Skrivning i statistik med beslutsteori för Brandingenjörer tisdag 26 maj 2009

Transkript

1 LUNDS UNIVERSITET 1 (3) STATISTISKA INSTITUTIONEN Lars Wahlgren TNX071 Skrivning i statistik med beslutsteori för Brandingenjörer tisdag 6 maj 009 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare samt "Tabeller och formler för statistiska beräkningar" (EJ KOPIA!). Tabellsamlingen får inte innehålla anteckningar eller spår av anteckningar. För att få full poäng på uppgifterna krävs renskrivna, fullständiga och väl motiverade lösningar. Uppgifterna skall avslutas med ett tydligt angivet svar. Uppgifter 1. Avdelningen för kvalitetskontroll tömmer ett antal brandsläckare på allt pulver och väger mängden noggrant. För varje brandsläckare noteras följande uppgifter i ett formulär. Modellbeteckning: PQ60 PX100 Pulvervikt: gram (avrundat till närmsta 10-tal) a) ( poäng) Vilka datanivåer (skaltyper) får de båda variablerna Modellbeteckning och Vikt. b) (6 poäng) Här är de elva mätvärdena från modell PQ60. Åskådliggör dem med en boxplot (ett lådagram) c) (6 poäng) Beräkna ett 95 % konfidensintervall för medelvikten av innehållet i en PQ60. Förutsättningar? d) (6 poäng) Av modellen PX100 undersöktes 15 stycken som hade medelvikten 6048 gram med standardavvikelsen 84 gram. Är den genomsnittliga pulvervikten högre i modellen PX100? Testa på 5 %-nivån. Förutsättningar?. Tre råvaror används vid tillverkningen i en fabrik. Både pris per enhet (p) och de ingående kvantiteterna (q) har förändrats de tre senaste åren Vara p q p q p q A 1, , ,50 70 B 73,00 73, ,00 30 C a) (6 poäng) Beräkna prisindex för 008 (006 = 100) enligt Laspeyre med kedjeteknik. b) ( poäng) Konsumentprisindex (KPI) har under de tre aktuella åren varit 68, 99 och 31. Hur mycket skulle vara B kostat 008 om varan hade haft samma prisutveckling som KPI sedan 006?

2 3. (6 poäng) Karl och Bertil hade fått en påse med godis som innehöll 0 bitar; sju med choklad, nio dundersura och fyra lakritsbitar. Störst tar först, sa Bertil och stoppade ner sin näve i påsen. Fjorton godisar fick han upp. (Vi antar att bitarna var lika stora och lika kladdiga så Bertils val kan anses vara helt slumpmässigt.) Ta du resten Karl, sa han sedan generöst. Vad är sannolikheten att Karl fick fler än två lakritsbitar? 4. I en engelsk studie av evakuering vid brand har man använt följande uppdelning av den totala evakueringstiden. H = D + R + E där H = Total evakueringstid D = Detektionstid R = Responstid E = Transporttid Efter att ha studerat ett stort antal brandförlopp i flerfamiljshus kom man fram till följande medelvärden (μ) och standardavvikelser (σ). Samtliga tider är angivna i minuter och vi kan anta att variablerna är normalfördelade. Detektionstid: μ = 10,0 σ =,0 Responstid: μ =,0 σ = 0,5 Transporttid: μ =,5 σ = 0,75 a) (5 poäng) Beräkna sannolikheten att den totala evakueringstiden är längre än 18 minuter. Ange vilka antaganden dina beräkningar bygger på. b) (5 poäng) Låt S beteckna den tid det tar innan branden har nått en sådan röknivå så att flykt är omöjlig. Antag att S är normalfördelad med μ = 18,4 och σ =,0 (minuter även här). Beräkna sannolikheten att evakueringen lyckas. 5. I ett större bostadsområde undersöktes hur många brandvarnare och hur många rum lägenheterna hade. Här är den tvådimensionella sannolikhetsfördelningen p(x, y). Antal brandvarnare Antal rum (y) (x) ,41 0,14 0,05 0,09 0,16 0,15 a) (5 poäng) Bestäm E( X Y = 4) och Var ( X Y = 4), d.v.s. väntevärde och varians för antal brandvarnare i 4-rumslägenheter. b) (5 poäng) Beräkna korrelationen mellan X och Y. Vad innebär det i ord att korrelationen är positiv (vilket den blir om du räknar rätt)? 6. (6 poäng) Vid den senaste partisympatiundersökningen uppgav 6,1 % av de svarande att de ska rösta på Piratpartiet i EU-valet. Anta att analytikerna påstår Vi har genomfört en hypotesprövning på nivån 1 % och det är statistiskt säkerställt att Piratpartiet har mer än 4 % av väljarna bakom sig. Hur stort måste stickprovet (åtminstone) vara för att påståendet ska vara sant?

