ÖVNINGSEXEMPEL FASTA TILLSTÅNDETS FYSIK F3, 2005 STRUKTUR

Transkript

1 1 2 STRUKTUR S1. Atomerna i ett grundämne är ordnade i ett gitter med en atom per gitterpunkt. Betrakta atomerna som hårda sfärer i kontakt med närmsta grannar. a) Visa att packningstätheten, dvs atom volym dividerad med kristallvolym, är 0.68 för bcc gittret, 0.74 för fcc och att c/a = 1.63 för hcp. S2. Hur stor är packningstätheten för Si om atomerna betraktas som hårda sfärer? 0.34 ÖVNINGSEXEMPEL FASTA TILLSTÅNDETS FYSIK F3, 2005 S3. Hur stor är radien för den största sfär som får plats mellan atomerna i en bcc kristall (bcc gitter, en atom per gitterpunkt) utan att rubba omgivande atomers lägen om dessa betraktas som hårda sfärer med radien R R i tex (0, 1/2, 1/4) S4. Som enhetscell för fcc används ibland en rymdcentrerad tetragonal cell med kantlängderna b och b!2. Ange sambandet mellan b och den kubiska strukturens gitterparameter, a. a = b!2 S5. I en fcc kristall (fcc gitter, en atom per gitterpunkt) kan små främmande atomer inta mellanlägesplatser, dvs postioner mellan ordinarie platser. Det finns två typer av mellanlägen, nämligen sådana med tetraederomgivning och sådana med oktaedrisk omgivning. Ange dessa mellanlägen. Tetraedriska lägen längs enhetskubens rymddiagonal på avståndet 3/4 dlll från kubens hörn. Oktaederlägen i tex (1/2, 0,0), (0,1/2, 0) osv. S6. Den kubiska enhetscellen i nedanstående figur visar den atomära ordningen för V 3 Si. Beskriv strukturen med gitter och bas. Gitter: Kubiskt, kantlängd a Si: (0,0,0), (1/2,1/2,1/2) Bas: V: (1/2,1/4,0) (1/2,3/4,0) (1/4,1/2,0) (3/4,1/2,0) (0,1/2,1/4) (0,1/2,3/4)

2 3 S7. För kubiska gitter gäller att d hkl = a/ h 2 + k 2 + l 2. Visa att för 2D kvadratiska gitter d hk = a/ h 2 + k 2. Vilket uttryck erhålles för ett ortorombiskt gitter? S8. Rita upp fcc gittrets primitivcell och visa att volymen är en fjärdedel av den konventionella enhetscellens. Vad särskiljer primitivcellen från det rombiska Bravais-gittrets cell? S9. Cu och Au bildar fasta lösningar Cu x Au 1--x för alla halter x med atomerna slumpmässigt fördelade över fcc gittrets positioner. För vissa halter föreslå vilka kan man erhålla även ordnade legeringar med väldefinierad kristallstruktur. Cu 3 Au och CuAu är ordnade legeringar. S10. Det 2D mönstret i nedanstående figur kan beskrivas antingen utgående från en rektangulär enhetscell (vektorerna a och b nedan) eller utgående från en primitiv cell och vektorerna c och d. Linjer genom punkterna kan då anges antingen via Miller-indices (hk) erhållna via den rektangulära cellen eller Miller-indices (H 1 K) erhållna utgående från primitivcellen. Bestäm sambandet mellan (h,k) och (HK). H = 0.5(h-k) K = 0.5(h+k) a) Hexagonalt med kantlängd a = 2.47 och 2 atomer/gp, t ex i 4 a 1! a 2! 1 3 och a 1! a 2! 2 3 (där vinkeln är 120 mellan a 1 och a 2 ). b) Hexagonalt med c/a = 2.72 och 4 atomer per gitterpkt. Bas: 0,0,0, a 1! a 2! 1 3, a 1! a a 2 (0,0,0), ( 2 3, 1 3, 0), (1 3, 2 3, 1 2 ) och ( 2 3,1 3, 1 2 ). 1 3 a a + a 2 2 eller kortare S12. För alkalihaliderna har den relativa jonstorleken betydelse för kristallstrukturen. Utnyttja detta för att förklara skillnaden i struktur mellan CsCl och NaCl. För Cs, Na och Cl är jonradierna 1.8 Å, 0.95 Å och 1.8 Å. Joner med olika laddning är i kontakt utan att joner med lika laddning är i kontakt om kvoten mellan jonradierna i en halid med CsCl struktur är större än!3-1. För NaCl struktur är motsvarande kritiska värde!2"1. DIFFRAKTION D1. Rita ett tvådimensionellt gitter med primitiva basvektorerna a = 4!x b = x + 2y a) Rita in linjerna med index (11), (10), (10) och (52). S11. I grafit är atomerna ordnade i plan mellan vilka avståndet är långt (3.36 Å) jämfört med avståndet mellan närbelägna atomer i ett plan (1.43 Å). I planen är atomerna ordnade i ett bikakemönster (se figur 1). Planen är ordnade i sekvensen ABAB... där positionerna för intill-liggande plan anges i figur 2. a) Beskriv med gitter och bas atomernas positioner i ett plan b) Beskriv den 3D strukturen med gitter och bas. b) Beräkna trigometriskt avstånden d ll mellan näraliggande (ll) linjer. c) Beräkna basvektorerna i motsvarande reciproka gitter. Rita upp reciproka gittret. d) Vad blir reciproka gittervektorn G ll och hur förhåller den sig till d ll? b) d ll = 8/ 13 c) A = #/4 (2, -1), B = #/4 (0, 4) d) G ll = #/4 (2, 3), G ll = 2#/d ll D2. Det hexagonala gittret kan beskrivas med de primitiva basvektorerna a = (!3a/2) x + (a/2)y

