Strukturdynamiska simuleringar och PDE
|
|
|
- Roland Dahlberg
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Strukturdynamiska simuleringar och PDE Staffan Häglund 4 november 2014 Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
2 Struktur Struktur Om FS Dynamics Exempel, vad kan man göra med FEM Skillnad mellan skola och arbetsliv/industri Kort om matematiken bakom FEM Expempel på annan matematikanvändning Frågor Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
3 FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
4 FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
5 FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
6 FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
7 FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
8 FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
9 FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik Datorsimuleringar med applicerade krafter, temperaturer, accelerationer etc. Ger: deformationer, spänningar, temperaturer, translationer etc. Exempel: Bilindustrin - krock Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
10 FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik Datorsimuleringar med applicerade krafter, temperaturer, accelerationer etc. Ger: deformationer, spänningar, temperaturer, translationer etc. Exempel: Bilindustrin - krock Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
11 FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik Kompositmaterial - optimering av ortos Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
12 FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik FSI - hälla mjölk ur mjölkförpackning, få bort kluckandet Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
13 FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik MBD Demo - Racerbil på Imolabanan (optimering av fjädringsinställningar) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
14 Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
15 Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Skola: löses analytiskt 2 u x 2 = f (x) } {{ } enkel Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
16 Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Skola: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses analytiskt över enkla geometrier eller numeriskt med enkla Matlabprogram i 2D. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
17 Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
18 Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
19 Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
20 Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
21 Vad är FEM? Vad är FEM? Finita elementmetoden: Delar upp en geometri i små delar (mesh). Ekvationer beskriver hur delarna och omgivningen interagerar med varandra. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
22 Vad är FEM? Vad är FEM? Finita elementmetoden: Delar upp en geometri i små delar (mesh). Ekvationer beskriver hur delarna och omgivningen interagerar med varandra. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
23 Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
24 Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
25 Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
26 Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
27 Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
28 Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
29 Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
30 Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
31 Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
32 Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
33 Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
34 Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
35 Exempel: modellförenkling Exempel: modellförenkling En fläkt med 8 blad, bladen är jobbiga att mesha. Idé: byter ut bladen mot massor och tröghetsmoment. Mäter upp tyngdpunkten p 0 och tröghetsmoment (egenvärden) I 1, I 2, I 3 och egenvektorer v 1, v 2, v 3 för ett blad. Även tyngdpunkten för fläkten p fan. Använder transformationer för att skapa resten. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
36 Exempel: modellförenkling Exempel: modellförenkling En fläkt med 8 blad, bladen är jobbiga att mesha. Idé: byter ut bladen mot massor och tröghetsmoment. Mäter upp tyngdpunkten p 0 och tröghetsmoment (egenvärden) I 1, I 2, I 3 och egenvektorer v 1, v 2, v 3 för ett blad. Även tyngdpunkten för fläkten p fan. Använder transformationer för att skapa resten. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
37 Exempel: modellförenkling Exempel: modellförenkling En fläkt med 8 blad, bladen är jobbiga att mesha. Idé: byter ut bladen mot massor och tröghetsmoment. Mäter upp tyngdpunkten p 0 och tröghetsmoment (egenvärden) I 1, I 2, I 3 och egenvektorer v 1, v 2, v 3 för ett blad. Även tyngdpunkten för fläkten p fan. Använder transformationer för att skapa resten. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
38 Exempel: modellförenkling forts. Exempel: modellförenkling forts. cos(θ) 0 sin(θ) T rot (θ) = sin(θ) 0 cos(θ) Det i-te bladet har (p i p fan ) = T rot ( πi)(p 4 0 p fan ) och I (θ) = (T rot P)D(T rot P) T där,... P = v 1 v 2 v 3... D = 3 i=1 I ie i e i = diag(i 1, I 2, I 3 ) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
39 Exempel: modellförenkling forts. Exempel: modellförenkling forts. cos(θ) 0 sin(θ) T rot (θ) = sin(θ) 0 cos(θ) Det i-te bladet har (p i p fan ) = T rot ( πi)(p 4 0 p fan ) och I (θ) = (T rot P)D(T rot P) T där,... P = v 1 v 2 v 3... D = 3 i=1 I ie i e i = diag(i 1, I 2, I 3 ) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
40 Exempel: modellförenkling forts. Exempel: modellförenkling forts. cos(θ) 0 sin(θ) T rot (θ) = sin(θ) 0 cos(θ) Det i-te bladet har (p i p fan ) = T rot ( πi)(p 4 0 p fan ) och I (θ) = (T rot P)D(T rot P) T där,... P = v 1 v 2 v 3... D = 3 i=1 I ie i e i = diag(i 1, I 2, I 3 ) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
41 Avslutande kommentarer Avslutande kommentarer Strukturdynamik - viktigt med matematikkunniga personer. Stor arbetsmarknad och efterfrågan. Som konsult: omväxlande med möjlighet att arbeta med olika projekt. Intressant att beskriva verkligheten med beräkningar. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
42 Frågor? Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november / 16
Datorbaserade beräkningsmetoder
Material, form och kraft, F10 Datorbaserade beräkningsmetoder Finita elementmetoden Beräkningar Strukturmekaniska analyser Kraft-deformation, inverkan av temperatur, egenfrekvens, buckling COSMOS/Works
FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel.
MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/TD FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel. 1 Inledning Vi ska lösa partiella differentialekvationer PDE, dvs ekvationer som
Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:
Inledande matematik M+TD
Introduktionsföreläsning p. 1/13 Introduktionsföreläsning Inledande matematik M+TD Stig Larsson http://www.math.chalmers.se/ stig Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Göteborgs universitet
Projekt om Finita Elementmetoden i kursen PDE F, TMA690, HT 2012
Projekt om Finita Elementmetoden i kursen PDE F, TMA690, HT 2012 Hermann Douanla, Fredrik Lindgren, Matteo Molteni 6 november 2012 Innehåll 1 Syfte och mål 2 2 Generella riktlinjer 2 3 Projekt 3 3.1 Värmeledning
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
SF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Master's Programme Applied Mechanics Programansvarig: Magnus Ekh
Master's Programme Applied Mechanics Programansvarig: Magnus Ekh Programmet för dig som i framtiden vill utmana industriella problem genom att utveckla och använda modeller och simuleringar inom solid-
12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt
Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer
Personsäkerhet & utrymning vid brand
Personsäkerhet & utrymning vid brand Pär Hansson FSD Göteborg Brandingenjör LTH? Vilka är vi? Var finns vi? Konsult för brandsäkerhet med 30 års erfarenhet Huvudkontor Malmö??? FSD består av ca 25 konsulter,
. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs
KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Rangordning av internetsidor - ett egenvärdesproblem för positiva matriser
Rangordning av internetsidor - ett egenvärdesproblem för positiva matriser Ett litet nätverk med 8 noder och ett antal länkar mellan noderna: 8 1 2 7 3 6 5 4 Hur kan vi rangordna noder? Vilken är viktigast?
Uppdragets syfte var att med CFD-simulering undersöka spridningen av gas vid ett läckage i en tankstation.
Gasutsläpp Busstankning Syfte Uppdragets syfte var att med CFD-simulering undersöka spridningen av gas vid ett läckage i en tankstation. Förutsättningar Läckage Den läckande gasen var metan med en densitet
Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008
Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är
Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Vi har väl alla stått på en matta på golvet och sedan hastigt försökt förflytta
Niclas Larson Myra på villovägar Att modellera praktiska sammanhang i termer av matematik och att kunna använda olika representationer och se samband mellan dessa är grundläggande förmågor som behövs vid
5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
TMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Fysikens matematiska metoder hösten 2006
Teoretisk Fysik KTH Fysikens matematiska metoder hösten 2006 Ämnesbeskrivning 5A1305 Nästan samtliga modeller av verkliga fysikaliska problem ger upphov till differentialekvationer med derivator av flera
Formalia. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 1. Varför modeller? Föreläsning 1: Modeller och modellbygge
Formalia Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 1 Labanmälan via länk på kurshemsidan Datortenta i datorsal Fem av lektionerna i datorsal Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Identifieringslabben
6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,
Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del 2 Analytiska och numeriska metoder för differentialekvationer SF1523 8.-11. 18/8 217 Formelsamlingen BETA är tillåtet hjälpmedel men ej miniräknare. Råd för
Lösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så
Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,
Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Avslutande föreläsning LGMA65
Avslutande föreläsning LGMA65 Innehåll Modulerna Modelleringscykeln Strategier för problemlösning Två exempel från uppgifterna Diskussion: För lite teori? Otydliga frågor Matematik vs. fysik Problemlösningsplan
3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Civilingenjör Teknisk fysik och elektroteknik Inriktning: Beräkningsteknik och fysik Antagna Höst 2014
UTBILDNINGSPLAN LÄSÅRET 2016/2017 Civilingenjör Teknisk fysik och elektroteknik Inriktning: Beräkningsteknik och fysik Antagna Höst 2014 BESLUTSDATUM 2015-11-02 DIARIENUMMER 12-15 BESLUTSFATTARE Enhetschef
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum
Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar
Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Tentamensdatum: 005-03- Skrivtid: 9-5 Hjälpmedel: inga Om problembeskrivningen i något fall
Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl
entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått
Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara
Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Tillämpningar i mekanik
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN M. Melgaard R. Rubinsztein 2008-04-29 LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I för F1, Q1 Höstterminen 2008 Tillämpningar i mekanik Kursen Linjär algebra och geometri
Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 02/03. Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare
Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 02/03 Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare 1 Laboration 3. Differentialekvationer Elmotor med
TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
PRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.
