Finita elementmetoden

Transkript

1 Finita elementmetoden En kort introduktion till teorin ertil Nilsson Högskolan i Halmstad

2

3 Finita elementmetoden En kort introduktion till teorin ertil Nilsson Högskolan i Halmstad 9--

4

5 Forord Detta kompendium utgor renskrivna(?) forelasningsanteckningar till en del av kursen Finita elementmetoden (FEM) som undertecknad gett vid Hogskolan i Halmstad sedan lasaret 99/93. Tanken med materialet ar att komplettera en mera praktisk modelleringsinriktad projektdel med nagot om metodens matematiska bakgrund. I denna version har, som vanligt, en del andringar och tillagg gjorts. Vidare har nagra oegentligheter rattats till men det brukar alltid nnas minst ett fel kvar sa lasaren bor vara pa sin vakt. Inte sallan smyger de sig in i "rattelser", s.k. andra ordningens fel. Forfattaren ser tacksamt fram emot ytterligare varsam kritik samt f orslag till forbattringar. Halmstad om hosten ertil Nilsson

6

7 Innehall Introduktion 5. Terminologi Historik Elementtyper aster Randvillkor Matematisk forsmak Ovningar Interpolation, avbildning 7. Inledning Interpolation och basfunktioner Nagot om tva och tre dimensioner Ovningar Energimetod, matrisformulering 4 3. Potentiell energi ssemblering Triangelelementet ST (onstant Strain Triangle) Nagra andra problemtyper Ovningar Randvillkor Inledning Partionering av systemet Eliminering Strametod agrange multiplikatormetod Ovningar osning av ekvationssystem Terminologi Direkt metod Iterativ metod Ovningar pproximationsmetoder Randvardesproblem och approximationsmetoder Finita dierensmetoden Viktade residualmetoder Inledning och denition Minsta kvadratmetoden Kollokationsmetoden Subdomainmetoden Galerkins metod Nagot om andra ordningens problem Ovningar

8 7 Elementanalys 7 7. Element och assemblering Konsistenta nodlaster Inledning Dierentialekvation Konsistenta nodlaster Koordinattransformation Numerisk integration Ovningar Exempel ODE och Galerkins metod Endimensionell varmeledning Reynolds ekvation

9 Introduktion. Terminologi Finita elementmetoden (FEM) ar en generell matematisk och numerisk metod for att soka approximativa losningar till vissa klasser av problem, s.k. (partiella) dierentialekvationer, som ar sa komplicerade att de inte gar att losa med klassiska metoder vi kanner fran analyskursen. Den bakomliggande matematiska iden ar egentligen ganska enkel och bestar av tva gamla begrepp namligen interpolation och minimering av en funktion, dvs. soka nollstalle till derivatan. Vanligtvis hittar man tillampningar for metoden vid s.k. faltproblem, t.ex. hallfasthetsberakning. ast kommer den till sin ratt vid komplicerade geometrier och randvillkor. Pa grund av sin generalitet ar den i dag, tillsammans med nagra narbeslaktade metoder, det helt dominerande datorredskapet for hallfasthetsanalys. I Sverige kallas metoden vanligen FEM (Finita ElementMetoden), men i sammans attningar anvander man allt oftare FE i stallet for FEM, t.ex. FE-berakning (uttalas nita elementberakning). Pa engelska forkortas den ocksa FEM (Finite Element Method) eller FE (Finite Element nalysis) och i sammansattningar nastan alltid FE, t.ex. FE model (Finite Element model). Karakteristiskt for metoden ar att den verkliga geometrin delas upp, diskretiseras, i sma stycken med enkel geometri, s.k. nita element. Till vardags helt enkelt element. Typiskt for FEM ar att elementen endast ar forbundna med varann i speciella punkter, noder (eng. nodes). Dessa ar placerade i hornen eller pa kanterna av elementen. I praktiken anvands mycket enkla element, for det mesta trianglar och fyrhorningar nar det galler tva dimensioner eller skalstrukturer. Vid solider anvands prismor med fyra eller sex sidor. Iden ar att man ska klara av att beskriva beteendet i varje element pa ett forhallandevis enkelt satt enbart genom att kanna tillstandet i noderna. Ett enkelt exempel ar vanliga balkar dar kraft-deformationssambandet (elementarfall) beskrivs av forskjutningar och rotationer enbart i balkens bada andpunkter, noderna. alkar utgor for ovrigt ett vanligt nita element i dagligt arbete. Element tillsammans med noder kallas for nat, (eng. mesh) och pa god svengelska hors darfor ofta att man "meshar" geometrin i sin D-modell. Hos aldre svenska FE-anvandare kan man ibland istallet for noder hora benamningen knutar, vilket ju passar bra ihop med nat. I vart grannland Tyskland ar det daremot mycket vanligt att man fortfarande sager "knoten". I varje element gors darefter en lokal interpolation av sa kallade vasentliga storheter. ntalet vasentliga storheter som behovs i varje nod, frihetsgrader per nod, beror pa det problem som skall losas och ar alltsa de nodvandiga storheter som behovs for att beskriva systemets tillstand vid godtycklig tid under godtyckliga laster, t.ex. f orskjutning, temperatur, tryck eller tid. Vid interpolationen anvands polynom med stod i elementets noder. Polynomens gradtal ar laga, oftast linjara eller kvadratiska, s.k. h-metod, hogre gradtal ar sallsynt, s.k. p-metod. Vanligast ar h-metoden, och innebar att okad noggrannhet i berakningen erhalles genom en allt nare elementindelning i de omraden av modellen som har kraftiga gradienter, dvs. "dar det hander mycket". Vid p-metoden daremot behaller man elementstorleken och okar gradtalet inom varje element for att fanga modellens beteende. Detta angreppssatt ar, ur era aspekter, mera vanskligt. Vid interpolationen galler sedan vanligtvis samma ansats, dvs. samma gradtal pa interpolationspolynomet, for alla storheter sasom geometri, forskjutning, material, yttre laster osv. Detta kallas for isoparametrisk formulering. nledningen till anvandandet av polynom ar att de av era orsaker kan betraktas som de enklaste funktionerna vi har i matematiken. Operationer sasom addition, subtraktion, multiplikation, derivation samt integration av polynom ar ju odramatiska och ger som resultat ett nytt polynom. Dessutom ar de enkla att berakna. Till det behovs bara vanlig addition, subtraktion och multiplikation. 5

10 Figur : ite kantigt. Utgaende fran detta kan sedan elementets egenskaper uttryckas som samband enbart mellan dess noder. Eftersom elementen hanger ihop med varandra i noderna, med krav pa kontinuitet for de vasentliga storheterna, kopplas sa strukturen samman till en enhet, assemblering. Tillsammans med givna randvillkor, laster och inspanningar, bildas till slut ett stort ekvationssystem ur vilket vara vasentliga storheter kan losas. egreppet frihetsgrader for modellen stammer till antalet overens med antalet obekanta i ekvationssystemet. Efter att detta l osts kan man sedan bestamma t.ex. spanningar och tojningar i element och noder, s.k. harledda storheter. Nat tillsammans med laster och randvillkor kallas for FE-modell. Man kan alltsa saga att FEM ar en tillampning pa att sondra och harska. EGO kan tjana som ett utmarkt exempel pa hur man bygger komplicerade strukturer utifran sma enkla (nita) element. Man ser ocksa att man far halla tillgodo med en idealisering av verkligheten, t.ex. en viss kantighet i geometrin, Fig.. Historik egreppet nita element uppstod i US ar 956, men nita elementber akningar utfordes tidigare. Pa 4-talet hade ygindustrin stora berakningsavdelningar, som for hand beraknade hallfastheten pa balksystem. Detta gjordes pa ett systematiserat s att som paminner om det moderna spraket inom FE-teori, matrisalgebra. Grunderna i dagens FE-teknik utvecklades under 5- och 6-talen (Turner, ienkiewicz, rgyris, m..). Till deras hjalp fanns redan de matematiska hornpelarna (Rayleigh 87, Ritz, Galerkin 9). Utvecklingen var pa denna tid helt inriktad mot hallfasthetsproblem. Indata till programmen levererades pa halkort och resultaten kom ut i form av printade listor. FEM ar mycket berakningsintensiv och har utvecklats i takt med att datorerna blivit kraftfullare. Man kan saga att datorerna varit en absolut forutsattning for utvecklingen. De storsta datorerna har alltid anvants till FE-berakningar och ofta varit anledningen till att de byggts! Under 6-och 7-talen anvandes i stort sett enbart stordatorer till FE-berakningar och det var da bara stora foretag i yg-, bil- och karnkraftsindustrin som anvande FEM. Mot slutet av 7-talet borjade man anvanda minidatorer som da blivit tillrackligt kraftfulla. Vidare borjade den matematiska grunden for FEM att sattas pa plats och generaliseras, vilket resulterade i att man ck upp ogonen for metoden som ett redskap for att losa manga andra typer av ingenjorsproblem. 6

11 Under 8-talet kom farggraken pa bred front och FE-programmen hakade naturligtvis pa. Graska terminaler kopplades till datorerna och programmen gjordes interaktiva f or att underlatta uppbyggnaden av geometrin. Noder och element genererades sedan mer eller mindre automatiskt. Resultaten redovisas nu med snygga fargbilder i stallet for printade listor och kurvplottar som var vanligt tidigare. Utvecklingen under 9-talet har varit mycket snabb pa datorsidan sa idag ar det mest arbetsstationer och kraftfulla P-datorer som anvands, aven om det alltid kommer att nnas problem som sysselsatter superdatorerna. Kopplingen till D intensieras och idag har de esta moderna systemen ett FE-program t att knutet till sig, varfor kopplingen dem emellan ar mindre dramatisk. Man kan nu enkelt generera FE-modeller, administrera berakningen och slutligen studera resultaten direkt i D-systemet. Ett utm arkt exempel pa detta ar SolidWorks med FE-programmet OSMOS/M. Ett annat ar atia med Elni eller paketet Simulia (QUS, FUENT...). I annat fall maste geometrier overforas till lampligt format for att passa aktuellt FE-program. Detta ar inte helt okomplicerat och utgor naturligtvis en extra belastning i processen. Fran att forst ha utvecklats for linjara hallfasthetsberakningar har tekniken sedan fornats till att omfatta allt er typer av berakningar. Man kan nu t.ex. utfora detaljerade krockanalyser av bilar, eller studera luftfodet kring ett ygplan. Exempel pa anvandningsomradet idag kan goras lang -linjar och ickelinjar elastisk analys -temperatur -kompositmaterial -krypning -harmoniska och patvingade svangningar -stabilitetsanalys -optimering, t.ex. minimera vikt med bibehallen funktion -kontaktproblem -utmattning -brottmekanik -luft och vatskeode -elektricitet, magnetism -akustik -biomekanik, medicin De stora FE-programmen har alltsa utvecklats till generella verktyg f or faltanalyser. De ledande kommersiella programmen, t.ex. OSMOS/M, NSTRN, NSYS och QUS, ar alla amerikanska och man kan darfor kanske saga att FEM ar en amerikansk teknik, aven om det gors banbrytande teoretiska insatser och programutveckling pa andra st allen, t.ex. ar svensken engt Karlsson en av grundarna till QUS. Den senaste megastjarnan pa FE-himlen ar det mycket kraftfulla och lattanvanda OMSO Multiphysics. Som namnet antyder ar det ett program som fran grunden ar skrivet for multifysik. Det ar helt svenskutvecklat av OMSO med sate i Stockholm. Sagan borjade 986 med att Svante ittmarck och Farhad Saeidi som extraknack under doktorandstudierna i numerisk analys pa KTH skrev PDE Toolbox till Matlab. Idag ar det en varldsomspannande koncern med nastan 5 anstallda och tusentals salda licenser. Ett annat helt generellt system ar FEniS (ogg, Homan, m. pa halmers, KTH och Simula i Norge) som nns pa universitet och forskningsinstitut. Kostnaderna for FE-program och kraftfulla datorer sjunker snabbt och idag skaar sig aven manga mindre foretag egen kompetens och utrustning. FEM blir for varje dag allt lattare att anvanda, men kraver fortfarande mycket kunnande hos anvandaren. Sa kommer det alltid att vara. Forutom sjalva hanterandet av programmet kravs kunnande och forstaelse for den fysik man studerar och FE-teknik for att kunna skapa bra modeller och avgora om resultaten ar tillforlitliga. Utvecklingen pekar dock mot alltmer automatik. Programmen avg or sjalva vad som ar bra modeller och fokuserar sjalva mot problemomraden i modellen, s.k. adaptiva metoder. Gardagens konstruktorer overlamnade alla FE-analyser at berakningsingenjoren. Den moderne konstruktoren daremot forvantas kunna gora enkla FE-analyser i sitt D-system samt kommunicera kring avancerade problemstallningar och tillhorande resultat med en specialist pa berakningsteknik. 7

12 Figur : Stangelement. Figur 3: alkelement..3 Elementtyper Det nns ett stort antal elementtyper, de mest generella programmen har kanske er an olika element. Vi skall har se pa de vanligaste problemtyperna vid hallfasthetsber akningar och vilka elementtyper som brukar anvandas. Plant fackverk (D): Ett fackverk (kallas ocksa stangbarverk) bestar av ledade stanger. Stangerna, elementen, kopplas ihop i sina noder, som i detta fall sammanfaller med st angernas leder. Stangelementen tar belastning endast i sin egen riktning. De kan inte b oja sig utan forblir raka. For att beskriva fackverkets deformation racker det att ange forskjutningarna u x och u y i noderna, se Fig. Dessa forskjutningar ar de obekanta vid en FE-analys med era stangelement och utgor alltsa modellens frihetsgrader. Stangelementet har alltsa tva noder och varje nod har frihetsgraderna u x och u y. Plan ram (D): En ram bestar av balkar som ar fast forbundna med varandra (t.ex. svetsade). Ramen delas in i balkelement, Fig 3. alkelementet kan overfora dragkrafter, tvarkrafter ochmomentochkommerdarfor att boja sig. For att beskriva balkelementets deformation kravs darfor de tre frihetsgraderna u x ;u y och ' z i varje nod. Rotationssymmetriskt skal: Exempel pa rotationssymmetriska skal ar tankar och askor. Strukturen delas upp i ett antal koniska skalelement, som har frihetsgraderna u x ;u y och ' z i varje nod, Fig 4. Plan skiva (D): En skiva karakteriseras av att belastningar och forskjutningar ar i skivans eget plan. Det nns era olika element. Gemensamt for alla ar att elementets deformation bestams av frihetsgraderna u x och u y i noderna. I Fig 5 visas triangulart skivelement, 6-noders triangulart skivelement, fyrsidigt skivelement samt 8-noders fyrsidigt skivelement. Element med Figur 4: Rotationssymmetriskt skalelement. 8

13 Figur 5: Skivelement. Figur 6: Plattelement. noder pa kanterna brukar ofta kallas kvadratiska, anledningen aterkommer vi till. I guren har vi alltsa bl.a. ett kvadratiskt triangelelement. Plan platta (D): En platta har krafter och belastningar vinkelrat mot plattans plan. Plattan delas in triangulara eller fyrsidiga plattelement. Frihetsgraderna i varje nod ar u z ;' x och ' y. I Fig 6 ses ett triangulart plattelement och ett fyrsidigt plattelement. Rotationssymmetrisk volym (D): En rotationssymmetrisk volym delas upp i ringelement. Det racker att rita elementen i ett plan, Fig 7. Problemet blir da tvadimensionellt och mycket likt ett plant skivproblem. Ringelementets deformation beskrivs alltsa med samma frihetsgrader i noderna u x och u y. I guren ses triangulart ringelement, sexnodigt triangulart ringelement, fyrsidigt ringelement samt 8-noders fyrsidigt ringelement. Skal (3D): En tunnvaggig konstruktion i tre dimensioner (3D) med godtyckligt riktad belastning kallas skal och delas in i skalelement. Har maste alla frihetsgraderna u x ;u y ;u z ;' x ;' y och ' z vara med. Ibland slopas en eller era rotationsfrihetsgrader i noderna. I Fig 8 visas plant triangulart skalelement, plant fyrsidigt skalelement samt dubbelkr okt fyrsidigt skalelement. Volym (3D): En tjockvaggig konstruktion i 3D, s.k. solid, behandlas som en volym och delas in i volymselement. Volymens deformation beskrivs med frihetsgraderna u x ;u y och u z.i Fig 9 visas nagra exempel pa solidelement: tetraederelement, -nodigt tetraederelement, pentaederelement, 5-nodigt pentaederelement, hexaederelement samt -nodigt hexaederelement. Temperaturelement: For temperaturberakningar nns manga olika element. Obekanta ar temperaturerna i noderna, se fyrsidigt ytelement i Fig. Varje nod har alltsa en frihetsgrad, temperaturen. De esta av de element som redovisats ovan har en temperaturmotsvarighet, ett element med samma geometri och noder. Detta for att det skall vara mojligt att forst 9

14 Figur 7: Rotationssymmetriskt ringelement. Figur 8: Skalelement. gora en temperaturberakning och sedan, direkt utan att andra elementindelningen, gora en spanningsanalys med nodtemperaturerna som indata. Element med samma utseende som ovan anvands for nastan alla andra typer av analyser, det ar bara antalet frihetsgrader per nod som varierar och ges inneb ord alltefter problemomrade: superelastiska, plastiska, viskoelastiska material, stromning, akustik, elektriska, magnetiska falt, osv. Ibland har man ocksa anvandning for lite mer speciella element. Masselement anvands for att ge massa och masstroghetsmoment. Elementen ovan brukar kunna ta hansyn till egentyngd och t.ex. centrifugallaster, men vid dynamisk analys kan detta element ibland vara anvandbart, Fig. Kontaktelement anvands vid kontaktytor, Fig. Friktion kan ges. Enkelverkande stangelement med enbart dragstyvhet eller tryckstyvhet, Fig 3. nvands for att simulera linor respektive stottor. En variant ar helt stelt, dvs. oandligt styvt. Rorelement nns era, Fig 4. De tar hansyn till att tvarsnittet blir ovalt vid bojning och att inre overtryck styvar upp elementet. Segelelement ar ett speciellt skalelement med lag eller ingen bojstyvhet, Fig 5. Namnet kommer av att det uppfor sig ungefar som en segelduk eller en saphinna..4 aster aster beror naturligtvis pa vilken typ av analys som gors, men vid vanlig linjar statisk analys ar de vanligtvis Punktlaster ar punktkrafter och punktmoment. injelaster ar utbredda krafter som kraft per langdenhet.

