Kaos i klassrummet. = a(1 x n. )x n Formeln x n+1. Itereringsformeln x n+1

Transkript

1 Kaos i klassrummet Följande artikel sändes till Nämnarens redaktion redan under vt 91. Gunilla Ljung, Västerhaninge, började sedan samma höst ny anställning vid Skolverket, men GON-projektet med grafritande räknare har fortsatt och utvidgats vid Fredrika Bremergymnasiet och även fått efterföljare vid flera andra gymnasieskolor. Kaos i vardag och matematik Kaos i klassrummet och vid det egna skrivbordet är förmodligen inte någon nyhet. Förvirring och oordnad massa, som kaos förklaras med i NORDISK FAMILJE- BOK, förefaller snarare tillhöra vardagens avigsidor än ett tillstånd att eftersträva för en matematiklärare och hennes elever. Men kaosmatematik innebär också ett nytt spännande fält inom ämnet. Det unika är att, trots att det handlar om förhållandevis nyupptäckt matematik, så är den inte svårare än att man kan behandla området inom NT-linjens matematikkurs. Merparten av gymnasiets matematikkurs har ju annars minst 300 år på nacken. För att man i en klass ska kunna arbeta med kaosmatematik fordras dock tillgång till dator. Inom GON-projektet på Fredrika Bremergymnasiet i Haninge (Se Nämnaren nr 1, 1991) har varje elev i de deltagande T-klasserna tillgång till en egen grafräknare av typ CASIO fx-7000 G. Programförslagen i denna artikel är tänkta för den räknaren, men kan naturligtvis modifieras för andra modeller och fabrikat av grafräknare. Figurerna, som illustrerar artikeln, är gjorda på Casio fx-8500 G, kopplad till en skrivare. Enklare exempel på iterering tas upp redan i årskurs 1 på NT-linjen och avsnittet om Feigenbaumsystemen kan följdaktligen behandlas redan i slutet av det första gymnasieåret. Eftersom Mandelbrotmängden är en utvidgning av Feigenbaumsystemen i det komplexa talplanet lämpar sig detta avsnitt bäst som fortsättning på fördjupningsavsnittet "Komplexa tal" i årskurs 3. Utgående från vad denna artikel innehåller kan intresserade elever också arbeta vidare inom området "kaos och fraktaler" i sina specialarbeten. Sist i artikeln rekommenderas lämplig referenslitteratur. Itereringsformeln x n+1 Formeln x n+1 kan ses som en modifierad formel för exponentiell tillväxt. För x-värden mycket nära noll får formeln utseendet x n+1 ax n. a kan identifieras som förändringsfaktorn 1+p/100, där p anger den procentuella tillväxten. Parentesfaktorn (1-x n ) är en modifierande faktor, som innebär att tillväxten minskar då värdet på x ökar. För a<3 utgör formeln x n+1 en matematisk modell för ett system, som för ett litet begynnelsevärde i början tillväxer i det närmaste exponentiellt, men där tillväxtkurvan så småningom planar ut. För att räknearbetet inte ska bli alltför betungande är det lämpligt att göra ett enkelt program, som för valfria värden på a och på begynnelsevärdet x 0 stegvis itererar fram nya x-värden. Följande program undersökninger x-värdets tillväxt då 1<a<3 och 0 x 0 1. Programmet stegas fram genom att man trycker på EXE. Programmet avbyts genom att man trycker på AC. 36 Nämnaren nr 3, 1992

2 Prgm 1 "ANGE A"? A "ANGE X0"? X AX(1 X) X / Välj först x 0 0 och därefter x 0 närmare 1 och jämför förloppet. Pröva även med 3 a 4. Feigenbaum-system Ett iterativt system som uppfyller villkoren: x n+1 där 1<a 4 och 0 x 0 1 kallas för ett Feigenbaum-system. Genom att använda räknarens plot-funktion kan man grafiskt visa x n -värdena som funktion av n (antalet iterationer). Liksom program 1 stegas detta program fram med EXE och avbryts med AC. Prgm 2 Range 1, 30, 5, 5, 1.5, 1 "ANGE A"? A "ANGE X0"? B 0 N Plot N, B AB(1-B) B N+1 N Plot N, B Line / a<3 ger 1-cykel 3 a<3,4495 ger 2-cykel 3,5541 ger 4-cykel 3,5644 ger 8-cykel 3,5688 ger 16-cykel 3,5697 ger 32-cykel a 3,57 ger kaos För 1<a<3 kommer x n att gå mot ett bestämt gränsvärde, s k fixpunkt. Lösning Nämnaren nr 3, 1992 av ekvationen x = a(1 x)x ger gränsvärdet x = 1 1/a. En 1-cykel uppkommer. a = 2 x 0 För 3 a<3,4495 kommer x n efter ett antal iterationer att pendla mellan två gränsvärden och man får en 2-cykel. a = 3,2 x 0 För 3,4495 a<3,5541 får man en 4-cykel. a = 3,5 x 0 För a 3,57 utbryter kaos, dvs x n saknar gränsvärden. a = 3,8 x 0 37

