Formelsamling för Finansiell Statistik

Transkript

1 Formelamlig för Fiaiell Statitik Kombiatorik Atal ätt att ta elemet ur är Uta åter- läggig Med återläggig Med häy till ordig! ( )! Atal ätt att ta elemet, av e ort, och elemet är det totalt orter är elemet, av e aa ort, ur Uta häy till ordig Uta åter- läggig Med återläggig + där =!!( )!. Atal ätt att ta i elemet av ort i (i = ; ; : : : ; k) ur elemet är det totalt k orter och k = (Uta häy till ordig och Uta återläggig) är!!! k! Saolikhetlära (A [ B) = (A) + (B) (A \ B) (A \ B) ( A j B ) = (B) A = (A) ( B j A ) (A) ( A j B ) = ( B j A ) (A) + B j A A Momet 8 E X k < k (X = ) = : R k f() d för alla heltal k

2 Olika mått opulatio Stickprov ; ; : : : ; = E(X) = i= i = E(X ) = i= ( i ) 3 = E(X ) 3 ^ 3 = i= ( i ) 3 4 = E(X ) 4 ^ 4 = i= ( i ) 4 = 3 ^ 3 = ^ 3 3 = 4 ^ 4 = ^ 4 4 Två-variabel ambad Kovaria För två tokatika variabler X och Y de iera dera kovaria av och för dea gäller ambade Kovariae katta med Korrelatio C(X; Y ) = E(X E(X)) (Y E(Y )) C(X; Y ) = C(Y; X) C(aX; Y ) = ac(x; Y ) C(X + Z; Y ) = C(X; Y ) + C(Z; Y ) X ( i ) (y i y) i= För två tokatika variabler X och Y de iera dera korrelatio av C(X; Y ) (X; Y ) = p p. V (X) V (Y ) Korrelatioe katta med r = i= ( i ) (y i y) q q i= ( i ) i= (y i y)

3 Fördeligar Dikreta (X = ) E(X) V (X) Beroulli p ( p) p p ( p) Ber (p) Likformig R (; ) Biomial Bi (; p) Hypergeometrik Hyp (; S; N) oio o () + ( + ) ( + ) 6 p ( p) p p ( p) S N N S S N! e S N Kotiuerliga f() E(X) V (X) Likformig R (a; b) Normal N (; ) Normal b a a + b ( ) p e p e 0 Epoetial e Ep () (b a) = (=) e () t F t () F ( ; ) ( + ) p ( ) + Komplicerad + 0 S N N N ( + ) ( ) ( 4) 3

4 Approimatioer Om X Hyp (; S; N) och N 0: å gäller N N S S p ( p) där p = S N. Om X Bi (; p) och p 0: å gäller p ( p)! e där = p. Om X Bi (; p) och p > 5; ( (k < X m) p) > 5 å gäller! m + 0:5 p p p ( p)! k 0:5 p p. p ( p) Om X o () och > 0 å gäller m + 0:5 (k < X m) p k 0:5 p. Om X ; X ; : : : ; X är tokatika variabler om uppfyller via villkor å gäller 0 v X X ux X i i ; t A. i= i= i= Vätevärde och Variaer För de tokatika variablera X ; X ; : : : ; X gäller E(X + X + + X ) = E(X ) + E(X ) + + E(X ) amt, uder via villkor, att V (X + X + + X ) = V (X ) + V (X ) + + V (X ). i uktkattigar Med ett tickprov mea mätigar X ; X ; : : : ; X om har via egekaper. Det gäller att Små tickprov, < mi (30; 0:05N), Stora tickprov, mi (30; 0:05N). 4

5 Uder via förutättigar gäller för X E X = och för S V X = V X = N N E S = V S = Sammalage (poolad) 4 + ( 3) varia aolikhet p = ( A ) A + ( B ) B A + B ^p = A^p A + B ^p B A + B 5

6 Trovärdighetitervall Ett tickprov Två tickprov Ko deitervall för Ko deitervall för p + p + t(f) p r f = t(f) + = : f = = : f = 6 4 p r p + Ko deitervall för ^p ^p ( ) ( ) ; b a r ^p ( ^p + 4 A ^p ( ^p ) b c = det heltal ma erhåller vid avrudig edåt. 6

7 Hypoteprövig Några olika tetvariabler för vätevärde Ett tickprov Två tickprov Tetvariabel för Tetvariabel för X Z = X ( 0 0 ) Z = X 0 = p + Z = X 0 S= p X Z = X ( 0 0 ) S + S X Z = X ( 0 0 ) r S + T = X 0 S= p Tetvariabel för proportio p (p X T = X ( 0 0 ) r S + p ) följer av att ^p = X (^p ^p = X X ). Tetvariabel för varia repektive lika varia är Q = ( ) S ( ) repektive F = S = S = F ( ; ). Tetvariabel för tabeller (oberoede, fördelig ) Q = X (O E) E där O = oberverat värde och E = förvätat värde. Atalet frihetgrader är (r ) (c ) eller r m. 7

8 Regreio Ekel lijär regreio Modell är, uder via villkor, Y = + + = +. arametrara, och katta med a = y b, X ( i ) (y i y) b = i= ; eller b = X ( i ) i= Trovärdighetitervall = X i y i i= X i= i X i= i X i=! X i i=! X X (y i y) b ( i ). i= a t = ( ) + i= ( i ) b t = ( ) q i= ( i ) m 0 = a + b 0 0 m 0 t = ( ) + ( 0 ) i= ( i ) I 0 m 0 t = ( ) + + ( 0 ) i= ( i ) i= y i Multipel regreio Modell är, uder via villkor Y = k k + = + 8

9 Trovärdighetitervall a t = ( k ) a i b i t = ( k ) bi i = ; : : : ; k m 0 = a + b b k k0 0 m 0 t = ( k ) p M I 0 m 0 t = ( k ) p + M Förklariggrad R = RSS T SS R ESS= ( k ) = T SS= ( ) Durbi-Wato d = t= (e t e t ) t= e t Tiderieaaly Kompoetmodeller Additiv modell Multiplikativ modell Glidade medelvärde Y t = T t + C t + S t + I t Y t = T t C t S t I t z t = k k i=0 y t i t = k; k + ; : : : ; Utjämigmodeller ARMA-modeller Ekel epoetiell S t = y t + ( ) S t Holt S t = y t + ( ) (S t + T t ) T t = (S t S t ) + ( ) T t E ARMA (p; q)-proce kriv y t = + y t + + p y t p + a t a t q a t q. 9

10 För autokorrelatio- och partiella autokorrelatiofuktioe gäller för ordige p = ; q = 0 repektive p = 0; q = att riide AR () MA () 8 >< k k ( + k = ) >: 0 k kk 8 < : k = 0 k > k (k+) k Ekelt relativt Ekelt ummerat Vägt relativt Vägt ummerat Lapeyre ti = 0i 00 ti 00 0i X ti 0i V 0i V0i 00 ti Q 0i 0i Q 0i 00 aache ti Q ti 0i Q ti 00 Belutteori Lage om total aolikhet (B) = (B \ A ) + (B \ A ) + + (B \ A ) X = ( B j A i ) (A i ) i= där A ; A ; : : : ; A kall uppfylla via villkor. Baye at ( B j A ) (A) ( A j B ) = i= ( B j A i) (A i ) 0