Maj Lycka till! Sergei Silvestrov. 1. a) Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen T =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Matristeori Maj 2 Denna hemtentamen skall göras och redovisas enskilt. I övrigt är alla hjälpmedel tillåtna. Lösningar till uppgifterna lämnas in i
Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.
LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
1. INLEDNING 2. TEORI. Arbete A4 Ab initio
Arbete A4 Ab initio 1. INLEDNING Med Ab inition-metoder kan man, utgående från kvantmekanikens grundlagar, beräkna egenskaper som t.ex. elektronisk energi, jämviktskonformation eller dipolmoment för atomära
Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi
Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,
Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 Måndag 019-01-14 kl. 14.00-19.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook
Kommer rå datorkapacitet att klå människohjärnan i att beskriva naturen?
Kommer rå datorkapacitet att klå människohjärnan i att beskriva naturen? Kai Nordlund Professor i beräkningsmaterialfysik 17.11.2009? Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten Institutionen för fysik Avdelning
Finita Elementmetoden
Finita Elementmetoden Bilder: Elena Kabo Anders Ekberg Teknisk mekanik / CHARMEC anders.ekberg@me.chalmers.se Bakgrund Allmängiltighet Geometri Last Material Datorbaserat CAD -> CAE -> CAM Beräkningsintensivt
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
TMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Bedömning för lärande i matematik
Bedömning för lärande i matematik Vilka har arbeta med materialet Varför ser det ut som det gör När och hur kan du som lärare använda materialet Katarina Kjellström PRIM-gruppen Vilka har deltagit i arbetet
Strömning och varmetransport/ varmeoverføring
Lektion 2: Värmetransport TKP4100/TMT4206 Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Metaller är kända för att kunna leda värme, samt att överföra värme från en hög temperatur till en lägre. En kombination
Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Andra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Edwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)
KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder SI12; SI114 Del 2; SI1143 Lördagen den 9 juni 218 kl 9. 14. Anteckna på varje blad: namn, personnummer, och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:
Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi
Beräkningsvetenskap I Jarmo Rantakokko Josefin Ahlkrona Kristoffer Virta Katarina Gustavsson Vårterminen 2011 Beräkningsvetenskap: Hur man med datorer utför beräkningar och simuleringar baserade på matematiska
Programinformation för. Produktutveckling, 180 högskolepoäng
Programinformation för Produktutveckling, 180 högskolepoäng (Product Development, 180 ECTS credits) 1. Beslut Detta dokument är fastställt av Utbildningsnämnden vid Blekinge Tekniska Högskola 2013-01-10.
