Presentation av mig. Två studier. Syfte och forskningsfrågor. Kerstin Pettersson Biträdande lektor, Stockholms universitet

Transkript

1 Algoritmiska, intuitiva oh formella asekter av matematiken i dynamiskt samsel En studie av hur studenter nyttjar sina begresufattningar inom matematisk analys Kerstin Pettersson Biträdande lektor, Stokholms universitet (välj Dotoral Dissertations) Presentation av mig Gymnasielärare i matematik oh fysik Högskolan i Skövde Forskarskolan i matematik med ämnesdidaktisk inriktning Disuterade 2008 i Göteborg Två studier Intervjuer av ingenjörsstudenter om begreen gränsvärde oh integral Observation av hur en gru matematikstudenter arbetar med ett roblem (funktioner oh derivata) Artiklar i avhandlingen Artikel 1 Pettersson, K., & Sheja, M. (2008). Algorithmi ontexts and learning otentiality: A ase study of students understanding of alulus. International Journal of Mathematial Eduation in Siene and Tehnology, 39(6), Artikel 2 Sheja, M., & Pettersson, K. (in ress). Transformation and ontextualisation: onetualising students onetual understandings of threshold onets in alulus. Higher Eduation. Artikel 3 Pettersson, K. (2008). Växelverkan mellan intuitiva idéer oh formella resonemang - En fallstudie av universitetsstudenters arbete med en analysugift. Nordi Studies in Mathematis Eduation, 13(1), Syfte oh forskningsfrågor Att studera universitets- oh högskolestudenters begresufattningar inom matematisk analys så som de kommer till uttryk i deras arbete med ett matematiskt material. Hur kontextualiserar studenter begre inom matematisk analys? Vilken dynamik finns mellan olika kontextualiseringar? Kontext: Den kognitiva struktur som aktualiseras hos individen i den ukomna situationen Intuition En slags kognition som ger möjlighet till en omedelbar ufattning där alla delar ufattas direkt oh tillåter resonemang utan att man behöver vila å det formella (Fishbein, 1987) Formella resonemang Logiska slutledningar som vilar å formella definitioner oh satser Algoritmisk kunska Kunska om räkneregler oh roedurer. Inkluderar även studenters förmåga att beskriva oh använda dessa regler oh roedurer

2 Intentionell analys intentionalitet ett grundantagande systematisering av tolkande verksamhet försöker svara å varför individen agerade å visst sätt en modell för agerandet Sammanvägning av kognitiva oh diskursiva asekter Handlingsresurser Kometensorienterade: Diskursivt orienterade: förmågor, föreställningar, önskningar intention ufattningar om normer, skyldigheter, möjligheter handling (efter Halldén, Haglund & Strömdahl, 2007, s. 29) Intentionell förklaring genom en raktisk inferens Premiss 1: Premiss 2: P vill/önskar/avser att åstadkomma x. P tror att han kan åstakomma x genom att göra y. Slutsats: Därför; P gör y. (efter Halldén, 2001, s. 10) Intervjustudien Samarbete med Max Sheja 20 studenter å ingenjörsutbildning Har läst en kurs i matematisk analys Skriftligt förklara innebörden i begreen gränsvärde oh integral Skatta sin egen förståelse Intervjuer med fyra av studenterna Förklara så klart oh tydligt som möjligt innebörden i det matematiska begreet GRÄNSVÄRDE (Använd gärna figurer men beskriv i ord vad de föreställer.) Skatta din förståelse för begreen Hur bra tyker du själv att du förstår innebörden i begreet GRÄNSVÄRDE? Hur bra tyker du själv att du förstår innebörden i begreet INTEGRAL? Förklara så klart oh tydligt som möjligt innebörden i det matematiska begreet INTEGRAL (Använd gärna figurer men beskriv i ord vad de föreställer.) Inte alls bra Mindre bra Varken bra eller dåligt Ganska bra Myket bra

3 Teorier om begresutvekling: Conet image Conetual hange - rovisorisk förståelse byts mot mer vetenskalig (Vosinadou, 1994) Differentiering mellan kontexter - att lära sig välja en förklaring lämlig i situationen (Halldén, 1999) Tall oh Vinner, 1981 den kognitiva struktur som är assoierad med ett begre Består av individens tolkningar oh förståelse av begreet Conet image Innefattar alla egenskaer oh roesser som individen förkniar med begreet Innefattar även mentala bilder t.ex. figurer oh grafer som förknias med begreet Byggs u suessivt genom individens möte med begreet Conet image Innefattar intuitiva idéer om begreet om individen har sådana Innefattar begreets formella definition förutsatt att individen kan denna Innefattar även individens tolkning av definitionen Olika delar av individens onet image aktualiseras i olika sammanhang Proess objekt Aktion, Proess, Objekt, Shema (Dubinsky, 1991) Övergång från roess till objekt - reifikation (Sfard, 1991) Proet (Grey & Tall, 1994) Konetuella oh roedurella kunskaer Hiebert (1986) skiljer å två tyer av kunska Konetuell kunska - rik å kolingar - utgör en sammanhängande väv av kunska Proedurell kunska - kunskaer om regler oh roedurer

4 Relationell oh instrumentell förståelse Skem (1976) skiljer å två tyer av förståelse Instrumentell förståelse - vet hur något ska göras - individen har endast roedurella kunskaer Relationell förståelse - vet både vad som ska göras oh varför - individen har både konetuella oh roedurella kunskaer Alternativ definition av Star (2005) Konetuell kunska - kunska om begre oh rinier Proedurell kunska - kunska om regler oh roedurer Båda kunskastyerna kan vara djua eller svaga: Dju roedurell kunska = rik oh väl sammanhängande kunska om roedurer Svag konetuell kunska = ytlig oh osammanhängande kunska om begre oh rinier Modell för utvekling av roedurell oh konetuell kunska (efter Baroody, Johnson & Feil, 2007, s. 124) Modell för utvekling av roedurell oh konetuell kunska (efter Baroody, Johnson & Feil, 2007, s. 124) Kunskasmängd B A E. Svaga roedurella oh konetuella kunskaer utan kolingar dem emellan. C D. Viss roedurell kunska oh svag konetuell kunska med få oh svaga kolingar dem emellan. E D C. Relativt dju roedurell kunska oh relativt svag konetuell kunska med viss koling dem emellan. B. Djua roedurella oh relativt djua konetuella kunskaer som är kolade till varandra. = roedurella kunskaer = konetuella kunskaer Antal kolingar A. Djua roedurella oh konetuella kunskaer som är fullt integrerade. Missufattning eller försteg? Myket forskning visar å att elever/studenter har andra ufattningar än de förväntade En del forskare menar att dessa föreställningar utgör försteg (ex. Sierinska, 1992; Tall, 1992) Intressant att studera den otential som ufattningarna har Tröskelbegre Meyer & Land, 2003 Begre som kan fungera som en ortal till ett tidigare onåbart sätt att tänka Karakteriseras av att vara transformativa, integrativa oh irreversibla Exemel: Gränsvärde

5 Forskning om gränsvärde Gränsvärde ses som barriär eller sista term i en roess Fokuserar å rörelsen mot gränsvärdet Kolas till diskontinuitetsunkter Svårt steg att se gränsvärde som objekt Inte så användbart Algebraiska maniulationer (Artigue, 2001; Cornu, 1991; Juter, 2006) Forskning om integral Integraler ufattas som en roedur Algebraiska lösningsmetoder favoriseras före geometriska Ufattning om förändringshastighet behövs för att kola sambandet integral area genom huvudsatsen Ufattar inte integralen som gränsvärde utan ser integralen som en aroximation Problematisk övergång från intuitivt areabegre till formell hantering av integralbegreet (Artigue, 2001; Orton, 1983) Studenternas skriftliga svar Bedömdes med kriterier baserade å tidigare forskning Utvekling från roess via objekt till roet Formell hantering ett strävansmål Integral både som area oh derivatans omvändning Kriterier för bedömning Gränsvärde: 0. Innehåller inget med relevans för det matematiska begreet 1. Bygger endast å enstaka exemel 2. Utryker gränsvärde som en roess 3. Uttryker gränsvärde som ett objekt 4. Anger gränsvärde både som roess oh objekt 5. Inkluderar formell behandling, t.ex. definitionen i någon form Integral: 0. Innehåller inget med relevans för det matematiska begreet 1. Bygger endast å enstaka exemel 2. Anger en av asekterna omvänd derivata resektive area 3. Anger båda asekterna omvänd derivata resektive area eller anger både area oh areaberäkning genom indelning i stalar. 4. Anger båda asekterna area oh omvänd derivata samt antyder definitionen (Riemannsumma/gränsvärde) 5. Inkluderar formell behandling, t.ex. integralens definition. Studenternas förståelse bedömd utgående från de skriftliga utsagorna Bedömning Gränsvärde [1] Integral [2] [1] En av studenterna besvarade inte frågan. [2 ] En av studenterna besvarade inte frågan. Studenternas egen skattning av sin förståelse Skattning Inte alls bra Mindre bra Varken bra eller dålig Ganska bra Myket bra Gränsvärde Integral Studenters uttalanden i intervjuerna jag försöker förstå hur man löser saker oh ting jag går inte runt oh grubblar över varför det är si eller så... det här med definitioner brukar jag inte lära mig utantill, tyvärr.

6 Algoritmisk kontext talar om hur begreen används oerationerna definierande egenskaer roedurella kunskaer funktionellt för studenterna I: Alla integraler är de areaberäkningar, oh alla areaberäkningar är de integraler? Phili: Nej. [ ] Phili: Det är ju när integralen om man till exemel eller ja i oh för sig. Om man har en Om du har ett sånt här hörn eller nånting fast i oh för sig kan du ju då räkna ut för det där oh räkna olika areor oh sen lägga iho dom. Nu måste jag fundera om man kan göra det å alla integraler, det har jag aldrig tänkt å Algoritmisk begresufattning - försteg till en mer fullödig förståelse? Hur tas begreen u i läroböker? studenterna har kunskaer utanför algoritmisk kontext studenterna skiljer å algoritmisk kontext oh begreslig I kursböker för gymnasiet? I kurslitteratur för högskolan? rovoerande frågor startar ihokoling Johan Lithner, Umeå universitet Undersökning av ugifter i läroböker för universitetskurs ( tre alulus-böker) 70% kan lösas genom att söka i texten efter metod 20% kräver lokalt kreativt resonemang 10% kräver kreativt resonemang (märkta som svåra) Studie av studenter som arbetade med ugifterna 95% en satsning å ytlig jämförelse 5% en satsning å lokalt kreativt resonemang

7 Jeser Boesen (2006) Jämförelse mellan nationella rov oh rov konstruerade av lärarna själva Egna roven innehåller mer imitativa resonemang Vilken ty av kunska vill vi att eleverna ska ha? Hur kan vi skaa lärsituationer så vi stödjer detta lärande? Problemlösningsstudien gruer av studenter arbetat med en utmanande ugift studenter från ett matematikrogram har läst nästan ett år matematik Ugiften: Låt f vara en funktion definierad å hela R. a) Hur många nollställen kan funktionen högst ha om för alla x gäller att f ( x) 0? b) Om istället f ( x) 0, vad gäller då för antalet nollställen till funktionen? ( ) ) Om vi istället har f n ( x) 0, vad kan då sägas om antalet nollställen till funktionen? Använd induktion för att bevisa ert åstående. Forskning om elevers ufattningar av funktionsbegreet Funktioner kan ufattas å flera olika sätt: en oeration som från ett tal ger ett annat tal en korresondens mellan två variabler en formel ett algebraiskt uttryk en graf (Vinner & Dreyfus, 1989) Forskning om elevers ufattningar av funktionsbegreet Svårt att överföra förståelse från en tolkning av funktionsbegreet till en annan. Algebraisk hantering favoriseras. Utnyttjar inte visualisering så myket. (Eisenberg, 1991)

8 Forskning om elevers ufattningar av funktionsbegreet Vanlig ufattning att kräva att - funktionen ges genom en formel - formeln innefattar en variabel (Ferrini-Mundy, 1994) Funktioner introdueras ofta som roess. Övergång till objektifierad form svår. (Sfard, 1991; Hansson, 2006) Forskning om elevers ufattning av derivata Derivata som tangent vanligaste förklaringsmodellen Tangentens ekvation förväxlas ibland med derivatan Derivatan blandas iho med funktionens värde i tangeringsunkten Proedurella kunskaer dominerar Svårt att relatera de algebraiska metoderna till grafiska tolkningar (Artigue, 1991; Amit&Vinner, 1990; Orton, 1983; Tall, 1992; Ferrini-Mundy&Graham, 1994) Forskning om elevers ufattning av derivata Svårt att förstå gränsroessen Ufattning att derivata ges av algebraisk maniulation gör att gränsvärdet ulevs onödigt Ugifterna kan lösas utan definitionen Svårigheter att kola gränsvärdet i definitionen till gränsroessen som ger tangenten (gränsvärdet av sekanternas lutning) (Tall, 1992; Hähkiöniemi, 2006; Zandieh, 1999) Forskning om elevers ufattning av derivata Många undervisningsförsök har gjorts där grafritare eller datarogram använts för att introduera oh bearbeta begreet De konetuella kunskaerna förbättras med dessa metoder Tidskrävande oh arbetsamt för eleverna Viss försämring av formella kunskaer (Asiala et al, 1997; Habre&Abboud, 2006; Tall, 1996) Forskning om elevers ufattning av derivata Sammanfattning: Flera konetuella svårigheter kolade till derivata-begreet Elevers sätt att förhålla sig till svårigheterna verkar vara att fokusera å roedurella kunskaer Studenternas arbete Formulerar korrekt hyotes Har god kunska om induktionsbevis Har svårt att hitta assa in i mönster Om derivatan har m nollställen så kan funktionen ha högst m+1 nollställen Om :te derivatan har högst m nollställen så har (-1)-derivatan högst m+1 nollställen Om :te derivatan är skild från noll så har funktionen högst nollställen

9 Diana:Men fortfarande, hur kan vi visa det? Vi kan derivera den där liksom, så får vi den där ( ) (ekar i Carls antekningar å f n ( x) 0 ( + 1) resektive f n ( x) 0 ) Carl: Mm. Diana:Ja. Carl: Ja, reis. Carl: Oh så, antingen är det färdigt eller så är det jättesvårt. (skratt) Beth: Ja, vi har väl rinien hur det liksom ska fungera Diana: Om den är skild från noll, vad innebär det då för derivatan? Oh om funktionen är skild från noll, vad innebär det då? om derivatan? Carl: Nej, just det Diana: Det säger ju ingenting, eller liksom, det säger ju Carl: Nej det säger ju inte någonting Beth: Nej, det kunde högst vara ett nollställe, men den kanske inte har något nollställe liksom, oh derivatan ändå Diana: Nej. Alex: Men, men... Alex: Det säger väl visst någonting, om en funktion är Diana: Nej. Alex: skild från noll då säger det att, då korsar den inte Beth: Nej, den korsar inte. Alex: Den korsar inte. Oh då måste den vara antingen växande eller avtagande. Diana: Den kan väl gå så här? (ritar) x-axeln kan ju alltid ligga under, det säger ju ingenting, funktionen kan ju hoa oh ha sig lite hur som helst här. Intuitiva idéer oh formaliseringskrav Har oh använder intuitiva idéer för funktion oh derivata Ställer stora krav å formalisering av sina idéer Väl förtrogna med mall för induktionsbevis oh vidhåller denna kraftigt Växlar mellan intuitiva idéer oh formella resonemang Växlingar för att få stöd oh kontrollera idéer för att få nya utgångsunkter för att reduera komlexitet för att driva roblemlösningsroessen Provoerande åståenden från grumedlemmar ger växlingar Slutsatser från studierna Algoritmisk kontext dominerande å inledande kurser Matematikstudenter kan utnyttja en formell kontext där intuitiva idéer utgör viktiga inslag Provoerande frågor initierar kontextväxlingar Förståelse av tröskelbegreen kräver växlingar? Kerstin Pettersson Institutionen för matematikämnets oh naturvetenskasämnenas didaktik Stokholms universitet kerstin.ettersson@mnd.su.se Avhandlingen i df finns å (välj Dotoral Dissertations)