15 Figur 9: Volymelement. Figur : Temperaturelement. Figur : Masselement.

16 Figur : Kontaktelement. Figur 3: Enkelverkande stangelement. Figur 4: Rorelement. Figur 5: Segelelement.

17 (a) Fast inspand u x = u y = ' z = (b) Glidinspand u y = ' z = (c) Fritt upplagd u x = u y = (d) Glidupplagd u y = Figur 6: Exempel pa randvillkor. Ytlaster ar tryck, dvs. kraft per ytenhet. Volymslaster ar exempelvis egentyngd och accelerationskrafter. Temperaturlaster ger upphov till pakanningar, exempelvis tojning " = T. For samtliga laster galler att de skall ges i noderna. Oftast ar indataformatet skonsamt for anvandaren, t.ex. utbredda laster pa en kant eller yttryck matas in som sadana, men programmet raknar om lasten till punktkrafter i noderna, s.k. konsistenta nodlaster. Vi aterkommer till detta senare i kursen..5 Randvillkor For att modellen inte ska "ge sig ivag" under palagda krafter, s.k. stelkroppsrorelse, maste den lasas fast tillrackligt mycket. Naturligtvis ska man efterstrava att lasa modellen pa ett sadant satt som bast aterspeglar den verklighet man simulerar. Detta gors genom att en eller era frihetsgrader ges ett foreskrivet varde, s.k. enkla randvillkor (eng. single-freedom constraints, SF). Ibland behover man specicera hur frihetsgrader forhaller sig relativt varandra, utan att veta nagon absolut referens. Detta brukar kallas kopplade randvillkor (eng. multifreedom constraints, MF). Just randvillkor brukar vara avgorande for hur bra man lyckas med sin analys. Inte sallan laser man for mycket, med en for styv modell och for hoga spanningar som resultat. Har kommer erfarenheten in. Ett inte helt vanligt fel ar att man laser modellen for lite och darigenom tillater nagon form av stelkroppsrorelse, t.ex. rotation kring en punkt eller axel. Detta fel resulterar i ett singulart ekvationssystem, vilket brukar signaleras fran aktuellt FE-program att determinanten ar noll, nollor pa huvuddiagonalen i ekvationssystemet eller att det just ar singulart. Fler lasningar kravs alltsa. I Fig 6 ges exempel som torde vara kanda fran kurs i hallfasthetslara..6 Matematisk forsmak Inledningsvis namndes det, och det ar viktigt att komma ihag, att FEM ar en metod som levererar en approximativ losning. osningsansatsen ar alltid pa forhand bestamd till sin struktur, dvs. det ankommer pa FEMattpa basta satt xera ett antal konstanter. Naturligtvis vill vi att denna losning ska avvika sa lite som mojligt ifran den sanna losningen i det intervall som vi ar intresserade av. Det ar naturligt att denna avvikelse far bilda den funktion som ska minimeras. Problemet kompliceras av att vi inte enkelt kan teckna avvikelsen som en skillnad mellan tva funktioner eftersom vi bara kanner den ena funktionen via en dierentialekvation. Men som sinnebild kan man tanka sig foljande situation, Fig 7, dar v ar den sanna losningen och u var approximativa losning. Vi vill minimera arean mellan funktionerna, s.k. kontinuerlig minsta kvadratmetod, min (u v) dx 3

18 Figur 7: Kontinuerlig minsta kvadratmetod. Figur 8: injar interpolation och kontinuerlig minsta kvadratmetod. Har ar u beskriven explicit i hela. Detta ar en mycket opraktisk (dalig) formulering ur manga aspekter och passar daligt dagens datorer. En battre metod ar att diskretisera i ett andligt antal element och darmed ett andligt antal obekanta u ;u ; :::; u n ide n st noderna. Vardet av u i elementen fas sedan genom interpolation. Med t.ex. linjar interpolation har vi alltsa nu situationen, Fig 8. FEM gar nu ut pa att i nagon mening bestamma de n nodvardena u ;u ; :::; u n sa att integralen ovan antar minimum. Hur minimeringsproblemet verkligen formuleras aterkommer vi till i kapitlet om approximationsmetoder. Forst ska vi lara oss att interpolera i elementen sa att integralformuleringen blir enkel att handskas med. 4

19 .7 Ovningar. at a =(; ; 3) T, b =( ; ; 8) T och c =(; 3; 5) T. estam a b; c a; \(b; c); a b; b a; a b c; I cc T samt volymen av den parallellepiped qsom bestams av vektorerna 6 a; b och c: Svar: a b =7; c a = 7; \(b; c) = arccos( 6 ); a 437 b = (; ; ; 4)T 3 6 b a =( ; ; 4) T ; a b c = 33, I cc T = ; ja b cj =33: at = ; = och = : estam +,, ( + ), ( + ),, T,, jj och : Svar: + = ; = ; ( + ) = ; ( + ) = ; = ; T = ; = ; jj =; = : Raknelagarna + = + ( + ) = + ( + ) T = T + T ( + ) + = +( + ) () = () () T = T T ar allmangiltiga for matriser i den manoperationerna far utforas. Veriera dem i specialfallet = ; = och = : os matrisekvationen X = X + da = och T =(4; 8): Svar: X T =( ; ): 5. os matrisekvationen X X = da = och = : Svar: X = : 3 ; = 3 6. Uttryck5x +x +x +x +x x pa kvadratisk form xt Qx c T x; dar Q ar 4 5 symmetrisk. Svar: Q = ; c = : estam determinanten, inversen, egenvarden och normerade egenvektorer till = : 7 7 Svar: det = 4; = ; 4 = 5; e = p 6 ; = 8; e = p 5 : 5

20 8. estam med hjalp av Gauss eliminationsmetod losningen till ekvationssystemet Kx = F 3 da K = 6 5 och F = : Svar: x = 4 9. estam den matris, som genom formultiplikation byter plats pa raderna och 3 i en 4x4-matris. Svar: :. estam den matris, som genom eftermultiplikation byter plats pa kolumnerna och 3 i en 4x4-matris. Svar: :. estam den matris, som genom eftermultiplikation adderar 3 ganger kolumn 3 och ganger kolumn 4 till kolumn ien4x4-matris. Svar: 3 :. at M = x + dy dx cos(x) + sin(x) xe x dm x dx = sin(x) + cos(x) d y dx (+x)e x ; 5 8 : : estam dm R dx och M dx: Svar: R x 3 M dx = 3 +x sin(x) cos(x) y(x) ( 4 + x + : )ex R 6 3. estam sin( p x)dx: Svar: 4 p : R 4. erakna T d da = och T = 3 +; + ; : Svar: 43 5 : 5. Skriv pa matrisform = 3 3 x ( xt x x T P)= da x T =(x ;x ;x 3); ( ; P = : Svar: x = P: 6. at f (x; y) =(4x y)(3x+5y+). estam f x ; f y ; f x ; f y ; de x och y for vilka f antar extremvarde. Svar: f f x =4; f y = ; f xy =4; x f xy ; = 8+4x +4y; f y x )T =( ; x x ; x 3 ); f yx ; R R f dxdy samt = 4+4x y; f yx =4; R R f dxdy = 8 3 ; sadelpunkt i ( 3 ; 4 3 ): 7. Visa att P i= k i(xi+ xi) kan skrivas pa formen xt Kx x T F: Visa sedan att detta uttryck antar minvarde i den punkt som bestams av ekvationssystemet Kx = F: 6

21 Figur 9: injar interpolation i ett element. Interpolation, avbildning. Inledning ntag att vi kanner en funktion u i ett antal diskreta punkter x ;x ; :::; x n, s.k. stodpunkter. Motsvarande funktionsvarden kallar vi for u ;u ; :::; u n.omvisoker u mellan stodpunkterna maste vi gora en interpolation. Detta kan goras pa erasatt, men speciellt maste u i = u(x i ). Imanga sammanhang, bl.a. vid FEM, gor man en s.k. lokal anpassning i varje intervall I k = [x k ;x k+ ] med ett polynom ~u k av lagt gradtal, linjart eller kvadratiskt. Vi sager sedan att u ar styckvis denierad av ~u k i intervallen I k : Jamfor t.ex. absolutbeloppsfunktionen jxj som har olika beskrivning beroende pa vilket av intervallen x<ochx vi benner oss. Nar man talar om intervall i allmanhet brukar det inte leda till nagon forvirring om man istallet for det lite pyntade ~u k sager u istallet. Vi slopar darfor tilde och subindex i fortsattningen.. Interpolation och basfunktioner Vid linjar interpolation maste vi bestamma koecienterna i polynomet u(x) = kx + m for varje intervall (element) ovan, t.ex. I =[x ;x ], Fig 9. Funktionsvardena i stodpunkterna ar kanda och ar tillrackliga villkor for att kunna bestamma k och m. Vi far ekvationssystemet u = kx + m varav k = u u x x och m = u kx ; dvs. u = kx + m u(x) = u u x x x + u u u x x x Detta uttryck kan omskrivas till mer passande form (gor det!) u(x) = x x x x {z } N(x) u + x x x x {z } N(x) u = N (x)u + N (x)u = X i= N i (x)u i = N u Vi kan alltsa uttrycka u som en linjarkombination av u:s varde i stodpunkterna. I FEsammanhang valjer vi att kalla dessa stodpunkter for noder. Funktionerna N och N kallas for basfunktioner (eng. shape functions), Fig, och ar grundlaggande for elementanalysen. 7

22 Figur : injara basfunktioner i ett element i verkliga rummet. Figur : Koordinater i parameterrummet och verkliga rummet f or ett element. Dessa brukar av praktiska skal paketeras i en radvektor N =(N;N). v nagon anledning har vi som praxis att en vektor av funktioner lagras som en radvektor, medan en vektor med variabler far bilda en kolonnvektor. I FEM anvands ofta dimensionslosa koordinater, Fig. Infor [ ; ] enligt x = x + x + x x sa kan basfunktionerna skrivas (genomfor kalkylen!), Fig. N () = ( ) N() = ( + ) Vi ser att de har den viktiga egenskapen att vara ett i "sin" nod och noll i ovriga N i ( j )= omi = j omi 6= j Den linjara kombinationen u = N u = P i= N i()u i ovan kan ses som en avbildning(funktion) fran parameterrummet till det verkliga rummet u: nledningen till att man infor dimensionslosa koordinater ar att det ar enklare att arbeta i parameterrummet an i det verkliga rummet. Man far bl.a. ett enhetligt och enklare satt att behandla derivator och integraler, Figur : injara basfunktioner i parameterrummet, N() = ( );N () = ( + ). 8

23 som ju dierentialekvationer bestar av, samt ett lokalt koordinatsystem i varje element som underlattar elementanalysen. Vi behover alltsa samband mellan derivator i de tva rummen. Vi far du dx = d X dx ( N i u i )=X dni dx u i Kopplingen mellan derivator i de tva rummen tas om hand av kedjeregeln dn i d = dn i dx dx d = dn i dx J, dn i dx = J dn i d dar dx d kallas Jacobianen, J. Skrivs fet eftersom den egentligen ar en matris. Man kan tolka denna som skalfaktorn mellan karta och verklighet, och ar alltsa en rent geometrisk storhet. Eftersom speciellt x sjalvt interpoleras isoparametriskt fas J = dx d = fx = X N i x i g = X dni d x i = dn d x dar x ar en punkt i elementet och x en kolonnvektor P med nodernas koordinater. Exempel.: vbildningen u = N u = N i= i()u i fran parameterrummet till det verkliga rummet ar mycket viktig. Som namndes i inledningen anvands nastan alltid s.k. isoparametrisk formulering, dvs. "allt" interpoleras pa samma s att, t.ex. geometri x = N x, elasticitetsmodul E = N E, area = N och vasentliga storheter u = N u. vbildningen utgor den enda vagen mellan rummen! Enklast ar naturligtvis att ga fran parameterrummet, eftersom kalkylen blir rattfram. Som exempel kan vi bestamma det x som motsvarar = for ett linjart 4 element med noderna i x = ochx = 3 och basfunktionerna N =( ( ); ( + )): = ( ) ( + ) x = N x = N N x x tt ga fran verkliga rummet till parameterrummet inneb ar daremot att vi alltid maste losa en ekvation. Vilket motsvarar x = i elementet ovan? Vi far =N x = N N x x = ( ) ( + ) = ( ) ( ) + ( + ) 3, = (5 +), = lltsa motsvarar = 3 i parameterrummet x = i verkliga rummet. 5 Eftersom basfunktionerna ar polynom och vi ofta kommer att integrera dem kan det vara bra att ha en lathund for detta. Fordelen med parameterrummet ar bl.a. att integrationsgranserna alltid ar och, varfor = 9 8, n d =[ n+ n + ] = ( )n+ n + = +( )n n + = n+ om n ar jamn om n ar udda Exempel.: estam R d med hjalp av lathund. Vi far direkt d = d = =

24 (a) N = ( ) (b) N =(+)( ) (c) N 3 = ( + ) Figur 3: Kvadratiska basfunktioner i parameterrummet. agg speciellt marke till integration av en konstant. Vi har ju namligen enligt potenslagarna att = alltid, varfor R kd = R k d = R k d = k + =k Exempel.3: estam R dn NT d d dar N =(( ); (+ )) ar basfunktionerna. Vi far R NT dn d d = R = flathundg = 4 ( ) (+ ) d = R + = + Integraler av denna typ, dar integranden byggs upp som produkter av basfunktioner och dess derivator, ar fundamentala i FEM ochaterkommer standigt i kommande kapitel. Notera speciellt det viktiga att alla matrismultiplikationer maste utforas innan man integrerar! R x Exempel.4: estam E x T dx; om = dn och N dx =(( ); (+ )): Om vi nu later beteckna elementets langd, dvs. = x x ; sa blir Jacobianen och J = dx d = X dni d x i = x + x = (x x) = ) dx = d = dn dx = J dn d = = Slutligen gor vi sa variabelsubstitutionen x! R R x E x T dx = E = E = E d = E d = R d vilket i kapitel 3 kommer att kannas igen som en styvhetsmatris. Vi behover inte begransa oss till linjar interpolation. I sjalva verket ar det fritt fram att valja gradtal, men storre an tva ar ovanligt. Kvadratisk interpolation, dvs. gradtal tva, ar daremot vanligt. Man brukar tala om hogre ordningens element. Fordelen med dessa ar att randerna pa elementet lattare anpassar sig till krokta rander, och darmed losningen. Detta betyder i allmanhet att vi behover farre element for att uppna onskad noggrannhet. For att kunna bestamma alla koecienterna i basfunktionerna maste vi ha lika manga noder i elementet som gradtalet+ och utnyttja egenskapen att N i ( j ) arettinod i och noll i ovriga. Exempelvis har vi basfunktionerna for ett endimensionellt kvadratiskt 3-noders element enligt Fig 3. Det na ar att avbildningen mellan rummen gar till pa precis samma satt som for det linjara elementet, dvs. u = N u = P n+ i= N i()u i ; dar n ar gradtalet pa elementet. ll elementanalys

