SIGNALANALYS I FREKVENSRUMMET

Transkript

1 SIGNALANALYS I FREKVENSRUMMET Fourierserie och Fouriertransform Föreläsning 4 Mätsystem och Mätmetoder, HT-2016 Florian Schmidt Department of Applied Physics and Electronics Umeå University

2 LECTURE OUTLINE Del 1 Motivation varför behövs frekvensanalys (i mätteknik)? Fourier-serie Fourier-transform Discret Fourier transform (DFT) Samplingsteoremet DFT Frekvensupplösning Fast Fourier Transform (FFT) Paus Del 2 Aliasing (vikning, spegling) Svävning (beat) Läckage Heterodynteknik Systemanalys Laplace och z-transformation Sammanfattning - olika typer av transformationer

3 MOTIVATION VARFÖR FREKVENSANALYS? Vilka frekvenser finns i en signal, i en tidsserie? Tidseries (När?) 7:05 7:20 7:35 7:50 8:05 8:20 8:35 Buss tidtabell Frekvens (Hur otfa?) Varje 15 minuter med start 5 minuter efter hel timme.

4 MOTIVATION VARFÖR FREKVENSANALYS? Fysisks mätsystem Numerisk beskrivning av ljud, vibration, elektriska störningar Amplitud Amplitud Tid Frekvens ljud vibration Enskilda effekter blandas i tidsdomänen, medan de är ofta separerade i frekvensdomänen

5 TILLÄMPNINGAR AV FREKVENSANALYS Signalanalys Identifierar brus- och störningarkällor i mätsystem Heterodynteknik Spektroskopi, t.ex. Fouriertransformspektroskopi Telekommunikation Modulering och demodulering av signaler Lösning av differentialekvationer Kontrollteori Konvertera data mät i tid till data som funktion av frekvens och vice versa för processtyrning (feedback) Uppskattning av dynamisk beteendet hos lösningen av differentialekvationer Bild- och ljudbehandling Komprimering, t.ex. MP3 and JPEG Utjämning och rengöring av ljud och bild MRI

6 JÄMNA OCH UDDA FUNKTIONER Jämn (eller symmetrisk) funktion cosinus f ( t) f ( t) Udda (eller antisymmetrisk) funktion f ( t) f ( t) sinus De flesta funktioner/signaler är en kombination av jämna och udda funktioner Fundamental frekvens: f0 1/ T Fundamental vinkelfrekvens: 0 2 f0 Period T

7 FOURIER SERIE (FS) Varje periodisk funktion f(t) kan uttryckas som summan av en konstant plus en serie av sinus och cosinus termer som representerar bidraget från varje överton. En sådan serie kallas en Fourierserie (år 1807) f ( t) c a sin k t b cos k t c 0 0 k 0 k 0 k1 k1 1 T T 0 T 0 f t dt 2 ak f tsink0t dt T DC offset Coefficients of sine Jean-Baptiste Joseph Fourier France ( ) T 2 bk f tcosk0t dt T 0 Coefficients of cosine

8 FOURIER SERIE RÄKNEEXEMPEL Fyrkantsvåg f ( x) 0 if x 0 1 if 0 x och f ( x 2 ) f ( x) c ( ) ( ) 0 f x dx dx dx cos kx 1 a f ( x) sin kxdx 0 dx sin x dx cos k cos 0 k k k för jämna k 2/kπ för udda k sin kx 1 b f ( t) cos kx dx 0 dx cos x dx 0 sin k sin 0 0 k k k 0 0 FS: f ( x) a a cos x a cos 2 x... b sin x b sin 2 x sin x sin 3x sin 5 x... sin(2k 1) x (2k 1) Udda heltal: n=2k-1

9 FOURIER SERIE - EXEMPEL Fyrkantsvåg f ( x) 0 if x 0 1 if 0 x N k and f ( x 2 ) f x FS 1 2 f ( x) sin 2k 1 x 2 2k 1 k 1

10 FOURIER TRANSFORM (FT) Fourierserien kan generaliseras till komplexa tal och obegränsad tidsintervall för att härleda Fourier Transform (FT) ei cos t isin t xt: 0t T F k : k..., 2, 1,0,1, 2,... f t F( k) eik0t k 1 T ik t 0 F k x t e dt T t 0 xt: t Fk : Fouriertransform F( ) f t ei tdt Inverse Fouriertransform 1 f t F( ) ei td 2 FT är ett analogt verktyg som används för att analysera frekvensinnehållet av kontinuerliga signaler.