3 5 6 b = - (!3a/2) x + (a/2)y c = c z Konstruera basvektorerna i det reciproka gittret och visa att detta också är hexagonalt. Beskriv hur den reciproka enhetscellen är orienterad i förhållande till den ursprungliga. A = (2#/!3a)x + 2#/a y B = -(2#/!3a)x + 2#/a y C = 2#/c z D3. Visa att mot ett bcc gitter i rummet med gitterparametern a svarar ett fcc gitter i reciproka rummet med gitterparametern 4#/a. D4. Visa att det reciproka gittret till ett bascentrerat ortorombiskt gitter (se figur) också är ett bascentrerat ortorombiskt gitter. Om den konventionella rätvinkliga enhetscellen har kantlängderna a, b och c, där c är avståndet mellan de sidor som har enpunkt mitt på sidan så har den motsvarande reciproka cellen kantlängderna 4! a, 4! 2! och b c. a) 4.10 Å b) (100), (110), (111), (200), (210) c) h 2 +k 2 +l 2 = 27 dvs (511) och (333) d) CsCl D8. KCl och KBr har båda NaCl struktur. Vid röntgendiffraktion observeras följande reflexer: KBr , 311, 222, 400, 331, 420 KCl 200, , 400, 420 Förklarna skillnaden mellan resultaten för de två ämnena. f K + " f Cl - pga att ant el lika. D9. En legering av 50 % Au och 50 Zn har bcc struktur. Vid hög temperatur är atomerna slumpmässigt fördelade över gitterplatsrena. Om temperaturen sänks sakta erhålles en ordnad struktur där varje atom är omgiven av närmsta grannar av det andra atomslaget. Hur påverkas ett pulverdiffraktogram av övergången från oordnad till ordnad legering. För det oordnade fallet feff = 1 2 (f Au+f Zn ) och bcc reflexer. För det ordnade erhålles CsCl struktur med sc gittrets reflexer. D10. Ett visst ämne har kubisk struktur vid rumstemperatur. 400 reflexer erhålles vid en diffraktionsvinkel som uppmäts till med FeK $1 (1.932 Å) strålning. Om reflexen uppmäts vid en låg temperatur finner man att den är splittrad i två reflexer, en vid och en, dubbelt så stark, vid Vilken är strukturen vid den lägre temperaturen? Tetragonal a = Å, c/a = D5. Visa att 1:a Brillouinzonens volym är (2#/V) 3 där V är volymen för rumsgittrets primitivcell. Vid volymberäkningen har man använding för sambandet (c x a) x (a x b) = (c. a x b)a. D6. Ett röntgendiffraktogram för Al i pulverform (Debye-Scherrermetoden) upptaget med CuK$ strålning ger följande Bragg-vinklar: 19.48, 22.64, 33.0, 39.68, 41.83, 50.35, 57.05, Al har densiteten 2700 kg/m 3 och kmolmassan 27 kg. Beräkna Avogadros tal. D7. För en alkalihalid i pulverform erhålles med CuKa strålning följande värden på de fem minsta Braggvinklarna: 10.83, 15.39, 18.99, och a) Beräkna gitterparametern b) Ange index för de plan som ger upphov till de observerade reflexerna c) Ange Miller index för de eller det plan som ger största möjliga Braggvinkel d) Identifiera alkalihaliden D11. Al har fcc struktur och gitterparametern är 3.90 Å vid rumstemperatur. Gitterparametern ökar med ökande temperatur med en utvidgningskoefficient av K -1. Vilka reflexer bör man välja vid given strålning, säg CuK $, för att med bäst noggrannhet mäta den termiska utvidgningen? %& = -%a/a. tan&, dvs rejäla vinkeländringar för stora &. D12. För att erhålla strålning med väldefinierad fotonenergi i röntgenområdet låter man vit röntgenstrålning diffrakteras av en Cu(111) kristall. Den infallande strålen bildar vinkeln 30 med provets normal. Vilka fotonenergier erhålls i spegelriktningen (dvs i en riktning som ligger i infallsplanet och bildar vinkeln 30 med provets normal)? Cu har fcc struktur med gitterparametern 3.61 Å. n 5950 ev, n = 1,2,3 D13. Si och GaAs har båda fcc gitter. För Si är basen (0,0,0), (1/4,1/4,1/4) och för GaAs Ga(0,0,0), As (1/4,1/4,1/4). Bestäm Miller index för de tillåtna röntgenreflexerna för de två ämnena. Si : S = f Si (1+e i#(h+k+l)/2 )