25 blir darmed helt analog med vad vi lart oss i det linjara fallet. Enda skillnaden ar att ingaende vektorer far en annan langd. Gor garna om kalkylen i exempel.4 for ett endimensionellt kvadratiskt 3-noders element! (Se ovn.) Exempel.5: Nar man gar fran verkliga rummet till parameterrummet i ett element med kvadratisk interpolation maste de tva losningarna ; kontrolleras mot intervallet [ ; ]. Som exempel soker vi det som motsvarar x = i ett element med nodkoordinaterna x =( 3; 4; 8) T och basfunktionerna N =(N ;N ;N 3 )=( ( ); (+)( ); (+)). Vi far =N x = ( ) ( + )( ) (+) = ( ), = 3 ; = , Har ar det som duger eftersom ligger utanfor godkant intervall. Det kan handa att bada losningarna ligger i [ ; ]. I sa fall existerar inte nagon invers till avbildningen. Exempelvis om x =(; 5; 6) T,sa genereras x = 6 av bade = 7 och = 4.For att garantera entydighet 5 maste x [x + (x 4 3 x );x (x x )]. Tydligen uppfyllt for x =( 3; 4; 8) T, men inte for x =(; 5; 6) T..3 Nagot om tva och tre dimensioner Itva dimensioner (D) ar analysen helt analog med den i en dimension x = P N i (; )x i y = P N i (; )y i Pa samma satt som tidigare behover vi bestamma Jacobianen for att fa ett samband mellan derivatorna i de tva rummen. Kedjeregeln far nu utseendet eller pa matrisform Ni N i dar Jacobianen J = Vidare ar determinanten varfor inversen blir x x y y! N i N i! = N i x = N i x = x x x + N i y y x + N i y y y y! Ni x N i y och t.ex. x = X Ni x i = N x osv. det(j) = x y J = det(j) x y x y 6= y x och slutligen kopplingen mellan derivator i de tva rummen Ni N i x N i y = J N i!!

26 Figur 4: injart triangelelement. Figur 5: injart fyranoderselement. Viharnufatt ett enhetligt och eektivt satt att overfora och berakna derivator och integraler i parameterrummet for bade en-ochtvadimensionella problem. Vill man ha solida volymselement i tre dimensioner (3D) tillkommer z och i respektive rum, annars ar kalkylen identisk med den ovan for D. Speciellt uppskattar vi i tva och tre dimensioner att integrationsomradet ar fyrkantigt i parameterrummet samt att integrationsgr anserna alltid ar desamma, namligen och. Tank pa att elementarean e eller elementvolymen V e ; som dubbel- respektive trippelintegralen skall utstrackas over, nastan alltid ar oregelbundna. I alla praktiska sammanhang ar analysen darfor "omojlig" att genomfora i verkliga rummet. Vid evalueringen av integralerna anvands dessutom oftast numerisk integration, vilket kraver dessa "standardiserade" integrationsomrade. Vi aterkommer till detta senare. FE-programmen tillbringar alltsa mycket tid i parameterrummet, evaluerande transformationer av typen R x R f (x)dx = f (P N x R i ()x i ) det(j)d R f (x; y)dxdy = Re f (P P N R i (; )x i ; N i (; )y i ) det(j)dd R R f (x; y; z)dxdydz = RVe f (P P P N i (; ; )x i ; N i (; ; )y i ; N i (; ; )z i ) det(j)ddd Vanliga tvadimensionella element ar linjar triangel, Fig 4. och bilinjart 4-noders element, Fig 5. N T = N T = 4 ( )( ) ( + )( ) ( + )( + ) ( )( + )

27 Figur 6: Skalelement. Naturligtvis kan vi aven i D fallet konstruera element med kvadratisk interpolation, 6-noders triangel och 8-noders fyrhorning. Dessa kan dessutom, liksom de linjara ovan, representera skalstrukturer i rymden, 3D. Man avbildar da z-koordinaten pa samma satt som x och y, Fig 6. vslutningsvis aterstar bara att namna det som lasaren formodligen redan listat ut, namligen att alla element, t.ex. de i avsnitt.3, konstrueras utgaende fran samma enhetliga recept med avbildningen u = N u som huvudingrediens..4 Ovningar. Harled basfunktionerna N = (N ;N ) for ett linjart endimensionellt element, Fig. erakna vardet av N ( 3 )ochn 4 ( ): Svar: N ( 3 )= ;N 4 8 ( )= : 4. Ett linjart element har sina noder i x = ochx =3: Vilket varde har i punkten x =? Svar: = 5 : 3. estam for ett linjart element, dvs. N =( ( ); ( + )) och x = P Nixi; Svar: a) ( ), b) R R a) N dx b) 5 dn T 3 dn T dn R dx dx dx c),c) N T dn 5 dx dx d) R,d) 4 3. NNT dx R 4. estam dx fe(x)dn dx gdx for ett linjart element, dar arean (x) varierar isoparametriskt med () = och () = : Svar: E( + ) : 5. Harled N =(N ;N ;N 3 ), for ett endimensionellt kvadratiskt element, Fig estam Jacobianen J i punkten = for ett endimensionellt kvadratiskt element med noderna i x =(; ; 5) T : Svar: J( )=3: 3

28 Figur 7: Fjaderelement. 7. estam Jacobianens varde i punkten x = 3 for ett endimensionellt kvadratiskt element 4 med noderna i x =(; 5; ) T : Svar: J(x= 3 )=3: 4 8. For ett endimensionellt kvadratiskt element med noderna i ( ;a;5) T vill man att Jacobianen i = skall vara lika med arean under N i parameterrummet. estam a sa att detta uppfylls. Svar: a = : 3 9. Visa att om mittnoden placeras i mitten pa ett kvadratiskt element, dvs. x = x +x3, blir J = x 3 x = konstant.. estam Jacobianen J, det(j) och arean for ett linjart triangelelement med hornen i ; och : Svar: J = ; det(j) =7; = 7 jdet(j)j = 7 6 :. estam Jacobianen J och det(j) i punkten = for ett bilinjart 4-noderselement med hornen i ; ; och : Svar: J = 9, det(j) = :. Gor om exempel.4 ovan med E R x3 x T dx for ett kvadratiskt element med x = x +x Svar: E : Energimetod, matrisformulering 3. Potentiell energi Studera en fjader fast inspand i ena andan, Fig 7. Det brukar vara praxis att placera nodnummer inom fyrkantig ram och elementnummer inom rund ram. Om u ar forskjutningen i den fria noden kan vi teckna den potentiella energin for systemet W (u) = ku Fu dar forsta termen ar den inre (upplagrade) tojningsenergin i fjadern och den andra ar yttre lastens potential. Skilj pa forskjutning som ar foryttning av en punkt relativt ett xerat globalt koordinatsystem och deformation som ar ett matt pa hur tva punkter foryttas relativt varandra. Observera att alla forskjutningar och laster ar vektorer, varfor de anges och beraknas med tecken motsvarande vart globala koordinatsystem. 4

29 Figur 8: Tva fjaderelement i serie. For att komma vidare maste man kanna till en mycket viktig sats fran hallfasthetslaran om energimetoder, namligen den om potentiella energins minimum. Sats: En kropp deformeras under belastning sa att forskjutningsfaltet minimerar den potentiella energin samtidigt som randvillkoren uppfylls. Forskjutningsfalt ar samlingsnamnet pa hur varje punkt i modellen forskjuts under belastningen. Fran analyskursen kanner vi till att soka minimum ar det samma som att soka nollstalle till derivatan, vilket ger oss vanlig kraftjamvikt som sig bor dw du =) ku F =) u = F k 3. ssemblering Med forskjutning i fjaderns bada noder kan W tecknas W = k(u u ) F u F u Nu har vi tva oberoende variabler och nodvandigt villkor for minimum ar att bada partiella derivatorna ska vara noll W u =) k(u u ) F = W u =) k(u u ) F = eller pa matrisform, elementstyvhetssambandet 8 < k e kallas elementstyvhetsmatris k k u F = dar u e kallas elementforskjutningsvektor k k u F : {z } {z } {z } F e kallas elementlastvektor k e u e F e Nu gor vi om analysen med tva seriekopplade fjadrar med olika fjaderkonstanter, dvs. tva element, Fig 8. Potentiella energin W for de tva fjadrarna blir nu summan av dem, W respektive W : asterna som verkar pa noderna ser vi som bidrag fran respektive element. Om det varit balkar kunde det t.ex. varit snolast W = k (u u ) F u F u W = k (u 3 u ) F u F u 3 och som ovan 8 W < =) k (u u u ) F = W : =) k (u u u ) k (u 3 u ) F F = W =) k (u u3 3 u ) F = 5

30 eller pa matrisform, strukturstyvhetssambandet 8 k k u F < k strukturstyvhetsmatris k k + k k u = F + F dar u strukturforskjutningsvektor : k k u 3 F F strukturlastvektor {z } {z } {z } k u F Detta satt att strukturellt addera bidragen fran elementsambanden in i strukturstyvhetsmatrisen och strukturlastvektorn kallas assemblering. For att underlatta hanteringen brukar man tala om ett elements lokala nodnummer. Detar dessa lokala noder som basfunktionerna lever pa. Pa saviskanvipa ett enkelt satt tala om element i allmanhet utan att de ar utplacerade i den globala strukturen, dar vi har globala nodnummer. Oversattningen fran lokala till globala nodnummer brukar kallas topologi, ochar alltsa en information dar vi kan utlasa vilka noder varje element sitter fast i. Man brukar ibland saga att "elementet hanger i noderna...". I modellen ovan med tva fjadrar har alltsa elementsinalokalanoderochplaceradei globala noderna och och element sina lokala och ideglobala och 3. Koecienterna i k e skall alltsa adderas in i k pa"skarningen" mellan radnummer och kolonnummer motsvarande de globala nodnumren. F e i F pa motsvarande rader naturligtvis. ssemblering ar det faktiska sattet som FE-program anvander, vagen via potentiella energin ska mer ses som en harledning till nagot mera systematiskt som ar latt att implementera i en dator. k och F dimensioneras alltsa efter antalet frihetsgrader i systemet (k alltid kvadratisk!) och fylls med nollor. Om vi t.ex. ska bestamma temperaturen i en kropp har vi en frihetsgrad per nod, dvs. antalet frihetsgrader = antalet noder. Om vi daremot ska bestamma spanning och tojning i en skiva (D) har vi forskjutning i x och y led som frihetsgrader i varje nod, dvs. antalet frihetsgrader = x antalet noder. Exempelvis kommer kolonn 7 och 8 samt rad 7 och 8 i k da att associeras med frihetsgraderna i global nod 4. Darefter genomlops alla element, k e och F e beraknas och adderas in pa ratta stallen i k och F: Slutligen adderas alla yttre laster till F: Skilj pa dessa och F e! Yttre lasterna kommer utifran och belastar strukturen direkt i noderna. F e ar sadana som kommer via elementen in till noderna. Det kan vara en harn skillnad men F e kraver i alla fall information om elementets egenskaper, t.ex. geometri, densitet och elasticitetsmodul for att kunna bestammas. Dessa kallas ibland konsistenta nodlaster, vilket vi aterkommer till. Exempel pa sadana ar utbredda laster, centrifugallast och temperaturlast. I Fig 9 ser vi tydligt hur det gar till att assemblera tre element av olika utseende da vi har en frihetsgrad per nod. Globala nodnummer ar angivna utanfor elementen och lokala inuti. Vidare anvands (elementnummer) som superindex pa elementstyvhetsmatrisernas element och pa elementlastvektorernas komponenter. k () k () k () k () {z } element + k () k () 3 k () k () 3 k () 33 k () 3 k () k () 3 k () {z } element + 6

31 och till slut k (3) 33 k (3) 3 k (3) 3 k (3) 34 k (3) 3 k (3) k (3) k (3) 4 k (3) 3 k (3) k (3) k (3) 4 k (3) 43 k (3) 4 k (3) 4 k (3) 44 Figur 9: ssemblering av element. {z } element 3 = F () F () + {z } element k (3) 33 k (3) 3 k (3) 3 k (3) 34 k () +k() k () k () 3 k () k (3) 3 k (3) k (3) k (3) 4 k (3) 3 k () k (3) k () +k(3) k (3) 4 k (3) 43 k () 3 k (3) 4 k (3) 4 k () 33 +k(3) 44 k () 3 k () k () 3 k () F () F () 3 F () {z } element = + F (3) 3 F (3) F (3) F (3) 4 {z } element 3 F (3) 3 F () +F () F (3) F () +F (3) F () 3 +F (3) 4 F () Detta strukturstyvhetssamband saknar losning, dvs. det ar singulart, pa grund av att det innehaller stelkroppsrorelse. For att det ska bli losbart maste vi applicera randvillkor, dvs. foreskriva varden hos en eller era frihetsgrader. Det har da enentydiglosning u, ochvidoper u = N u till forskjutningsfalt. Entydigheten grundar sig pa den tidigare namnda potentiella energin som ar en s.k. kvadratisk form. For andra problemtyper ar entydigheten inte alltid sjalvklar. W (u) = ut ku u T F W u = ) ku = F Exempel 3.: estam forskjutning i nod och 3 samt reaktionskraften i nod, Fig 3. Vi far direkt k e = F e = k e =5 F e = ssemblering: En frihetsgrad per nod. Forsta elementets lokala noder och motsvarar globala och. ndra elementets lokala noder och motsvarar globala och 3. Gl om inte den yttre 7

32 Figur 3: Modell med tva fjaderelement. lasten N i nod 3, samt reaktionskraften i nod u u u 3 = R Infor randvillkoret u = och eliminera denna rad u u 3 = varav u = mm u 3 3 Slutligen erhalles reaktionskraften (och alla andra nodlaster) genom matrismultiplikationen ku = = N agg marke till att alla forskjutningar och laster ar vektorer, varfor de anges och beraknas med tecken motsvarande vart globala koordinatsystem. Strangt taget ar det inte nodvandigt att ta med den okanda reaktionskraften R inodfran borjan (yttre last). nledningen till att denna inte behover tas med ar det faktum att for varje frihetsgrad, dvs. varje rad, i systemet maste antingen frihetsgraden sjalv foreskrivas eller lasten pa hogersidan, inte bada utan exakt en. Den andra beraknas sedan av ekvationssystemet. Tva kontroller pa att man r aknat ratt ar enkla att gora och bor darfor alltid goras! For det forsta ska alla kanda nodlaster pa hogersidan aterskapas vid matrismultiplikationen ku och for det andra ska ju summan av alla nodlaster vara noll. nnars har vi stelkroppsrorelse. Har ar som synes bada kontrollerna uppfyllda. Exempel 3.: estam forskjutning inodiexemplet ovan, samt reaktionskraften i nod och3omnod3foreskrivs en forskjutning u 3 = mm och en kraft N angriper i nod, Fig 3. Eftersom strukturen ar densamma ar det bara hogerledet som andras u u u 3 Infor randvillkoren u =ochu 3 =. Rad ger direkt = +5u 5 ( )= R R 3 varav u = 5 mm 8

33 Figur 3: Modell med tva fjaderelement och forskjutningsrandvillkor. Figur 3: Modell med tre fjaderelement. Slutligen erhalles reaktionskrafterna (och alla andra nodlaster) genom matrismultiplikationen ku = = 5 N 5 5 Glom inte kontrollerna! Exempel 3.3: estam forskjutning i nod och 3, samtreaktionskraften i nod och 4 om en kraft pa N angriper i nod 3, Fig 3. Medk e = k som vanligt far vi assembleringen u R u u 3 = 3 3 u 4 R 4 Infor randvillkoren u =ochu 4 =.Radoch3gerdirekt +6u u 3 3 = u +u 3 + = varav u = 5 mm u 3 3 Slutligen erhalles reaktionskrafterna (och alla andra nodlaster) genom matrismultiplikationen 5 ku = = N

