Key Mathematical concepts in the transition from secondary to university

Transkript

1 Key Mathematical concepts in the transition from secondary to university ICME 12 Survey Team 4 Hoda Ashjari hoda.ashjari@liu.se Matematiska institutionen

2 ICME12 Seoul juli 2012 The International Congress on Mathematical Education ICMI, International Commission on Mathematical Instruction. Syfte: presentera nuläget och trender i forskningen & praktiken Forskare i ME, lärarutbildare, praktiserande lärare, matematiker, och andra som är intresserade av matematikutbildningsfrågor 2

3 Key Mathematical concepts in the transition from secondary to university Fokus: Vilka begrepp och aspekter av matematiskt tänkande är centrala för övergången? Forskningsöversikt (teorier, studier..) Enkät syn på övergången (79 svar, 21 länder) ämnen och hur bör övergången vara smidig studenters förkunskaper/beredskap vad gör universiteten för att hjälpa studenter ev. begränsade förkunskaper Rapporten skriven av: Mike Thomas (Auckland University). Iole de Freitas Druck, (University of Sao Paolo). Danielle Huillet, (Eduardo Mondlande University). Mi-Kyung Ju, (Hanyang University). Elena Nardi, (University of East Anglia). Chris Rasmussen, (San Diego University). Jinxing Xie, (Tsinghua University).

4 Målet med rapporten Översyn, med målet att lyfta ur nyckelområden i övergångsforskningen Senaste litteraturen som analyserar lärande i matematik på vardera eller båda sidor av övergången 4

5 Forskningsöversiktens indelning Analys Generaliserade former av aritmetisk & abstrakt algebra Linjär algebra Diskret matematik Logik & bevis Matematisk modellering & tillämpningar Hur kan man använda rapporten?

6 Forskningsöversiktens indelning Analys Generaliserade former av aritmetisk & abstrakt algebra Linjär algebra Diskret matematik Logik & bevis Matematisk modellering & tillämpningar

7 Bevis Skillnad bevisskisser allmänt finns bevisskisser med i skolundervisningen medan undervisning och lärande snarast sker via bevis på universitetet Rekommendationerna för pedagogiska förändringar t ex: nödvändigt med mer explicit undervisning av bevis, både i skolan och på universitetet Understryker dock att om bevis blir mer centralt bör undervisningen i matematiska bevis inte leda till en betoning av formen, utan snarare kring betydelsen av bevis

8 Bevis Den huvudsakliga skillnaden mellan skolan och universitetet, som uttrycks som ett avbrott är att skolan fokuserar på argumentation medan universitetet beaktar deduktiva bevis. 8

9 bevis.. (Stylianides & Stylianides, 2007) Föreskriver tre kriterier för att framgångsrikt arbeta med bevis 1. att förstå/se behovet av bevis. 2. att förstå definitioners roll i utvecklingen av ett bevis, och 3. färdigheten att använda deduktiva resonemang. (Harel, 2008) Definitioner. Att förstå idén med matematiska definitioner och att uppskatta dess roll och värde i bevisföring är en (utvecklings)process, som inte nås av de flesta studenter förrän de är vuxna.

10 bevis (Pedemonte, 2007) Pekat på behovet att arbeta med öppna problem som efterfrågar gissningar. Ett väldigt effektivt sätt att introducera bevisföring på. (Kondratieva, 2010) Idén om ett interconnecting problem för att få eleverna/studenterna att konstruera och rättfärdiga gissningar och påståenden. Uppgiften bör tillåta enkla formuleringar, lösningar på olika nivåer, vara möjligt att lösa med verktyg från olika matematiska områden och vara lämpligt för olika kontexter. (Antoninin & Mariotto, 2008) Värdet av att göra gissningar, tex vid motbevis... Slutsats att utan en fas av gissningar, kommer vissa gap inte överbryggas av alla studenter.

11 Bevis Bl. a. studerat hur matematiker läser bevis. Såg att matematiker främst fokuserade på att förstå huvudidéerna i beviset, strukturen, och vad för teknik som används. Exempel. Prövat i studie om det bidrar till studenters förmåga att producera bevis om de själva genererar sina exempel kring matematiska begrepp. Dock visade inte studien att detta var effektivare än att studera färdiga exempel.

12 bevis (Harel, 2008) Specifikt tillvägagångssätt för att på ett bra sätt introducera bevis i skolan. Att ta in bevis genom matematisk induktion. Dock menar Harel att metoden ofta behandlas för snabbt, och att det är nödvändigt med en mer långsam behandling för att man ska nå förståelse. (Palla, Potari & Spyrou, 2011) Menar att induktion kan undervisas på en meningsfullt sätt på gymnasiet, om elever ges uppgifter som uppmuntrar till att fokusera på de kritiska egenskaperna av matematisk induktion. 12

13 bevis (Furinghetti, 2000) Ser på hur användandet av historia kan hjälpa.. Gav studenter på en universitetskurs en historisk presentation av definition med målet att uppmuntra flexibilitet, öppet sinne och motivering för matematik. 13

14 Bevis i enkäten Hur viktigt tycker du att det är med definitioner första året på universitetet? 52 av 79 (66 %) definitioner är viktiga i år 1 matematiken 15 av 79 (19 %) neutrala 8 av 79 definitioner är inte viktigt i år 1 matematiken Har ni någon kurs som explicit undervisar bevismetoder?

15 Forskningsöversiktens indelning Analys Generaliserade former av aritmetisk & abstrakt algebra Linjär algebra Diskret matematik Logik & bevis Matematisk modellering & tillämpningar Hur kan man använda rapporten?

16 Rapporten sammanfattar Litteraturgenomgången visar forskning om kognitiva, läroplans- och pedagogiska aspekter Större delen av forskningen: studenternas begränsade kognitiva förberedelse för kraven på formellt matematiskt tänkande på universitetsnivå Kan skönja mönster om hur och inte enbart vad studenter erfar i sitt första möte med avancerad matematik, i skolan eller på universitetet. För att kunna närma sig övergångsfrågor centralt att beakta koordinering & dialog över utbildningsnivåer (enkät ---> frånvarande) 16

17

18 I Frankrike har man forskat om logikens roll i lärandet och undervisningen av matematik, och mer specifikt bevis och bevisföring.. ända sedan 80-talet. Vissa forskare pekar på vikten av att ha i fokus/ ha med sådant kring kvantifikatorer/kvantifiering (quantification matters) för att analysera svårigheter kopplade till implikationer och mer generellt matematiskt resonerande/resonemang. På liknande sätt, i en tunisisk kontext, har man undersökt kvantifiering av nybörjarstudenter i Tunisien. Den didaktiska analysen av läromedel och kursanteckningar gällande övre gräns (upper limit), samt intervjuer med studenter i problemlösningssituationer, visare å ena sidan det didaktiska fenomenet som relaterade till att alternera mellan de två typerna av kvantifikatorer och å andra sidan, svårigheter med att mobilisera definitionen av objekt och strukturer, vilket illustrerar ett stort problem i konceptualiseringsprocessen. Flera forskare påtalar att vikten av dessa frågor gravt underskattas av lärare på både gymnasie- och högskolenivå, särskilt om man ser i läromedel. 18