Geodetisk och fotogrammetrisk mätningsoch beräkningsteknik

Transkript

1 Formelamlig till Geodetik och fotogrammetrik mätigoch beräkigtekik Verio Geodetik och fotogrammetrik mätig- och beräkigtekik by Latmäteriet m.fl. i liceed uder a Creative Commo Erkäade-Ickekommeriell-Igaearbetigar 3.0 Uported Licee.

2 . Jordmodeller E ellip bekriv med hjälp av de två axlara a och b eligt: b a där a är halva toraxel och b är halva lillaxel (e Figur.. Rotataioellipoide bekriv då eligt: a b där, och är giva i ett koordiatytem med origo i rotataioellipoide (ellipoidik jordmodell mittpukt (dv. ett geocetrikt karteikt koordiatytem, e Figur.. (. (. Figur.. Rotatioellipoid med axlara a och b., och utgör ett geocetrikt karteikt koordiatytem. vplattige (f på rotatioellipoide är defiierat om: a b f (.3 a ambad för att traformera mella ett färikt koordiatytem och ett geocetrikt karteikt koordiatytem: ( R h co coλ ( R h i ( R h co i λ (.4 där R är jordradie (ka approximera till m, φ är färik latitud, λ är färik logitud och h är höjd över färe.

3 Omvät ambad defiera eligt: R h ta ta λ (.5 ambadet för att traformera mella ett geografikt koordiatytem (latitud (φ logitud (λ och höjd över ellipoide (h och ett geocetrikt karteikt koordiatytem är: λ λ i ( ( i co ( co co ( h e N h N h N (.6 där N är tvärkrökigradie och e är de förta excetricitete. Dea båda parametrar betäm av ellipoide form och defiiera om: (i e a N f f e (.7 Det ivera ambadet mella karteika koordiater och geografika koordiater ge av följade formelambad: ( ( N p h ae p e ae θ θ λ co co i ta ta 3 3 (.8 där ta,och e p p θ.. vtådberäkigar Euklidikt avtåd: ( ( ( E d (.9

4 färikt avtåd (e beteckigar i Figur.: d Rψ (.0 co ψ i, i, co, co, co( λ, λ, (. där R är jordradie (ka approximera till m och ψ är bågavtådet. Figur.. färikt avtåd (d.. Kartprojektioer Omräkig av färika koordiater till koordiater i ercator projektioe (N, E: π N R l ta 4 E Rλ där färik latitud (φ och färik logitud (λ age i radiaer. (. 3. Höjdytem För koverterig mella olika höjdytem aväd: H h N (3. h höjde över ellipoide, H höjde över geoide, och N geoidhöjd. ambad mella höjde över ellipoide i WEREF99, geoidhöjde i WEN08_RH000 och höjde över havet i RH 000 är: H h N (3. RH 000 WEREF99 WEN 08 _ RH 000

5 4. Koordiattraformatioer Helmerttraformatio (likformig traformatio i två dimeioer ge av (e beteckigar i Figur 4.: E E0 E mr (4. N N 0 N där m är kalfaktor och R är de tvådimeioella rotatiomatrie. Figur 4.. Helmerttraformatio. De tvådimeioella rotatiomatrie R är e fuktio av vridige α och defiiera om: coα iα R (4. iα coα Om ma aväder uttrycket för rotatiomatrie R i formel 4. erhåll följade ambad för Helmerttraformatioe: E E0 E m coα N m iα (4.3 N N E m iα N m coα 0

6 5. ätutrutig ambad mella våglägd (λ, utbredighatighet (c och frekve (f för elektromagetika vågor: c λ (5. f Utbredighatighete, c, beräka eligt: (5. c där c 0 är ljuhatighete i vacuum (, m/ och är brytigidex. c 0 Lägdberäkig med impulitrumet: där t är gågtide. d c t 0 (5.3 Lägdberäkig med fakilladmätig: d N λ Δλ (5.4 där N är atalet hela våglägder och Δλ är de mot fakillade varade dele av e hel våglägd. Givet frå faräkare är fakillade, Δ, och de reterade dele av e våglägd om varar mot dea fakillad blir då: Δ Δ λ λ (5.5 π Det adra mometet är att betämma atalet hela våglägder (N. Om vi i ekvatio (5.4 ätter λ/u och Δλ/R, å får vi: d NU R (5.6 U kalla ockå för ehetlägd och hela atalet hela våglägder ka beräka om vi mäter lägde med olika frekveer. Vi får då: f: d NU R f: d NU R (5.7 f: d NU R Ekvatioytemet ka löa geom att välja f å att U alltid är törre ä de mätta träcka. Då är N 0 och de förta ekvatioe är dr, och vi har e etydig löig av träcka d. Löige begräa dock av upplöige i famätige.