34 Figur 33: Stangelement. Glom inte kontrollerna! Exempel 3.4: Harledning av elementstyvhetssambandet for en vanlig stang, Fig 33. d jamvikts samband = dx tojning-forskjutnings samband " = du dx konstitutivt samband = E" 9 = ; ) d u = dx Denna dierentialekvation integreras direkt till u = c x + c : Integrationskonstanterna ges av randvillkoren u() = u ;u() = u ; varav u = u + u u du x: Vi ser att tojningen " = = dx u u ar konstant (och darmed spanningen). Med hjalp av denition pa spanning, = F ; och konstitutiva sambandet ovan far vi till slut elementstyvhetssambandet f or stangen E u u = Vi kanner igen en fjader med fjaderkonstanten k = E : Element med konstant tojning var de forsta elementen man anvande. Det tva dimensionella triangelelementet ar klassiskt och kallas ST (onstant Strain Triangle). Se nasta avsnitt. F F 3.3 Triangelelementet ST (onstant Strain Triangle) Nar man ska harleda elementstyvhetssamband for mer komplicerade element inom hallfasthetslaran utgar man ofta fran energisamband. I fallet ovan med "-konstant stang blir det enkelt W =inre tojningsenergi + yttre lasternas potential W = E R " dx u T F varav efter integration W (u ;u )= E u u uf uf Detta kan skrivas pa matrisform (visa detta!) W (u ;u )= u u E u u F u u F 3

35 Figur 34: ST-element. dvs. vi har den kvadratiska formen enligt ovan W (u) = ut k e u u T F e W u = ) k eu = F e Nar vi har ett erdimensionellt problem ar tojningen " inte langre en skalar utan en matris. Den potentiella energin far nu istallet formen W = V " T D"dV V u T fdv dar D ar den konstitutiva matrisen, dvs. lost talat Hookes lag = E" i era dimensioner, och f volymslaster, allt integrerat over den kropp man studerar. iksom for stangen ovandoljer sig elementstyvhetsmatrisen i den forsta integralen. Vi ska harleda denna for ett triangulart skivelement (D) med linjar forskjutningsansats och konstanta materialparametrar. T ojningarna kommer da liksom i exemplet ovan att bli konstanta i elementet, d arav namnet ST (onstant Strain Triangle). Detta var ett av de forsta elementen som sag dagens ljus i mitten av 5-talet. Det betraktas darfor som lite klassiskt och anvands an i dag med framgang. Vi skall alltsa studera ST-element, Fig 34, utlagt i planet med tillh orande koordinatsystem. For att kunna beskriva laget for en nod behover vi tva oberoende forskjutningsfrihetsgrader, kalla dem u i x-riktningen och v i y-riktningen. Vi har darmed tva frihetsgrader per nod. Elementet har alltsa totalt sex frihetsgrader och vi samlar dem i en elementf orskjutningsvektor q =(u ;v ;u ;v ;u 3 ;v 3 ) T Eftersom vi har linjar forskjutningsansats kan vi direkt hamta basfunktionerna fran avsnitt.3, Fig 4, N T = N N N 3 = Som vanligt anvander vi isoparametrisk formulering, dvs. alla storheter i elementet interpoleras pa samma satt. Fortsattningen foljer nu precis upplagget i avsnitt.3. Vi borjar med 3

36 avbildningen fran parameterrummet till verkliga rummet av elementets koordinater x = P N i (; )x i = N x + N x + N 3 x 3 = N y = P N i (; )y i = N y + N y + N 3 y 3 = N sedan pa samma satt forskjutningar i elementet u = P N i (; )u i = N u + N u + N 3 u 3 = N v = P N i (; )v i = N v + N v + N 3 v 3 = N x x x 3 y y y 3 u u u 3 v v v 3 = N x = N y = N u = N v Vi drar oss till minnet Jacobianen J = x y x y! dar t.ex. x = X Ni x i = N x osv. som i vart linjara element blir konstant (visa detta!) J = x x 3 y y 3 x x 3 y y 3 Jacobianen hjalper oss nu att koppla derivator av vilken storhet som helst ( ) mellandetva rummen. x = J y Fran hallfasthetslara vet vi att spanningen T =( x ; y ; xy )ochtojningen " T =(" x ;" y ; xy ) kopplas via det konstitutiva sambandet = D", dar den konstitutiva matrisen D vid plant spanningstillstand har utseendet D = E och vid plant deformationstillstand D = E( ) (+ )( ) ( ) dar som vanligt E ar elasticitetsmodulen och Poissons tal. Slutligen kopplas tojningen till forskjutningarna i elementet enligt " = u x v y u y + v x 3

37 Denna kan omskrivas till mer passande form " = = u x v y u y + v x = = q = J J u u N N + u + u x u y + J J v v N N v x v y dar kallas tojningsmatrisen och denieras av sista likheten. Elementf orskjutningsvektorn q ar denierad ovan och [ ] betyder blockmatris. Efter en liten kalkyl kan man visa att (g or det garna!) = det(j) v y y 3 y 3 y y y x 3 x x x 3 x x x 3 x y y 3 x x 3 y 3 y x x y y Vi ar nu antligen mogna att vaska fram elementstyvhetsmatrisen ur den f orsta integralen i uttrycket for potentiella energin ovan X " T X D"dV = (q) T X Dq dv = q T T Dq dv = V V e V e qt T D dv q V e varav slutligen identieras k e = T D dv V e Exempel 3.5: estam k e for ett ST med konstant tjocklek t i plant spanningstillstand. Data: E = 5 N=mm ; =:3;t =mm; x T =(; 3; ) mm; y T =(; ; ) mm. Eftersom ; D och elementets tjocklek t ar konstanta far vi dar ar elementets area = jdet(j)j = k e = det( x x 3 y y 3 V e T D dv = T D t ) x x 3 y y 3 = det( Den konstitutiva matrisen D vid plant spanningstillstand blir D = och tojningsmatrisen = E det(j) = 6 = 5 : :66 :66 : :77 ) = 6 = 3 mm N=mm y y 3 y 3 y y y x 3 x x x 3 x x x 3 x y y 3 x x 3 y 3 y x x y y 3 3 =mm 33

38 Figur 35: Elektriskt natverk. Figur 36: Varmeode. Slutligen far vi sa efter matrismultiplikation :59 :48 : :8 :38 :66 :88 :9 : :77 : k e = T D t = 5 :98 :95 :77 :66 :98 :77 : N=mm sym :5 3:3 Detta ar alltsa densokta elementstyvhetsmatrisen. Den ar som synes av typen 6 6 som sig bor. agg noga marke till att raderna och kolonnerna hanfor sig till elementforskjutningsvektorn q T =(u ;v ;u ;v ;u 3 ;v 3 ) ovan. Detta ar viktig information vid assembleringen! 3.4 Nagra andra problemtyper Den enkla form av elementstyvhetsmatris som vi har sett ovan, dvs. k e = k,som ju dessutom ar exakt i forhallande till den fysikaliska beskrivning vi har av problemet, ar mycket vanlig inom en rad endimensionella problem, t.ex. Elektriskt nat; Fig 35: R u u = i i dar R = resistans u = potential, dvs. spanning i = strom 34

39 Figur 37: Torsion av balk. Figur 38: Potentialstromning. Varmeode genom vagg; Fig 36: k T T = q q Torsion av balk; Fig 37: GKv dar k = varmekonduktivitet = area = tjocklek pa vaggen T = temperatur q = varmeode = M M dar G = skjuvmodul K v = vridstyvhetens tvarsnittsfaktor = langd pa balken = vridningsvinkel M = vridmoment Potentialstromning; Fig 38: d 4 8 p p = q q dar d = diameter pa roret = viskositet = langd pa roret p = tryck q = ode Det nns manga er, valvning av balk, ode i porosa material osv. Exempel 3.6: Elektriskt natverk, Fig 39. Med k e = R u u u 3 u 4 = i i i i 4 far vi assembleringen 35

40 Figur 39: Exempel 3.5: Elektriskt natverk. Infor randvillkoren u = 4V; u 3 =9V; u 4 =ochi = eftersom ingen yttre strom appliceras dar, Kirchhos lag. Rad ger nu direkt u = varav u =6V Slutligen erhalles "reaktionsstrommarna" (och alla andra nodstrommar) genom matrismultiplikationen (Glom inte kontrollerna!) i = ku = = 4 6 Vi kan aven latt se eektutvecklingen i varje komponent. Tillsammans ska de ju vara lika med den yttre tillforda eekten P y = u T i 4 = eektutvecklingen fas som P i = P element u T e k eu e = = 6 6 = = W = W: Den inre som sig bor. Om batterierna inte "hanger pa jord" blir randvillkoren istallet av typen u j = u i + u, Fig 4. Denna typ av koppling ar exempel pa sa kallade "multifreedom constraints" som vi kommer att behandla under kapitlet randvillkor. Exempel 3.7: estam temperaturen mellan de tva skikten i vaggen, Fig 4. Om vi studerar en enhetsarea av vaggen, dvs. =mm far vi k = k 4 =

41 Figur 4: Multifreedom constraints. Figur 4: Varmeode genom vagg. och assembleringen T T T 3 = Infor randvillkoren T = 8 ; T 3 = och q = eftersom ingen varme tillfors dar. Rad ger nu direkt ( 8) T 5 5 = varav T = 3 Slutligen erhalles varmeodet per enhetsarea q = kt = q q q = 4 W och for hela "huset" genom att multiplicera med dess area. 3.5 Ovningar. estam forskjutningar samt reaktionskrafter, Fig 4. Svar: u =(; 7 ; )T ; F =( 5 ; ; 7 7 )T :. estam forskjutningar samt reaktionskrafter, Fig 43. Svar: u =(; 36 5 ; 9 5 ; 9 5 ; )T ; F =( 8 5 ; ; ; 3; 8 5 )T : Figur 4: Ovning 3. 37

42 Figur 43: Ovning 3. Figur 44: Ovning estam temperaturfordelningen i vaggen, dvs. temperaturen mellan skikten, samt varme- odet, om k v = W=mm och k w = W=mm, Fig 44. Svar: T =(; ; ; )T ; q =( ; ; ; )T : 4. estam vinklar och reaktionsmoment, om GKv = ; respektive 3 raknat fran vanster, Fig 45. Svar: ' =(; ; 4; )T ; M =( ; ; ; )T : 5. Tre noder ligger pa x-axeln och numreras fran vanster. estam forskjutningar och reaktionskraft, Fig 46. Svar: u =(; 55 6 ; 5 6 )T ; F =( 5; ; 5) T : 6. Fyra noder ligger pa x-axeln och numreras fran vanster. estam forskjutningar och reaktionskraft, Fig 47. Svar: u =(; 5; 375; )T ; F =( 5; ; ; 5) T : 7. Fyra noder ligger pa x-axeln och numreras fran vanster. estam forskjutningar och reaktionskraft, Fig 48. Svar: u =(; 5 6 ; 5 ; 5 )T ; F =( 5; ; ; 5) T : 8. Tre noder ligger pa x-axeln och numreras fran vanster. estam forskjutning i nod och reaktionskrafter, Fig 49. Svar: u =(; 8; 3 )T ; F =( 8 ; ; 3 3 )T : 9. estam spanningar och strommar, Fig 5. Svar: Med nodnumrering enligt exempel 3.6, blir u = (; 4; 5; ) T ; i =( 5 ; ; 5 ; )T : Figur 45: Ovning

43 Figur 46: Ovning 3.5 Figur 47: Ovning 3.6 Figur 48: Ovning 3.7 Figur 49: Ovning 3.8 Figur 5: Ovning

44 Figur 5: Ovning 3. Figur 5: Ovning 3.. estam spanningar och strommar, Fig 5. Svar: Med t.ex. nodnumrering blir u =( 75 4 ; 35 8 ; ; ; 75 8 )T ; i =(; ; 65 8 ; 65 8 ; )T : at k e u e = F e,dar u e =(; ') T och F e =(F; M) T : estam sedan elementstyvhetsmatri- sen k e med hjalp av elementarfall, Fig 5. Svar:k e = EI :. at k e u e = F e, dar u e = ( ;' ; ;' ) T och F e = (F ;M ;F ;M ) T : estam sedan elementstyvhetsmatrisen k e med hjalp avelementarfall, Fig Svar: k e = EI 3 6 sym 4 : 3. estam och ' vid lasten samt reaktionskrafter, Fig 54.Svar:u =(; ; 6 37 ; 9 ; ; )T ; F =( 39 9 ; 4 7 ; ; ; 9 9 ; 34 9 )T ; med noder numrerade fran vanster och positiva riktningar enligt uppgift. 4. estam vid samt ' vid och. estam darefter reaktionskrafter, Fig 55. sa Figur 53: Ovning 3. 4

45 Figur 54: Ovning 3.3 Figur 55: Ovning 3.4 Svar: u =(; ; ; F ; 7F3 ; 3F 4EI EI 4EI )T ; F =( 3F ; F ; 5F ; ; F; )T ; med noder numrerade fran vanster och positiva riktningar enligt uppgift. 5. estam forskjutningen av horisontalen, Fig 56. Svar: = F3 4EI : 6. estam och ' vid och, Fig 57. edning och svar: alkarna ar mycket styva i axiell led, dvs. = : at u = ( ;' ;' ) T dar positiv riktning ar at hoger respektive moturs sa blir k = EI 3 + EI 3 6EI 6EI 4EI 6EI + 4EI EI 6EI EI 4EI + 4EI : Yttre lasten F =(; M; ) T varav slutligen u = M 84EI (3; 3; )T : 7. estam och ' vid ; och, Fig 58. edning och svar: alkarna ar mycket styva i axiell led, dvs. upp = upp : at u =( ;' ;' ; ;' ) T dar positiv riktning ar uppat, at hoger respektive moturs sa blir k = 3EI 3 + EI 6 3EI 3 6 3EI + 6 EI 4 3EI + 4 4EI a 6 EI EI + 6 EI + 4 EI 6 EI EI 4 EI 6 4EI a 4EI a 6 4EI a 4EI a 4EI a 3 6 4EI a 6 4EI a 4 4EI a : Figur 56: Ovning 3.5 4

46 Figur 57: Ovning 3.6 Figur 58: Ovning 3.7 Yttre lasten F =(; ; ; F; ) T varav slutligen u = F 48EI (8a ; 8a; 6a; a (7a+ 4);a(5a +8) T : 8. estam och ' vid och samt ' vid. Ersatt den utbredda lasten med ekvivalenta stodkrafter i noderna. Dessa blir da s.k. konsistenta nodlaster vilket vi aterkommer till senare i kursen, Fig 59. edning och svar: alkarna ar mycket styva i axiell led, dvs. = : at u =( ;' ;' ;' ) T dar positiv riktning ar at hoger respektive moturs, sa blir k = EI + EI 3 (3) 3 6EI (3) 6EI (3) 4EI + 4EI 3 6EI EI 6EI 6EI 6EI EI 4EI + 4EI EI EI 4EI Yttre lasten F =( q 3 ; ; ; )T varav slutligen u = q3 (538; 54; 5; 78EI 35)T : 9. Implementera ST i Mathematica eller Matlab och analysera en konsolbalk under punktlast med avseende pa dimensioner och antal element. Jamfor med elementarfall. : Figur 59: Ovning 3.8 4

47 Figur 6: Exempel Randvillkor 4. Inledning Som vi har sett tidigare betyder randvillkor (constraints)att vi l agger onskade villkor pa en eller era frihetsgrader och/eller yttre laster. Vanligast ar frihetsgrader. I detta kapitel ska vi se lite mer systematiskt pa hur detta gar till. Vi borjar med situationen da enellererau i ar foreskrivna explicit, sa kallade single-freedom constraints (SF), for att darefter behandla mer avancerade kopplingar mellan frihetsgrader, multifreedom constraints (MF). 4. Partionering av systemet Detta ska mest ses som en teoretisk metod som visar att vi alltid kan best amma de frihetsgrader som vi inte har foreskrivit, vilket bygger pa det faktum att for varje frihetsgrad i systemet maste antingen frihetsgraden sjalv foreskrivas eller lasten pa hogersidan, inte bada utan exakt en. osningen till ett ekvationssystem andras ju inte om vi sorterar om ekvationerna i en annan ordning. v samma anledning kan vi sortera om frihetsgraderna sa att t.ex. de f oreskrivna hamnar sist i den globala forskjutningsvektorn. Vi infor index r (required)for de obekanta frihetsgraderna och lagger dem forst i den globala forskjutningsvektorn. Samma index ger vi deras associerade yttre laster. De f oreskrivna frihetsgraderna och dess associerade laster ger vi index g (given). Vi far da ensa kallad partionering k gr k gg u g av systemet krr k rg ur Forsta ekvationen ger direkt k rr u r + k rg u g = F r = Fr F g Har ar ju F r och u g kanda, varav de sokta frihetsgraderna u r = k rr (F r k rg u g ) Sedan fas de till u g associerade reaktionskrafterna F g = k gr u r + k gg u g Exempel 4.: Tva stanger med styvheterna E ) = N=mm och ( E ) = 4N=mm: Yttre laster F =N; F 3 = 3N samt randvillkoret u =, Fig 6. Vi kommer ihag elementstyvhetssambandet (obs lokala nodnummer!) 43

