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin
Bose-Einsteinkondensation Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin 3 mars, 009 Inledning Denna laboration går ut på att studera Bose-Einsteinkondensation för bosoner i en tredimensionell harmonisk-oscillatorpotential.
Temperatur T 1K (Kelvin)
Temperatur T 1K (Kelvin) Makroskopiskt: mäts med termometer (t.ex. volymutvidgning av vätska) Mikroskopiskt: molekylers genomsnittliga kinetiska energi Temperaturskalor Celsius 1 o C: vattens fryspunkt
Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Onsdag 15 jan 14, kl 8.3-13.3 i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,
Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Tisdag 8/8 009, kl. 4.00-6.00 i V-huset. Examinator: Mats
18. Fasjämvikt Tvåfasjämvikt T 1 = T 2, P 1 = P 2. (1)
18. Fasjämvikt Om ett makroskopiskt system består av flere homogena skilda komponenter, som är i termisk jämvikt med varandra, så kallas dessa komponenter faser. 18.0.1. Tvåfasjämvikt Jämvikt mellan två
Kapitel 5. Gaser. är kompressibel, är helt löslig i andra gaser, upptar jämt fördelat volymen av en behållare, och utövar tryck på sin omgivning.
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 5. 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 5.7 Effusion och Diffusion 5.8 5.9 Egenskaper hos några verkliga gaser 5.10 Atmosfärens kemi Copyright
Gaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Flytande fas Gasfas
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser
I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation
Tentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19
Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-06-09 kl 14-19 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla
13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Då du skall lösa kemiska problem av den typ som kommer nedan är det praktiskt att ha en lösningsmetod som man kan använda till alla problem.
Kapitel 2 Här hittar du svar och lösningar till de övningsuppgifter som hänvisas till i inledningen. I vissa fall har lärobokens avsnitt Svar och anvisningar bedömts vara tillräckligt fylliga varför enbart
4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar
Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar I kapitlet om kinetisk gasteori behandlades en s k ideal gas där man antog att partiklarna inte växelverkade med varandra och dessutom var punktformiga.
10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
MMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Gaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Fast fas Flytande fas Gasfas
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska
Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.
Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Till alla övningar finns facit. För de övningar som är markerade med * finns dessutom lösningar som du hittar efter facit!
Övningsuppgifter Till alla övningar finns facit. För de övningar som är markerade med * finns dessutom lösningar som du hittar efter facit! 1 Man har en blandning av syrgas och vätgas i en behållare. eräkna
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Repetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar
Repetition Termodynamik handlar om energiomvandlingar Termodynamikens första huvudsats: (Energiprincipen) Energi kan inte skapas och inte förstöras bara omvandlas från en form till en annan!! Termodynamikens
och/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen.
9. Realgaser ermodynamiska potentialer (ermo 2): Krister Henriksson 9. 9.. Introduktion Realgaser uppvisar beteende som idealgasen saknar. Speciellt vid höga tryck och/eller låga temperaturer bildar de
Andra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Övningstentamen i KFK080 för B
Övningstentamen i KFK080 för B 100922 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall motiveras och beräkningar redovisas. För godkänt
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
undanträngda luften vilket motsvarar Flyft kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd.
FYSIKTÄVLINGEN Finalen - teori 1 maj 001 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET 1 Vi beräknar först lyftkraften för en ballong Antag att ballongen är sfärisk med diametern 4πr 4π 0,15 0 cm Den har då
Tentamen i Termodynamik Q, F, MNP samt Värmelära för kursen Värmelära och Miljöfysik 20/8 2002
UPPSALA UNIVERSITET Fysiska institutionen Sveinn Bjarman Tentamen i Termodynamik Q, F, MNP samt Värmelära för kursen Värmelära och Miljöfysik 20/8 2002 Skrivtid: 9-14 Hjälpmedel: Räknedosa, Physics Handbook
TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form
TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar
Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Arbetet beror på vägen
VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel:
Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel
VI. Reella gaser Viktiga målsättningar med detta kapitel Veta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation
y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Gamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
4. Kemisk jämvikt när motsatta reaktioner balanserar varandra
4. Kemisk jämvikt när motsatta reaktioner balanserar varandra 4.1. Skriv fullständiga formler för följande reaktioner som kan gå i båda riktningarna (alla ämnen är i gasform): a) Kolmonoxid + kvävedioxid
Repetition F8. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00
Repetition F8 System (isolerat, slutet, öppet) Första huvudsatsen U = 0 i isolerat system U = q + w i slutet system Tryck-volymarbete w = -P ex V vid konstant yttre tryck w = 0 vid expansion mot vakuum
Arbete är ingen tillståndsstorhet!
VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel:
Kap 3 egenskaper hos rena ämnen
Rena ämnen/substanser Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Har fix kemisk sammansättning! Exempel: N 2, luft Även en fasblandning av ett rent ämne är ett rent ämne! Blandningar av flera substanser (t.ex. olja
Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband
Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska
Checklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Termodynamik och inledande statistisk fysik
Några grundbegrepp i kursen Termodynamik och inledande statistisk fysik I. INLEDNING Termodynamiken beskriver på en makroskopisk nivå processer där värme och/eller arbete tillförs eller extraheras från
Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18
Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla
Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.
Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex. 5.6. ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning).
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Kapitel extra Tröghetsmoment
et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten
Bestäm brombutans normala kokpunkt samt beräkna förångningsentalpin H vap och förångningsentropin
Tentamen i kemisk termodynamik den 7 januari 2013 kl. 8.00 till 13.00 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer
Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Räkneövning 2 hösten 2014
Termofysikens Grunder Räkneövning 2 hösten 2014 Assistent: Christoffer Fridlund 22.9.2014 1 1. Brinnande processer. Moderna datorers funktion baserar sig på kiselprocessorer. Anta att en modern processor
Gaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Flytande fas Gasfas
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
TFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Densitet Tabellen nedan visar massan och volymen för olika mängder kopparnubb.
Tid Vi har inte en entydig definition av tid. Tid knytas ofta till förändringar och rörelse. Vi koncentrerar på hur vi mäter tiden. Vi brukar använda enheten sekund för att mäta tiden. Enheten för tid
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
PTG 2015 övning 1. Problem 1
PTG 2015 övning 1 1 Problem 1 Enligt mätningar i fortfarighetstillstånd producerar en destillationsanläggning 12,5 /s destillat innehållande 87 vikt % alkohol och 19,2 /s bottenprodukt innehållande 7 vikt
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF14) Tid och plats: Tisdag 13/1 9, kl. 8.3-1.3 i V-huset. Examinator: Mats
TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.
TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP2 10-11 Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning Denna
Uppvärmning, avsvalning och fasövergångar
Läs detta först: [version 141008] Denna text innehåller teori och korta instuderingsuppgifter som du ska lösa. Under varje uppgift finns ett horisontellt streck, och direkt nedanför strecket finns facit
Jämviktsuppgifter. 2. Kolmonoxid och vattenånga bildar koldioxid och väte enligt följande reaktionsformel:
Jämviktsuppgifter Litterarum radices amarae, fructus dulces 1. Vid upphettning sönderdelas etan till eten och väte. Vid en viss temperatur har följande jämvikt ställt in sig i ett slutet kärl. C 2 H 6
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Statistisk Termodynamik
Statistisk Termodynamik Jens Fjelstad, Marcus Berg 13 oktober 2011 Dessa anteckningar är ämnade att användas som kurslitteratur för kursdelen statistisk termodynamik i kursen EMGA70. För att göra tentauppgifterna
Tentamen i Modern fysik, TFYA11, TENA
IFM - Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Linköpings universitet Tentamen i Modern fysik, TFYA11, TENA Tisdagen den 26/4 2011 kl. 08.00-12.00 i TER3 Tentamen består av 4 sidor (inklusive denna sida)
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
@
Kinetisk gasteori F = area tryck Newtons 2:a lag på impulsformen: dp/dt = F, där p=mv Impulsöverföringen till kolven när en molekyl reflekteras i kolvytan A är p=2mv x. De molekyler som når fram till ytan
Lite kinetisk gasteori
Tryck och energi i en ideal gas Lite kinetisk gasteori Statistisk metod att beskriva en ideal gas. En enkel teoretisk modell som bygger på följande antaganden: Varje molekyl är en fri partikel. Varje molekyl
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik
Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Ht2015 Program: Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik Bas 1 delkurs 1 Laborationsinstruktion 1 Densitet Namn:... Lärare sign. :. Syfte: Träna
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt
Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer
TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag
CALMERS 1 (3) Kemi- och bioteknik/fysikalk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag jälpmedel: Kursböckerna
Godkänt-del. Hypotetisk tentamen för Termodynamik och ytkemi, KFKA10
Hypotetisk tentamen för Termodynamik och ytkemi, KFKA10 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, utdelat formelblad och tabellblad. Godkänt-del För uppgift 1 9 krävs endast svar. För övriga uppgifter ska slutsatser