Matematikundervisningen i Norden under 1000 år en jämförelse över tid

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematikundervisningen i Norden under 1000 år en jämförelse över tid"

Transkript

1 Matematikundervisningen i Norden under 1000 år en jämförelse över tid Thomas Lingefjärd Göteborgs Universitet Lingefjärd 1 Utifrån ett internationellt perspektiv utgör de nordiska länderna Danmark, Norge och Sverige ofta en homogen enhet med avseende på kultur, social struktur, ekonomiska och politiska styrsystem och utbildning. Ländernas historiska bakgrund har varit sammanvävd under flera tusen år kultur, politik, socioekonomisk tradition, språk Lingefjärd 2 Matematik-Biennalen

2 De två andra länderna i Norden, Finland och Island, är separerade såväl geografiskt (Island) som kulturellt och språkligt. I Island har språket skyddats från intrång av utländska låneord, vilket innebär att man i Island talar vad vi idag kan kalla gammalnorska. Det finländska språket har ett annat ursprung än de andra nordiska språken. Lingefjärd 3 En berättelse om matematikundervisningen i Sverige under 1000 år kan aldrig bli något annat är en berättelse om matematikundervisningen i Norden under samma tid. De nordiska ländernas utbildningshistoria är mycket tätt sammanvävd under denna tidsrymd. Vi kommer bland annat att visa att en avgörande påverkan på matematikundervisningen i de nordiska länderna kom från Island, som på vissa sätt låg närmare Europa än vad Sverige gjorde för 1000 år sedan. Lingefjärd 4 Matematik-Biennalen

3 Sverige fick sin första tryckta lärobok i aritmetik drygt 100 år efter motsvarande böcker skrivna på latin eller grekiska hade börjat cirkulera i Europa. Den första tryckta läroboken i aritmetik kom från Treviso i Italien och publicerades Författaren är okänd. En engelsk översättning finns bland annat i Swetz (1987). Boken propagerade för en ny matematik, ett ersättande av det gamla romerska räknesättet med ett nytt, baserat på Hinduarabiska siffror och nya räknesätt. Detta var omvälvande och tog i många länder lång tid att genomföra. Hur såg det ut innan? Lingefjärd 5 Jag har valt en startpunkt i 800-talets klosterskolor. Klosterskolorna, eller katedralskolorna, vilande bland annat på kejserliga och påvliga dekret från 787, 789, och 827 e. Kr. och utgör ett första tecken på organiserad utbildning i norra Europa. I ett dekret från Karl den store daterat år 789, finns spår av hur kursplanen såg ut: Scholae legentium puerorum fiant; psalmos, notas, cantus, computum, grammaticam discant [Skolan skall undervisa om: psalmer, skrivning, kantater, kyrkoaritmetik, och grammatik] Computum betyder egentligen computus ecclesiasticus, det vill säga att beräkna datum för kyrkoårets högtidsdagar. Lingefjärd 6 Matematik-Biennalen

4 Den första nedskrivna läroboken i matematik som vi känner till var en handskriven bok av munken Beda Venerablis (Den vördnadsvärde) som är omnämnd i åtskilliga källor (Dahlbo, 1897; Hollander, 1884; Howson, 1981; McLeish, 1991). Beda var en engelsk munk ( e.kr.) och författare till en bok vid namn computus, De Temporum Ratione. Denna lärobok användes i Sverige och Finland likväl som i England (Dahlbo, 1897). I denna handskrivna bok, med världens äldsta bild på romerska räkneord med fingrarna, visade Bede på en speciell form av fingerräkning tillsammans med romerska siffror. Bedas algoritm beskriver hur två tal, större än fem men mindre än tio, kan multipliceras ihop. Metoden, kallad De computo vel loquela digitorum, ("Om att räkna eller tala med fingrarna") används fortfarande i modifierad form på travbanor och börsmarknader. Lingefjärd 7 Beda var också skaparen av en systematisk version av den kristna almanackan, med bland annat metoder för hur man beräknar påsk, och med introduktion av datering relativt Kristi födelse. Så trots att han inte var någon stor matematiker, utan präst och kanske skollärare, lever Bedas namn kvar trots att många större matematiker gått förlorade i tidens glömska. Quum dicis sex, tertium nihilominus elevabis, medio duntaxat solo, qui Medicus appellatur, in medium palmae fixo. För talet sex måste du räta ut ditt mittfinger och därefter böja ringfingret, kallat Medicus, tillbaka in i handflatan. (K. Menninger: Zahlwort und Ziffer I, 1958, sid 6) Lingefjärd 8 Matematik-Biennalen

5 Upptäckten av bland annat runstavar antyder att Island, Norge och Sverige hade en nästan komplett almanacka långt innan kristendomen nådde Norden (Dahlin, 1875). Almanackor skurna i trä, så kallade rimstavar, fanns på många håll men de med runtecken som dagangivelser var en rent svensk uppfinning. Trots detta, så var vid denna tid kvalitén på matematikutbildningen i de nordiska länderna relativt undermålig (Hollander, 1884). De Skandinaver, som önskade förvärfva ett kunskapsmått utövfer det vanliga i latin, filosofi och kyrkolära, voro af omständigheternas tvång hänvisade att söka detta i länder med längre framskriden odling. (Hollander, 1884, p. 20) Lingefjärd 9 I slutet av 1200-talet anses Norges och Danmarks klosterutbildningar och kulturella utbud ha legat ca 100 år före Sveriges. Danmark hade sitt religiösa center i Lund och var mycket påverkade av det franska utbildningssystemet. Universitetet i Bologna och senare universitetet i Paris ansågs vid denna tid ge den mest kultiverade utbildningen (Brun, 1962). Under 1200-talet reformerades matematikutbildningen vid Europeiska universitet. En anledning till detta var att många matematikböcker, ursprungligen skriva på grekiska, nu översattes till Latin. Den ökade handeln ställde dessutom nya krav på aritmetiska färdigheter. Not: Bologna i norra Italien har Europas äldsta ännu existerande universitet. Detta var ett mycket viktigt intellektuellt centrum under medeltiden. Även idag är Bologna aktuellt - på grund av Bolognaprocessen. Lingefjärd 10 Matematik-Biennalen

6 I norden nämns aritmetik för första gången i den norska boken Kongespeilet [Kungens spegel] från ca Gerðu þik tolvisan vel, þat þurfu kaupmenn mjok [Lär dig aritmetiken väl, den är viktig för handelsmän] (Bekken & Christoffersen,1985, p. 7). Den äldsta bevarade nordiska texten om räknande med hinduarabiska siffror, är den isländska boken Hauksbók. Hauksbok är en av de få medeltidshandskrifter som vi känner vid namn. På ett av bladen namnger sig författaren som Haukr Erlendsson (? -1334). Så långt tillbaka som vi kan spåra boken, har den därför kallats Hauksbok. Vi vet inte när han blev född, men vet at han blev lagman på Island år 1294 och kom till Norge ca Lingefjärd 11 Det förefaller som om Haukr Erlendsson. använde minst 15 olika assistenter för att skapa verket Hauksbók. Den matematiska delen av Hauksbok kallas Algorismus och utgör ca 6-7 A4-sidor. Detta är den äldsta räknebok med "våra" tal på ett nordisk språk och här visas det decimala positionssystemet. Det är viktigt att notera att denna bok skrevs på ett nordiskt språk 300 år före det att den svenske matematikern Stiernhjelm (Arithmetica Mnemonica Universalis, 1642) försökte visa på det decimala systemets fördelar och ett halvt millennium innan detta system sattes i praktiskt bruk i Sverige. Lingefjärd 12 Matematik-Biennalen