11 FOURIER TRANSFORM (FT) - EXEMPEL f 60 Hz

12 FOURIER TRANSFORM (FT) EXEMPEL Brus Skarpa signaler

13 DISKRET FOURIER TRANSFORM (DFT) Vi definierar Fourier transformen för diskreta signaler med N datapunkter : 0,1,..., 1 x n n N : 0,1,..., 1 F k k N 0 2 N N = total antal datapunkter T = sampletid Δt = tid mellan datapunkter fs = samplingsfrekvens Diskret Fouriertransform t T N N 1 F( k) xneik0 n0 n f 1 t N T s f 1 T fs N DFT är ett digitalt verktyg som används för att analysera frekvensinnehållet av diskreta signaler med begränsad längd. Används av datorer efter DAQ sampling.

14 NYQUIST SAMPLINGSTEOREMET När en signal samplas med frekvens fs blir signalens Fouriertransform periodisk med perioden fs, och symmetrisk. X k cos 2100 t, f 1000 S s s fs/2 900 fs 1100 Frekvens (Hz) För att frekvensspektrat för en samplad signal ska vara entydigt och signalen kan återskapas, kan man bara analyserar signaler med frekvenser <fs/2. Eller: fs måste väljas så att signalen inte ha några frekvenskomponenter >fs/2.

15 DFT FREKVENSUPPLÖSNING DFT beräknar endast frekvenser f 0.1Hz k 0 2 k N normaliserat med fs 2 f 1 f s f 1Hz f fs 2 f s N (Hz) Frekvensupplösning kan förbättras genom att ta fler sampel, eller genom att sampla långsammare. f 6Hz

16 FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) En FFT är en DFT som är snabb att beräkna på en dator. Alla regler och egenskaper för en DFT gäller också för en FFT. Många olika algoritmer men ofta arbetar de med decimering. Till exempel: En stor data matris blir uppdelad i mindre DFTs En DFT kräver O(N 2 ) komplexa multiplikationer. En FFT-algoritmen reducerar till ca. (N/2)*log 2 (N) komplexa multiplikationer. Om N=1024, då behövs = räkneoperationer med en DFT Däremot behövs bara 1024/2*log(N)/log(2) = 5120 multiplikationer med FFT. Förbättringsfaktorn i fall N=1024 är 204. FFT begränsning: FFT-algoritmer kan endast användas för signaler med antal element lika med N=2 n. (t. ex. 2 8 = 256, 2 10 = 1024)

17 SAMPLINGSTEOREMET X k cos 2100 t, f 1000 S s s fs/2 990 fs 1100 Frekvens (Hz) X k cos t, f 1000 S s s fs/2 600 fs Frekvens (Hz)

18 ALIASING (VIKNING, SPEGLING) Fenomenet aliasing uppstår när samplingsteoremet inte är uppfyllt. dvs. när samplingsfrekvensen fs är mindre än 2 gånger högste frekvensen i signalen. fs=1000 Hz f=450 Hz or f=550 Hz fs=1000 Hz f1=40, f2=310, f3=550, f4=850, f5=980 Hz

19 HUR UNDVIKA MAN ALIASING? Anti-aliasing filter f c fs 2 DAQ, A/D sampling Signal Lågpassfilter Översampling En praktisk lösning är översampling, där fs är mycket högre än frekvenserna i signalen. Undvik aliasing Lättare att implementera filter Förbättra upplösningen av A/D omvandlingen Reducera brus

20 SVÄVNING (BEAT) Om signalfrekvensen närmar sig udda multiplar av fs/2 fs=1000 Hz f=490 Hz fs=1000 Hz f=499 Hz

21 LÄCKAGE När man bara sampla/analysera en del av an periodisk signal (N samples i DFT, och 2 N i FFT). Man får (artificieller) diskontinuiteter som leder till en bred fördelning av frekvenser i spektralområde och minskat amplitud. N samplepunkter Frekvensupplösningen minskar!