48 E u u = F F och far direkt assembleringen u u u 3 = F 3 samt efter omsortering av ekvationer och obekanta u u 3 u = 3 F Vi kan har identiera de olika matriserna som ingar i partioneringen >< k rr = k 4 4 rg = u >: u r = u g =(u ) F r = 3 u 3 k gr = k gg = () F g =(F ) och berakna u r och F g med uttrycken ovan 6 4 u r = F g = + () () = () 8 () = Eliminering Detta ar det vanligaste och ur numerisk synpunkt oftast det mest stabila s attet att administrera losningen. Man valjer att forst bestamma alla okanda u i genom att eliminera de kanda, darefter beraknas alla F ur F = ku. k k k 3 k k k 3 u u = F F k 3 k 3 k 33 u 3 F 3 ntag att u = u ar given. Eliminera denna genom att stryka rad samt subtrahera u ganger kolonn fran bada sidor. De okanda u och u 3 kan nu direkt bestammas ur det nya ekvationssystemet k k 3 u F k u = k 3 k 33 u 3 F 3 k 3 u Vi ser latt hur detta kan generaliseras vid era givna u. + systemet har exakt sa manga obekanta vi soker kraver administration i datorn som kan bli komplicerad, speciellt vid MF, se nedan 44

49 4.4 Strametod Har utgar man direkt fran energifunktionalen och adderar en positiv term som blir mycket stor om inte randvillkoren uppfylls, s.k. penalty method. pplicerat pa u = u given far vi W (u) = ut ku u T F + (u u ) dar ar ett mycket stort tal, s.k. penalty factor. Nar vi nu som vanligt deriverar W for att soka minimum kommer denna process att kanna av om inte randvillkoret uppfylls och darmed leverera onskat resultat. Randvillkoren uppfylls inte exakt men blir allt b attre ju storre ar. Eekten av stratermen blir att diagonaltermen samt hogerledet korrigeras enligt k k k 3 k k + k 3 k 3 k 3 k 33 u u u 3 = F F + u Notera att vi nu loser ekvationssystemet med avseende pa samtliga ui, trots att u ar kand. Speciellt kommer den att fa utseendet u = F + u k u k 3 u 3 k + Om nu ar tillrackligt stort sa att det dominerar over alla andra koecienter kommer randvillkoret att uppfyllas med god noggrannhet och i grans galler naturligtvis lim! u = u + enkel att implementera i dator + enkel att generalisera till era foreskrivna frihetsgrader + enkel att generalisera till mer komplicerade randvillkor kan ge numeriska problem vid ekvationslosningen om illa valt reducerar inte antalet obekanta, trots att vi kanner randvillkoren Metodens arbetssatt kan latt illustreras i en dimension, Fig 6. Tag funtionen y(x) = (x ) som antar minimum for x =, men vi vill att det ska antas for x =4istallet. Darfor lagger vi till en straterm y(x) = (x ) + (x 4) : I guren ser vi tydligt hur den onskade eekten uppnas for allt okande varde pa : Vissa intressanta geometriska iaktagelser kan goras, namligen att alla kurvor gar igenom den nya minpunkten, som ligger pa ursprungskurvan, och har sammanfallande tangenter dar. Strametoden kan latt generaliseras till mer avancerade kopplingar mellan frihetsgrader, s.k. multifreedom constraints (MF). Inte sallan ar det sa att frihetsgrader behover foreskrivas ett inbordes beteende utan att for den skull vara kanda till storlek, t.ex. cyklisk symmetri, kontaktproblem, Fig 6. ntag att kopplingen beskrivs av sambandet u = Om inte detta uppfylls har vi felvektorn u. angden av denna vektor ar alltid ickenegativ, sa Infor nu detta som tidigare (u ) T (u ) F 3 W (u) = ut ku u T F + (u )T (u ) 45

50 Figur 6: Penalty magic. Figur 6: Tillampning da penalty kan behovas. 46

51 Figur 63: Exempel 4. Derivation ger nu extremvarde pa u W(u) u = ku F + T (u ) = eftersom, (kom ihag att ( + ) T = T + T och () T = T T ) (u u )T (u ) = u ((u)t T )(u ) = u (ut T T )(u ) = u (ut T u u T T T u + T )= T u T T + = T u T = T (u ) Vi ser att stratermen kan tolkas som ett articiellt element som kopplar frihetsgraderna i sina noder precissom ett vanligt element gor det, och identierar k MF = T och F MF = T Detta articiella element assembleras som vilket annat element som helst. Vi har alltsa fatt ett valdigt smidigt och enhetligt satt att applicera bade enkla och kopplade randvillkor. Exempel 4.: En stang med foreskriven forskjutning vid vaggen, u =, Fig 63. For enkelhetsskull later vi alla frihetsgrader vara med vid tecknandet av och. I verkligheten deltar naturligtvis endast de frihetsgrader som ar inblandade, dvs. vi skapar ett articiellt element som "hanger" i de frihetsgrader som ingar i vara kopplingsvillkor. Vi far alltid lika manga rader i och som vi har villkor, alltsa u =, u = {z } u {z } {z } u och efter identiering = = Nu aterstar att bestamma k MF, F MF, assemblera, samt losa ekvationssystemet. lltsa k MF = T = = F MF = T = = = sa k u u + u u = F + 47

52 Figur 64: Exempel 4.3. k + k k k u u = F Samma resultat far vi naturligtvis om vi anvander uttrycket W(u) = ovan u u T k + ( u ()) = u F u u u k + ( )= u F u k + k u = k k u F varav slutligen losningen med gransovergang u + F = u + F (+k)! + F ; da!: k k Exempel 4.3: Tre lika styva stanger ar forskjutna i forhallande till en vagg, u = ; med utvaxlingsvillkor mellan nod och nod 3, u =u 3 ; Fig 64. agg marketillattvienkelttar hand om samtliga randvillkor, bade enkla (SF) och kopplade (MF), n ar vi tecknar u u = u u 3 =, u u 3 = {z } {z } u 4 Vi far k MF = T = F MF = T = och assemblering k u u u 3 u 4 + = 4 48 = = u u u 3 u 4 4 = F +

53 vilket hyfsas till k + k k k + k k k +4 k k k u u u 3 u 4 = F Notera aterigen att vi loser ekvationssystemet med avseende pa samtliga u i.nar det galler krafter sa assembleras endast kanda sadana. Reaktionskrafter och tvangskrafter sattes till noll. Dessa beraknas efterat,som tidigare,med F = ku, dar naturligtvis aven de kanda krafterna ska aterskapas som vanligt. I detta fall kan den symboliska losningen enkelt fas med nagot symbolbehandlande program, exempelvis Mathematica. Inte ovantat blir den omfattande och svaroverskadlig. v intresse kan istallet vara att med samma program studera hur losningen konvergerar for okande : Satt t.ex. k = ;F = och = 3 sa erhalles foljande tabell u u u 3 u 4 3: 3: : 3: :9869 :896 :46346 :46346 :9983 :88 :4639 : :9998 :88 :464 :464 4 :99998 :8 :46 :46 5 3: :8 :4 :4 6 3: :8 :4 :4 7 3: :8 :4 :4 Vi ser att bade foreskrivna och kopplade randvillkor uppfylls. I praktiken valjs naturligtvis ett stort varefter det articiella kopplingselementet assembleras som vilka andra element som helst. Till slut far vi aven de "konvergerade" nodlasterna F = ku =(:; :; :4; ) T med summan lika med noll,som sig bor.vikanhar direkt avlasa vilka nodkrafter som kravs for att astadkomma utvaxlingsvillkoret mellan nod och 3. Exempel 4.4: I detta exempel ska vi studera ett kontaktproblem i form av ett krympforband,fig 65. Ett kugghjul ska namligen pressas pa en axel. Eftersom deformationerna ar sma i kontaktzonen for de tva detaljerna blir kraft-deformationssambandet linj art,dvs vi kan betrakta dem som fjadrar. I bilden ser vi axeln representeras av fjader och kugghjulet av fjader. Vi valjer uppat som positiv riktning pa forskjutningar u. Det forutbestamda greppet ska nu fordelas pa u och u 3 sa att noderna och 3 bringas i kontakt. Fordelningen dem emellan avgorsavfjaderstyvheterna k och k. Om vi konsulterar en larobok i hallfasthetslara eller maskinelement (gor det!) nner vi foljande uttryck pa radiella forskjutningen i kontaktzonen for ett nav med innerdiametern d och ytterdiametern D. u nav = pd E ( )( d D ) ++ ( d D ) dar p ar kontakttrycket samt E elasticitetsmodulen och Poissons tal som vanligt. Motsvarande formel for en homogen axel ar u axel = pd ( ) E 49

54 Figur 65: Exempel 4.4. Om vi satter forbandets bredd till och kallar kontaktkraften for F kan vi identiera k och k unav = F d d ( )( d D ) ++ = E ( d D ) E u axel = F d d E ( ) = E F = k F ( )( d D ) ++ ( d D ) F = k F Problemet ska naturligtvis losas med MF. Ur randvillkoren identierar vi och. 8 u < u = u u 4 =, : u 3 = u 3 u = {z } u 4 {z } varav k MF = T = F MF = T = = = Nu ar det bara att assemblera de tva fjadrarna samt slutligen MF-elementet som kopplar dem samman. k k u u k k u k k u 3 + u u 3 = + k k u 4 u 4 vilket hyfsas till k + k k k + k + k k k + u u u 3 u 4 = 5

55 Figur 66: Exempel 4.5. Med t.ex. d =5mm; D =5mm; =5mm; E = 5 N=mm; =:3; =:mm och = 5 far vi : :7 7 u :7 7 : u 5 9: :6 6 u 3 = 3 3 9:6 6 9: u 4 som har losningen u =(; :6; :74; ) T mm Vi ser att bade foreskrivna och kopplade randvillkor uppfylls. Till slut far vi aven nodlasterna F = ku = (7; 7; 7; 7) T kn dar ju kontaktkraften kan utlasas. Denna kan naturligtvis direkt oversattas till ett yttryck for kontroll att inga otrevliga spanningar upptrader. Vi noterar slutligen att totala summan av nodlasterna liksom over varje fjader ar lika med noll, som sig bor. Exempel 4.5: Glidkontakt mellan tva kroppar ar ett inte helt ovanligt randvillkor som ar svart att realisera utan strametod, Fig 66. ntag att tva kroppar tillats glida lite grann i forhallande till varandra. For enkelhets skull antar vi dessutom att de har sammanfallande noder i kontaktytan. For varje par av noder j; k pa debada kropparna som ar i kontakt med varandra maste da galla att forskjutningsvektorn i noden ska ligga i den andra kontaktytans tangentplan, alltsa u j i T k och u k i T j. Dessa kravformuleras enklast som att forskjutningsvektorn ska bilda rat vinkel med normalen till tangentplanet n T k u j = n T j u k = Om ytorna ar "snalla" och i kontakt ar det rimligt antagande att tangentplanen sammanfaller och darmed n j = n k = n jk : Pa matrisform far vi da kopplingsvillkoret dar vi direkt kan identiera samt att = : n T jk uj n T = jk u k {z } Notera att inte ar kvadratisk, ty vid t.ex. tva dimensionellt problem med f orskjutningar i x- 5

56 och y-led har vi varav k MF = T = njkx n jky n jkx n jky {z } n jkx n jky n jkx u jx u jy u kx u ky = njkx n jky n jkx n jky = n jky n jk x n jkx n jky n = jkx n jky n jk y n jk x n jkx n jky n jkx n jky n jk y och F MF = T = Man kan utvidga sambanden ovan sa att noderna tillats glida lite l angre langs elementranderna pa den andra kroppen, t.ex. glidlager. ven bidrag fran friktion kan inkluderas i formuleringen. En annan ofta onskad eekt ar att kropparna tillats lamna varandra, skalarprodukten i grundsambandet ovan kommer da att innehalla en olikhet i stallet for en likhet. Harledningarna i dessa fall blir nagot tekniska, dock ar grundiden den samma som ovan. Exempel 4.6: I ett D problem med forskjutningsfrihetsgrader i x- och y-riktningarna vill man begransa en nod till att bara kunna rora sig langs vaggen 3x y =5: estam k MF och F MF : Om vi antar att noden har globalt nodnummer i och forskjutningarna, dvs. nodens frihetsgrader, i x- ochy-riktningarna ar u i respektive v i far vi 3u i v i =5, 3 {z } ui v i {z } u = 5 {z } dvs. efter identiering = 3 = 5 varav k MF = T = 3 = F MF = T = 5 = som assembleras in pa nodens frihetsgrader. Exempel 4.7: vslutningsvis tittar vi pa hur en konsolbalk bestaende av tva element med stod under mittnoden tvingas pa plats med hjalp av strametod, Fig 67. Samtliga randvillkor, dvs. = ' = vid vaggen och = vid stodet, hanteras med ett enda virtuellt "straelement". Data: alkens langd =m, EI =Nm och F =N: Vi ser tydligt eekten av okande! Resultatet for = ser lite lustigt ut och har givetvis inget med verkligheten att gora, utan indikerar helt enkelt att just ar for litet! I praktiken ar 5

57 Figur 67: Exempel 4.7. det inte fel att oka tills dess man inte ser nagon forandring. Vid jamforelse med exakt losning, se ovning 3.5.4, visar det sig att redan for = 5 har vi mycket god overensstammelse. ' ' 3 ' 3 Exakt = 5 : : : :5 :5834 : agrange multiplikatormetod Ett alternativ till strametoden som inte innehaller ett "godtyckligt" ar att pa ett snarlikt satt bilda den s.k. agrangefunktionen (u; )= ut ku u T F + T (u ) dar ar en vektor med okanda agrangemultiplikatorer, lika manga som antalet kopplingsvillkor. Det hela loses genom att soka extremvarde till med avseende pa den utokade mangden obekanta. iksom vid strametoden betraktar vi samtliga u i och j som obekanta, ochassemblerar endast kanda krafter. Ovriga sattes till noll. Reaktionskrafter, tvangskrafter ochkanda beraknas som vanligt efterat. Minimering ger u = = ) k T u = F Som synes har vi fatt ett storre ekvationssystem. Nagot samre jamfort med strametod alltsa. Men a andra sidan behover vi inte berakna k MF och F MF med ett val valt sa att god 53

58 noggrannhet uppnas, utan att stalla till numeriska problem for ekvationslosaren. Helt bekymmersfri ar dock inte den utokade koecientmatrisen vid agrangemetoden heller. Eftersom den inte langre ar positivt denit, dvs. har inte nagot minimum utan stationara vardet antas i en sadelpunkt, stalls det har andra speciella krav pa ekvationslosaren. agrangemultiplikatorerna har ofta en fysikalisk tolkning, t.ex. reaktionskrafter for att uppratthalla randvillkoren. Exempel 4.8: Vi provkor Exempel 4.3 med agrange multiplikatormetod. Med K; ; och de numeriska vardena k =; =3;F = som tidigare, far vi med losningen u u u 3 u 4 = u =(3; 4 5 ; 7 5 ; 5 )T och =( 5 ; 6 5 )T Vi kanner igen alla u i och j som reaktionskrafter. Dock med negativtecken Ovningar. os exempel med partionering. 6 3 >< k rr = ; k rg = ; k gr = ; k 3 gg = edning: u u R >: u r = ; u g = ; F r = ; F g = u 3 u 4 R 4 3. os exempel 3.3 med eliminering. 3. os exempel 3.3 med strametod. edning: = 4. os exempel 3.6 med strametod. edning: = efter assemblering av "straelementet" u u u 3 u 4 = ; = ; = och 5. Tre fjadrar med styvheten, respektive 3 N=mm ar seriekopplade. Numrera element och noder fran "vanster" i positiv koordinatriktning och lat nod sitta fast i en vagg. Nod 3 och 4 ar sammanbundna med en vaxellada sa attu =u 3 (MF). estam nu forskjutningarna i nod, 3 och 4 om kraften F 4 =N angriper i nod 4. estam sedan erforderliga reaktionskrafter i nod, och 3 for att uppratthalla randvillkoren. nvand bade strametod och agrange multiplikatormetod. Svar: u =(; 3 ; 5 3 ; 5)T ; F =( 3 ; 3 ; 4 3 ; )T : 54