7 Kopplingen mellan olika arbeten på Latin nere på kontinenten och Hauksbók kan verifieras med hjälp av ett fel i den Julianska kalendern. Detta fel orsakade att Påven Gregorius XIII ändrade årsalmanackan år Felet har upptäckts i såväl De Computo Ecclesiastico by Sacrobosco (ca 1232) and in the Hauksbók ca 70 år senare (Bekken & Christoffersen, 1985). Lingefjärd 13 Men varför skrevs denna bok på Island? Island låg så mycket längre bort från kontinenten än Sverige? Enligt Isländsk mytologi och historia, så fanns det en man vid namn Sæmund Sigfusson som reste som ung man till Europa för att studera (runt 1070). Han besökte Paris, Rom, och Herfurt i Westfalen och var tydligen mycket studieintresserad. Sæmund Sigfusson är välkänd i Island och syns här som staty. Lingefjärd 14 Matematik-Biennalen

8 Kejsare Otto IIIs välkända lärare Gerbert är känd som den förste personen som introducerade Hinduarabiska siffror i Europa i slutet av 900-talet. Symbolerna som Gerbert hade med sig från Spanien kallades Gubar symboler (på arabiska kallas dessa symboler för Gubar [damm] siffror, antagligen beroende på att man en gång i världen räknade i dammet på bord) och vissa av dem är fortfarande i bruk i Egypten, Irak, Iran, och Turkiet. Dessa plockade Sæmund Sigfusson troligtvis med sig till Island. Den del i Hauksbók som kallas Algorismus börjar så här: Her byrjar algorismum. List þessi heitir algorismus. Hana fundu fyrst indverskir menn ok skipuðu með.x. stofum þeim er. svá eru ritnir: [Denna konst kallas algorismus. Den blev först upptäckt av Indier, som formade 10 tecken, så här:] Lingefjärd 15 I Indien var decimalsystemet känt redan 300 f. Kr. Vi ser också att Gubar symboler innehöll noll, något som blev allmänt känt först på 1300-talet. Algorismus anger endast två positioner. Ental kallas fingr och positionen för tiotalssiffran kallas liðr. De andra positionerna kallas sammansatta tal. Det finns 7 namngivna räknesätt (operationer): viðrlagning addition I dubblering och afdráttr subtraktion halvering kan vi se tvífaldan dubblering arabisk påverkan från helmingaskipti halvering al-khwarizmi margfaldan multiplikation (Bekken & skipting division Christoffersen, 1985.) taka rot undan kvadratrot Lingefjärd 16 Matematik-Biennalen

9 De arabiska siffrorna är idag de mest använda i världen. Begreppet arabiska siffror är emellertid inte ett enhetligt begrepp: Modern Arabiska (Väst); Tidig Arabiska (Väst); Arabiska bokstäver Modern Arabiska (Öst); Tidig Arabiska (Öst); Tidig Devanagari (Indien); Modern Devanagari Lingefjärd 17 Under medeltiden fanns det fyra olika typer av handskrivna böcker som handlade om siffror och beräkningar. De kan klassificeras enligt: Böcker om talteori, baserade på Grekisk tradition från Euclides och Nicomachus dagar via Boethius till Jordanus Nemorarius (ca 1225). Böcker om Abacus, det vill säga om hur man räknade med tabeller, artefakter som calculi, jetons eller stenar, och med romerska siffror. Computi ecclesiastici, mallar och instruktioner för att beräkna datum för påsk och andra varierande festhögtider. Algorismus, med grundläggande instruktioner för tekniken med de nya hinduarabiska symbolerna, mestadels byggt på arbetet av al- Khwarizmi. Lingefjärd 18 Matematik-Biennalen

10 Tre olika handskrivna böcker, med större genomslag än andra, spreds över Europa: Liber Abaci, av Leonardo Fibonacci av Pisa (ca 1202) Carmen de Algorismo, av Alexander de Villa Dei (ca 1200) Algorismus Vulgaris, av Johannes de Sacrobosco (ca 1230) Vi vet idag att arbetet av Fibonacci vann denna strid eftersom många av de första tryckta läroböckerna i aritmetik i Italien i slutet av 1400-talet grundades just på hans verk. Fibonacci anses av många vara Europas förste matematiker, och han är också på sätt och vis mer accepterad av den matematiska samfälligheten idag. Men vid 1300-talet början, så var de andra två författarna mer välkända och sålde bättre. Lingefjärd 19 Ökad handel ledde fram till ökat behov av att räkna på ett effektivt sätt. Fibonaccis Liber Abaci och de första tryckta läroböckerna från Treviso i Italien skrevs alla utifrån ett praktiskt ändamål (Swetz, 1987). Men situationen var annorlunda för Villa Dei och Sacrobosco. Dessa två skrev matematikböcker för universitetsstudenter. Frånsett sina Algorismus böcker, så skrev de också välkända och vitt spridda böcker om Computus. Svårigheten med att beräkna datum för högtidsdagar i almanackan var en av orsakerna till ett ökat intresse för matematik i klosterskolor och på universitet runt 1000-talet. Lingefjärd 20 Matematik-Biennalen

11 Den första notisen om ett svenskt namn i samband med matematik är daterat till den 25 mars år1299. Biskop Hemming, vid en anrik katedralskola i Paris dör, och hans sparade testamente upptar ett stort antal böcker i matematik och andra vetenskaper. Det stora antalet titlar (med tanke på att böcker var oerhört dyra och svåra att få tag på vid denna tid, så kan vi anta att Hemming faktiskt läste alla böcker han hade i sin ägo) indikerar att Hemming måste ha varit en mycket välutbildad man vid denna tid (Dahlbo, 1897; Dahlin, 1875). Lingefjärd 21 Det kan vara värt att känna till Petrus de Dacia, rektor i Paris 1326, och filosof, matematiker och astronom, den mest berömde och lysande i sin tid tyvärr inte var svensk utan troligen från Danmark. Petrus Philomenia de Dacia är speciellt känd för att ha författat kommentarmaterial till Sacrobosco s Algorismus. Från 1250 till 1500, så var Sacrobosco s Algorismus med Petrus de Dacia s kommentarer en av de mest kända aritmetikböckerna i Europa (Larsen, 1952). Lingefjärd 22 Matematik-Biennalen

12 Det är inte förrän i början av 1500-talet som vi finner svenskar, verksamma i Sverige och som blev omtalade för sin matematiska bildning. Naturligt nog, så var två av dessa munkar vid Vadstena kloster, och lyssnade till namnen Petrus Astronomus och Peder Månsson. Astronomus är känd för den geniala klocka han konstruerade för domkyrkan i Uppsala. Olyckligtvis, så förstördes domkyrkan i en stor brand 1702, och Astronomus geniala klockarbete gick förlorat. Hans munkbroder, Månsson, är ännu mer känd. Han är den förste författare i Sverige som vi kan koppla samman med en matematiktext. Hans bok publicerades (ett handskrivet manuskript) i Rom i början av 1500-talet och handlade om regula de tri (Dahlin 1875; Dahlbo 1879; Hultman 1870). Lingefjärd 23 Här är ett exempel från Peder Månssons bok: Problem 4: 32 uns av saffran säljs för 3 floriner. Hur mycket kostar ett uns? Lösning: Produkten eller 3 kan inte divideras med 32, eftersom divisorn är större än dividenden. Därför måste jag växla 3 floriner till 540 dinarer och dela dem med divisorn 32. Om du delar korrekt, så får du svaret 16 dinarer och 28 delar av en dinar. Med dagens notationssystem skulle vi kanske skriva så här: 32 u 540 = 3 f ( = 540 d ) u = = d Lingefjärd 24 Matematik-Biennalen

13 Den äldsta tryckta danska läroboken i aritmetik utgavs (Larsen 1952, Brun 1962). Författaren anses vara Claus Lauridsen Skavbo och boken introducerade bland annat komplementär multiplikation på danska. Exempel: Produkten av 9 8 ges av identifiering av komplementen 1 och 2. Produkten ges av 1 2 som entalssiffra och 9-2 = 8-1 = 7 som tiotalssiffra. Metoden finns med som övertygande argument i en engagerad diskussion i filmen Stand and Deliver (Warner Brothers, 1988). Lingefjärd 25 I filmen Stand and Deliver (1988), så utmanar matematikläraren Jaime Escalante, en motstridig gängledare vid namn Chuco, med så kallad fingerräkning: Escalante: Ohh. You know the times tables? Chuco: I know the ones...twos...three. [On "three" Chuco flips the bird to Escalante.] Escalante: Finger Man. I heard about you. Are you The Finger Man? I'm the Finger Man, too. Do you know what I can do? I know how to multiply by nine! Nine times three. What you got? Twenty-seven. Six times nine. One, two, three, four, five, six. What you got? Fifty-four. You wanna hard one? How about seven times nine? One, two, three, four, five, six, seven. What do you got? Sixty-three. Lingefjärd 26 Matematik-Biennalen

14 De svenskar, som vid denna tid ville lära sig det decimala positionssystemet, hade inte tillgång till läroböcker på svenska. Dessutom var beräkningsuppgifter i olika böcker ofta kopplade till mätning, valutor och viktsystem som var kulturellt förankrade och delvis existerande i respektive land. Denna situation skapade ett stort antal problem för de som ville lära sig räkna med de nya siffrorna och det nya talsystemet (Hollander, 1984; Ohlon, 1986). Striden stod länge mellan Abakister (från abakus, vilket var vad de räknade med) och Algorister (av algoritm) som istället räknade med arabiska siffror (i damm, på papper eller annan skrivbar yta). Striden gällde hur man skulle räkna och hur man skulle skriva tal (romerska eller arabiska siffror). Idag får vi väl alla sägas vara algorister? Lingefjärd 27 Läroplansförändringen 1611 Det ökande intresset för matematik i dåvarande Sverige visade sig vid kyrkomötet i Örebro Vid detta möte, togs beslut om en ny läroplan för katedral- och provinsskolor. I kursplanen för 5: klass finner vi följande påpekande (Rhetorica et Logica): Anmärkningar: Om dessutom rektor eller konrektor har någon tid övrig, må han också på lediga timmar offentlig eller enskilt föredraga Buscheri aritmetik (detta också i provinsskolorna), Philippi de Animas och Johannes de Sacrobosco s astronomi; dock så att icke desto mindre det förut nämnda kurserna medhinnas (1611 års skolordning i Hall 1921, sid 37.) Lingefjärd 28 Matematik-Biennalen

15 Läroplansförändringen 1611 Om än den rekommenderade boken var skriven av en tysk och på Latin, så var införandet av en lärobok i aritmetik en stark kraft bakom framtagandet och tryckandet av svenska läroböcker i aritmetik. Buscherus, Heizo Buscher, var en tysk filosof och rektor i Hannover German. Paradoxalt nog, så kom hans böcker att betyda betydligt mer i Sverige och Finland än i Tyskland. Texten tros ha modifierats innan den användes i Sverige, av Johannes Bothvid, en präst vid Gustaf II Adolf hov (Dahlbo, 1897; Hollander, 1884). Lingefjärd 29 Svenska läroböcker Den äldsta svenska läroboken i aritmetik påstås aldrig ha blivit tryckt. Författare anses Hans Larsson Rizanesander vara. Boken saknar titel och är daterad Den är beskriven i Dahlin (1875): Rizanesander använder nio signifikanta siffror [1-9] och en osignifikant, som han kallar nulla eller ziphra. Rizanesander förklarar insignifikansen av nollan genom att förklara att talet skall läsas som 321 tusen gånger tusen, 62 tusen, 489 och att nollan kommer att vara tyst i detta uttryck. Lingefjärd 30 Matematik-Biennalen

16 Ett annat exempel visar metoden med falsk position, Regula Falsi. Exempel Tre personer vill köpa ett hus för 200 daler. A vill betala tre gånger mer än B, och B vill betala fyra gånger så mycket som C. Hur mycket skall var och en betala? Lösning Rizanesander prövar med C = 10 daler, som medför B = 40 och A = 120 daler. Detta leder till följande tabell: Rizanesander skriver därefter att 170, eller priset på huset som skulle passa med värdet 10 för C, relaterar till 200 som 10 relaterar till daler. Resultatet blir att C skall betala daler, B skall betala daler, och A skall betala daler Lingefjärd Den första svenska läroboken i aritmetik var Aurelius Arithmetica, utgiven år I nästan ett århundrade var Aurelius räknelära den vanligaste läroboken i Sverige. Den gavs ut i nytryck 1995, dvs 381 år senare, redigerad av Bengt Johansson! Lingefjärd 32 Matematik-Biennalen

17 Aurelius räknelära var inget mästerverk på något sätt, det faktum att den blev så känd och spridd beror nog först och främst på att den var först på marknaden. Björk s räknelära från 1643 anses vara ett betydligt bättre verk, en av de bästa matematikböckerna under denna tid (Hultman, 1871; Lindroth, 1975). Aurelius bok inleder med ett förord med argumentering för varför man skall lära sig matematik. En utförlig beskrivning finns i Johansson (1995), vi citerar kort: Denna korta räknelära med figurer och räknepenningar, med hela och brutna tal, med sköna, lustiga och användbara exempel på vårt eget modersmål och med våra egna mynt, mått och vikter (Aurelius, 1614 i Johansson, Vår översättning från gammal svenska) Lingefjärd 33 Exempel: Såsom en wil låta täckia ett taak medh lijka storre takstenar/ och then nästföliandhe raden hafwer altijdh 2 stenar meer än then förre/ såsom thenne figur uhtwisar/ huru många stenar behöfwes til heele taket? Gör såledhes: addere then första till then ytersta/ fac. 16. Multiplicere honom medh progressionis rums taal thet är 8 / fac. 128/ Dividere honom medh 2 hafwer tu 64. Och så månge stenar behöfwas til ett sadant taak. (Aurelius, 1614, sid G iiij i Johansson, 1995, sid XCIX). Lingefjärd 34 Matematik-Biennalen

18 En berömd beskrivning av hur det vara att studera matematik under mitten av 1600-talet kommer från Samuel Pepys dagböcker. Notera att det mesta av den matematik som undervisades fortfarande var under stark påverkan av romerska böcker, skrivna på Latin och med underutvecklade algoritmer. 4th July, 1662 By and by comes Mr Cooper, mate of the Royall Charles, of whom I entend to learn Mathematiques. After an hour's being with him at my Arithmetique, my first attempt being to learn the multiplication table, then we parted till tomorrow. 5th July At my office all afternoon and then my maths... at night with Mr Cooper; and so to supper and bed. 8th July Cooper being there, ready to attend me; so he and I to work till it was dark. Lingefjärd 35 9th July Up by 4-aclock and at my multiplication table hard, which is all the trouble, I meet withal my arithmetique. 10th July Up by 4-aclock and before I went to the office, I practised my arithmetique. 11th July Up by 4-aclock and hard at my multiplication table which I am now almost a master of. 12th July At night with Cooper at Aritmetique... 13th July Having by some mischance hurt my cods... [I] keep my bed all this morning. 14th July Up by 4-aclock and to my Aritmetique... 18th July and then came Cooper for my Mathematiques; but in good earnest my head is so full of business that I cannot understand it. (Source: Howson, 1981, p. 29) Lingefjärd 36 Matematik-Biennalen

19 Samuel Pepys var vid denna tid en välbetald civil servant in the British Admiralty, och han hade utbildats vid St Paul's School och vid Cambridge University. Det faktum att han behövde en lärare för att lära sig det nya påfundet the multiplication table är en stark indikator på nivån hos matematikutbildningen under 1600-talet. Ännu mer häpnadsväckande är eventuellt det faktum att inom tre år efter det att Pepys lärde sig multiplikationstabellen, så blev han invald som Fellow of the Royal Society (Howson, 1981, p. 29). Man kan fråga sig om multiplikationstabellen var så viktig? Svaret är tveklös JA! De nya algoritmer som hade började nå Norden och Storbritannien vid denna tid skulle drastisk förändra matematikutbildningen! Lingefjärd 37 Emedan den hinduarabiska aritmetiken med hela tal fick sitt genombrott hos handelsmän, så fick decimaltalsaritmetiken sitt genombrott hos ingenjörer och lantmätare. Den första tryckta läroboken på svenska som innehåller decimaltal skrevs av Matthias Andreæ Biörk och trycktes i Västerås Detta är första gången som vi känner till att tecknen + och används i svensk räknelära (Johansson, 1995, sid 13). Stjernhielm och Gestrinius gav ut handskrivna böcker om decimalräkning Lingefjärd 38 Matematik-Biennalen

20 I allmänhet så pläderade textförfattarna vid denna tid för den praktiska nyttan av att studera matematik, dvs lär dig matematik och du får ett bättre liv (från Kongaspielet och framåt). Ett undantag är Biörks räknelära från 1643, som också var en första skrift i algebra, där Biörk fokuserar på vikten av att träna sitt intellekt. Denna syn på matematik växte sig allt starkare samtidigt som latinet gradvis förlorade sin position som det starkaste ämnet. Under och 1600-talet var latin fortfarande det ämne man studerade för att träna sitt intellekt, för att bli medlem i en utbildad elit, för att få goda positioner (nästan alla högre positioner i samhället kontrollerades av kyrkan och krävde latin), och för att kunna studera andra ämnen (1611 års skolordning, i Hall 1921). Lingefjärd års skolordning utarbetades först och främst av Johannes Rudbeckius ( ) som var den drivande kraften i den kommission som tillsattes av riksdagen för att se över skolorganisationen. Rudbeckius var professor i Uppsala och blev 1619 biskop i Västerås stift där han grundade det första svenska gymnasiet Den nya skolordningen stipulerade att katedralskolor skulle upprättas i stiftstäderna. Skolan skulle bestå av sex klasser, där varje klass skulle ta två år. Det andra året i varje klass skulle i första hand ägnas åt repetition. I större städer skulle provinsialskolor med fyra klasser upprättas. Även i dessa skolor skulle varje klass vara tvåårig. Varje klass skulle ha en egen lärare och för de tre översta klasserna skulle en lektor utses. Skolan skulle styras av en rektor och en konrektor. Efter genomgång av provinsialskolans sista klass var eleven berättigad till inträde i katedralskolans femte klass. De första läroverken kallades ofta latinskolor. Det blir svårt att förstå dessa skolors kunskapsbedömande praktiker om man inte förstår innebörden av en latinskola. Benämningen leder en till att tro att de kallas så därför att man i princip bara läste latin och att undervisningen uteslutande hölls på latin. I själva verket bör man nog förstå latinkulten i dessa skolor som ett uttryck för en kunskapssyn som satte språket i centrum. Språket organiserade vetandet. Foucault skriver i The order of things att kunskap under och 1600-talen var att representera tinget med ord, orden uttryckte tinget exakt och att kunna ordna orden med hjälp av grammatiska regler var i själva verket också att kunna ordna världen. Lingefjärd 40 Matematik-Biennalen

21 Sverige och svenskarna fick vänta tills början av talet innan aritmetik med decimaltal slog igenom i alla svenska läroböcker i aritmetik. Orsaken var huvudsakligen att alla olika system av valutaberäkningar, av mått och viktsystem, etcetera, behövde standardiseras i enlighet med basen 10 innan ett decimalsystem kunde implementeras. Denna process tog lång tid och som alla vet så är den inte fullständigt genomförd i alla länder ännu. Lingefjärd 41 Det tidigast kända verket som omnämner sannolikhetslära på svenska skrevs av Andreas Gabriel Duhre Boken handlar om geometri, men förordet innehåller argument om varför man bör få lära sig matematik i allmänhet och speciellt sannolikhetslära. Duhre var lärare i matematik i Uppsala och hade såväl Celsius som Klingenstierna som studenter (Nordenmark, 1936). Klingenstierna var den förste svenska matematiker som kunde mätas med de stora i Europa. Bland hans elever fanns Mårten Strömer (Gårding, 1994, sid 2) Lingefjärd 42 Matematik-Biennalen

22 När det gäller Geometri så var kanske Mårten Strömer, som lät trycka en svensk version av Euclides Elementa 1744, en av de allra viktigaste inspiratörerna. Det var inte den första geometriboken i Sverige, men den första svenska översättningen av Euklides. Detta verk hade en stor påverkan på matematikundervisningen i Sverige. I förordet till första utgåvan pläderar Strömer inte bara för nyttan utan också för vikten av bildning. Lingefjärd 43 Euklides Elementa var vid den här tiden ett självklart inslag i matematikundervisningen. Bland genomgångna kurser vid årsexamen i trivialskolan i Jönköping 1772 Geometri efter Euklides Aritmetik efter Celsius-Palmquists lärobok (Elmgren, 1975) Lingefjärd 44 Matematik-Biennalen

23 Att få sitt betyg benämnt Testimonium academicum öppnade en genväg från trivialskolan direkt till universitetet. I 1807 års skolordning föreskrivs att lärjungar som blått genomgått trivialskola, icke kan få börja akademiska studier Trivialskolorna var glest belägna i det svenska riket, eleverna undervisades i tre grundläggande ämnen (trivium): grammatik, dialektik (logik) samt retorik. Trivialskolan ersatte katedralskolan år 1626 och kvarlevde till 1905, då realskolan infördes. Lingefjärd 45 Den 16 december 1820 skrev Karl XIV Johan under en ny skollag. I den nya skolordningen räknar man med tre slag av skolor: apologistskolor, lärdomsskolor och gymnasier. (Åstrand, 1976) Lingefjärd 46 Matematik-Biennalen

24 Karaktäristiskt för sättet att betrakta de olika skolformerna är att man undervisar i ämnet matematik i lärdomsskolan men i apologistskolan nöjer man sig med Räkna vartill i de högre klasserna kommer geometri och algebra. (Åstrand 1976) Högre apologistskolan (klass 1-3) Räkna veckotimmar Geometri veckotimmar Algebra veckotimmar Högre lärdomsskola (klass 1-4) Matematik veckotimmar Apologist Räknelärare i apologistskola. En Apologist undervisar genom skolordningen 1649, i förening med trivialskolan inrättade skrivarklasser. Han undervisar även högsta klassen i räkning. Yrket Apologist upphör Lingefjärd 47 Mot slutet av 1700-talet och framförallt under 1800-talets början inrättas de första skolorna för flickundervisning. Lärda ämnen som klassiska språk och avancerad matematik skulle flickorna inte studera. Deras undervisning skulle vara praktisk, allmänbildande och uppfostrande med moderna språk och modersmål som centrala teoretiska ämnen. (Kyle & Herrström, 1972) Lingefjärd 48 Matematik-Biennalen

25 En skola för folket? fattigskola medborgarskola hemundervisning skolgång En konservativ linje som förespråkade den traditionella kyrkliga undervisningen med läsning och kristendomskunskap. En liberal linje som pläderade för en utökad bildning med ämnen som skrivning, räkning, historia, geografi och samhällslära. (Johansson & Nordström, 1993) Lingefjärd 49 Efter en 16 månader lång riksdagsbehandling utfärdas Kongl. Maj:ts Nådiga Stadga angående Folk-underwisningen i Riket, den 18 juni Räkning och geometri för pojkarna, enbart räkning för flickorna. Fortsättningen är en annan historia Se Matematikundervisningen i Sverige under 150 år. Matematikbiennalen 2004 Lingefjärd 50 Matematik-Biennalen

Algoritmer i Treviso-aritmetiken.

Algoritmer i Treviso-aritmetiken. Algoritmer i Treviso-aritmetiken. Staffan Rodhe 7 november 2006 1 Larte de labbacho I Västerlandet trycktes de första böckerna i mitten på 1400-talet. Matematiska texter kunde nog anses vara besvärligare

Läs mer

202 Matematikundervisningen i Norden under 1000 år - en jämförelse över tid

202 Matematikundervisningen i Norden under 1000 år - en jämförelse över tid 202 Matematikundervisningen i Norden under 1000 år - en jämförelse över tid Den nordiska skolutbildningens start kan dateras tillbaka till 800-talets kyrkoskolor. Men vad hände sedan? En del av de upptäckter

Läs mer

Kristendomen. Inför provet

Kristendomen. Inför provet Kristendomen Inför provet Kristendomen Allt började med Jesus. Från Jesus första lärjungar spreds läran. Kristna tror på en Gud. Kristna tror att Jesus vad Guds son. Gud kan visa sig på tre olika sätt:

Läs mer

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:.

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. 2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. Inledning I det här kapitlet skall du studera vad tal är för någonting och hur tal kan organiseras och sorteras efter storleksordning. Vad skall detta vara nödvändigt

Läs mer

Multiplikation genom århundraden

Multiplikation genom århundraden Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för

Läs mer

En grafisk översikt över skolsystemets utveckling

En grafisk översikt över skolsystemets utveckling En grafisk översikt över skolsystemets utveckling I denna presentation ges en grafisk beskrivning av det svenska utbildningssystemets utveckling från 1807 till 1994. Syftet med denna överblick är att ge

Läs mer

Engelska... 2. Svenska... 6. Svenska som andraspråk... 7. Idrott och hälsa... 8. Musik... 9. Biologi... 10. Fysik... 11. Kemi... 11. Slöjd...

Engelska... 2. Svenska... 6. Svenska som andraspråk... 7. Idrott och hälsa... 8. Musik... 9. Biologi... 10. Fysik... 11. Kemi... 11. Slöjd... 2010-08-23 Lokal kursplan år 3 Engelska... 2 Svenska... 6 Svenska som andraspråk... 7 Idrott och hälsa... 8 Musik... 9 Biologi... 10 Fysik... 11 Kemi... 11 Slöjd... 12 Geografi... 13 Historia... 13 Religion...

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1 Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: kunna multiplicera och dividera med positiva tal mi ndre än veta vad ett negativt tal är kunna addera och subtrahera negativa tal kunna

Läs mer

Den kristna kyrkans inriktningar

Den kristna kyrkans inriktningar Den kristna kyrkans inriktningar Läran växte fram Budskapet att alla människor var lika mycket värda tilltalade många människor, fattiga och rika, kvinnor och män. De första gudstjänsterna innehöll sång,

Läs mer

Att förstå bråk och decimaltal

Att förstå bråk och decimaltal Att förstå bråk och decimaltal Flera undersökningar som är gjorda visar att elever har svårt att förstå bråk. I undervisningen är det också vanligt att eleverna lär sig olika regler för bråk, men få förstår

Läs mer

Kristendomen...2 Kristendomen ut i världen...2. Kristendomen kommer till Sverige...5. Proteströrelser i kyrkan...7

Kristendomen...2 Kristendomen ut i världen...2. Kristendomen kommer till Sverige...5. Proteströrelser i kyrkan...7 Kristendomen...2 Kristendomen ut i världen...2 De kristna förföljs...2 Kristendomen blir mäktig...3 Vem ska bestämma?...3 Den apostoliska trosbekännelsen...3 Kristendomen kommer till Sverige...5 Sverige

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Måluppfyllelse i svenska/svenska som andraspråk vid nationella prov årskurs 3 vårterminerna 2009 och 2010 TOTALT ANTAL ELEVER 2009: 72

Måluppfyllelse i svenska/svenska som andraspråk vid nationella prov årskurs 3 vårterminerna 2009 och 2010 TOTALT ANTAL ELEVER 2009: 72 Sedan vårterminen 2009 görs nationella prov i svenska och matte för årskurs 3 i hela landet. Från och med höstterminen 2009 får varje elev i Valdemarsviks kommun skriftligt omdöme varje termin i de ämnen

Läs mer

Good Stuff 3 Textbook

Good Stuff 3 Textbook Good Stuff 3 Textbook PROVLEKTION Good Stuff GOLD 3 (47-10485-7) Provlektion Författarna och Liber AB Får kopieras 1 Lärarinstruktion Syfte: Kunna fråga och svara på hur gammal någon är. Kunna räkna till

Läs mer

Engelska... 2. Matematik... 3. Svenska... 4. Svenska som andraspråk... 5. Idrott och hälsa... 6. Musik... 7. Biologi... 7. Fysik... 8. Kemi...

Engelska... 2. Matematik... 3. Svenska... 4. Svenska som andraspråk... 5. Idrott och hälsa... 6. Musik... 7. Biologi... 7. Fysik... 8. Kemi... 2010-08-23 Lokal kursplan år 4 Engelska... 2 Matematik... 3 Svenska... 4 Svenska som andraspråk... 5 Idrott och hälsa... 6 Musik... 7 Biologi... 7 Fysik... 8 Kemi... 8 Slöjd... 9 Geografi... 10 Historia...

Läs mer

BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström

BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström Frågeställningar Kan asylprocessen förstås som en integrationsprocess? Hur fungerar i sådana fall denna process? Skiljer sig asylprocessen

Läs mer

Högre utbildning ett fåtal förunnat

Högre utbildning ett fåtal förunnat Högre utbildning ett fåtal förunnat Lärdomsskolan från medeltid till 1800-talets mitt Samtidigt med införandet av den obligatoriska folkskolan pågick också strider om hur undervisningen i skolan närmast

Läs mer

Tre viktiga händelser och skeenden i kristendomens historia

Tre viktiga händelser och skeenden i kristendomens historia Tre viktiga händelser och skeenden i kristendomens historia Från förföljd jesusrörelse till romersk statsreligion Den stora schismen: delningen mellan kyrkan i väst och öst Splittringen av den katolska

Läs mer

Engelska åk 5 höstterminen 2013

Engelska åk 5 höstterminen 2013 gelska åk 5 höstterminen 2013 Under hösten kommer vi att jobba utifrån olika temaområden i engelska. Några områden handlar om länder, intressen och partyinbjudningar. Vi utgår från ett läromedel i engelska

Läs mer

Religion VT 2015: Judendom, kristendom och islam Historia VT 2015: Medeltiden KORT SAMMANFATTNING

Religion VT 2015: Judendom, kristendom och islam Historia VT 2015: Medeltiden KORT SAMMANFATTNING Religion VT 2015: Judendom, kristendom och islam Historia VT 2015: Medeltiden KORT SAMMANFATTNING Vad 4b ska kunna i religion och historia torsdagen den 12 mars Kort sammanfattning Det ser nog ändå mycket

Läs mer

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK KURSBESKRIVNING - MATEMATIK ARBETSOMRÅDE TAL OCH DECIMALTAL ÅK 6 (HT 2016) Daniel Spångberg Varför finns det tal? Finns det olika sorters tal? Och har det någon betydelse var de olika siffrorna i ett tal

Läs mer

samhälle Susanna Öhman

samhälle Susanna Öhman Risker i ett heteronormativt samhälle Susanna Öhman 1 Bakgrund Riskhantering och riskforskning har baserats på ett antagande om att befolkningen är homogen Befolkningen har alltid varit heterogen när det

Läs mer

Dramatisering kristendomen

Dramatisering kristendomen Dramatisering kristendomen Ni ska, i indelade grupper, dramatisera olika viktiga händelser under kristendomens utveckling. Er uppgift består av att sätta upp en dramatisering i två till flera akter där

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

7E Ma Planering v45-51: Algebra

7E Ma Planering v45-51: Algebra 7E Ma Planering v45-51: Algebra Arbetsform under en vecka: Måndagar (40 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa: Läsa på anteckningar

Läs mer

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK KURSBESKRIVNING - MATEMATIK ARBETSOMRÅDE TAL OCH DECIMALTAL ÅK 6 (HT 2016) Jeff Linder, Daniel Spångberg, Emil Ohlander Varför finns det tal? Finns det olika sorters tal? Och har det någon betydelse var

Läs mer

PISA (Programme for International

PISA (Programme for International INGMAR INGEMANSSON, ASTRID PETTERSSON & BARBRO WENNERHOLM Svenska elevers kunskaper i internationellt perspektiv Rapporten från PISA 2000 presenterades i december. Här ges några resultat därifrån. Projektet

Läs mer

Medeltiden Tiden mellan ca år 1000 och år 1500 kallas för medeltiden.

Medeltiden Tiden mellan ca år 1000 och år 1500 kallas för medeltiden. Medeltiden Tiden mellan ca år 1000 och år 1500 kallas för medeltiden. Vad hände under medeltiden? Sverige blev ett rike. Människor blev kristna. Handeln ökade. Städer började byggas. Riddare och borgar.

Läs mer

Matematikutveckling med stöd av alternativa verktyg

Matematikutveckling med stöd av alternativa verktyg Matematikutveckling med stöd av alternativa verktyg Vad ska man ha matematik till? Vardagslivet Yrkeslivet Skönheten och konsten Underbart att veta att det finns räcker inte det+ LGR11 Undervisningen ska

Läs mer

HUR VÄL ANSER DU ATT DU UTVECKLAT FÖLJANDE. För- och efternamn: Personnummer: Datum:

HUR VÄL ANSER DU ATT DU UTVECKLAT FÖLJANDE. För- och efternamn: Personnummer: Datum: HUR VÄL ANSER DU ATT DU UTVECKLAT FÖLJANDE FÖRMÅGOR Period v. 34-40, ht. 2011, klass 4-5 För- och efternamn: Personnummer: Datum: Innehåll 1. Ansvar 2. Engelska 3. Matematik 4. Svenska 5. Övriga ämnen

Läs mer

Introduktion. Fundera på: vad dessa ord betyder: dialekt, forska, tidiga, spår, f Kr var i världen man talar mandarin, hindi och bengali.

Introduktion. Fundera på: vad dessa ord betyder: dialekt, forska, tidiga, spår, f Kr var i världen man talar mandarin, hindi och bengali. Språkhistoria VT11 Introduktion Det finns många språk i världen. Det är ingen som vet exakt hur många. Det är nämligen svårt att skilja på vad som är språk och vad som är dialekt. Ibland säger man att

Läs mer

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1

Läs mer

De abrahamitiska religionerna. Kristendom, Judendom, Islam.

De abrahamitiska religionerna. Kristendom, Judendom, Islam. De abrahamitiska religionerna Kristendom, Judendom, Islam. Tre religioner som hör ihop Judendom, Kristendom och Islam kallas för de abrahamitiska religioner. Det är för att religionernas grundare (personer

Läs mer

Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter

Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter Handbok med förslag och råd till lärare för att kartlägga, analysera och åtgärda elevers svårigheter och begreppsliga missuppfattningar inom området tal och

Läs mer

Att stödja starka elever genom kreativ matte.

Att stödja starka elever genom kreativ matte. Att stödja starka elever genom kreativ matte. Ett samverkansprojekt mellan Örebro universitet och Örebro kommun på gymnasienivå Fil. dr Maike Schindler, universitetslektor i matematikdidaktik maike.schindler@oru.se

Läs mer

Sammanfattning det allra, allra viktigaste

Sammanfattning det allra, allra viktigaste Språkhistoria Sammanfattning det allra, allra viktigaste Ni bör ändå fylla på från häftet med svensk språkhistoria samt från mina genomgångar och klassdiskussioner. Sammanfattning språkets uppkomst Språket

Läs mer

3-3 Skriftliga räknemetoder

3-3 Skriftliga räknemetoder Namn: 3-3 Skriftliga räknemetoder Inledning Skriftliga räknemetoder vad är det? undrar du kanske. Och varför behöver jag kunna det? Att det står i läroplanen är ju ett klent svar. Det finns miniräknare,

Läs mer

1 Julias bil har gått km. Hur långt har den gått när den har körts tio (3) kilometer till? Rita en ring runt det största bråket.

1 Julias bil har gått km. Hur långt har den gått när den har körts tio (3) kilometer till? Rita en ring runt det största bråket. Test 9, lärarversion Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet

Läs mer

Read Texterna består av enkla dialoger mellan två personer A och B. Pedagogen bör presentera texten så att uttalet finns med under bearbetningen.

Read Texterna består av enkla dialoger mellan två personer A och B. Pedagogen bör presentera texten så att uttalet finns med under bearbetningen. ! Materialet vill ge en gemensam bas av användbara fraser för dialoger i klassrummet. skapa dialoger mellan elever på engelska. skapa tydliga roller för två personer, och. presentera meningsfulla fraser

Läs mer

Matematiken vid Högre lärarinneseminariet

Matematiken vid Högre lärarinneseminariet Matematiken vid Högre lärarinneseminariet av Dr Olof Josephson rektor vid Högre lärarinneseminariet Med tanke på den relativt anspråkslösa ställning som matematiken intagit vid våra högre flickskolor och

Läs mer

Enligt kristendomen visar sig Gud på tre sätt: SOM FADERN, SONEN OCH ANDEN. 1. Gud visar sig som en FADER, som bryr sig om sina barn.

