Extrauppgifter. Uppgifter. 1. Den stokastiska variabeln Y t(10). Bestäm c så att P ( c < Y < c) = 0.95.

Transkript

1 Extrauppgifter Uppgifter 1. Den stokastiska variabeln Y t(10). Bestäm c så att P ( c < Y < c) = De stokastiska variablerna X och Y är oberoende och χ 2 (5) respektive χ 2 (7). (a) Bestäm a och b så att P (X + Y a) = 0.005) och P (X + Y b) = 0.995). Vad är E(X + Y )? (b) Låt V = X/5. Bestäm c och d så att P (V c) = och Y/7 P (V d) = Vid tillverkning av en viss sorts färg tillsätts färgpigmentet med hjälp av en doseringsapparat, men man är inte säker på om den har tillräcklig precision. Om man ställer in apparaten på dosen µ blir den verkliga dosen X = µ+ɛ, där ɛ N(0, σ 2 ). Man vill att minst 99% av burkarna ska ha en acceptabel pigmentdos, dvs en dos i intervallet (µ 0.2, µ + 0.2), i det långa loppet. Man genomförde 51 provdoseringar med µ = 10 och ck stickprovsstandardavvikelsen s = Uppfyller apparaten precisionskravet vid µ = 10? Besvara frågan med hjälp av ett lämpligt 95 % kondensintervall. 1

2 4. För att jämföra eekterna hos tre olika blodtryckssänkande mediciner behandlades tre grupper om vardera 10 patienter med de olika medicineran. Efter en månad mättes sänkningen av blodtrycket. Medelvärde Stickprovsstandardavvikelse Medicin Medicin Medicin Modell: Tre oberoende stickprov från N(µ i, σ 2 ), i = 1, 2, 3. Konstruera ett kondensintervall för σ av typen (0, a) med kondensgrad Betjäningstiderna för ett kösystem är exponentialfördelade med väntevärde µ. Man har observerat 80 oberoende betjäningstider och fått medelvärdet x = 4.5 minuter. (a) Konstruera ett kondensintervall för µ med kondensgraden approximativt (b) Låt p vara sannolikheten att en betjäningstid är mer än tio minuter. Konstruera ett kondensintervall för p med kondensgraden approximativt På misstänkta rattfyllerister gör man tre bestämningar av alkoholhalten i blodet. Resultaten x 1, x 2 och x 3 antas utgöra ett slumpmässigt stickprov från N(µ, ) där µ är den verkliga alkoholhalten i blodet ( ). Om µ > 0.2 har personen gjort sig skyldig till rattonykterhet. Låt oss anta att den domstol som skall döma tar hänsyn till osäkerheten i mätningarna genom att beräkna det aritmetiska medelvärdet x av de tre analysresultaten och därefter förklara personen skyldig om x > λ / 3 men oskyldig annars. Med statistisk terminologi kan man säga att domstolen prövar H 0 : µ = 0.2 mot H 1 : µ > 0.2 på nivån Vilka av följande påståenden ger en någorlunda korrekt beskrivning av vad som kommer hända i det långa loppet?

3 (a) högst 1% av alla frikända är skyldiga (b) högst 1% av alla oskyldigs blir dömda (c) högst 1% av alla skyldiga blir frikända (d) högst 1% av alla dömda är oskyldiga 7. Med en viss mätutrustning registreras den radioaktiva bakgrundsstrålningen på en ort. Det är rimligt att anta att antalet registrerade partiklar under t minuter är P o(λt) där λ = 5 (min 1). Efter ett radioaktivt utsläpp misstänker man att strålningen har ökat. Hur länge behöver man mäta strålningen om man vill pröva H 0 : λ = 5 mot H 1 : λ > 5 på nivån 0.01 med ett test som ger utslag med säkerheten 0.99 om strålningen ökat 50%. Lä,plig approximation får utnyttjas. 8. Man har mätt en viss föroreningshalt i jordprover tagna dels i närheten av en industri och dels i ett rent område med motsvarande jordmån. Det förutsätts att en mätning ger ett lognormalfördelat värde och därför är nedanastående medelvärden beräknade för de logaritmerade mätvärdena. antal obs. medelvärde standardavvikelse Nära industrin Rent område

