Uppgift

Transkript

1 Uppgift 1 En grönsaksgrossist har utvecklat ett test för att kontrollera kvaliteten hos tomater. Efter att ha inspekterat ett urval från ett parti tomater, accepteras eller förkastas partiet. Med detta test förkastas 15 % av alla partier. Av alla partier är 10 % dåliga medan endast 6 % av de accepterade partierna är dåliga. a) Beräkna sannolikheten att ett parti kommer att förkastas, givet att det är dåligt. b) Beräkna sannolikheten för ett felaktigt beslut, dvs. att ett bra parti förkastas eller ett dåligt parti accepteras. Svar: a) b) Uppgift 2 Låt X vara en slumpvariabel som anger antalet uthyrda bilar per dag. Baserat på historiska uppgifter har uthyrningsfirman antagit följande sannolikhetsfördelning för X: x p(x) Antag att uthyrningsfirman debiterar 400 kronor för en uthyrning av en bil under en dag. Varje uthyrning räknas för enkelhetens skull som uthyrning under en dag. Du behöver alltså inte ta hänsyn till andra debiteringar för delar av dagar. a) Beräkna väntevärde och standardavvikelse för X. b) Firman har en fast kostnad på 600 kronor per dag och en rörlig kostnad på 50 kronor per uthyrd bil. Teckna den funktion som beskriver vinst under en dag som en funktion av antalet uthyrda bilar under dagen. Beräkna även väntevärde och standardavvikelse för slumpvariabeln Vinst under en dag. c) Antag att det råder oberoende (med avseende på antalet uthyrda bilar) mellan olika dagar. Beräkna sannolikheten att den sammanlagda vinsten under två på varandra följande dagar överstiger 1000 kronor, dvs. att vinsten under dag ett plus vinsten under dag två blir större än 1000 kronor. Svar: a) E(X) = 1.85, σ x = 1.01 b) E(Vinst) = 47.5, σ(vinst) = 355 c)

2 Uppgift 3 Antag att 20% av alla patienter som behandlas på ett sjukhus underlåter att betala sin räkning i tid. Antag vidare att 5 stycken nya patienter behandlas på sjukhuset. (Ni kan se dessa patienter som ett oberoende slumpmässigt urval från en stor population av potentiella patienter som kan behandlas på sjukhuset.) a) Låt slumpvariabeln X vara antalet, av fem slumpmässigt valda, patienter som betalar sin räkning i tid. Ange vilken sannolikhetsfördelning vi kan använda som modell för X och förklara varför. b) Beräkna sannolikheten att högst en av patienterna betalar sin räkning i tid. c) Beräkna sannolikheten att minst två patienter betalar räkningen i tid. d) Beräkna väntevärde och standard avvikelse för X. Svar: a) X är binomialfördelad med n = 5 och p = b) c) d) E(X) = 4, σ = 0.89 Uppgift 4 En verktygsfabrikant tillverkar tvåmeters måttstockar. Längden på en tillverkad måttstock anses vara likformigt fördelad på intervallet (1996, 2004) millimeter. Ett krav från konsumenterna är att längden på en måttstock ej får misstämma med mer än 3 millimeter från längden 2 meter. a) Beräkna sannolikheten att en godtyckligt vald måttstock ej uppfyller kvalitetskravet från konsumenterna. b) Låt X vara en slumpvariabel sådan att X = 1 om måttstocken ej uppfyller kvalitetskravet och X = 0 om den uppfyller kvalitetskravet. Ange sannolikhetsfunktionen för X samt beräkna väntevärdet och standardavvikelsen för X. c) Antag att man slumpmässigt väljer ut 25 måttstockar från produktionen. Beräkna sannolikheten att högst två måttstockar av de 25 inte uppfyller konsumenternas kvalitetskrav. d) Företaget producerar årligen måttstockar. Beräkna väntevärdet för antalet måttstockar som håller det uppställda kvalitetskravet. Svar: a) b) E(X) = 0.250, σ(x) = c) d) 7500 Uppgift 5 Ett företag tillverkar en viss sorts metallstavar som skall ha längden 150 cm. Köparen tolererar dock en längd i intervallet (149, 151). För varje stav med en längd inom intervallet får företaget en vinst om 1 kr. Kortare stavar måste kasseras, vilket orsakar en förlust på 4 kr. Stavar med större längd än 151 cm, måste kapas ytterligare, vilket orsakar ett spill och minskar vinsten till 0 kr. En undersökning har visat att längden hos en slumpmässigt vald metallstav är approximativt normalfördelad med väntevärde 150 cm och standardavvikelsen cm. Beräkna den förväntade vinsten för en metallstav. Svar: kronor