4 7 8 GaAs: S = f i! (h +k + l) / 2 Ga + f As e där f Ga # f As dvs för GaAs erhålles alla fcc reflexerna (h,k,l alla udda eller alla jämna). För Si släcks de fcc reflexer ut för vilka S = 0 dvs då h+k+l = 2+4n. För Si erhålls således 111, 220, 311, 400 osv. D14. En kristall med enkel kubisk struktur och gitterparametern a är skuren så att en yta är vinkelrätt mot [100]-riktningen. Visa i figur reflexionen mot ett (210)-plan samt ange vektorerna k (för infallande stråle) och k' (för den diffrakterade strålen) om den infallande strålen är vinkelrät mot provytan. D15. KMnF 3 har kubisk struktur vid rumstemperatur. Braggvinkeln för (400)-reflexen är En Debye-Sherrer upptagning vid 100 K visar att (400)-reflexen är uppsplittrad i två reflexer med en Bragg-vinkelskillnad på 0.35, där reflexen med den större Braggvinkeln har dubbelt så stor intensitet som reflexen med den mindre Bragg-vinkeln. Resultatet tyder på att ämnet vid låga temperaturer har tetragonal enhetscell. Beräkna c/a för denna enhetscell. c/a = D16. Monokromatisk röntgenstrålning med våglängden Å faller in parallellt med (010)-planen i en Al enkristall (fcc a = 4.04 Å). När den infallande strålen bildar vinkeln med [100]-riktningen erhålles en diffrakterad stråle som också ligger i (010)-planet. Indicera denna reflex D17. Ett grundämne har bcc struktur. Hur mycket måste atomen i enhetscellens mitt flyttas längs rymddiagonalen för att 100 reflexen skall få en intensitet som uppgår till 10 % av 110 reflexens intensitet? Intensiteten är proportionell mot kvadraten på strukturfaktorns belopp. Ange förskjutningen i procent av rymddiagonalens längd. 8.7 %. D18. I austenitiskt Fe (fcc-struktur) kan inlösas upp till 8 at % C, som antar interstitiella platser. I enhetscellen intar C atomerna lägena (1/2,1/2,1/2), (1/2,0,O), (0,1/2,0) och (0,0,1/2) med samma sannolikhet för vart och ett av lägena. a) Ställ upp ett uttryck för strukturfaktorn för det fall att alla fyra C lägena är besatta. b) Med hur många procent ändras intensiteten för en 200 reflex då 8 at % löses in i kristallen? Intensiteten sätts proportionell mot S 2. Formfaktorerna approximeras med atomnumren (6 för C, 26 för Fe) a) S = f Fe [1+cos#(h+k) + cos#(k+l)+cos"(h+k)] + f c [cos"(h+k+l) + cos"h+cox"k + cos"l] b) Intensiteten för 200 reflexen ökar med ca 4 %. D19. En enkristall av Ag undersöks med Laues diffraktionsmetod. Strålen infaller vinkelrätt mot ytan som är parallell med (111) plan. Hur stor vinkel med normalen bildar 355-reflexen? 24.5 D20. Ett grundämne har en struktur som kan beskrivas med en tetragonal, rymdcentrerad enhetscell (a = b # c) där c = a$2 = 4.09 Å. a) Beräkna de tre minsta diffraktionsvinklarna om man låter röntgenstrålning med ' = 1.54 Å infalla mot provet. b) Om Du har räknat rätt finner Du att samma vinklar erhålls för Ag (fcc, med gitterparametern 4.09 Å). Förklara varför. a) 38.1, 44.2, 64.3 b) fcc strukturen kan beskrivas med en tetragonal enhetscell (se uppgift S4). D21. Cu 2 O har kubisk enhetscell med syreatomerna i kubens hörn och i dess mitt. Kopparatomerna befinner sig i hörnen av en tetraeter. Med origo i kubens mitt har kopparatomerna koordinaterna a 4 ( 1,1,1), a 1,!1,!1 4 ( ), a 4 (!1,1,!1) och a 4 (!1,!1,1) För vissa reflexer bestäms intensiteten av endast Cu-atomerna och för vissa andra reflexer av endast syreatomerna. Ange dessa reflexer. h,k,l alla udda, endast Cu bidrar; två udda och en jämn, endast O bidrar; två jämna och en udda, ingen intensitet; alla jämna, både O och Cu bidrar D22. En 100 kev elektronstråle infaller vinkelrätt mot en tunn enkristallin Cr-folie med (110)-plan parallellt med foliens yta. Rita upp det diffraktionsmönster som erhålles på en skärm bakom folien. Indicera 8 punkter och ange riktningar. Cr har bcc struktur med a = 2.88 Å. D23. En stråle elektroner infaller vinkelrätt mot en kopparkristall (fcc a = 3.60 Å) som skurits vinkelrätt mot en [111]-riktning. Vilken är den minsta elektronenergi som kan ge upphov till ett diffraktions-mönster ev. D24. Elektroner infaller vinkelrätt mot ett atomlager grafit. Den atomära ordningen framgår av nedanstående figur. Avståndet är 1.42 Å mellan närbelägna kolatomer. A) Ange basen om man väljer ett gitter med den markerade cellen. B) beräkna den största diffraktionsvinkel som erhålls om elektronenergin är 63 ev. A) (0,0), a(1,0), a(3/2, V3 /2), och a(5/2, V3 /2) där a = 1.42 Å. B) 133,5.