7 6. ätmetoder Formel för e orieterad riktig mella puktera och lyder: E E ΔE arcta( arcta( N N ΔN där ma måte hålla reda på i vilke kvadrat riktige ligger. Formel för avtåd har uteedet: (6. d ( N N ( E E Δ N Δ E (6. Koordiatberäkig vid polär mätig ker eligt följade (e Figur 6.: N N dco( β (6.3 E E di( β akåtobjekt β Imätt/utatt detalj d tatiopukt Figur 6.. olär mätig Grudpricipe vid avvägig formulera om (e Figur 6.: F Δh Δ h F (6.4 ätriktig vläig bakåt vläig framåt F Höjdkillad Δ h Figur 6.. Grudpricipe vid avvägig. De kompletta formel för trigoometrik höjdmätig mella puktera och lyder (e Figur 6.3: l i z ( 0.4 Δ H H H ( hi h l co z (6.5 R där ΔH är höjdkillad och H i beteckar höjd. De ita terme är korrektioe för jordkrökig och refraktio. R (jorde krökigradie varierar beroede på var ma befier ig på jorde; i verige ka R ätta till km.

8 igal h Δ h l*coz z l h i Itrumet Figur 6.3. Trigoometrik höjdmätig. 6. reaformel rea av e polygo (a där koordiatera är käda för begräigpuktera och där begräiglijera mella puktera är räta lijer beräka eligt formel: a N ( E E (6.6 i i i i där N i N-koordiat för e brytpukt på polygoe E i E-koordiat för e brytpukt på polygoe, och är atalet brytpukter. Obervera att puktera ka umrera i medol (medur ordig (e Figur 6.4. Figur 6.4. uktumrerig vid areaformel. Obervera att ita pukte (här 4 ockå får beteckige oll och att förta pukte ockå får beteckige (här 5, där är atalet brytpukter. Detta är ett krav för att idexe i formel 6.6 ka bli korrekta.

9 7 ätoäkerhet och mita kvadratberäkigar 7. ätoäkerhet tadardoäkerhete i e ekild mätig l i e mäterie är detamma om tadardavvikele: ul ( u ( l li vi ( i ( i där l är medeltalet l (7. li i (7. är atalet mätigar och atalet överbetämigar. v i beäm förbättrig. Ett viktat medeltal beräka om: pl pl... pl l pl p i i / i p p... p i i (7.3 där p i beteckar repektive mätig vikt. otvarighete till tadardavvikele beäm viktehete tadardoäkerhet och beräka eligt: u p l l pv i( i i i i i (7.4 ur vilke de ekilda mätige tadardoäkerhet ka beräka om: ul ( u / p (7.5 i i ammalagd tadardoäkerhet är e tillämpig av lage om fortplatig av mätoäkerhet på formel: x f( l, l, l3,... (7.6 Dea lag lyder: u ( xˆ c u ( l c u ( l c u ( l... (7.7 c 3 3 δ x De partiella derivatora ci beäm kälighetfaktorer. Idexet c tår för combied. δli Tillämpig av fortplatiglage ger följade formler för beräkig av (det ekla medeltalet tadardoäkerhet: och det viktade medeltalet tadardoäkerhet: Utvidgad mätoäkerhet beräka om: ul ( ul ( / u / (7.8 i i ul ( u / p (7.9 U ( xˆ k u( xˆ ( (för kattige ˆx. k 95 är täckigfaktor och 95 täckiggrade i %.

10 7. ita-kvadratutjämig med matrier Ivere till e *-matri beräka eligt: b b b b b b bb bb b b (7. Obervatioekvatioera vid elemetutjämig formulera om: xˆ l v (7. ˆ m x l v xˆ l v m m där (*m är koefficietmatrie, om ager ambadet mella tycke mätigar l och m tycke obekata, om katta av ˆx. Vektor v iehåller förbättrigara. Geom att löa ormalekvatioera: där T beteckar matrie beteckar viktmatrie: T T xˆ l (7.3 : trapoat, erhåll mita-kvadratkattigara: T - T x ˆ (l (7.4 ( om, likom ehetmatrie, är e diagoalmatri, där pi ii. Viktehete tadardoäkerhet ge av (jfr 7.4: och kattigara varia-kovariamatri av: Q u T vv m ˆ ˆ ˆ u ( x u( x, xm T - xˆ u( ux ( ˆ, ˆ ˆ m x u( xm (7.6 (7.7 kattigara korrelatio ka mäta med (jfr 7.3: ρ ux ( ˆ, ˆ ( ˆ, ˆ i xj uxi xj ij u ( xˆ u ( xˆ ux ( ˆ ( ˆ i uxj (7.8 och tadardoäkerhete för e (lijär fuktio fx ˆ av de obekata ge av: i T T - T xˆ j u ( fxˆ fq f uf( f (7.9