22 TRANSIENT, BANDBREDD OCH FÖNSTERFUNKTION Puls-signal Använd fönsterfunktioner för att begränsa diskontinuiteter i tid och läckage i frekvens w=0.89 By Olli Niemitalo - Own work, CC0, w=1.44 Upplösningsbandbredd (RBW - Resolution BandWidth) RBW w f

23 FLER FFT EGENSKAPER Picket Fence effekt FFT-spektrum är ett diskret spektrum uppskattningar av vad den spektrala nivå är vid specifika frekvenser. Dessa frekvenser bestäms av analysparametrar som har ingenting att göra med den signal som analyseras. Det kan finnas toppar i den sanna spektrumet som inte syns i FFTanalysen. I allmänhet har topparna i ett FFTspektrum ett för låg i nivå, och dalarna kommer att mätas för hög. Osäkerhetsprincipen (c) Brüel & Kjaer t f 1 T f 1 Desto längre man sampla, desto mer signal man se, desto noggrannare frekvensspektret (bättre upplösning)

24 HETERODYNTEKNIK Analog spektrumanalysator mixer cos2 x t t yt Resonans filter, w 0 ut 2cos t 1 t cos cos y t t A t cos0 u A t

25 log(v noise ) MODULATION SPECTROSCOPY Shift signal to higher frequencies Sinusoidal modulation <100 khz ( t) cos 2 t c a m 1/f-noise DAS 10 Hz bandwidth total noise white noise v(t) inst. laser frequency β modulation index ν m modulation frequency [Hz] ν a WM modulation amplitude [Hz] WMS mhz Hz khz MHz SN level log(freq.) Signal demodulation V V V sin( t )sin( t ) LIA sig ref sig sig ref ref after low-pass filter and for ref sig 1 VLIA VsigVref cos( sig ref ) 2

26 BRUSFÖRBÄTTRING MED MODULATION Absorptionsspektrum utan modulationsspektroskopi Absorptionsspektrum med modulationsspektroskopi Absorbance / a.u Absorbance at 1.3 ppmv eco Best fit 2f-WMS lineshape / a.u f-WMS signal Best fit Res Res Wavenumber / cm -1 Wavenumber / cm -1

27 SYSTEMANALYS I FREKVENSRUMMET (KAP 10) xt X Mätsystem yt Y Överföringsfunktion (transfer function) H Y X Dimensionslös komplexvärd i H H e Förstärkningskurva Faskurva H Bodediagram av ett mätsystem

28 BODE-DIAGRAM OCH FASKURVAN H 1 jrc 1

29 LAPLACE- OCH Z-TRANSFORM Varierande amplitud komplex frekvens Fourier transform F( ) f t ei tdt Laplacetransform ( ) F( j) f t e i tdt f t e stdt F s Laplacetransform av ett samplat system med t nt s Z-transform nsts F s f t e dt z e st s F z n0 f n z n

30 ÖVERBLICK FOURIER TRANSFORMATIONER Tid egenskaper Finite Infinite Infinite Complex freq kontinuerligt Fourier serie (FS) Fourier transform (FT) Laplace transform Infinite diskret Diskret FT (DFT, FFT) Diskret-tid FT (DTFT) Z-Transform Finite diskret kontinuerligt Frekvens egenskaper

31 SAMMANFATTNING Periodiska signaler kan beskrivas som kombination av jämna (cosinus) och udda (sinus) funktioner, dvs. med en Fourier serie (FS). Allmänt används Fourier transformen (FT) för kontinuerliga signaler. Efter data sampling (t.ex. med en dator) används den den diskreta Fourier transformen (DFT). En Fast Fourier Transform (FFT) är ett sätt att snabbt beräknar en DFT. Samplingsteoremet kräver att samplingsfrekvensen är minst 2 gånger så stor som den högsta frekvenskomponenten i signalen. Följande problem kan uppstår när en DFT/FFT beräknas Aliasing Svävning Läckage Låg frekvensupplösning Mätsystem kan beskrivas med hjälp av en överföringsfunktion och en Bodediagram FT med komplex frekvens-laplacetransform (kont.) och z-transform (diskret) Fouriertransformen har många viktiga tillämpningar i industri och forskning