5 9 10 VIBRATIONER, TERMISKA EGENSKAPER V1. Härled dispersionsrelationen för en tvåatomig linjär kedja med växelverkan endast mellan närmsta grannar. Visa att den optiska grenen beskriver dispersionen för en våg där intilliggande atomer rör sig åt motsatt håll (dvs u/v är negativ om u och v är avvikelserna från jämviktslägena för de olika atomslagen). Förklara varför vid k = #/a, där a är gitterparametern, den akustiska modens frekvens bestäms av det ena atomslagets massa medan den optiska modens frekvens beror endast av det andra atomslagets massa. Hur ändras dispersionrelationen om M 1! M 2? D25. Betrakta en linjär kedja av atomer A B AB... där avståndet mellan atomerna är a/2. Formfaktorerna är f A respektive f B för A och B atomerna. Låt en röntgenstråle infalla vinkelrätt mot kedjan. a) Visa att villkoret för diffraktion kan skrivas a cos & = h där h = heltal och & vinkeln mellan kedjan och det utgående strålen. b) Visa att den diffrakterade intensiteten är proportionell mot f A + f B 2 då h är ett jämnt tal och fa - fb 2 om h är ett udda tal. V2. Härled dispersionsrelationen för ett tätpackat lager av atomer. Antag växelverkan endast mellan närmsta grannar och betrakta transversella vågor. Hur stor är frekvensen i ett hörn av Brillouinzonen och i mitten på en sida? M! 2 = 3 - cos k. a 1 - cos k. a 2 - cos k (a 1 -a 2 ) där a 1 och a 2 är basvektorer 2c (a 1 = a 2 och 60 mellan dem), ( 2 = 8c/M mitt på sida, ( 2 = 9c/M hörn V3. Härled dispersionsrelationen för en linjär atomkedja där fjäderkonstanten är c 1 mellan närmaste grannar och c 2 = c 1 /2 mellan näst-närmaste grannar. Skissa dispersionskurvan och frekvensspektrat. Varför erhålls maximal frekvens inte, som för c 2 = 0, vid Brillouin-zongränsen? Lösning: Låt u s vara förskjutningen från jämviktsläget av atom nummer s. Newtons andra lag ger för denna atom att Müs = c 1 (us+1 - us) + c1(u u s ) + c 2 (u s+2 - u s ) + c 2 (u s-2 - u s ). I detta fall: c 2 = c 1 /2 Müs = c 1 [u s+1 + u s-1 + (u s+2 + u s-2) /2-3u s ). Ansats: u s = u o exp[i(kx s - (t)], där x s = sa. Insättning ger: -M( 2 = c 1 [exp(ika) + exp(-ika) + (1/2){exp(i2ka) + exp(-i2ka)} - 3] " ( 2 = (4c 1 /M)[sin 2 (ka/2) + (1/2) sin 2 ka]. ( 2 = (4c 1 /M)[sin 2 (ka/2) + (1/2) sin 2 ka]. Max.frekvens då närmsta grannar är ur fas, c 2 = 0 " grannarna ur fas för ka =± %. c 1 = 0 " grannarna ur fas vid ka = ±%/ 2. c 1 ) 0, c 2 ) 0 " grannarna ur fas någonstans mellan ka = ±%/ 2 och ka = ±%. V4. Man kan modellera longitudinella vibrationer i en polyetenmolekyl (-CH=CH-CH=CH-) genom att betrakta en linjär kedja av identiska massor M, men med alternerande fjäderkonstanter c 1 och c 2 (svarande mot enkelrespektive dubbelbindning) mellan massorna. Låt a vara kedjans period, dvs avståndet från en CH-grupp till näst närmaste granne. Härled och skissa dispersionsrelationerna för de longitudinella vibrationerna.

6 11! 2 = c + c # 1 2 M 1± 1" 4c c 1 2 sin2 ( ka / 2) & % $ ( c 1 + c 2 ) 2 ( ' V5. I många fall kan man få bättre överensstämmelse med experimentella dispersionsrelationer om man antar att jonkärnor och yttre elektroner förskjuts olika mycket. Betrakta en linjär kedja enligt figuren med jämviktsavståndet a mellan atomerna. Antag att de yttre elektronerna hörande till en viss atom växelverkar endast med sin egen jonkärna (fjäderkonstant c 2 ) och med de yttre elektronerna hörande till de närmaste grannatomerna (fjäderkonstant c 1 ). Jonkärnans massa är M, och massan av varje atoms yttre elektroner är m << M. a) Härled dispersionsrelationen för kedjan under antagandet att m! 0. b) Bestäm ljudhastigheten och maximala egenfrekvensen för kedjan. Jämför med motsvarande uttryck för en kedja av "stela" atomer. Antag att m * 0. V8. Visa att man med användning av Debye-approximationen, ( = vk, finner att gittervibrationernas bidrag till värmekapacitiviteten vid låga temperaturer varierar som T 2 för en tvådimensionell kristall och som T i det endimensionella fallet. V9. Figuren överst på nästa sida visar dispersionen för fononer i GaAs längs två olika symmetririktningar i k-rummet. a) Förklara förekomsten av högfrekventa moder för k = b) Förklara antalet observerade moder (sex längs [110] och fyra längs [111]). c) Uppskatta ljudhastigheten i GaAs. a) mer än en atom i primärcellen! optiska grenar b) Två atomer/cell! 1 LA + 2TA och 1LO + 2TO grenar dvs totalt sex grenar. Pga symmetrin i [111] riktningen har de två TA grenarna samma dispersions och samma gäller de två TO grenarna. c) Ljudvågor (lågfrekventa LA): ( = vg k vg = 2#f/k " m/s (ur fig.) a)! 2 = 4c 1 M " 2 ka sin c 1 sin 2 ka c 2 2 b) v = a c 1 M ;! 2 max = 4c 1 M c 1 c 2 V6. Jämviktsavståndet mellan atomerna i en linjär kedja är 4.85 Å och den maximala vinkelfrekvensen för longitudinella egensvängningar är 4.46 x s -1. Vibrationer med vinkelfrekvensen 5.75 x s -1 exciteras nu i kedjan av en extern källa (t ex en vibrerande molekyl bunden till kedjan). Hur många atomavstånd från källan har den påtvingade svängningens amplitud sjunkit till under 10% av amplituden vid källan? 2 V7. Beräkna tillståndstätheten D(() för en linjär kedja av atomer med växelverkan endast mellan närmsta grannar. D(() = 2N! (" max # " )#1/2 V10. En enkristall med sc struktur och a = 4.25 Å bestrålas med neutroner som infaller i [100] riktningen och har debroglie våglängden 3.50 Å. Några av neutronerna sprids i framåtriktningen pga växelverkan med kristallens gittervibrationer och lämnar kristallen i [111] riktningen med en våglängd som är 2.33 Å. a) Innebär växelverkan att fononer skapas eller förintas? b) Beräkna vinkelfrekvens och vågvektor (i 1:a Brillouin-zonen) för de fononer som orsakar spridningen.