3 Undantag finns dock. För vissa bestämda a-värden uppkommer cykler inom kaosområdena. a = 3,741 x 0 Det finns fler a-värden större än 3,6 som ger upphov till cykler av olika ordning. Pröva! Gränsvärdenas beroende av a Programmet ändras för att grafiskt visa gränsvärdet/värdena som funktion av a. Genom att först låta programmet iterera 20 gånger och sedan rita in x n i grafen, kommer grafen att visa eventuella fixpunkter för givet a-värdet. Programmet 3 stegas fram med EXE och avbryts med AC på samma sätt som program 1 och 2. Prgm 3 Range 0.5, 4, 1, 0.5, 1.5, 1 20 R "ANGE A"? A "ANGE X0"? B AB(1-B) B Dsz R Lbl 2 Plot A,B / AB(1 B) B Goto 2 Feigenbaum-träd Om programmet görs om så att a-värdena automatiskt stegas fram i intervallet 1<a 4 kommer grafen att visa det sk Feigenbaumträdet. Programmet är gjort så att Prgm 4 är huvudprogrammet, som i sin tur använder sig av Prgm 5 på samma sätt som programspråket Pascal m fl utnyttjar procedurer. Programmet itererar först 20 gånger för att nå fixpunkterna och sedan ytterligare 20 gånger för att plotta x n. På så sätt visar grafen om en eller flera fixpunkter existerar eller om tillståndet är kaotiskt. Prgm 4 Range 0.5, 4, 1, 0.5, 1.5, 1 1 A 0.2 B A A Prog 5 A < 4 => Prgm 5 20 R AB(1 B) B Dsz R 20 L Lbl 2 AB(1 B) B Plot A,B Dsz L Goto 2 Då programmet upprepas för olika a-värden mellan 1 och 4 ser man hur x n för vissa a-värden går mot en eller flera fixpunkter medan för andra a-värden på ett kaosartat sätt antar olika värden. 38 Nämnaren nr 3, 1992

4 För att se det stora fönstret i förstoring görs ändringen Range samt små ändringar i programmet: Range 3, 4, 0.2, 0.5, 1.5, 1 3 A A A för program 4 respektive för program R 50 L Förstoring av det 6-cykliska fönstret fås med följande ändringar: Range 3.6, 3.8, 0.002, 0.5, 1.5, A A A Den markerade punktmängden kallas för Mandelbrotmängden. Program för CASIO fx-7000 G: Programkörningen tar ca en och en halv timme. Prgm 6 Range 0, 4.7, 0.5, 1.65, 1.65, A A A A 4 => Goto B Lbl 2 B B A 2 + B 2 16 => 0.5 U 0 V 20 N Lbl 3 U U 2 + V 2 S 2UV V T AS + BT U BS AT V U 2 + V 2 > 100 => Goto 2 Dsz N Goto 3 Plot A, B B < 1.3 => Goto 2 Lbl 4 Mandelbrotmängden Om man utvidgar till de komplexa talen och sätter a = A +ib och (i stället för x) z = U + iv där 1<A 4 och 0 U 0 1 blir formeln x n+1 transformerad till: U n+1 = A(U n U 2 + n V2 ) + B(2U V V ) n n n n V n+1 = A(V n 2U n V n ) + B(U n U 2 n +V2 ) n För vissa värden a kommer z att cykliskt anta bestämda värden, för andra a-värden kommer z inte att följa någon cykel. De a- värden, som ger upphov till cykliska förlopp markeras i det komplexa talplanet. Nämnaren nr 3,