11 7.3 Regreio och korrelatio Lijär regreio går ut på att apaa e rät lije (e Figur 7.: y a bx (7.0 till parvia mätdata i två erier. Obervera att vi här aväder matematika defiitioer på x och y. y y a bx a x Grudformel (8. ger ekvatioytemet: Figur 7.. Lijär regreio x y v aˆ bˆ (7. x y v Utifrå detta ka ma eda beräka kattigara på parametrara a och b, oäkerhetmått etc. på edvaligt maér. Det fi dock ett bättre ätt, e eda. Kovariae mella två mäterier: ( xi x( yi y i uxy (, (7. mäter grade av amvariatio. Korrelatiokoefficiete är e ormerad kovaria, ett tal mella - och, om beräka om (jfr 7.8: ( xi x( yi y i ρ xy ( xi x ( yi y i i (7.3 ed hjälp av dea torhet ka formel för lijär regreio kriva om till: uy ( y y ρxy ( x x (7.4 ux ( om edat utyttjar medeltale ( x, y, tadardavvikelera ( ux (, uy ( amt korrelatiokoefficiete ρ. Lijeapaige är meigfull bara om ρ 0,7 (grov tumregel. xy xy

12 8 Grudläggade teorier om GN Lijärt ekvatioytem för beräkig av koordiatera ho mottagara ρ geom käedom om avtådet mella atellit och mottagare ρ amt atellitera koordiater ρ : ρ ρ ρ (8. Det blir e ekvatio för varje atellit. 8. Obervatioekvatioer Kodmätig udoavtådet mella mottagare och atellite (R uttryck eligt: R ρ c( δ δ (8. där δ är mottagare klockkorrektio, δ är atellite klockkorrektio och ρ är geometrikt avtåd mella mottagare och atellite : ( ( ( ( ( ( ρ c t G t G (8.3 där,, är atellite koordiater,,, är mottagare ökta koordiater och c är ljuet hatighet. ottagare klockkorrektio ( δ och atellite klockkorrektio ( δ aväd för att beräka ytemtide (G för mottagigtide t och ädigtide t : t ( G t δ (8.4 t ( G t δ Ett ekvatioytem kapa ur formel (8.3 och (8.4 där (,,, δ är obekata; därför behöv det mit fyra atelliter för poitiobetämig i 3D. Famätig Famätig kiljer ig frå kodmätig bara geom periodobekata. Därför erätter vi R med och adderar periodobekata (N i formel (8.. Då få: där λ är bärvåglägd och Φ är famätig uttryckt i meter. λ Φ ρ c( δ δ λ N (8.5

13 Obervatioekvatioer med felkällor Obervatioekvatioera, med felkällora ikluderade, ka kriva om: Φ ρ λ N c δ δ I T O ε ( f ρ λ N c( δ δ I T O ε f Φ ( ( R ρ c δ δ I T O ε f ρ δ δ ε f R c I T O där idex och beteckar bärvåg L och L, f är frekve, I och T är joofärik rep. tropofärik effekt, O är radiellt atellitpoitiofel, är flervägfel och ε är lumpmäiga obervatiofel. 8. atematik modell för poitiobetämig (8.6 atematik modell för poitiobetämig är: R ρo cδ I T ε ad ad ad cδ (8.7 där R är peudoavtådet mätt av mottagare till atellite, ρ 0 är det geometrika avtådet beräkat m.h.a. mottagare ärmekoordiater 0, 0, 0 och koefficietera a är de partiella derivatora av ρ med aveede på mottagare koordiater, beräkat i pukte ( 0, 0, 0. Ekvatioera uttryck eligt i matriform till ekvatioytemet: med mita-kvadratlöige: λ v dˆ x (8.8 T - T dˆ x( λ (8.9 Vektor λ iehåller väterledet i formel (9.7. Varje rad i koefficietmatrie iehåller tre kolumer med koefficietera a amt e kolum med :or och elemete i vektor dx ˆ är kattigara av de obekata parametrara d, d, d och δ. talet rader i λ och är lika med atalet obervatioer. T Diagoalelemete i matrie Q ( aväd för beräkig av de.k. DO-tale (DO Dilutio Of reciio om är kvalitetmått: DO Q Q Q GDO Q Q Q Q δδ (8.0 I praktike pelar det ige roll vilke DO om aväd, ormalt ligger värdea mella och 3. Värde midre ä 7 är acceptabla.

14 Om obervatioer på bägge frekveer fi å ka ma forma e.k. joofärfri kombiatio eligt: Rf Rf R c T O 3 ρ ( δ δ 3 ε3 f f (8. där T är tropofärik effekt, O är radiellt atellitpoitiofel, är flervägfel och ε är lumpmäiga obervatiofel. Relativpoitioerig Ekeldiffere mella fa- eller kodobervatioer utförda frå två mottagare till e atellit uttryckt eligt: Φ Φ Φ ρ cδ λ N I T O ε (8. Där idex betyder differe mella parametrara för och, t.ex. N N N. llmät gäller: I 0; T 0; O 0 om avtådet 0 (8.3 I praktike är dea differeer aldrig lika med oll, me de är förumbara för korta balijer: I och T är förumbara för balijer kortare ä ca 5 km och O för balijer kortare ä ca 00 km. För att äve elimiera mottagara klockfel bildar ma dubbeldiffereer: differee mella två ekeldiffereer. För korta balijer ka vi kriva ekeldiffereera för atellitera och T om: Φ ρ cδ λ N ε (8.4 T T T T T Φ ρ cδ λ N ε T T Dubbeldifferee forma om differee Φ Φ Φ : Φ Φ Φ ρ λ N ε (8.5 T T T T T T