7 13 14 a) fononer förintas b) 2, rad/s, (-0, 24, 0,08, 0,08)Å -1 ELEKTRONGASEN E1. Visa att det för en fri elektron gas gäller att D(E) = C d E (d-2)/2 där d = 3 för en tredimensionell gas, d = 2 för tvådimensionell och d = 1 för endimensionell gas. E2. a) Beräkna tillståndstätheten, N(E), för en 2D gas av fria elektroner i en kvantgrop där randvillkoret för vågfunktionen är /(x,y,z) = 0 för x > a där a är av storleksordningen en atomradie. b) Beräkna N(E) för en gas av fria elektroner i en kvanttråd där randvillkoren är /(x,y,z) = 0 för x < a och y < b där både a och b är ungefär en atomradie. E3. Visa att kinetiska energin, E K, för en tredimensionell elektrongas vid 0 K är 3 5 NE F. N är antalet fria elektroner. E4. För Na beskrivs valenselektronerna väl av frielektrongasmodellen. Beräkna kvoten mellan Fermi-vågvektorn och radien för den största sfär som ryms i den 1:a Brillouinzonen E5. Utgå från att frielektronmodellen gäller för Al och beräkna separationen mellan energinivåer nära E F för ett kubiskt prov med volymen a) 10 cm 3 b) 10 mm 3 och c) 100 Å 3. a) ev b) ev c)0.43 ev E6. a) Bestäm Fermi-energi, E F, för K vid 0 K. b) Bestäm tillståndstätheten för 1 cm 3 kalium. c) Hur stor andel av valenselektronerna i K har en energi som ligger i ett kt stort intervall runt E F vid 300 K? a) 2.0 ev b) ev -1 c) 2 % E7. He 3 har spinn 1/2 och beskrivs med Fermi-Dirac statistik. Densiteten nära 0 K är 81 kg/m 3. Beräkna E F och Fermi-temperaturen. E F = 0.44 mev, T F = 5 K E8. Visa att 0((), konduktiviteten vid frekvensen (, kan uttryckas 0(() = 0 o /(1-i(,) där 0 o = ne 2,/m. E9. För Al är E F = 12 ev och resistiviteten m vid rumstemperatur. Beräkna fria medelväglängden för elektronerna och deras drifthastighet i ett elektriskt fält av 1000 V/m. 140 Å, 1.2 m/s. E10. Vid vilken våglängd blir Al genomskinligt om man antar att dess valenselektroner beskrivs av frielektronmodellen? 787 Å E11. Bestäm plasmonenergin för Al mha följande uppmätta värden för + r. h((ev) h((ev) h ( p = 12.7 ev E12. Beräkna den temperatur vid vilken valenselektronerna och vibrationerna bidrar lika mycket till värmekapacitiviteten för a) Al och b) Pb. a) Al 7.8 K b) Pb 1.3 K E13. För Na är E F = 3.2 ev, den termiska massan nära lika elektronmassan och Debyetemperaturen 160 K. Hur stor del av den totala värmekapacitiviteten bidrar valenselektronerna med vid 300 K? 1.4 % E14. Hall-koefficienten för Al i fast form är Vm A -1 T -1. Hur många elektroner per atom kan betraktas som fria? 2.7 E15. Hall-koefficienten för Al i flytande form är m 3 C -1. Vid 77 K är elektronernas relaxationstid,,, s. Uppskatta den elektriska och termiska ledningsförmågan för Al vid 77 K m -1, 556 W/mK. E16. Visa att maximala ytresistansen är 4.1 k-. Betrakta en kvadratisk, tunn film med sidan L, tjockleken d och resistansen.. Den resistens som mäts mellan två motsatta sidor kalls kvadratruteresistansen (resistance per square, R sq ) där R sq =.L/Ld =./d dvs R sq är oberoende av hur stor rutan är. Med. = m/ne 2, erhålles R sq = m/nde 2,. Antag nu att, begränsas av stötar mot filmens ytor dvs

8 15 16, " d/v F. Minskar man tjockleken tillräckligt kommer stötarna mot ytorna att sätta gränsen för, varför det maximala värdet på R sq! mv F /nd 2 e 2. Visa att för ett atomlager tjock film detta innebär att R sq ~ h/ e 2 = 4.1 k-. E17. Resistansen för en tunn tråd kan delvis bero på elektronernas spridning mot trådens yta. Uppskatta vid vilken diameter en procent av en koppartråds resistans orsakas av spridning mot ytan. Nödvändiga data hämtas från tabell. Några µm. ENERGIBAND, FERMIYTOR EF1. EF2. EF3. EF4. Beräkna hur många valenselektroner per atom som krävs för att Fermi-sfären ska nå fram till närmsta Brillouin-zongräns för ett ämne med a) bcc och b) fcc struktur. a) 1.48 b) 1.36 Rita upp frielektronband i den reducerade zonens [111] riktning för en fcc kristall. Rita upp alla band med energier mindre än sex gånger det lägsta bandets högsta energi, dvs dess energi i punkten 2#/a (1/2,1/2,1/2). Uppskatta hur stora bandgapen skulle behöva vara vid 1:a Brillouin-zonens gränsytor för att zonen skulle vara fylld för den divalenta metallen Ca. För Ca är a = 5.58 Å. För fria elektroner erhålles följande energier vid symmetripunkter på zonens yta: X: k = 2#/a, E = 4.84 ev; L: K = 1.73 #/a, E = 3.63 ev; U : k = 6.68/a, E = 5.45 ev; W : k = 7.05/a, E = 6.09 ev. Bandgapen behöver vara 1.25 ev vid X och 2.46 ev vid L. För en linjär kedja av atomer erhålls följande dispersion för valenselektronerna E = A-B cos ka. Beräkna tillståndstätheten per energiintervall, D(E). A och B är konstanter och a gitterparametern. EF9. c) Visa, på ett ungefär, energibandens utseende i upprepade zonschemat om man antar små energigap vid Brillouinzonens gränser. Alkalimetallerna har små bandgap mellan det lägsta och det näst lägsta energibandet (Eg < 0.5 ev). Beräkna kvoten mellan tröskelenergin för direkta optiska övergångar för en alkalimetall och Fermi-energin. h ( o = 0.64 E F. EF10. I Li kan inlösas upp till 70 atom % Mg. Beskriv kvalitativt hur det optiska absorptionsspektrat för Li ändras då Mg inlöses. EF11. Varför är guld gult och koppar röd? EF12. För en en-dimensionell kristall beskrivs dispersionen för ett energiband av E(k) = h 2 k 2 /2m* -C h 4 k 4. Vad måste vädet på konstanten C vara för att detta uttryck skall kunna gälla i hela intervallet mellan k = 0 och zongränsen k = ± #/a. C = a 4 /4# 2 h 2 m* EF13. Vilken information om bandstrukturen för Al kan utläsas av de värden på + r som ges i uppgift E11. Absorptionsmaximum i Al pga övergångar mellan parallella energiband vid zongränser i kontakt med Fermiytan. Energibanden är för 200 zongränsen separerade med 1.5 ev. Innebär att 2 U G200 = 1.5 ev. Se H P Myers bok sid ej beskrivet i Kittel. EF14. Nedanstående figur visar + 2 ( imaginärdelen av dielektricitetsfunktionen) som funktion av fotonenergin. Försök bestämma vilken typ av material (metall, halvledare, isolator) dessa uppmätta kurvor härrör från. Motivera Ditt svar. D(E) = 2L /(!a B 2 " (A " E) 2 ) EF5. EF6. EF7. EF8. Konstruera 4:e Brillouinzonen för ett kvadratiskt gitter och visa de erhållna areorna kan flyttas in i 1:a Brillouinzonen med reciproka gittervektorer som translationsvektorer och att areorna efter flyttningen fyller 1:a Brillouin-zonen. Varför erhålles inte något energigap vid X-punkten (k = 2#/a (100)) mellan de två lägsta energibanden för Si och Ge (se Kittel sid 215, Myers sid 202)? Rita en figur som visar de två första Brillouin-zonerna för ett rektangulärt tvådimensionellt gitter med a = 3b. En envärd, tvådimensionell metall har atomerna ordnade i ett rektangulärt gitter (a = 2 Å, b = 4 Å) med en atom per gitterpunkt. a) Rita upp 1:a Brillouinzonen. b) Beräkna radien för Fermicirkeln och rita in den i 1:a Brillouinzonen. A: Halvledare (Ge), B: Metall (Au) EF15. Antag att sambandet E = Ak 2 - Bk 4 gäller för ett energiband i ett 1D fall (sambandet gäller för positiva E-värden). a) För vilket k-värde är grupp- och fashastighet lika? b) Skissa grupphastighetens och effektiva massans k-beroende.

9 17 18 a) k =(A/3B) 1/2 a) 0 = m -1 b) n = m -3, p = m -3 c) µ = 0.87 ev HALVLEDARE H1. Dispersionen nära valensbandets maximum vid k = 0 ges av E = E Vmax k 2 Jm 2. En elektron tas bort från tillståndet med k = 10 9 m -1. Beräkna hålets a) effektiva massa b) vågvektor c) hastighet d) energi a) kg (0.06 me) b) m -1 c) m/s d) 0.6 ev H2. För InSb är bandgapet 0.23 ev, relativa dielektricitetskonstanten 18 och elektronernas effektiva massa m. Beräkna a) donatorjonisationsenergin b) radien för en elektron i donatoratomens grundtillstånd c) den donatorkoncentration som krävs för överlapp mellan närliggande störatomers elektronbanor. a) E d = ev, b) r = cm c) N = cm -3 H3. För ett Ge prov mäts resistansens temperaturberoende med följande resultat: T(K) R(-) Beräkna energigapets storlek ev H4. Provet i föregående exempel dopas med at % As. a) Hur påverkas ledningsförmågan vid rumstemperatur? b) Ungefär vid vilken temperatur är det intrinsiska bidraget till ledningsförmågan lika stort som det extrinsiska? a) 0 i (300 K) = m -1, 0 = m -1 b) Vid ca 900 K. H5. a) Beräkna den intrinsiska ledningsförmågan för Si vid rumstemperatur. b) Hur påverkas laddningsbärartätheten vid dopning med fosforatomer/m 3? c) Beräkna Ferminåvåns läge för den dopade halvledaren. H6. a) Beräkna den intrinsiska ledningsförmågan för GaAs vid RT. Bandgapet är 1.40 ev. b) En del As ersätts med Se. Beräkna jonisationsenergin för störatomen. c) Beräkna banradien för störatomens grundtillstånd. d) Beräkna den Se