3 3 7. En lögndetektor har visat sig kunna avslöja lögnare med ganska hög sannolikhet. Men tyvärr blir ibland en och annan ärlig person utpekad som lögnare av detektorn. Apparaten testas på en population förhärdade manliga brottslingar av vilka 80 % blåljuger medan 0 % har gått med på att för en gångs skull svara ärligt. Av alla lögnare avslöjas hela 90 % korrekt av lögndetektorn. Men av de ärliga är det tyvärr 5 % som felaktigt utpekas som lögnare. a) (5 poäng) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald testperson pekas ut som en ärlig person av lögndetektorn? b) (5 poäng) En slumpmässigt vald testperson pekas ut som ärlig av lögndetektorn. Vad är sannolikheten att personen verkligen talade sanning? 8. Innehåller 6 kg står det på brandsläckare av en viss typ. Vikten av det pulver som fylls i brandsläckarna kan ses som oberoende observationer på en normalfördelad variabel. Noggranna mätningar har visat att 6,0 % av brandsläckarna innehåller mindre än 5,7 kg medan hela 33,0 % väger mer än 6,0 kg. a) (5 poäng) En leverans med 30 brandsläckare har precis skickats iväg. Vad är sannolikheten att minst tre av dessa innehåller mindre än 5,7 kg pulver? b) (5 poäng) Vad är väntevärde (μ) och standardavvikelse (σ) för vikten av innehållet i en slumpmässigt vald brandsläckare? L Y C K A T I L L BI07

4 4 Svar / Lösningar 1. a) modell: nominalskala vikt: kvotskala b) n = 11, medianen blir det 6:e och kvartilerna hamnar mellan 3:e och 4:e värdet md = 5970 q1 = 5930 q3 = 6060 och 1,5 ( q 3 q1) = 195 vilket innebär att det inte finns några outliers Vikt (gram) ,76 c) 95 % KI blir5990 ±,8 dvs 5990 ± 69, 0 eller 591 < μ < Förutsättningarna är att vi har oberoende observationer på en normalfördelad variabel d) Här måste vi förutsätta att mätvärdena kommer från två oberoende stickprov och att det är observationer från normalfördelningar med samma varians. H0 : μ1 = μ H : μ > μ ,76 s p = = t = = = 1, , Med 4 frihetsgrader blir kritiskt t = 1,711 (tabell 4, 5 %) och alltså accepteras nollhypotesen. Det är inte statistiskt säkerställt att innehållet i PX100 i genomsnitt väger mer.. a) p p q p q 5556 = = q06 p07 q = 111,5 (%) b) 31 73, 00 = 87, a) Det enda vi är intresserade av är om det blir lakrits eller ej. Urval utan återläggning (och tur är väl det!) medför att det blir en hypergeometrisk sannolikhet för Karls lakritsbitar. Ej Lakrits lakrits Totalt Population = 0 Urval x + (6 x) = 6