59 Figur 68: andmatris och skyline form. 6. I ett D problem med forskjutningsfrihetsgrader i x-och y-riktningarna vill man begransa en nod till att bara kunna rora sig langs vaggen y =x: estam k MF och F MF : 4 Svar: k MF = och F MF = assemblerade i nodens frihetsgrader. 7. Tre fjadrar med styvheten, respektive 3 N=mm ar seriekopplade. Numrera element och noder fran "vanster" i positiv koordinatriktning och lat nod sitta fast i en vagg. Nod 3 och 4 ar sammanbundna med en vaxellada sa attu 3 =u 4 (MF). estam nu forskjutningarna i nod, 3 och 4 om kraften F 4 =N angriper i nod 4. estam sedan erforderliga reaktionskrafter for att uppratthalla randvillkoren. nvand bade strametod och agrange multiplikatormetod. Svar: u =(; 4 7 ; 6 7 ; 3 7 )T ; F =( 4 7 ; ; 3 7 ; 9 5 osning av ekvationssystem 5. Terminologi 7 )T =( ; ; ; 7 7 )T : De ekvationssystem som uppstar efter assembleringen av ett FE-problem har ofta en speciell struktur, Fig 68. Om noderna ar val numrerade kommer endast koecienter i ett band kring huvuddiagonalen i k att vara skilda ifran noll. Man talar om systemets bandbredd. Givetvis lagras endast dessa koecienter i datorns minne. En ytterligare f orning ar att lagra bandbredden i taggat format (eng. skyline format). I detta fall haller man for varje kolonn reda pa var forsta koecienten skild ifran noll benner sig. Om man anda tycker att man lagrar for manga nollor, eller har svart att halla nere bandbredden aterstar kanske bara det s.k. glesa formatet. Har lagras varje koecient skild fran noll tillsammans med sitt rad och kolonnindex. Nar det sa till slut skall losas nns vasentligen tva olika satt, direkt metod och iterativ metod. 5. Direkt metod Vid direkt metod anvander man Gauss eliminationsmetod eller nagon narbeslaktad variant for att battre passa datorns minneshantering. Vanliga begrepp ar skyline solver och frontal solver. nledningen till detta ar enkel. For ett givet ekvationssystem ar Gauss eliminationsmetod den som kraver minst antal rakneoperationer for att bestamma de obekanta. Konsultera nagon lamplig bok i linjar algebra for att se hur den fungerar. osningstiden T for Gauss da koecientmatrisen ar full ar vasentligen proportionell mot antalet obekanta i kubik, T n 3. Med bandbredd b mindre an n modieras den till T nb. 55

60 Eftersom n ar problemstorleken ar det salunda mycket viktigt att halla nere bandbredden. Denna bestams vasentligen av maximala nodnummerdierensen inom varje element. Med andra ord galler det att numrera noderna i sadan ordning att denna dierens blir liten. Med manga element ar detta naturligtvis ohallbart att gora for hand. Problemet att minimera bandbredden eller skyline ar mycket svart, s.k. NP-komplett problem. I praktiken nns det ett antal heuristiska metoder som ger bra resultat, exempelvis Gibbs-Pole-Stockmeyer. Den nya nodnumreringen ar helt intern i FE-programmen och ar normalt helt transparent for anvandaren. Fordelen med Gauss ar att den i ett andligt antal operationer ger ratt resultat. Vidare ar det mycket billigt att losa era lastfall (hogerled) eftersom den dyra faktoriseringen av k endast gores en gang. Uppenbart problem ar att vi maste hantera k assemblerad och stora svarigheter uppstar da problemstorleken okar och k inte lange far plats i datorns minne utan maste partioneras pa disk. Detta okar losningstiden drastiskt. Vidare kan man ju fraga sig om det ar rimligt att bestamma en losning med full maskinnoggrannhet, kanske 5- siror, om man betanker att FEM ar en approximativ metod? 5.3 Iterativ metod Nar man skall losa ekvationssystemet ku = F och u kanske motsvarar era hundra tusen obekanta rakar man i stora svarigheter om man forsoker lagra k i datorns minne. En alternativ och mycket eektiv metod till de direkta ar de s.k. iterativa metoderna vilka ger en sekvens med allt battre u. Fordelen ar bl.a. att man inte behover k sjalvt utan endast vektorn ku. Denna kan enkelt beraknas direkt ur elementstyvhetsmatriserna, som sedan gloms! Minnesbehovet blir da mycket litet, linjart i problemstorlek och helt oberoende av bandbredd och nodnumrering. Naturligtvis nns det nackdelar. Den storsta ar ju fragan hur manga iterationer som behovs innan onskad noggrannhet uppnas? Detta avgors av det s.k. konditionstalet for k, som i sin tur beror pa hur utspridda egenvardena till k ar. Genom sa kallad forkonditionering med en matris som "liknar" k okar prestandan dramatiskt. Stor moda agnas att nna dylika "billiga" forkonditioneringar. Detta sokande, tillsammans med utveckling av eektiva iterativa metoder, har varit mycket framgangsrikt. Redan for sma problem har de blivit konkurrenskraftiga och for de riktigt stora har de varit den enda framkomliga vagen. En enkel medlem i denna klass av metoder brukar kallas steepest descent och kan pa algoritmform beskrivas sa har u = ; for ( i =; ; ::: ) f r i = F ku i ; if ( r T i r i < eps ) break; i = rt i r i r T i kr ; i u i = u i + i r i ; g Exempel 5.: Se Fig 69! Metoden med steepest descent ar helt enkelt en metod att soka lokalt minimum till en funktion. Strategin ar att fran aktuell punkt u i forytta sig i negativa gradientens riktning r i. Man kan med gurernas hjalp dra sig till minnes att detta innebar i en riktning vinkelrat mot den nivakurva man benner sig pa. Det optimala steget i denna riktning ar ju att ga salange funktionen avtar. Detta ges av i r i. Fran denna nya punkt u i = u i + i r i tar man sa ut en ny riktning och sa vidare till dess man kommit till en punkt dar ingen negativ gradientriktning kan hittas. Vi har da kommit till minpunkten. Metoden fungerar speciellt bra pa kvadratiska funktioner, stegl angden ar utformad for att vara optimal i detta fall samt att funktionen dessutom bara har ett enda lokalt, och d armed 56

61 Figur 69: Exempel 5.. Nivakurvor for W och resvag mot W min. globalt, minimum. Var potentiella energi ar ju enkvadratisk funktionvarfor vi exemplierar med W = 4 ut u u T ) dw 4 4 =) u =, u = 7 7 du I gurerna kan man speciellt se att varje steg tas vinkelrat mot denaktuella nivakurvan. Vi sammanfattar dessutom algoritmens stegande i en tabell i :76 :3 :5 :9 : 3:4 :45 :3 : : ri r T i r i 884 5:8 3:86 : : : i :3 :3 :3 :3 :3 :3 :6 3:73 3:9 3:98 3:99 4: ui :88 :87 :6 :99 : : W 57:9 6:7 6: Ovningar. Uppskatta hur mycket losningstiden okar vid direkt metod enligt Gauss, om a) antalet obekanta dubbleras men bandbredden forblir densamma, b) om bade antalet obekanta och bandbredden dubbleras? Svar: a) ganger, b) 8 ganger. 5 x 3. nvand steepest descent for att losa ekvationssystemet = : 7 y 7 u Svar: : u :49 u :58 u 3 :993 u 4 :998 u 5 : : :94 3:88 3: :997 3: 3. nvand Gauss metod for att losa u =

62 Figur 7: Omrade och rand Svar: u = 7, efter eliminationssteget har vi tt man ska vara pa sin vaktnar man raknar med datorer ellerfor hand visar foljande exempel: Ekvationssystemet ku = F med k = och F = har :969 :8648 :864 :6 :44 :44 den exakta losningen u =(; ) T : ntag nu att hogerledetrepresenterar experimentellt uppmatta varden med en osakerhetpa enhalvenhetisista(fjarde) decimalen. Experimentera med detta och ge en forklaring till de minstsagthapnadsvackande resultaten! : :4 : :4 Svar: T.ex. F = ) u = ; F = ) u =. : :6 : :8 Valj sjalv onskad losning!! : 6 pproximationsmetoder 6. Randvardesproblem och approximationsmetoder Vi har allmant uppgiften att soka losningen v till ett system av dierentialekvationer i omradet tillsammans med randvillkor pa randen, Fig 7. Om och ar dierentialoperatorer kan vi formulera dethela som ettrandvardesproblem (v) =i (DE) (v) =pa (RV ) Randvillkoren ar av tva typer v = v vasentliga eller Dirichlet (essential) v = q n naturliga eller Neumann (natural) lla approximationsmetoder borjar med att ansatta en approximativ losning u (diskretisering) v u = dvs. en linjarkombination av ett antal obekanta a i ; s.k. generaliserade koordinater. i ar interpolationsfunktioner. I FEM ar de heltenkeltlika med nodvarden respektive de basfunktioner N i vi kanner sedan tidigare. For attdethela ska ga bra maste det stallas en del krav pa i: nx i= ia i 58

63 Figur 7: FDM har svart for att folja krokta rander.. i maste kunna uppfylla de vasentliga randvillkoren.. i och dess derivator upp till den hogst forekommande i (DE) minus ett skall vara kontinuerliga. Jamfor stangen d v =dar kravet ar att dx v sjalv skall vara kontinuerlig medan dv, dvs. tojning eller spanning, far vara diskontinuerlig. dx 3. Sekvensen av i skall vara fullstandig. Kort sagt innebar detta att u! v da n!: Med andra ord maste u kunna representera den sanna losningen. Nar det till slut galler att losa problemet har man vasentligen foljande metoder att tillgripa.. nalytisk (inte alltid bast). Diskretisering av omradet Finita dierensmetoden (FDM) Variationsformulering (FEM) Viktade residualmetoder (WRM) (FEM) 3. Diskretisering av randen Randintegralmetod (EM=oundary Element Method). Vi ska ge en orientering av FDM och Viktade residualmetoder. FDM ar den enklaste och innebar helt enkelt att man ersatter alla derivator med dierenser. Den riktigt stora nackdelen med detta forfarande ar att vi har svart att folja da denna inte foljer vara koordinatplan, Fig 7. ven om metoden gar att utvidga nagot ar det endast vid "fyrkantiga omraden" den anvands. Variationsformulering betyder att var (DE) harror fran nagon energiminimering t.ex. vanlig hallf. I detta fall star vi pa saker matematisk grund och en unik losning ar att vanta. WRM ar den mest generella metoden och kan anvandas pa i princip alla (DE), linjara saval som ickelinjara. Det na ar att den ger identiska resultat med variationsformuleringen dar denna gar att tillampa, dvs. om det existerar en variationsformulering men vi inte kanner till det sa gor det inget! Nackdelen ar att det ar lite kinkigare att driva existens av unik losning samt feluppskattning. I motsats till FDM har vi inga problem med att folja besvarlig geometri med vara nita element, Fig 7. EM fas i princip efter multiplikation av (DE) med den s.k. fundamentallosningen foljt av partiell integration. Det som aterstar, pa grund av fundamentall osningen, ar da endast termen pa randen. Vi har alltsa reducerat diskretiseringsproblemet en dimension, vilket naturligtvis 59

64 Figur 7: FEM har latt for att folja krokta rander. Figur 73: EM exempel pa typiska tillampningar. kan vara en stor besparing vid t.ex. modellering av solider eftersom endast begr ansningsytan behover indelas i element. Den kommer vidare v al till pass da vi har singulariteter i losningen, t.ex. spetsen i en spricka, eller da v i har oandliga berakningsomraden, t.ex aerodynamik eller meteorologi, Fig 73. Detta representeras inte speciellt val avfems polynom. ite forenklat kan man saga att FEM uppfyller de vasentliga randvillkoren och approximerar de naturliga randvillkoren samt v i : EM gor tvartom, dvs. loser (DE) exakt i och approximerar randvillkoren. 6. Finita dierensmetoden Ide: Ersatt alla derivator med dierenser. Vi far da en dierensekvation som utmynnar i ett ekvationssystem. Om (DE) ar linjar sa ar detta linjart, annars olinjart. Efter insattning av randvillkoren loses det sedan med nagon lamplig metod, t.ex. Gauss eller iterativ. Vi ser pa ett exempel. Exempel 6.: Enpunkts randvardesproblem i en dimension (D). v (x) =v(x); =fx j x g (DE) v()= (RV ) Problemet har den exakta losningen v(x) =e x : Gor en indelning av i N st delar, for enkelhets skull lika stora, s.k. partition, Fig 74, Figur 74: Partition avendimensionellt omrade. 6

65 =x <x <:::<x N <x N = dvs.vifar N + punkter x i = ih, medh = : pproximativ losning i varje punkt u N i (= a i generaliserad koordinat) u i v(x i ) Ersatt derivator med (framat)dierenser Vi far da ochinsatti(de) och(rv ) v (x) = v(x + h) v(x) h v (x i ) u i+ u i h ui+ ui h u = = u i for j =;:::;N Har blir det sarskilt enkelt eftersom vi kan losa ut u i+ explicit och "stega" oss fram u i+ = u i ( + h) (Detta brukar kallas for Eulers metod). Vi jamfor den exakta losningen med tva olika diskretiseringar, N = 5 och, dvs. h =: respektive :. x i v(x i ) u i h =: u i h =: : : : : :5 : : : : : :3 :35 :33 :4 :49 :464 :44 :5 :649 :6 :6 :8 :77 :78 Som vantat narmar vi oss den exakta losningen da N okar (h minskar), Fig 75. Exempel 6.: Derivator av hogre ordning foljer samma monster. Ett andra ordningens problem, tvapunkts randvardesproblem i en dimension (D) v (x) +v(x) =f (x); =fx j x g (DE) v() = v()= (RV ) Gor en indelning av i N st delar, for enkelhelts skull lika stora, s.k. partition, Fig 74, =x <x <:::<x N <x N = dvs.vifar N + punkter x i = ih, medh = N : Satt Ersatt derivator med dierenser v (x) = d v dx fbakatdierensg u i v(x i ) och f i = f (x i ) = d ( dv ) fframatdierensg dx dx v(x+h) v(x) h h 6 v(x) v(x h) h d ( v(x+h) v(x) dx h ) = v(x+h) v(x)+v(x h) h

66 Figur 75: Exakt losning och FDM for olika indelningar. Vi far da v (x i ) u i+ u i + u i h ochinsatti(de) och(rv ) u i+ u i +u i + u h i = f i u = u N = for i =;:::;N Detta ar ett linjart ekvationssystem som efter insattning av randvillkoren blir u = f,dar ar en symmetrisk positivt denit bandmatris +h = + h h + h och u = u.. ; f = f.. u N f N Ekvationslosning ger sedan den approximativa losningen u. vslutningsvis later vi N = 5, dvs. h =:, =:5 samtf (x) ochjamfor en numerisk losning med den exakta, Fig 76. Exempel 6.3: Finita dierensmetoden ar latt att generalisera till era dimensioner, t.ex. ett andra ordningens problem, tvapunkts randvardesproblem i tva dimensioner (D), s.k. Dirichlet's problem, innner sig t.ex. om man vill bestamma temperaturfordelningen i en kvadratisk platta. r v = ( v x + v )=f(x; y); y =[; ] [; ] (DE) v =; (RV ) Gor en indelning av i N N st delar (rutor), for enkelhets skull lika stora, s.k. partition, Fig 77, =x <x <:::<x N <x N = =y <y <:::<y N <y N = 6

67 Figur 76: FDM; Jamforelse av losningar for ett andra ordningens problem. Figur 77: Partition av tvadimensionellt omrade. 63