Tekniska beräkningar. Vad är tekn beräkningar? Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi. Informationsteknologi
Tekniska beräkningar stefan@it.uu.se Vad är tekn beräkningar? Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska
Laboration 1. Ekvationslösning
Laboration 1 Ekvationslösning Sista dag för bonuspoäng, se kursplanen. Kom väl förberedd och med välordnade papper till redovisningen. Numeriska resultat ska finnas noterade. Båda i laborationsgruppen
Svar och anvisningar
160322 BFL102 1 Tenta 160322 Fysik 2: BFL102 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Centripetalkraften ligger i horisontalplanet, riktad in mot cirkelbanans mitt vid B. A B b) En centripetalkraft kan tecknas:
Introduktionsföreläsning
Introduktionsföreläsning Beräkningsvetenskap DV Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet 29 oktober, 2012 Lärare Emanuel Rubensson (föreläsningar, lektioner) Martin Tillenius (lektioner)
, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN SF66 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE den januari 0 kl 09.00-.00. Hur många gånger antar funktionen f) = ) värdet när varierar i intervallet 9? LÖSNING:
Tentamen i Matematik 1 DD-DP08
Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas
MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Utbildningsplan för Masterprogram i matematiska vetenskaper (N2MAT)
GÖTEBORGS UNIVERSITET Naturvetenskapliga fakultetsnämnden Utbildningsplan för Masterprogram i matematiska vetenskaper (N2MAT) 120 högskolepoäng Avancerad nivå Two-year Masters Program in Mathematical Sciences
WALLENBERGS FYSIKPRIS
WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 22 januari 2009 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG 1. (a) Rörelsemotståndsarbetet på nervägen är A n = F motst s = k mg s = k (2 180 + 52 100)
Planering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )
1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix
Laboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system
1 DN1212 VT2012 för T NADA 20 februari 2012 Laboration 6 Ordinära differentialekvationer och glesa system Efter den här laborationen skall du känna igen problemtyperna randvärdes- och begynnelsevärdesproblem
Linjär algebra och geometri 1
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2009 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk. Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström 212-3-6 Fackverk Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 212 Fackverk 1 Knut 3 Knut 2 Stång 2 Stång 3 y Knut 4 Stång 1 Knut 1 x
Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000
2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng
F3: Schrödingers ekvationer
F3: Schrödingers ekvationer Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så
SF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
FYSIKENS MATEMATISKA METODER
FYSIKENS MATEMATISKA METODER TREDJE UPPLAGAN TORBJÖRN ERIKSON HENRIK CHRISTIANSSON ERIK LINDAHL JOHAN LINDE LARS SANDBERG MATS WALLIN mfl Boken är typsatt i L A TEX med 11pt Times Printed in Sweden by
Chalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: Våren 6 Övningstentamen Telefonvakt: Thomas Bäckdahl ankn 8 MVE Linjär algebra I Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt
Partiella differentialekvationer (TATA27)
Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................
NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 9, Numme-delen. Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem
NUMPROG, 2D1212, vt 2005 Föreläsning 9, Numme-delen Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem Då steglängden h är tillräckligt liten erhålles en noggrann
Matrisexponentialfunktionen
U.U.D.M. Project Report 206:2 Matrisexponentialfunktionen Neda Farzaneh Examensarbete i matematik, 5 hp Handledare: Martin Herschend Examinator: Jörgen Östensson Juni 206 Department of Mathematics Uppsala
Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank
Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank Projektarbete i kursen Simulering och optimering av energisystem, 5p Handledare: Lars Bäckström Tillämpad fysik och elektronik 005-05-7 Bakgrund Umeå
Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra för F1, Q1, W1 Kurslitteratur Höstterminen 2006 Eriksson Lind Persson Tengstrand, Algebra för universitet och högskolor, Band II (Linjär Algebra),
1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet
Matematiska institutionen Stockholms universitet Avd matematik Eaminator: Torbjörn Tambour Tentamensskrivning i Matematik för kemister K den 0 december 2003 kl 9.00-4.00 LÖSNINGAR. Lös ut p som funktion
Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Strömning och varmetransport/ varmeoverføring
Lektion 1: Introduktion TKP4100/TMT4206 Strömning och varmetransport/ varmeoverføring All materia består av atomer och molekyler som ständigt vibrerar (fasta material) eller är i rörelse (vätskor och gaser).
Introduktionsföreläsning. Outline. Beräkningsvetenskap I. Sara Zahedi Hanna Holmgren. Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet
Lärare Introduktionsföreläsning Beräkningsvetenskap I Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet Sara Zahedi Hanna Holmgren 29 oktober, 2012 Outline 1 2 Information om kursen 3 Introduktion
BALKTEORI, INLÄMNINGSUPPGIFTER
BALKTEORI, INLÄMNINGSUPPGIFTER Det finns tre inlämningsuppgifter (I, II och III). De löses individuellt eller i grupper om två personer. Uppgifterna avser arbete i anslutning till tre demonstrationslaborationer:
Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
a = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0
Kursprov i matematik, kurs E ht Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5
freeleaks NpMaE ht999 för Ma4 (7) Innehåll Förord Kursprov i matematik, kurs E ht999 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 5 Förord Kom ihåg Matematik är att vara tydlig
TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671
Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: