Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Transkript

1 F12: Tillförlitlighet och säkerhetsindex

2 Cornell Styrka Säkerhetsindex Ett säkerhetsindex, b: Är ett mått på ett systems tillförlitlighet. Är ett grövre mått än felsannolikheten P f. Används när P f inte kan räknas ut (t.ex. när vi inte har tillräcklig information eller när osäkerheten är för stor). Används för att jämföra olika system: ju högre säkerhetsindex desto lägre felsannolikhet (dvs bättre system). Finns i olika varianter, t.ex. Cornell och Hasofer-Lind.

3 Cornell Styrka Cornells säkerhetsindex Cornells säkerhetsindex, b C, definieras som b C = E(h(X 1,..., X n )) D(h(X 1,..., X n )) där h(x 1,..., X n ) är systemets felfunktion (dvs säkerhetsmarginal) men med E(h(X 1,..., X n )) > 0. Om h(x 1,..., X n ) är approximativt normalfördelad, h( ) N(m h, s 2 h ), så mäter b C avståndet från m h till det kritiska området, i s h -enheter: P f = P(h( ) < 0) = F( 0 m h s h ) = F( b c ) För alla felfunktioner h( ), oavsett fördelning, gäller att P f b 2 C

4 Cornell Styrka Ex: Styrka och last (igen): Vi har ett system där styrkan kan ses som en slumpvariabel R (Resistance) och lasten som en annan slumpvariabel S (Stress). Beräkna Cornells säkerhetsindex i de tre situationerna: (a) Styrkan R N(5, ) medan lasten S N(3, ) och de är oberoende. (b) Styrkan och lasten är normalfördelade enligt (a) men korrelerade med r(r, S) = 0.5. (c) Styrkan och lasten är lognormalfördelade med ln R N(ln 5, ) och ln S N(ln 3, ) med korrelationen r(ln R, ln S) = 0.5.

5 Cornell Styrka Ex: Styrka och last (forts): (a) Vi har att systemet går sönder om S > R dvs om h(s, R) = R S < 0 med R S N(2, 0.45) och b C = E(h(S, R)) = 2 = V(h(S, R)) 0.45 Vi har alltså en felmarginal på nästan 3 standardavvikelser. (b) Vi har nu R S N(2, 0.63) och b C = 2/ 0.63 = Vi har alltså en felmarginal på drygt 2.5 standardavvikelser. Systemet är lite sämre än tidigare. (c) Vi har nu ln R ln S N(0.51, 0.069) och b C = 0.51/ = Vi har alltså en felmarginal på nästan 2 standardavvikelser. Systemet är ännu sämre än tidigare.

6 Cornell Styrka Ex: Styrka och last (forts): Fördelningarna för h(r,s) (a): R S, ober. (b): R S, korr (c): ln R ln S, korr Standardiserade fördelningar: N(β C, 1 2 ) (a): β C = 2.98 (b): β C = 2.52 (c): β C =

7 Cornell Styrka Ex: Styrka och last (forts): Är approximationerna av felsannolikheten bra? (a) Vi beräknade förra gången P f = F( b C ) = 1 F(b C ) = b 2 C = = Sant men väldigt grov uppskattning. 1 (b) Vi har P f = = (c) Vi har P f = = Approximationerna är alltså rätt dåliga.

8 Exempel: Avfall Vid en avfallsanläggning bränner man hushållsavfall. Ett filter i skorstenen reducerar mängden av ett visst giftigt ämne i rökgaserna med en faktor K, vilket anses variera med väntevärde 50 % och variationskoefficient Det högsta tillåtna utsläppet är 40 mg/min. Vid förbränningen avgår i medel 50 mg/min; motsvarande standardavvikelse är 10 mg/min. Vid ett visst tillfälle avgår mängden X per tidsenhet. Totala utsläppet blir då Y = (1 K) X. (a) Beräkna Cornells säkerhetsindex. Antag att K och X är oberoende. (b) Normalt minskar dock effektiviteten K då belastningen X ökar. Man brukar räkna med att korrelationskoefficienten mellan K och X är 0.7, alltså negativ. Vad blir Cornells säkerhetsindex i så fall?

9 Ex: Avfall (forts) Vi har att systemet går sönder om utsläppet överstiger 40 mg/min, dvs där Y > 40 (1 K) X > (1 K) X < 0, h(k, X) = 40 (1 K) X < 0 E(K) = 0.5 = m K, R(K) = D(K) E(K) = D(K) 0.5 = 0.12 D(K) = = 0.06 V(K) = = s 2 K, E(X) = 50 = m X, D(X) = 10, V(X) = 10 2 = s 2 X Vi vet inget om fördelningstypen, dessutom är funktionen h(k, X) inte linjär. Vi behöver hitta approximationer för dess väntevärde och varians!

10 Gauss approximationsformler (en variabel): Låt X vara en stokastisk variabel med väntevärde E(X) = m och varians V(X) = s 2. Om funktionen h(x) är tillräckligt linjär i närheten av m så gäller att: E[h(X)] h(m), V[h(X)] ( h (m) ) 2 V(X) = ( h (m) ) 2 s 2. Bevis: första ordningens taylorutvekling av h(x) kring x = m: h(x) h(m) + h (m) (x m), E(h(X)) E(h(m) + h (m) (X m)) = h(m) + h (m) (E(X) m) = h(m), V(h(X)) V(h(m) + h (m) (X m)) = (h (m)) 2 V(X).

11 Exempel: Gauss approx. i en variabel h(x) = x 2 h(x) h(µ) + h (µ)*(x µ) 10 5 µ 2 0 µ x Om vi har att E(X) = m = 2 och V(X) = s 2 = 1 och h(x) = x 2 så h(x) m 2 + 2m (x m), E[X 2 ] m 2 = 2 2 = 4, V[X 2 ] (2m) 2 s 2 = (2 2) 2 1 = 4 2 = 16

12 Gauss approximationsformler (två variabler): Låt X och Y vara två s.v. med väntevärden m X respektive m Y. E[h(X, Y)] h(m X, m Y ), V[h(X, Y)] ( h x(m X, m Y ) ) 2 V(X) + ( h y(m X, m Y ) ) 2 V(Y) + 2 h x(m X, m Y ) h y(m X, m Y ) Cov(X, Y) där h x(x, y) = h(x, y), x h y(x, y) = h(x, y). y

13 Ex: Avfall (forts): Vi har att Det ger h(k, X) = 40 (1 K) X, h k (K, X) = (40 (1 K) X) = X, K h x(k, X) = (40 (1 K) X) = (1 K). X E(h(K, X)) h(m K, m X ) = 40 (1 m K ) m X = 40 (1 0.5) 50 = 15 mg/min.

14 Ex: Avfall (forts) (a): Om K och X är oberoende, dvs Cov(K, X) = 0, får vi V(h(K, X)) (h k (m K, m X )) 2 V(K) + (h x(m K, m X )) 2 V(X) = (m X ) 2 V(K) + ( (1 m K )) 2 V(X) = (1 0.5) (mg/min) 2. Cornells säkerhetsindex fås då som b C = E(h(K, X)) D(h(K, X)) 15 = och en övre gräns för felsannolikheten är P f b 2 C = 0.13.

15 Ex: Avfall (forts) (b): Om K och X är korrelerade med Cov(K, X) = 0.7 V(K) V(X) = 0.7 = 0.42, får vi V(h(K, X)) (h k (m K, m X )) 2 V(K) + (h x(m K, m X )) 2 V(X) + 2 h k (m K, m X ) h x(m K, m X ) Cov(K, X) = (m X ) 2 V(K) + ( (1 m K )) 2 V(X) + 2 m X ( (1 m K )) Cov(K, X) = (1 0.5) ( (1 0.5)) ( 0.42) 55 (mg/min) 2.

16 Ex: Avfall (forts) (b): Cornells säkerhetsindex fås nu som b C = E(h(K, X)) D(h(K, X)) = 2.02 och en övre gräns för felsannolikheten är P f b 2 C = 0.20.