68 dvs. som tidigare x i = ih, y j = jh med h = : N Satt u ij v(x i ;y j ) och f ij = f (x i ;y j ) Ersatt som tidigare derivator med dierenser och satt in i(de) och(rv ) u i+;j u ij +u i ;j h u i;j+ u ij +u i;j h = f ij for i; j =;:::;N u ij = for i =;N och j =;N Satter vi u i motsvarande losningen till kolonn x i och motsvarande for f i ; dvs. u i; f i; u i =. ; f i =. u i;n f i;n fas dar h I I I I I = u.. u N = f... f N och I ar en enhetsmatris av samma dimension som : Vi har totalt (N ) ekvationer och lika manga obekanta. Detta loses med Gauss eliminationsmetod eller annu battre med nagon iterativ metod, eftersom koecientmatrisen vaxer snabbt med N. En indelning ger ju ca obekanta. En iterativ metod konvergerar har snabbt eftersom vi har s.k. diagonaldominans. 6.3 Viktade residualmetoder 6.3. Inledning och denition Studera modellproblemet (enpunkts randvardesproblem i en dimension (D)) (v) =v (x) +v(x) =; =fx j x g (DE) v() = (RV ) Detta randvardesproblem har den P exakta losningen v(x) =e x : Vi soker enligt tidigare en n approximativ losning pa formen u = i= ia i som till att borja med uppfyller de vasentliga randvillkoren. Eftersom u i allmanhet inte uppfyller (DE) far vi ett fel da den insattes, s.k. residual, R(x), som ar skillnaden mellan vanster och hoger led i (DE). Darav andra delen av namnet. lltsa R(x) =R(u(x)) = (u) =u (x) +u(x) 6= Viktade residualmetoder ar nu en klass av metoder som pa ett eller annat satt forsoker gora R(x) i: Det ar just avvikelsen fran noll som far bli mattet pa hur bra u approximerar v i. 64

69 Den gemensamma grundlaggande iden ar nu att forst multiplicera R(x) med en viktfunktion w(x), darav forsta delen av namnet. Sedan sattes integralen av produkten over till noll. Ur detta ekvationssystem kan sedan vara obekanta a i bestammas. lltsa w(x)r(x)d = nledningen till att man multiplicerar med w(x) ar att ibland behover man gora partiell integration och da kan ett lampligt w(x) komma val till pass. Vi far da en s.k. svag formulering av problemet, som dessutom har en del andra matematiskt lenande eekter. F or ovrigt spelar detjuintenagon roll eftersom R(x) anda bor vara ungefar lika med noll i : agg marke till att w(x) vanligtvis ar vektorvard, lika lang som antalet obekanta a i : Strangt taget skulle alla storheter ovan skrivits "feta" eftersom aven kan vara en vektor, dvs. system av dierentialekvationer. Om vi aven har naturliga randvillkor att ta hansyn till kommer dessa att tas med i viktningen och alltsa uppfyllas approximativt, dvs. ekvationssystemet ovan modieras till w(x)r(x)d+ w(x)( u n q )d = Olika val av w(x) ger nu upphov till en specik metod. Vi ska studera Minsta kvadratmetoden Kollokationsmetoden Subdomainmetoden Galerkins metod Som exempel anvander vi oss genomgaende av de approximativa losningarna u(x) =+a x u(x) =+a x + a x dvs. en linjar och en kvadratisk. Notera att de uppfyller det vasentliga randvillkoret u() = Minsta kvadratmetoden Detta ar kanske den forsta man tanker pa. Vi kanner igen metoden i sin diskreta form nar man kurvanpassar till givna matdata. Har upptrader den i kontinuerlig form I = R (x)d Vi vill alltsa minimera I med avseende pa vara parametrar a, vilket leder till ekvationssystemet I a = I = a i Vi far I a = R(x) R a d= 65

70 vilket identieras som en viktad residualmetod med w(x) = R : pplicerat pa vart modellproblem och linjar approximation u(x) =+a x blir a residualen R(x) =u (x) +u(x) = d dx ( + a x) +(+a x)=+a ( + x) Om vi valjer att forst integrera I = R R (x)d = R R (x)dx = R ( + a ( + x)) dx = =h(+a(+x)) 3 3a och darefter derivera for att soka minimum far vi a = 9 4 i =+3a a I a = I a = a = och slutligen den approximativa losningen u(x) = 9 4 x Om vi istallet valjer kvadratisk losningsansats u(x) =+a x + a x far vi R(x) =u (x) +u(x) = d dx ( + a x + a x )+(+a x + a x ) vilket hyfsas till R(x) =+a ( + x) +a (x + x ) ( R R Om vi valjer att forst derivera under integraltecknet och sedan integrera far vi ekvationssystemet enligt ovan R R(x) dx = a dx = R(x) R a som efter partiell derivation och integration blir (visa detta som ovning!) 8a +7a +8= 35a + 5a +8= varav a = 576 och 6 a = 9 6 ger den approximativa losningen u(x) = x x Slutligen kan vi inspektera en jamforelse med den exakta losningen, Fig Kollokationsmetoden Valj lika manga punkter x k, s.k. kollokationspunkter, i som vi har obekanta i losningsansatsen. Vi vill sedan att residualen skall vara noll i dessa punkter, vilket betyder att som viktfunktion ska vi valja Diracfunktionen, w(x) = (x); eftersom den har egenskapen R(x)(x k )d =R(x k ) 66

71 Figur 78: Minsta kvadratmetoden, jamforelse. Valet av kollokationspunkter ar i princip godtyckligt, vilket ar lite otillfredstallande. Ett alternativ sa gott som nagot ar det i praktiken vanligast, namligen jamnt fordelade over : pplicerat pavart modellproblem och linjar approximation u(x) =+a x blir residualen enligt tidigare R(x) =u (x)+u(x) = d ( + dx a x)+(+a x)=+a ( + x) Valj en kollokationspunkt x k = safas R(x k )=+a( + )=) a = 3 Om vi istallet valjer kvadratisk losningsansats u(x) =+ax + ax far vi R(x) =+a( + x)+a(x + x ) och med kollokationspunkterna x k = 3 ; 3 bildas ekvationssystemet R( R(x k )=, 3 )=+a ( + 3 )+a ( 3 +( 3 ) )= R( 3 )=+a ( + 3 )+a ( 3 +( 3 ) )= varav slutligen Subdomainmetoden a = 7 9 a = 9 9 Denna metod ar snarlik kollokationsmetoden, men istallet for att valja punkter i dar residualen ska vara noll delar man har upp i lika manga delar som vi har obekanta i losningsansatsen, dvs. = [ i. Delarna kallas subdomains (nns inget bra svenskt namn) och behover inte vara lika stora, dvs. lite av samma godtycke som i kollokationsmetoden. Viktfunktionen blir alltsa w(x) = och ekvationssystemet 8 >< >: R R R(x)d = R(x)d = R. n R(x)d = 67

72 Figur 79: Endimensionellt kvadratiskt element. pplicerat pa vart modellproblem och linjar approximation u(x) =+a x blir residualen enligt tidigare R(x) =u (x)+u(x) = d ( + dx a x)+(+a x)=+a ( + x) Valj hela som subdomain eftersom vi har en obekant a, dvs. R(x)dx =) a = 3 dvs. exakt samma svar som vid kollokationsmetoden. Varfor? Om vi istallet valjer kvadratisk losningsansats u(x) =+ax + ax far vi med residualen R(x) =+a( + x)+a(x + x ) och partitionen = ; [ ; att ekvationssystemet blir ( R R(x)dx = R R(x)dx = varav slutligen a = 8 9 a = Galerkins metod Detta ar kanske den viktigaste och mest generella metoden, varfor i stort sett alla nita elementmetoder har sin grund har. Vi anammar darfor FEMs nomenklatur. Stodpunkter for polynom blir noder och intervallen mellan noderna blir element eller delar av element ifall vi har h ogre gradtal an ett pa vara interpolationspolynom. Viktfunktionerna ar basfunktionerna, w = fn i g, dvs. de funktioner som vi har valt att interpolera alla egenskaper med, s.k. isoparametrisk formulering. N T R(x)d = P Vara obekanta generaliserade koordinater a i i ansatsen u(x) = ia i kommer nu till skillnad fran de tidigare metoderna att ha en mer konkret skepnad, namligen u:s varde i noderna. Vi kanner alltsa igen u(x) =N u P = N i u i sedan tidigare. Det faller sig da naturligt att arbeta med lokala koordinater i elementet, dvs. i parameterrummet enligt kapitel. Vi ar nu mogna att ga igenom vart modellproblem med ett element och kvadratisk ansats, dvs. ett endimensionellt kvadratiskt 3-noders element, Fig 79. Senare, i kapitlet elementanalys, kommervipa ett naturligt satt att generalisera till era element. 68

73 P 3 Var approximativa ansats blir u = N u = N i= i()u i,dar N ar basfunktionerna och u varde i noderna, dvs. N T = N N N 3 = ( ) ( + )( ) ( + ) och u = u u u 3 P 3 Nu ar x = N i= i()x i dar x i ar nodkoordinaterna x T =(; ; ) sa Jacobianen, Derivator blir nu du dx = J = dx d = fx = X N i x i g = X dni d x i = dn d x = d X dx ( N i u i )=X dni X dx u i = J dn X i d u dni i = d u i Galerkins metod pa vart modellproblem far formen N T R(x)d = N T R(N u) jjj d = som med R(N P P dn u) = i u d i + N i u i resulterar i ekvationssystemet 8 R >< P P N dn i ( u d i + N i u i ) d = R P P >: N dn i ( u d i + N i u i ) d = R P P N dn i 3( u d i + N i u i ) d = Exempelvis blir den forsta ekvationen dn N ( dn dn 3 u d d d u + N N N 3 u u u 3 u 3 eller N ( dn d dn d dn 3 d + N N N 3 ) d u u u 3 ) d = = Slutligen far vi R ekvationssystemet, dar koecientmatrisen tydligen ar uppbyggd av koecienterna k ij = N i( dn j d + N j)d 8 < : u +u 6u 3 = 9u +8u +u 3 = 4u 8u +9u 3 = Detta har bara den triviala losningen u = (stelkroppsrorelse). Med randvillkoret v() = insatt, dvs. u =; far vi latt u och u 3 och sammanfattar u = u u u 3 = For att P fa enjamforelse med de tidigare metoderna gor vi variabeltransformationen =x 3 i u = N i= i()u i for att komma tillbaka till det verkliga rummet och nner u(x) = 8 9 x + 9 x 69

74 6.4 Nagot om andra ordningens problem Vi studerar varmeledningsekvationen i en dimension, dar v ar temperatur, k varmekonduktivitet och Q(x) den varme som tillfors. k d v + Q(x) =; dx =fx j x g Vi ansatter som vanligt u; applicerar nagon viktad residualmetod och far w(x)(k d u + Q(x))dx = dx Problemet vi stalls infor ar att det ingar derivator av andra ordningen. Detta kraver att vi har basfunktioner vars derivator ar kontinuerliga upp till forsta ordningen. De N vi har sett tidigare klarar inte detta. Man kan emellertid fa ned gradtalet genom partiell integration. Vi far en s.k. svag formulering av problemet, som dessutom har en del andra matematiskt lenande eekter. lltsa w(x)(k d u + Q(x))dx = dx kw(x) d u + w(x)q(x)dx = dx kw(x) du k dw(x) du dx dx dx dx + w(x)q(x)dx = Har ar kw(x) du randvillkoren pa sommaste uppfyllas. Vid era element forsvinner de pa dx alla interna elementrander. Pa ar w =sa k du ar direkt det patvingade varmeodet pa dx randen. Som analogi kan man se dem som reaktionskrafter da temperaturen ar forskjutning. Forsta integralen ar elementstyvhetsmatrisen och den andra elementlastvektorn. Problemet loses sedan genom att applicera t.ex. Galerkins metod och lokala koordinater som vanligt. 6.5 Ovningar. os med Finita dierensmetoden (FDM) randvardesproblemet v (x)+v(x) =x; =f x g (DE) v()=;v( )= (RV ) Gor en diskretisering med N = 5 respektive. Jamfor sedan med den exakta losningen. Svar: Exakt: v(x) = cos(x) sin(x)+x. os med FDM randvardesproblemet v (x)+v(x) =x ; =f x g (DE) v()=;v()= (RV ) Diskretisera med N = 5 respektive. Jamfor sedan med den exakta losningen. Svar: Exakt: v(x) = (cos(p x) cot( p ) sin( p x)+x ) 7

75 3. os randvardesproblemet v (x) =v(x)+ x; =f x g (DE) v()= (RV ) med Minsta kvadratmetoden och a) linjar ansats,b) kvadratisk ansats samt c) jamfor med exakt losning. Svar: a) a = 3 4 b) a = ;a = 75 83,Exakt: v(x) = (5ex x ) 4. os randvardesproblemet v (x) =v(x)+ x; =f x g (DE) v()= (RV ) med Kollokationsmetoden och a) linjar ansats,b) kvadratisk ansats samt c) jamfor med exakt losning. Svar: a) a = 9 b) a = 7 ;a = 45,Exakt: v(x) = (5ex x ) 5. os randvardesproblemet v (x) =v(x)+ x; =f x g (DE) v()= (RV ) med Subdomainmetoden och a) linjar ansats,b) kvadratisk ansats samt c) jamfor med exakt losning. Svar: a) a = 9 b) a = 3 4 ;a = 5 7,Exakt: v(x) = (5ex x ) 7 Elementanalys 7. Element och assemblering Hittills har vi ansatt ett enda element over hela vart omrade : Nar blir "besvarligt" geometrisk och/eller da vi har egenskaper som varierar ar det sjalvklart att dela in i era nita element. Indelningen gors da naturligt utgaende fran geometri och andra egenskaper som varierar. Det ar ju detta som ar sjalva meningen med FEM. Vi far da en uppdelning av integralen ivar residualmetod pa varje element :::d= [ne :::d e = nx e= e :::d e dar n far representera antal element. Vi kan alltsa liksom tidigare g ora elementanalys lokalt i parameterrummet. Nar detta ar gjort sker sedan en strukturell addition av alla elementen, dvs. assemblering. Vi ar med andra ord tillbaka till samma metodik som vi anvande vid fjaderpaketen i kapitlet om energimetoder. Vi exemplierar genom att aterv anda till vart modellproblem v (x)+v(x) =; =fx j x g (DE) v()= (RV ) Indela i n st element som for enkelhets skull gors linjara,fig 8. nsatt approximativ losning u = N u och anvand Galerkins metod NT ( du + u)d = dx 7

76 Figur 8: Partition med n st endimensionella linjara element. Figur 8: Globala basfunktionerna j och k lever pa element l. Gor integreringen elementvis,dvs. N T ( du dx + u)d = nx e= e N T ( du dx + u)d e = Studera integralen over element `: ` N T ( d dx ( X i= N i u i )+ X i= N i u i )d` Har skall summationsindex och tolkas som lokala nodnummer i elementet motsvarande de globala nodnumren j och k. NuvetviattN j och N k ar skilda fran noll enbart pa de element som gransar till respektive nod,fig 8. Detta faktum vilar ju pa en av de grundlaggande egenskaperna hos basfunktionerna. Nar vi sa integrerar over element ` far vi av samma anledning bara bidrag fran de N i i N som lever pa `,dvs. N j och N k : Men i lokalt sprak ar ju dessa inget annat an N och N : Vi far da xk x j N N ( d dx ( X i= N i u i )+ X i= N i u i )dx Nar man pratar om N menar man alltsa vanligtvis vektorn med de lokala N i som ingar i interpolationen over ett element,har ar de linjara N =( ( ); ( + )). Genom att ga over till parameterrummet far vi som vanligt dn i dx = J dn i d dar Jacobianen J = X dni d x i = x j + x k = (x k x j )= e och e ar elementlangden,att N N ( e dn d dn d u u u + N N u ) e d 7

77 Har doljer sig nu helt enkelt elementstyvhetsmatrisen. Eftersom ( DE) ar homogen har vi ingen elementlastvektor. Uttrycket kan skrivas bade pa kompakt och expanderad form k e u = e = e R NT R N e e dn N e d + N d dn d dn d + N + N u = k eij u = e N dn e d + N N dn + N e d R N dn i j e d d u u + N j d u u Om vi som exempel valjer 5 lika langa element, blir e = : Efter integration far vi 5 k e = Har ar F e =, varfor assemblering av de 5 elementen ger Infor randvillkoret v() = dvs. u = och eliminera rad och u varav slutligen u u 3 u 4 u 5 u 6 :44858 :3694 u u 3 u 4 u 5 u 6 :838 :6699 = :5536 u u u 3 u 4 u 5 u 6 4 = = En jamforelse med exakt losning v(x) =e x kan studeras i Fig 8. For att fa en elementlastvektor F e kan vi t.ex. gora (DE) inhomogen med ett x = xk dv dx + v = x N N Galerkin foljt av overgang till parameterrummet ger nu F e = N T xdx = N x j N och efter matrismultiplikation och evaluering av integralen F e = xj + x k 3 x j +x k x j x k e d 73