4 Undersök om föroreningshalten kan anses vara högre i det förorenade området. 9. Ett företag tillverkar reläer vid fyra olika fabriker; A, B, C och D. För att undersöka om fabrikerna har samma kvalitet på sina reläer undersökte man 200 enheter från var och en av fabrikerna och räknade antalet defekta och korrekta enheter. A B C D Defekta Korrekta Det förefaller rimligt att anta att A,B och C har samma defektsannolikhet p 1 medan D har en annan defektsannolikhet p 2. Konstruera ett 95 % kondensintervall för p 1 p Genotyperna AA, Aa och aa för en viss allel förekommer med sannolikhet θ 2, 2θ(1 θ) och (1 θ) 2 i en population. Man har på måfå valt ut ett antal individer och fått följande resultat: Typ AA Aa aa Antal ML-skatta andelen A-gener i populationen, dvs θ. 11. Använd ML-skattningen av θ från uppgift 10 och utför ett χ 2 -test för att pröva om den angivna modellen är rimlig. 12. En kaeleverantör påstår att mängden kae i ett 500g-paket kan betraktas som en stokastisk variabel X N(500, 10 2 ). Vid en undersökning av 100 paket ck man följande resultat: Vikt <495 g g >505g Antal paket

5 Kaemängder i olika paket kan anses vara oberoende stokastiska variabler. Pröva med hjälp av ett χ 2 -test på nivån 0.01 hypotesen att kaemängderna är normalfördelade som leverantören påstår. 13. Störningarna ɛ 1, ɛ 2, ɛ 3 vid tre på varandra följande signalöverföringar i en kommunikationssystem kan anses utgöra komponenterna i en normalfördelad vektor med väntevärdesvektor µ och kovariansmatris C enligt µ = 0 C = Beräkna sannolikheten att medelvärdet ɛ = (ɛ 1 + ɛ 2 + ɛ 3 )/3 av de tre störningarna till sitt belopp överstiger 2 enheter. 14. De stokastiska variablerna X 1, X 2,..., X 5 är oberoende och N(10, 2 2 ). Betrakta Y 1 = 1 5 (X 1 + X X 5 ) Y 2 = 4X 1 + X 2 X 3 X 4 X 5 (a) Bestäm simultana fördelningen för (Y 1, Y 2 ). (b) Beräkna P (Y 1 > Y 2 ). (c) Beräkna korrelationskoecienten mellan Y 1 och Y I följande tabell är y i observerade värden på en stokastisk variabel Y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i, där ɛ 1,... ɛ n är oberoende och N(0, σ 2 ). x i y i (a) Beräkna punktskattningarna av β 0, β 1, och σ. (b) Rita in värdena tillsammans med den beräknade regressionslinjen i ett koordinatsystem.

6 Extra information till uppgifter i Devore Characterization of Highway Runoff runoff volume (m^3) rainfall volume (m^3) Figur 1: Skatterplot för data i uppgift Kommandot summary(lm(y x)) i R producerar följande information: Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x e-12 ***

7 --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 5.24 on 13 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 13 DF, p-value: 7.896e-12 Kommandot anova(lm(y x)) i R producerar följande information: Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) x e-12 *** Residuals Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' Kommandot summary(lm(y x)) i R producerar följande information: Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** x e-07 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

8 Moisture control of compressed pellets Moisture content (%) Filtration rate (kg DS/m/hr) Figur 2: Skatterplot för data i exempel 12.6 som används i uppgift Residual standard error: on 18 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 18 DF, p-value: 1.052e-07 Kommandot anova(lm(y x)) i R producerar följande: Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) x e-07 *** Residuals Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

9 Facit 1. Tabell ger c = (a) Tabell ger a=3.06 och b=28.3. E(X + Y ) = 12 (b) Tabell ger c = och d = Man vill att σ Det observerade värdet på s ger I σ = (0, ). Kravet är med stor sannolikhet uppfyllt. 4. I σ = (0, 8.12) 5. (a) I µ = ( ˆµ /, ˆµ / 80 (b) I p = (0.067, 0.176) 6. Endast påstående 2. ) (3.69, 5.76) 7. t = 21.5 min. Använd normalapproximation. 8. I µ1 µ 2 = (0.3, ). Föroreningshalten nära industrin är signikant högre än i det rena området. 9. I p1 p 2 ( 0.096, 0.017). Fabrik D tycks ha högre defektsannolikhet än övriga fabriker. 10. ˆθ = Hypotesen att modellen gäller kan inte förkastas. 12. χ 2 -test: Q = Kritisk gräns är 9.22 från χ 2 (2)-tabell. Normalfördelning förkastas på nivå ɛ N(0, 1.02). P ( ɛ > 2) = (( ) ( )) (a) Y N, (b) 1 Φ(1.135) 0.13 (c) ρ = ˆβ0 = 13.0, ˆβ1 = 1.81, ˆσ = 0.3.