halt som krävs för överlapp mellan närliggande störatomers elektronbanor. e) Beräkna Fermi-nivåns läge och laddningsbärartätheten vid den dophalt som erhållits i föregående deluppgift. a) 4.! m b) 5 mev c) 100 Å d) m -3 e) µ = Eg -40 mev, n = m 3, p = 10 2 m -3 H7. a) Beräkna den intrinsiska ledningsförmågan för InSb vid rumstemperatur om bandgapet antas vara 0.18 ev. b) En del Sb ersätts med Te. Beräkna jonisationenergin för störatomen. c) Beräkna banradien för störnivåns grundtillstånd. d) Beräkna den halt av Te som krävs för överlapp mellan närliggande störatomers elektronbanor. e) Beräkna Fermi-nivåns läge och laddningsbärartätheten vid den dophalt som erhållits i föregående deluppgift. a) 0 = m -1 b) 0.8 mev c) 545 Å d) m -3 e) n = m -3, p = , µ = ev H8. Si dopas med 1 ppm Al. Visa att den intrinsiska laddningsbärartätheten vid rumstemperatur är försumbar jämförd med den extrinsiska. Visa att nästan alla (> 95 %) störatomer är joniserade. Beräkna Fermi-nivåns läge vid 300 K och 100 K och också förhållandet mellan ledningsförmågan vid 300 K och 100 K. N a - = = 95 % N a, µ(300 K) = 0.13 V, µ(100) = ev 0(300 K)/0 (100 K) = 5.2 H9. Ett mycket rent Ge prov har resistiviteten 3.9 -m vid 300 K. Provet dopas med boratomer/m 3. Vilken täthet av elektroner och hål erhålles och vilken resistivitet erhåller det dopade provet? Var ligger Ferminivån? p = m -3, n = m -3 ;. = m, µ = ev H10. En halvledare med bandgap 0.30 ev är dopad med donatoratomer per m3. Vid temperaturer över 100 K är dessa helt joniserade. Beräkna koncentrationen av elektroner och hål vid temperaturerna 100 K, 200 K, 300 K. a) n = m-3 och p = m-3 vid 100 K n = m-3 och p = m-3 vid 200 K

10 19 20 n " p = m-3 vid 300 K H g Si dopas med 4µg Al. Halten av övriga föroreningar är avsevärt mindre. Jonisationsenergin är av storleksordning 0.01 ev. Vilken konduktivitet fås vid rumstemperatur om mobiliteten för elektronerna i kisel är 0.13 m2/vs och för hål 0.05 m2/vs. 17 (-#m)-1 H12. Konduktiviteten, 0 o, hos en bit dopat Ge mäts vid rumstemperatur. Provet smälts och arsenik tillsätts i en mängd av en föroreningsatom, As per en million Ge-atomer. Den nya kristallen är av n-typ och har en konduktivitet av 1000 (-m)-1. Elektron- och hålmobiliteterna är 0.45 m2/vs och 0.35 m2/vs. Ed (As) = 0.01 ev och gitterkonstanten är a = 5.66 Å. a) Hur och hur mycket var den ursprungliga kristallen dopad? b) Hur stor var 0 1? a) p-dopad med störatomer per m3 b) 1700 (-m)-1 H13. En rektangulär halvledarplatta har kantlängderna 10 mm, 4 mm och 1 mm. En ström med styrkan 1.5 ma leds mellan plattans kortändor vilket medför ett potential fall på 78 mv mellan kortändorna. Med ett magnetfält på 0.7 Wbm -2 vinkelrätt mot plattan uppmäts en spänning av 6.8 mv mellan plattans långa sidor. Tecken och riktningar framgår av figuren på nästa sida. Beräkna laddningsbärarnas karaktär (hål eller elektroner), täthet och mobilitet. elektroner, n = m -3, µ e = 0.31 m 2 V -1 s -1 H15. För GaAs passerar ledningsförmågan ett minimum då den mäts som funktion av acceptorkoncentrationen. Visa detta och beräkna, för T = 300 K, håltätheten och elektrontätheten vid den dophalt som ger minimal ledningsförmåga. Beräkna också kvoten mellan den minimala ledningsförmågan och den intrinsiska. För GaAs är µ e = 8500 cm 2 V -1 s -1, µ n = 400 cm 2 V -1 s -1 och np = cm -6 vid 300 K. n = cm -3, p = cm -3 och 0 min /0 i = H16. Visa i diagram hur Fermi-nivån och kvoten, µ/n i, mellan elektrontätheten, n, för donatordopad GaAs och intrinsiska elektrontätheten, n i, varierar med kvoten, N D /n i, där N D är donatortätheten för a ) 0 < N o /n i < 10 och b) 10 6 < N a /n i < Halvledaren har rumstemperatur. Bindningsenergin för donatorerna är mindre än 6 mev. Elektronmassan är m och hälmassan 0.5 m. a) b) n! = 0,5 N D n i "# n i,µ i = 0.74eV + (( N D n i ) 2 1/ 2 $ + 4) %&,µ = µ e i + kt ln n n i H14. Nedanstående diagram visar Hall-koefficientens temperaturberoende för en halvledare. Bestäm om halvledaren har n- eller p-karaktär och beräkna dophalten. n-dopad, R H cm 3 C -1 vid platån ger n m -3. n n i = N D N i,µ e = µ i + kt ln n n i,µ i = 0.74eV H17. a) Ett energiband beskrivs av E(k x ) = -E o cosk x a där E o = 1 ev och a = 4 Å. Beräkna kvoten mellan effektiva bandmassan i k x = 0 och elektronens massa ( kg).