78 Figur 8: Jamforelse Galerkins metod och n st linjara element. Figur 83: Stangelement med olika laster. 7. Konsistenta nodlaster 7.. Inledning Som vi kanner till nns det gott om laster som angriper pa sjalva elementet, t.ex. temperatur eller utbredd last, och som darfor maste transformeras till noderna innan de kan assembleras, ty vid FEM maste ju allt transformeras till respektive frihetsgrad i noderna. Utbredda laster kan oftast pa ett korrekt satt transformeras till noderna med hjalpav aktuell dierentialekvation. Detta studeras for ett stangelement i avsnitt 7... nnars kan man tillgripa en generell metod som kallas for konsistenta nodlaster. Detta forfaringssatt blir foremal for utredning i avsnitt Dierentialekvation at oss studera ett stangelement med initiell tojning " T, t.ex. pa grund av temperatur, utsatt for generell linjelast p och volymlast X, Fig83. Skar ut ett litet element for jamviktsanalys, Fig 84, + d() + Xdx + pdx = dvs. en dierentialekvation. Kopplingen till forskjutningsmetod gors som vanligt via geometriska och konstitutiva samband 8 < : d() + X + p = (DE) dx " = dv Geometriskt samband dx = E(" " T ) Konstitutivt samband 74

79 Figur 84: itet element dx i elementet. Figur 85: Exempel 7.. och efter eliminering en (DE) i v d dv (E( dx dx " T )) + X + p = nsatt som vanligt u och anvand sedan Galerkins metod dvs. N T ( d du (E( dx dx N T ( d du (E( dx dx " T )) + X + p)d = " T )) + X + p)dx = Forsta termen i integranden ar av andra ordningen och integrerasdarfor partiellt N T E( du dx " T ) dn T dx E( du dx " T )dx + N T (X + p)dx = och efter ytterligare en uppdelning och inforande av u = N u kan vi identiera de olika delarna N T E( du " T ) dx {z } (RV ) dn T EdN dx dx {z dx } k e u + dn T dx E" T dx + N T (X + p)dx {z } F e = Harkanvilata alla parametrar " T ;E; och X vara funktioner av x. Dessa interpoleras isoparametriskt, dvs. med samma basfunktioner som u. agg marke till randtermen (RV ). Denna ger mojlighet att satta blandade randvillkor, u och du,pa : Pa interna elementrander forsvinner den ju pa grund av konstruktionen av N. Samtliga integraler bestammessom vanligt via dx overgang till parameterrummet. Exempel 7.: Typiskt linjart element med E konstant och langden e utan yttre laster, Fig 85. e dn T k e = EdN dx dx dx = E dn T dn e e d e d d 75

80 Figur 86: Exempel 7.. Figur 87: Exempel 7.3. k e = E e 4 k e = E e d d = E e Exempel 7.: injart element utsatt for temperaturlast " T = T,Fig 86. F e = e dn T d ET e d F e = ET F e = ET d Exempel 7.3: injart element med homogen densitet utsatt for centrifugallast X(x) =! x,fig 87. X F e = N T! ( N i x i ) e d F e =! e F e =! e och efter integration (gor det som ovning!) 4 ( ) ( + ) ( ) ( + ) x x ( ) ( )( + ) x ( + )( ) ( + ) d x F e =! e 6 x + x x +x Exempel 7.4: injelast p = p (x x ),Fig 88. injelasten maste forst transformeras till e parameterrummet (genomfor kalkylen) d p = p (x x ) = p = p (( e e X N i x i ) x ) = p ( ( )x + ( + )x x ) = e 76

81 Figur 88: Exempel 7.4. Figur 89: Exempel 7.5. = p ( e (x x )( + )) = p ( e e( + )) = p ( + ) sa och efter integration (gor det!) F e = p e F e = N T p e d ( ) ( + ) F e = p e 3 ( + ) d Exempel 7.5: injartelementmed arean varierande isoparametrisktmed andvardena och under egentyngd X(x) =g, Fig 89. F e = N T X e d P och med isoparametrisk formulering = N i i ( ) F e = g e ( + ) ( ) ( + ) d och efter integration (gor det!) F e = g e

82 Figur 9: Harledning av konsistenta nodlaster Konsistenta nodlaster Vid hallfasthetsanalys med FEM har vi sett att detta grundar sig pa minimering av den potentiella energin. Nar det sa galler att transformera utbredda laster till noderna ar det da kanske naturligt att gora detta med nagon form av energibetraktelse. Nodlaster F e kallas for konsistenta nodlaster om de uppfyller denitionen Konsistenta nodlaster skall utfora samma arbete som den utbredda lasten vid samma forskjutningsfalt. Studera situationen i Fig 9. Den utbredda linjelasten p(x) N/langdenhet skall ersattas med de konsistenta nodlasterna F och F i nod respektive. Pa den lilla strackan dx verkar kraften df p = p(x)dx. Det lilla arbetet som denna utrattar ar da dw p = df p u(x) =p(x)dx u(x), ty arbete = kraf t vag: For hela elementet far vi da attp(x) utrattar arbetet W p = W p dw p = e p(x)dx {z } kraft u(x) = {z} vag e p(x)u(x)dx Med isoparametrisk formulering och overgang till parameterrummet far vi W p = e p(x)u(x)dx = De konsistenta nodlasternas arbete p(n x)n ujd = W F = F u + F u = F F u u p(n x)njd u = F T e u Enligt denition ovan skall nu likhet rada, W p = W F ; dvs. genom identikation F T = p(n x)njd e dvs. vi har de konsistenta nodlasterna F e motsvarande den utbredda lasten p(x) F e = p(n x)n T Jd Sa har kan man alltid bestamma konsistenta nodlaster, atminstone vid problem som h aror fran hallfasthetslaran dar man har arbete = kraft vag. nnars kan man deniera sig nagon mera abstrakt energinorm. 78

83 Figur 9: Exempel 7.6. Figur 9: Exempel 7.7. Exempel 7.6: estam konsistenta nodlasterna for ett linjart element motsvarande utbredda linjelasten p(x) =p ( x e ), Fig 9. Vifar F e = p(n x)n T Jd = p(n x)n T e d Det ar alltsa viktigt att p(x) transformeras till parameterrummet p() =fp ( x ) g = p ( N x ) = p ( N e e e e ) = p ( (+)) dvs. (+)) F e = p ( ( ) e (+) d = p e ( (+) ( ) ) (+) (+) varav slutligen efter uveckling av integrand och integration, med t.ex. lathund F e = p e 3 d Exempel 7.7: estam konsistenta nodlasterna for ett linjart element motsvarande utbredda p ( x e ); x [ linjelasten p(x) = e ; e], Fig 9. Notera att p(x) ar styckvis denierad. annars Gransen x = e F e = motsvaras i parameterrummet av =; varfor p(n x)n T Jd = N T Jd + p(n x)n T Jd = p(n x)n T e d Det ar viktigt att p(x) transformeras till parameterrummet, dvs. satt x = N x p(x) =p(n x) =p() =p ( N x ) = p ( N ) = p ( e e e e e (+) ) = p sa far vi ( ) e F e = p (+) d = p e ( ) d 4 ( +) 79

84 Figur 93: Koordinattransformation. varav slutligen efter uveckling av integrand och integration. Observera att lathunden inte fungerar har pa grund av integrationsgranserna. F e = p e Koordinattransformation Eftersom elementegenskaper oftast ar uttryckta i nagot for elementet lampligt koordinatsystem maste man inte sallan transformera dem till modellens globala koordinatsystem. Vi exemplierar med ett enkelt stangelement som ju ofta ingar i fackverkskonstruktioner, Fig 93. at l beteckna det lokala koordinatsystemet. Eftersom vi inte har nagon styvhet tv ars elementet kan vi direkt hamta och modiera elementstyvhetsmatrisen i exempel 7. ovan f or att passa var nya lokala forskjutningsvektor u l =(u ;u ;u ;u ) T : k el = E e ntag att vi vill vrida det lokala koordinatsystemet vinkeln ' i forhallande till det globala systemet som betecknas med g sa galler mellan de tva systemen sambandet u cos ' sin ' u u = = T sin ' cos ' u g Den omvanda transformationen (:) l = T (:) g applicerat pa bada noderna blir da u cos ' sin ' u u u = sin ' cos ' u cos ' sin ' u sin ' cos ' det vill saga u Samma transformation galler for krafterna l u l = u g u l u u l g F l = F g 8

85 Nu maste samma arbete utrattas oberoende av koordinatsystem F T l u l = F T g u g sa med valkand regel for transponat av matrisprodukt () T = T T har vi (k el u l ) T u l =(k eg u g ) T u g (k el u g ) T u g =(k eg u g ) T u g u T g T k T el u g = u T g kt eg u g varav k T eg = T k T el och slutligen transformationen av k e k eg = T k el 7.4 Numerisk integration Nar integranden blir svar eller arbetsam tillgrips ofta numerisk integration, bade f or k e och F e. FE-program gor, fransett mycket enkla element, nastan alltid sa eftersom det ar att foredra ur eektivitetssynpunkt. Metoderna ger som namnet later ett approximativt numeriskt v arde pa en integral. Typiskt ar att granserna skall vara konstanta och standardiserade. Har har vi alltsa en stor fordel av att benna oss i parameterrummet da integralerna skall evalueras. Den vanligaste metoden for numerisk integration ar Gauss integrationsmetod som denieras av formeln dar g()d = nx i=! i g( i )+O(g (n) ()) n = antalet integrationspunkter g( i ) = integrandens varde i integrationspunkt i! i = vikter O(g (n) ()) = felterm som ar forsumbar i alla praktiska sammanhang Punkterna i och vikterna! i ar sa valda att man far exakt integration av ett polynom med gradtal p n : Dessa nns utraknade for tillrackligt stora n ilarobocker och tabellverk. n p i i! i 3 +: : : : : : : :86363 : :86363 : : : : :65455 Som kuriosa kan namnas att i ar nollstalle till motsvarande egendrepolynom P n () och vikterna! i =(P ( n i) ( i )) : Darmed kan i och! i bestammas for godtyckligt stora n. 8

86 Exempel 7.8: Exempel 7.4 ovan med numerisk integration ( ) F e = p e ( + ) ( + nvand t.ex. 3-punkts Gauss g()d = 3X i= :65 =:88 ::: :65 {z } g() )! i g( i )=:88 :::g()+:55 :::g(+:77 :::)+:55 :::g( :77 :::)= :44 ::: +:55 ::: :349 ::: d :56 ::: +:55 ::: :7 ::: = 3 Vi kanner igen resultatet ovan. Eftersom integranden ar av gradtal 3 ar det dock mycket onodigt arbete och vi ser i tabellen att det har racker med en -punkts integration for att integrera exakt X :657 ::: :76 ::: g()d =! i g( i )= + = :45 ::: :47 ::: 3 i= 7.5 Ovningar. os randvardesproblemet v (x) =v(x) + x; =f x g (DE) v()= (RV ) med Galerkins metod och a) tva lika langa linjara element, b) ett kvadratiskt element med mittnoden i mitten, samt c) jamfor med exakt losning. Svar: a) u = (edning: ke = k e = ; F e = ; F e = ) 48 5 b) u = (edning: ke = ; Fe =. os randvardesproblemet v (x) v(x) =x +; =f x g (DE) v()=3 (RV ) 7 5 (edning: ke = k e = 6 med Galerkins metod och tva lika langa linjara element. Jamfor med exakt losning. 5 3 Svar: u = ; F e = ; F e = ) 48 9 ) 8

87 Figur 94: Ovning os randvardesproblemet v (x) 6x =; =f x g (DE) v() = (RV ) med Galerkins metod och tva lika langa linjara element. Jamfor med exakt losning. Svar: u = 3 6 (edning: ke = k e = ; F e = ; F 4 e = ) 4. os randvardesproblemet v (x) +3v(x) +x =; =f x g (DE) v() = (RV ) med Galerkins metod och tva lika langa linjara element. Jamfor med exakt losning. Svar: u = (edning: ke = k e = ; F 7 4 e = ; F e = 4 ) estam konsistenta nodlastvektorn F e vid parabelformad linjelast i x-riktningen, Fig 94. Svar: F e = p : 3 6. estam elementlastvektorn F R 5 e = Svar: F e = : 9 3 dn T dx ( dn dx NT ) dx for ett linjart element. 7. estam de konsistenta nodlasterna for ett linjart element med langden utsatt for den p ( x utbredda lasten p(x) = );x 4 ;.Svar:F e = 3p : annars 6 8. estam de konsistenta nodlasterna forett linjart element med langden utsatt for den p ( x utbredda lasten p(x) = ) ;x ;.Svar:F e = p 5 : annars estam de konsistenta nodlasterna for ett linjart element med langden utsatt for den p ( 4x utbredda lasten p(x) = 3);x 3 4 ;.Svar:F e = p : annars 96 83

88 Figur 95: Ovning 7.. Figur 96: Ovning 7... estam de konsistenta nodlasterna for ett linjart element med langden utsatt for den x p ;x ; utbredda lasten p(x) = 5 p ( x );x.svar:f ; e = p : 4 7. estam konsistenta nodlastvektorn F e vid punktlast, Fig 95. Svar: F e = P : 4 3. estam elementstyvhetsmatrisen k e for ett stangelement med linjart varierande tvarsnittsarea. Gor isoparametrisk formulering och anvand Galerkins metod sa ar k e = R dn T (E(x) dn )dx, Fig 96. Svar: k dx dx e = E( +) : 3. estam konsistenta nodlastvektorn F e for ett linjart element under egentyngd. Densitet och arean varierar linjart. Vi har att F e = R NT (X(x)(x))dx, Fig 97. Svar: F e = g + : estam forskjutningen i nod da q ar linjelast i x-riktningen, Fig 98. Svar:u = q 3E : Figur 97: Ovning

89 Figur 98: Ovning nvand numerisk integration for att bestamma nagra integraler i detta kompendium. vgor forst gradtalet pa integranden och anvand sedan optimalt antal integrationspunkter. 6. Genomfor kalkylen av k e och F e for modellproblemet i avsnitt 7. ovan samt bestam u for detta inhomogena problem. Studera eekten av olika antal element och j amfor med exakt losning. Handrakning ar utesluten sa satt upp och los uppgiften i Mathematica eller Matlab. 7. Expandera k i ovning 3.5. med axiell styvhet E.at positiv riktning vara at hoger. nvand darefter transformationen i avsnitt 7.3 for att assemblera t.ex. ovning estam sedan forskjutningar och krafter i noderna. Handrakning ar uteslutet, anvand Mathematica. edning och svar: at ; ;' vara forskjutningar i noderna med positiv riktning at hoger, uppat respektive moturs. Systemet far da frihetsgrader och vi sammanfattar dem i u =( V agg ; V agg ;' V agg ; ; ;' ; ; ;' ; ; ;' ) T : Ett snabbt hack i Mathematica kan t.ex. se ut sa har: E E EI 6EI 6EI ke[e ;EI ; ]:= c[' ]:= E 3 6EI EI 3 4EI 6EI E EI EI 6EI 3 6EI EI 6EI os['] Sin['] Sin['] os['] os['] Sin['] Sin['] os['] EI 6EI 3 4EI ; (* k e *) ; (* Transformation matrix *) assemble[ei ; ;' ;i ]:=k[[i]] += c['] T :ke[e;ei;]:c[']:map[u; i]; k = T able[; fg]; (* llocate space for global stiness matrix *) assemble[3 EI;; ; f; ; 3; 4; 5; 6g]; (* ssemble element with 3EI *) assemble[ EI;; ; f4; 5; 6; 7; 8; 9g]; (* ssemble element with EI *) assemble[4 EI;a; ; f4; 5; 6; ; ; g]; (* ssemble element with 4EI *) k = k=:map[u[#]! &; f; ; 3; 8g]; (* Set boundary conditions *) sol = Solve[k[[f4; 5; 6; 7; 9; ; ; g]] == f; ; ; ; ; F; ; g; (* Solution *) Map[u; f4; 5; 6; 7; 9; ; ; g]] sol = Expandll[sol]=:E!==Simplif y (* et E!*) k=:sol==simplif y (* Reaction forces, ku *) 85