5 Att fortsätta med Både Feigenbaumträdet och Mandelbrotmängden har en fraktal karaktär. Det innebär att man genom att förstora vissa partier i den ursprungliga bilden får en ny bild med större upplösning, som är mycket snarlik den föregående. Mönstret tycks upprepa sig på samma sätt som blomkålshuvudets små buketter ser ut som miniatyrkålhuvuden. En tänkbar fortsättning på arbetet med kaos och fraktaler vore att förstora några partier av Mandelbrotnängden genom enkla förändringar i programmet. Det finns flera itereringsfunktioner, som ger upphov till Feigenbaumträd, t ex x n+1 = asin(πx n ) 0.85 a 1. Se Kurt Jacbsens bok "Fra Lineær Vækst til Kaos". Vill man fortsätta med andra mängder i det komplexa talplanet finns bl a Juliamängderna. Se t ex Hans Wallins "Matematiska bilder av fraktaler och kaos". Juliamängderna gör sig bäst i färggrafik, men de elever, som vill fortsätta så långt inom området, får väl lämna klassrummet och bege sig till datasalen. Själv tycker jag det är fascinerande att det går att skapa så mycket matematisk kaos i klassrummet med så enkla medel som en programmerbar grafritande räknare. Räknare TI-81 För de skolor som använder Texas räknare kompletterar jag artikeln med program till Texas räknare TI-81. Program 1 Prgm 1:ITER :Disp "ANGE A" :Input A :Disp "ANGE XØ" :Input X :Disp X :Pause Programmet stegas fram genom att man trycker på ENTER. Programmet avbryts genom 2nd OFF. Program 2 Prgm 2:GRAF :ClrDraw :Disp "ANGE A" :Input A :Disp "Ange XØ" :Input X :Ø N :AX(1 X) Y :N + 1 N :Line (N 1, X, N, Y) :Y X :Pause RANGE -Ø.1, 3Ø, 5, -Ø.5, 1.5, 1 Programmet stegas fram med ENTER. Programkörningen bryts med 2nd OFF. Program 3 Innan första körningen bör skärmen rensas: 2nd DRAW 1 ENTER. :Prgm 3:ITERGRAF :Disp "ANGE A" :Input A :Disp "ANGE XØ" :Input X :2Ø R :AX(1-X) X :DS<(R,1) :Lbl 2 : PT On(A,X) :Pause Programmet stegas fram med ENTER 40 Nämnaren nr 3, 1992

6 och avbryts med 2nd OFF precis som program 1 och 2. Program 4 RANGE Ø.5, 4, 1, Ø.5, 1.5, 1 :Prgm 4: Feigen A :ClrDraw :1 A :Ø.2 X :A + Ø.Ø2 A :Prgm 5 :If A < 4 :End Program 5 Prgm 5: Feigen B :2Ø R :DS < (R,1) :2Ø L :Lbl 2 :PT On(A,X) :DS < (L,1) Program 6 Ställ in RANGE Ø, 4.5, Ø.5, 1.5, 1.5, Ø.2 Prgm 6:MANDEL :1 A :A+Ø.Ø5 A :If A 4 :Goto 4 : 1.3 B :Lbl 2 :B+Ø.Ø5 B :If A 2 + B 2 16 :Ø.5 U :Ø V :2Ø N :Lbl 3 :U U 2 + V 2 S :2UV V T :AS + BT U :BS AT V :If U 2 + V 2 > 1ØØ :DS < (N,1) :Goto 3 :PT On(A,B) :If B < 1.3 :Lbl 4 Itererar först 20 ggr för att nå fixpunkterna. Itererar sedan ytterligare 20 ggr ochplottar x-värdena. x 0 sätts till 0,2. Referenslitteratur Carleson, L. (1989). Iteration av kvadratiska polynom. Välj specialarbete i matematik. Djursholm. Institut Mittag-Leffler. Frantz, M. & Lazarnick, S. (1991). The Mandelbrot Set in the Classroom. Matematics Teacher. March Gleick, J. (1988). Chaos.Londan. Sphere Books Ltd. Jakobsen, K. (1989). Fra Lineær vækst til Kaos. Köpemhamn. Lademann Læremidler. Ohlén, G. (1989).Kaos. Malmö. Liber. Wallin, H. (1989). Kaotiska mängder. Elementa 69, nr 4, sid Wallin, H. (1989). Matematiska bilder av fraktaler och kaos. Matematiska institutionen. Umeå universitet. Winge, S. (1991). Vetenskap eller bara vackra bilder? (Sammandrag av NoK:s Ma-redaktion). MatematikNytt mars Stockholm. Natur och Kultur. Nämnaren nr 3,