3 Uppgift 6 En maskin fyller burkar med olja. Av erfarenhet vet man att volymen varierar från burk till burk. Volymen kan betraktas som en normalfördelad variabel med standardavvikelsen 20 cl. a) Vilket medelvärde bör man inrikta sig på för att i det långa loppet 95 % av alla burkar skall innehålla minst 750 cl. b) Utgå ifrån att man lyckats ställa in maskinen på ett sådant sätt att medelvärdet ligger på den nivå som du beräknade i deluppgift a. Burkarna förpackas i kartonger som innehåller 20 burkar. Beräkna sannolikheten att högst en burk innehåller mindre än 750 cl. Svar: a) µ = b) Uppgift 7 Antag att fördelningen av en viss egenskap, X, i en mycket stor population kan beskrivas av en normalfördelning med väntevärdet 30 och standardavvikelsen 6. Antag vidare att man ur populationen drar ett slumpmässigt stickprov omfattande 9 individer. a) Beräkna standardavvikelsen för stickprovsmedelvärdet. b) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet understiger väntevärdet. c) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet överstiger medelvärdet med 3 enheter. Svar: a) 2 b) 0.50 c) Uppgift 8 Inför en folkomröstning i ett land genomför man en stickprovsundersökning för att uppskatta hur stor andel av befolkningen som är positivt inställda till ett medlemskap i en viss union. Låt X vara variabeln antalet i stickprovet som är positiv inställda till unionen. a) Utgå ifrån att urvalet är slumpmässigt (OSU) och föreslå en lämplig modell för variabeln X. Motivera! b) Antag att andelen positivt inställda i populationen är 48 % och att urvalsstorleken är n = 200. Beräkna sannolikheten att minst hälften i ett slumpmässigt valt stickprov är positivt inställda till unionen. Svar: a) Binomialfördelning + bra motivering. b) 0.28.

4 Uppgift 9 Ett läkemedelsföretag har ett mycket stort parti tabletter. Vikten (i gram) av en slumpmässigt vald tablett kan med god noggrannhet anses vara en observation på en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärde µ och standardavvikelse 0.02 gram. För kontroll av vikten tar man ut ett antal tabletter och väger dem. Antag att µ = a) Beräkna sannolikheten att vikten av en slumpmässigt vald tablett ligger utanför intervallet (0.64, 0.66). b) Beräkna sannolikheten att aritmetiska medelvärdet av vikten av 30 slumpmässigt valda tabletter ligger utanför intervallet (0.64, 0.66). c) Hur många tabletter bör man väga om man vill att sannolikheten skall vara högst 0.05, att det aritmetiska medelvärdet kommer att ligga utanför intervallet (0.64, 0.66)? Svar: a) 0.62 b) c) n = 16 Uppgift 10 Ange om nedanstående påståenden är rätt eller fel. a) Oavsett fördelning i populationen blir stickprovsmedelvärdet approximativt normalfördelat om bara populationen är tillräckligt stor. b) En förutsättning för att stickprovsmedelvärdets standardavvikelse skall vara lika med populationens standardavvikelse dividerat med kvadratroten ur stickprovsstorleken är att stickprovet är stort (n > 30). c) Enligt centrala gränsvärdessatsen är stickprovsmedelvärdet lika med populationsmedelvärdet om stickprovet är stort. d) Enligt centrala gränsvärdessatsen är den egenskap man mäter approximativt normalfördelad i stickprovet om stickprovet är stort (n > 30). e) Oavsett fördelning i populationen tenderar stickprovsmedelvärdet att bli åtminstone approximativt normalfördelat om stickprovet är tillräckligt stort. Svar: e är rätt och övriga fel. Uppgift 11 Låt X vara en egenskap som är normalfördelad i en population med okänt medelvärdet µ och variansen σ2 = 4. Antag att man, med hjälp av ett slumpmässigt stickprov bestående av n=20 observationer, vill testa hypotesen att µ, medelvärdet i populationen, är 8, mot alternativet att µ är mindre än 8. För vilka värden på stickprovsmedelvärdet kommer nollhypotesen att förkastas om signifikansnivån sätts till 5%? Svar: För värden på stickprovsmedelvärdet under 7.26.

5 Uppgift 12 Inom datakommunikation utnyttjar man bl.a. fiberoptik. Flera fibrer sammanförs till kablar av varierande tjocklek. I en fabrik för tillverkning av sådana kablar finns en nyinstallerad maskin som skall producera kablar med en genomsnittsomkrets på 22 micrometer divisions (1 division = mm). Kablarnas omkrets kan anses vara normalfördelad. Fabriksledningen befarar dock ett maskinfel och har för den skull utfört mätningar på slumpmässigt utvalda kablar. Följande data utgör en del av dessa mätningar: 21, 30, 26, 29, 22, 31, 29, 23, 28, 24 Testa om det befarade maskinfelet stört tillverkningsprocessen på ett sådant sätt att genomsnittsomkretsen förändrats. (Signifikansnivån 5 %). Svar: Dubbelsidig hypotesprövning med en teststatistika som är t-fördelad med 9 frihetsgrader. Kritiska gränserna blir då och Observationen på teststatistikan blir 3.79, vilket innebär att nollhypotesen skall förkastas.