17 Ex: Brandutrymning: Vid design av större byggnationer måste hänsyn tas till brandsäkerhet. Speciellt är man, för en byggnad av givna dimensioner, intresserad av hur stor kapacitet i form av dörrar som erfordras för att säkerställa vissa specifikationer vad gäller utrymningstid. Betrakta en byggnad med golvarea 1600 m 2 och takhöjd 5 m och med dörrkapacitet om 4 m. Utifrån mätningar och fysikalisk kunskap har man fått en modell för säkerhetsmarginalen (failure function) G vad gäller utrymningstid: G = M S a a R 400 N där följande stokastiska variabler (med väntevärden m och standardavvikelser s) ingår:

18 Ex: Brandutrymning (forts): Variabel Beskrivning m s a Brandens tillväxthastighet (kw/s 2 ) M S Modellosäkerhet R Reaktionstid (s) N Antal personer per m (Säkerhetsmarginalen uttrycks i sekunder. Konstanterna i relationen ovan är alltså inte dimensionslösa; byggnadens dimensioner, flöden av människor etc. finns inkluderade i konstanterna.) (a) Beräkna med hjälp av Gauss approximationsformler E(G) och V(G). (b) Använd Cornells säkerhetsindex för att ge en uppskattning av sannolikheten för negativ säkerhetsmarginal.

19 Ex: Brandutrymning (forts) (a): Gauss approximation ger E(G) m MS m 0.26 a m a m R 400 m N = = s. För variansen behöver vi de 4 partiella derivatorna: G M S = a 0.26, G a = M S a a , G R = 1, G N = 400. Vi får också hoppas att de fyra slumpvariablerna är okorrelerade.

20 Ex: Brandutrymning (forts) (a): Nu får vi V(G) ( m 0.26 a ) 2 s 2 M S + ( m MS m 1.26 a m a ) 2 s 2 a + ( 1) 2 s 2 R + ( 400)2 s 2 N = s2. (b) Uppskatta felsannolikheten: Vi får b C = E(G) D(G) = 0.47, P f = P(G < 0) b 2 C = 0.82.

21 Jordbävning Konfidensintervall med delta-metoden Generellt: j = okänd parameter med ML-skattning j N(j, V(j )). I j = (j ± l a/2 V(j )) Om V(j ) är svår att beräkna kan man istället approximera den med hjälp av Gauss-approximation. Då sägs intervallet vara gjort med delta-metoden. Ex: Jordbävningar (igen): Vi studerade tiden, T mellan jordbävningar och antog att tiderna var exponentialfördelade med väntevärde a = 1/l. Speciellt intressant var sannolikheten att det dröjde mer än 1500 dagar mellan två jordbävningar, d.v.s. p = P(T > 1500) = e 1500/a där a skattades med a = t = baserat på 62 tider. Den intressanta sannolikheten p skattades med p = e 1500/a =

22 Jordbävning Ex: Jordbävningar (forts): (a) Beräkna, m.h.a. Gauss approximationsformler, V(p ). (b) Gör, m.h.a. deltametoden, ett konfidensintervall för p med approximativ konfidensgrad 95 %. (c) Vilka andra metoder har vi under kursens gång använt för att göra konfidensintervall för p? Losning: Vi har T Exp(a) med E(T) = a och V(T) = a 2. Eftersom tiderna är oberoende har vi också E(a ) = E( 1 n V(a ) = V( 1 n n T i ) = 1 n i=1 n T i ) = 1 n 2 i=1 n i=1 n i=1 E(T i ) = n a n = a, V(T i ) = n a2 n 2 = a2 n.

23 Jordbävning Ex: Jordbävningar (forts) (a): Vi har att p = e 1500/a = h(a ) där h (a ) = 1500 (a ) 2 e 1500/a ( 1500 V(p ) (h (E(a )) 2 V(a ) = a 2 ) 2 e 1500/a a2 n = n a 2 e /a n (a ) 2 e /a =

24 Jordbävning Ex: Jordbävningar (forts) (b): Ett approximativt 95 % konfidensintervall för p ges då av I p = (p ± l V(p )) = ( ± ) = (0.0047, 0.060) (c) Andra konfidensintervall (Lab 3): Bootstrap: I p = (0.0032, 0.052). Bayesianskt trolighetsintervall: I p = (0.012, 0.069).