11 21 22 b) Visa att en elektron som vid t = 0 befinner sig i k x = 0 i ovan beskrivna energiband kommer att oscillera med frekvensen e!a h om ett statiskt elektriskt fält, +, påläggs i x-led. H18. Hål i Ge har mobiliteten 0.18 m 2 /Vs och m*/m = Vilken relaxationstid svarar detta mot? 0.33 ps. M6. Manganarsenid är ferromagnetiskt med effektiva magnetontalet p = 3.4 och Curie-temperaturen T c = 318 K. I det paramagnetiska området, T > T c, kan p beräknas som för ett salt med magnetiska Mn +3 joner med konfigurationen 3d 4. Ett prov av MnAs placeras i ett magnetfält B = 0.02 T. Beräkna kvoten mellan magnetiseringen vid 400 K och mättnadsmagnetiseringen vid 0 K M7. a) Förklara att utseendet på magnetiseringskurvorna för Fe, Ni och Co (Fig sid 471 i Kittel och sid 385 i Myers bok) är olika för de olika riktningarna på fältet b) Beräkna ett värde, för Fe, på kvoten M[100]/M[111] då det pålagda fältet går mot noll och jämför med det uppmätta värdet. MAGNETISM M1. $-Fe (bcc fasen, T < 1183 K) är över Curie-temperaturen paramagnetiskt med en susceptibilitet 3 = C/(T-T c ) där C = 2.18 K och T c = 1093 K. Uppskatta storleken på det inre fältet (Weiss-fältet) i Fe vid 0K. B i = T (' = ) M2. Hur stort pålagt magnetfält, µ o H, behövs för att 51 % av metalljonerna i CuSO 4 ska ha sina magnetiska moment orienterade parallellt med fältet om saltet hålls vid rumstemperatur? 8.8 T M3. CuSO 4. 5H 2 O har en susceptibilitet som beskrivs väl av uttrycket för en ideal paramagnetisk gas. Uttryck susceptibilitetens temperaturberoende 3(T). Ibland anges susceptibiliteten per mol volym, 3 mol, eller per den volym som innehåller 1 kg, 3 mass. Beräkna också dessa. 3 = /T, 3 mol = /T m 3 mol -1, 3 mass = /T m 3 kg -1 M4. För Pt är 3 = Uppskatta med ledning härav 4, som anger elektronernas bidrag till värmekapacitiviteten, 4T. Jämför med det uppmätta värdet på 4 (7mJ mol -1 K -2 ) och ge en trolig förklaring till skillnaden. Uppskattat: 4 = 16.8 mj mol -1 K -2 M5. Beräkna antalet effektiva Bohrnmagnetorer för Mn +3, Fe +3, Sm +3 och Gd +3. För 3d-joner p = 2 S(S + 1), dvs 4.9 för Mn+3 och 5.9 för Fe +3. För Sm +3 och Gd +3 ger Hunds regler resp PUNKTDEFEKTER P1. Anta att det krävs 1 ev för att föra en Na atom från metallens inre till dess yta. Beräkna tätheten vakanser i Na vid rumstemperatur cm -3 P2. För Cu är migrationsenergin för vakanser 0.8 ev och självdiffusionskonstanten är cm 2 s -1 vid 700 K och cm 2 s -1 vid 1000 K. Beräkna vakanstätheterna vid dessa båda temperaturer. n N = vid 700 K och vid 1000 K (E D = 1.7 ev, E V = 0.9 ev) P3. En guldtråd hettas först upp och sen avkyls den snabbt i vatten varefter dess resistans mäts vid 4 K. I tabellen ges mätresultat från ett antal sådana mätningar efter upphettning till olika temperaturer (T i tabellen). %R är skillnaden i resistans vid 4 K mellan ett prov som avkylts snabbt och ett som avkylts mycket långsamt. Vilken information kan man erhålla ur dessa mätningar? T ( C) %R(µ-cm) %. = exp(-0.9 ev/kt) µ -cm, dvs E V = 0.9 ev och 1 % vakanshalt ger en resistivitetsökning av 3 µ -cm. P4. Legeringar framställs ibland genom att pressa och sintra metallpulver. Anta att en CuNi legering med lika halt av Cu och Ni ska tillverkas, Anta att diffusionen för båda ämnena beskrivs av sama diffusionskonstant med D o = 0.1 cm 2 s -1 och

12 23 E D = 2 ev. Uppskatta de tider det bör ta att erhålla en homogen legering vid 727 C och vid 927 C. Partiklarna i pulvret har diametern 0.1 mm s vid 727 C och s vid 927 C. P5. a) Beräkna självdiffusionskoefficienten för Fe vid 850 C (D o = 2 cm 2 s -1, E D = 2.6 ev) b) diffusionskoefficienten för C i Fe vid 850 C (D o = cm 2 s -1, E D = 0.87 ev) c) diffusionskonstanten för Ci Fe vid 950 C (fasomvandling till 4-Fe vid 910 C, D o = 0.1 cm 2 s -1, E D = 1.4 ev). a) cm 2 s -1 b) cm 2 s -1 c) cm 2 s -1 P6. Hur sker diffusionen av C i Fe. Härled ett uttryck för diffusionskonstanten, D, och definiera de storheter Du inför.