Enligt kristendomen visar sig Gud på tre sätt: SOM FADERN, SONEN OCH ANDEN. 1. Gud visar sig som en FADER, som bryr sig om sina barn. Enligt kristendomen visar sig Gud på tre sätt: SOM FADERN, SONEN OCH ANDEN GUD ÄR ALLTSÅ TRE PERSONER I EN EN TREEING GUD 1. Gud visar sig som en FADER, som bryr sig om sina barn. 2. Gud visar sig som

Läs mer

Språkhistoria. - Det svenska språkets utveckling

Språkhistoria. - Det svenska språkets utveckling Språkhistoria - Det svenska språkets utveckling Svenskan förändras hela tiden. Du och jag pratar heller inte svenska på samma sätt. Här är exempel på hur svenskan har låtit under 1900-talet. (Tänk dig

Läs mer

Haparanda ht 2003. Engelska år 1 5. Under åren 1 5 arbetar eleverna med bland annat följande områden:

Haparanda ht 2003. Engelska år 1 5. Under åren 1 5 arbetar eleverna med bland annat följande områden: Haparanda ht 2003 Engelska år 1 5 Under åren 1 5 arbetar eleverna med bland annat följande områden: Hälsningsfraser/ presentationer, personbeskrivningar, klassrumsord, klockan, veckodagar, datum, månader,

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Lokal studieplan matematik åk 1-3

Lokal studieplan matematik åk 1-3 Lokal studieplan matematik åk 1-3 Kunskaps område Taluppfat tning och tals användni ng Centralt Innehåll Kunskapskrav Moment Åk1 Moment Åk2 Moment Åk3 Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen

Läs mer

Datorspel med agenter som lär sig matematik utan symboler. Lena Pareto Högskolan Väst

Datorspel med agenter som lär sig matematik utan symboler. Lena Pareto Högskolan Väst Datorspel med agenter som lär sig matematik utan symboler Lena Pareto Högskolan Väst 1 Idé: matematik i ny förklädnad koncept: positiva tal negativa tal decimal systemet addition subtraktion multiplikation

Läs mer

1 Julias bil har har gått kilometer. Hur långt har den gått när den har (3) körts tio kilometer till? km

1 Julias bil har har gått kilometer. Hur långt har den gått när den har (3) körts tio kilometer till? km Test 8, version, lärarversion Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad.

Läs mer

MATEMATIK- OCH FYSIKDIDAKTISKA ASPEKTER

MATEMATIK- OCH FYSIKDIDAKTISKA ASPEKTER MATEMATIK- OCH FYSIKDIDAKTISKA ASPEKTER Xantcha 2013 2014 Examination. För godkänt betyg i kursen krävs: Samtliga skriftliga inlämningsuppgifter. Närvaro och aktivt deltagande under lektionerna. Frånvaro

Läs mer

Ett övningssystem för att nå automatik

Ett övningssystem för att nå automatik Ett övningssystem för att nå automatik EDVIN FERNER Det är klart att man blir bättre om man övar! Det är inget märkvärdigt med det. Men hur länge ska man ta upp tiden för denna övning? Och framför allt

Läs mer

48 p G: 29 p VG: 38 p

48 p G: 29 p VG: 38 p 11F322 MaI Provmoment: Matematik 5 hp Ladokkod: Tentamen ges för: Studenter i lärarprogrammet F-3 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 16-05-31 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel Totalt

Läs mer

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs

Läs mer

Fibonacci. Miniporträttet

Fibonacci. Miniporträttet Miniporträttet ANDREJS DUNKELS Fibonacci I serien berömda matematiker har NÄMNAREN denna gång valt Fibonacci. Frågan är hur våra siffror sett ut idag om inte Fibonacci lagt ner så stor möda på att sprida

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Föra och följa matematiska resonemang, Berätta för andra hur du tänker och lyssna på andras matematiska tankegångar.

Föra och följa matematiska resonemang, Berätta för andra hur du tänker och lyssna på andras matematiska tankegångar. Sparsörskolan Lokal pedagogisk planering Klass: 6A Ansvarig lärare: Fanny Olausson och Linda Wahlberg Ämne/område: Ja mfo relse, uppskattning och ma tning av vikt och volym samt avrundning och o verslagsra

Läs mer

Målkriterier Beskrivning Exempel Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll.

Målkriterier Beskrivning Exempel Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll. ÖREBRO MATEMATIK, ÅR 3 1(5) Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll Eleven kan uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk,

Läs mer

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK 5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Tema Oändligheten Oändligheten - 1

Tema Oändligheten Oändligheten - 1 Tema Oändligheten Människan har alltid funderat över oändligheten. Vem har inte tänkt att om universum inte var oändligt så måste det ha en gräns och vad skulle i så fall finnas på andra sidan. Ett motargument

Läs mer

Centralt innehåll. I årskurs 1.3

Centralt innehåll. I årskurs 1.3 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

LPP Vikingatiden Årskurs 4

LPP Vikingatiden Årskurs 4 LPP Vikingatiden Årskurs 4 Centralt innehåll: Geografi: Fördelning av Sveriges, Nordens och övriga Europas befolkning samt orsaker till fördelning och konsekvenser av denna. De svenska, nordiska natur-

Läs mer

Listen to me, please!

Listen to me, please! Till pedagogen Syfte: Eleverna ska ha roligt tillsammans i situationer där eleven är ledare. Eleverna ska träna sig på att läsa och förstå en engelsk text. Eleverna ska lockas att läsa och tala högt på

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

Räkneflyt 3. Multiplikation och Division. Färdighetsträning i matte. Tabeller 1-10

Räkneflyt 3. Multiplikation och Division. Färdighetsträning i matte. Tabeller 1-10 Räkneflyt 3 Multiplikation och Division Tabeller 1-10 Färdighetsträning i matte Gunnel Wendick Inga-Lis Klackenmo Wendick-modellens träningsmaterial Wendick-modellen består av en serie strukturerade kartläggnings-

Läs mer

Enhet / skola: Lindens skola i Lanna Åk: 3

Enhet / skola: Lindens skola i Lanna Åk: 3 Skolområde Väster Lokal Pedagogisk Planering Enhet / skola: Lindens skola i Lanna Åk: 3 Avsnitt / arbetsområde: Undersöka med Hedvig Ämnen som ingår: Svenska/svenska som andraspråk, matematik, bild, So,

Läs mer

8E Ma: Aritmetik och bråkbegreppet

8E Ma: Aritmetik och bråkbegreppet 8E Ma: Aritmetik och bråkbegreppet Under veckorna 34-43 arbetar vi med hur man skriver och räknar med tal på olika sätt. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Matematikens Oumbärliga Natur

Matematikens Oumbärliga Natur Matematikens Oumbarliga Natur p.1/16 Matematikens Oumbärliga Natur Mario Natiello Matematikcentrum (LTH) Lunds Universitet Innehåll Barnets tidiga matematikuppfattning Innehåll Barnets tidiga matematikuppfattning

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Räkneflyt. Multiplikation och Division. Färdighetsträning i matte. Tabeller 1-10

Räkneflyt. Multiplikation och Division. Färdighetsträning i matte. Tabeller 1-10 Räkneflyt Multiplikation och Division Tabeller 1-10 Färdighetsträning i matte Gunnel Wendick Inga-Lis Klackenmo Innehållsförteckning Introduktion 2-3 Räkneflyt är kopplat till Lgr11 och Diamant 6 Förståelse

Läs mer

ARBETSPLAN MATEMATIK

ARBETSPLAN MATEMATIK ARBETSPLAN MATEMATIK Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera

Läs mer

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 2010-11-01 Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 Skolan skall i sin undervisning sträva efter att eleven : utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod:

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod: SMID Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Matematik 3hp Studenter i inriktningen GSME 22,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 12-08-30 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga Totalt antal poäng på

Läs mer

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Nordiska språk. Cecilia Jonsson Smedshagsskolan 15-03-18

Nordiska språk. Cecilia Jonsson Smedshagsskolan 15-03-18 Nordiska språk Cecilia Jonsson Smedshagsskolan 15-03-18 http://cwasteson.blogspot.se/2011/01/spraktrad-i-farg.html Historia Urnordiskan Det äldsta nordiska språk forskarna känner till. Urnordiska, eller

Läs mer

Yaria. Viktor Rydberg

Yaria. Viktor Rydberg Yaria Viktor Rydberg Innehåll Förord 9 Förra avdelningen Om Buddah återvände 15 Inledning till Victor Pfeiffs översättning av Edwin Arnolds dikt»asiens ljus». 1888. Den mekaniska världsteorien 50 Inledande

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Sprog i Norden. Titel: Internordisk kommunikation kurs i skandinaviska vid Islands universitet. våren 1999. Forfatter: Elisabeth Alm.

Sprog i Norden. Titel: Internordisk kommunikation kurs i skandinaviska vid Islands universitet. våren 1999. Forfatter: Elisabeth Alm. Sprog i Norden Titel: Forfatter: Kilde: URL: Internordisk kommunikation kurs i skandinaviska vid Islands universitet våren 1999 Elisabeth Alm Sprog i Norden, 2000, s. 45-49 http://ojs.statsbiblioteket.dk/index.php/sin/issue/archive

Läs mer

Utvärdering SFI, ht -13

Utvärdering SFI, ht -13 Utvärdering SFI, ht -13 Biblioteksbesöken 3% Ej svarat 3% 26% 68% Jag hoppas att gå till biblioteket en gång två veckor I think its important to come to library but maybe not every week I like because

Läs mer

ALLMÄN BESKRIVNING AV LÄROÄMNET MATEMATIK I ÅRSKURS 1-2

ALLMÄN BESKRIVNING AV LÄROÄMNET MATEMATIK I ÅRSKURS 1-2 ALLMÄN BESKRIVNING AV LÄROÄMNET MATEMATIK I ÅRSKURS 1-2 Läroämnets uppdrag Uppdraget i undervisningen i matematik är att utveckla ett logiskt, exakt och kreativt matematisk tänkande hos eleverna. Undervisningen

Läs mer

Mål i mun Förslag på en plan för svenska språket

Mål i mun Förslag på en plan för svenska språket Mål i mun Förslag på en plan för svenska språket Den här utredningen ger förslag på en plan för hur vi ska fortsätta att tala och skriva svenska, fast vi har börjat använda mer engelska. Texten är omskriven

Läs mer

Svenska Finska Estniska. Ryska Engelska Koreanska. Franska Tyska Italienska. Grekiska Danska Norska. Isländska Ungerska Spanska

Svenska Finska Estniska. Ryska Engelska Koreanska. Franska Tyska Italienska. Grekiska Danska Norska. Isländska Ungerska Spanska Kapitel 4 - Nationalitet och språk Aktivering 4.1. Vilka språk talar Åsa och Jens? Vi undersöker vilka språk som talas i gruppen och i världen. Material: språkplansch på väggen med olika språk. Affisch

Läs mer

Addition, subtraktion, summa, differens, algebra, omgruppering, ental, tiotal, multiplikation, division, rimlighet, uppskatta

Addition, subtraktion, summa, differens, algebra, omgruppering, ental, tiotal, multiplikation, division, rimlighet, uppskatta LPP Matematik räknesätten År 2 Beskrivning av arbetet Addition och subtraktion 0 200 - med utelämnat tal - algebra - med omgruppering och tiotalsövergång Addition och subtraktion med hela 100-tal Se likheter

Läs mer

Dataorientering Mål för kursen

Dataorientering Mål för kursen Dataorientering Denna kurs inriktar sig i första hand till dig som är nybörjare i data. Kursen startar med en grundgenomgång i hur datorn fungerar och du får lära dig att hantera musen och tangentbordet.

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 4. Samband och förändring Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev

Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Dagens program Introduktion och kursens översikt Talbegreppets utveckling Den äldsta matematiken - EGYPTEN och BABYLON Obligatorisk kurslitteratur Tord Hall

Läs mer

"Läsårs-LPP med kunskapskraven för matematik"

Läsårs-LPP med kunskapskraven för matematik "Läsårs-LPP med kunskapskraven för matematik" Grundskola 4 6 1 LPP för hela läsåret med tillhörande kunskapskrav i matrisform Skapad 2016-08-17 av Charlotte Steinwig i Lerbäckskolan 4-6, Lund Grundskolor

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Kursplan för matematik År 1-5 Rösjöskolan TÄBY KOMMUN

Kursplan för matematik År 1-5 Rösjöskolan TÄBY KOMMUN RUMSUPPFATTNING GEOMETRI OCH MÄTNING MATEMATIK REDOVISNING OCH MATEMATISKT SPRÅK TALUPPFATTNING, OCH RÄKNEMETODER STATISTIK Kursplan för matematik År 1-5 Rösjöskolan TÄBY KOMMUN Kursplan i matematik Lgr

Läs mer

Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften.

Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften. Karin Landtblom & Anette De Ron Gruppera mera! Dubbelt och hälften är vanliga inslag i den tidiga matematikundervisningen. Elever ska ringa in hälften av något eller rita så att det blir dubbelt så många.

Läs mer

Grundläggande programmeringsteknik Datorsystem

Grundläggande programmeringsteknik Datorsystem Datorsystem Från abakus till Z3 Datorsystem Från kursplanen Moment 3, Datorsystem 3hp I detta moment ges en introduktion till datorsystem och dess uppbyggnad. Minneshantering, vad en CPU är och gör samt

Läs mer

Discovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24. Misi.se 2011 1

Discovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24. Misi.se 2011 1 Discovering!!!!! ÅÄÖ EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24 Misi.se 2011 1 Dialogue SJs X2000* från Stockholm är försenat. Beräknad ankoms?d är nu 16:00. Försenat! Igen? Vad är klockan? Jag vet inte.

Läs mer

Matematik. Syfte. reflektera över rimlighet i situationer med matematisk anknytning, och använda ämnesspecifika ord, begrepp och symboler.

Matematik. Syfte. reflektera över rimlighet i situationer med matematisk anknytning, och använda ämnesspecifika ord, begrepp och symboler. Matematik Kurskod: SGRMAT7 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska en som sådan.

Läs mer

IBSE Ett självreflekterande(självkritiskt) verktyg för lärare. Riktlinjer för lärare

IBSE Ett självreflekterande(självkritiskt) verktyg för lärare. Riktlinjer för lärare Fibonacci / översättning från engelska IBSE Ett självreflekterande(självkritiskt) verktyg för lärare Riktlinjer för lärare Vad är det? Detta verktyg för självutvärdering sätter upp kriterier som gör det

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

CAS-vuxenutbildning för dig

CAS-vuxenutbildning för dig SÄRVUX- värmdö CAS-vuxenutbildning för dig Särskild utbildning för vuxna Särvux Värmdö är kommunens vuxenutbildning för dig som är över 20 år och har inlärningssvårigheter som beror på utvecklingsstörning

Läs mer