5 5 Pr(X > ) = Pr(X = 3) + Pr(X = 4) = = = 0, a) Antag att D, R och E är oberoende. H blir normalfördelad med E ( H ) = 10,0 +,0 +,5 = 14,5 och Var ( H ) =,0 + 0,5 + 0,75 = 4, ,5 Pr( H > 18) = Pr( Z > = 1,60) = 0,0548 4,815 b) Bilda X = S H som är normalfördelad med E ( X ) = 18,4 14,5 = 3, 9 och = Var ( X ) = 4,815 +,0 8,815. Evakueringen lyckas om X > ,95 Pr( X > 0) = Pr( Z > = 1,31) = 0,9049 8, a) Den betingade fördelningen för X givet Y = 4 blir 0,05/0,0 0,15/0,0 x p(x y=4) x p(x) x p( x) 1 5/0 = 1/4 1/4 1/4 15/0 = 3/4 6/4 1/4 Summa 1 7/4 = 1,75 13/4 = 3,5 E(X Y=4) = 1,75 Var(X Y=4) = 3,5 1,75 = 0,1875 b) Man ställer lämpligen upp beräkningarna så här: x \ y 3 4 p(x) x p(x) x p(x) 1 0,41 0,14 0,05 0,6 0,6 0,6 0,09 0,16 0,15 0,4 0,8 1,6 p(y) 0,5 0,3 0, 1 1,4, y p(y) 1,0 0,9 0,8,7 y p(y),0,7 3, 7,9 E ( X Y ) = x y p( x, y) = 1 0, ,15 = 3,96 Ur tabellen ovan får vi E ( X ) = 1, 4 och Var ( X ) =, 1, 0, 4 samt E ( Y ) =, 7 och = Var ( Y ) = 7,9,7 0,61. Vi beräknar också Cov ( X, Y ) = E( X Y ) E( X ) E( Y ) = 3,96 1,4,7 = 0, 18 och slutligen korrelationen ρ Cov( X, Y ) 0,18 = = σ σ 0,4 0,61 = 0,470 X Y Positiv korrelation innebär att ju fler rum desto fler brandvarnare. =

6 6 6. a) H H 0 0 : π = 0,04 0,061 0,04 och z = >, 363 om H 0 ska förkastas vid 1 % : π > 0,04 ( ensidig) 0,04 0,96 n,363 0,04 0,96 signifikansnivå. Vi löser ut n > = 471, dvs minst 47 i urvalet (0,061 0,04) 7. Ett träddiagram passar bra. Lögndetektorns utslag markeras med. 0,8 ljuger 0,9 lögn 0,7 0,1 sant 0,08 0,05 0, sanning 0,95 a) Pr( sant ) = 0,08 + 0,19 = 0,7 lögn sant 0,01 0,19 b) Pr( sanning " sant") 0,19 Pr( sanning " sant") = = = 0,704 Pr(" sant") 0,7 8. Här är den aktuella normalfördelningen. a) s.v. X = antal släckare med mindre än 5,7 kg pulver Bi ( n = 30; π = 0,06). Litet π och stort n för tankarna till Poissonfördelningen med μ = n π = 1, 8. Svaret fås m.h.a. tabell. Pr(X 3) = 1 Pr(X ) = 1 0,7306 = 0,694 6 % 33 % (räknar man binomialt blir svaret 0,676) 5,7 kg 6,0 kg 1, ,44 z b) I tabell 3b ser vi att för att få 6 % till vänster ska 5,7 kg motsvara z-värdet 1,5548. Ur tabell 3a ser vi att 6,0 kg ska motsvara z = 0,44 för att få sannolikheten 0,6700 till vänster och alltså 0,3300 till höger. Vi får ett ekvationssystem med två obekanta att lösa: 5,7 μ = 1,5548 σ 6,0 μ = + 0,44 σ vilket så småningom blir μ = 5,9338 σ = 0,1504