Matematikundervisningen i Norden under 1000 år en jämförelse över tid

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematikundervisningen i Norden under 1000 år en jämförelse över tid"

Transkript

1 Matematikundervisningen i Norden under 1000 år en jämförelse över tid Thomas Lingefjärd Göteborgs Universitet Lingefjärd 1 Utifrån ett internationellt perspektiv utgör de nordiska länderna Danmark, Norge och Sverige ofta en homogen enhet med avseende på kultur, social struktur, ekonomiska och politiska styrsystem och utbildning. Ländernas historiska bakgrund har varit sammanvävd under flera tusen år kultur, politik, socioekonomisk tradition, språk Lingefjärd 2 Matematik-Biennalen

2 De två andra länderna i Norden, Finland och Island, är separerade såväl geografiskt (Island) som kulturellt och språkligt. I Island har språket skyddats från intrång av utländska låneord, vilket innebär att man i Island talar vad vi idag kan kalla gammalnorska. Det finländska språket har ett annat ursprung än de andra nordiska språken. Lingefjärd 3 En berättelse om matematikundervisningen i Sverige under 1000 år kan aldrig bli något annat är en berättelse om matematikundervisningen i Norden under samma tid. De nordiska ländernas utbildningshistoria är mycket tätt sammanvävd under denna tidsrymd. Vi kommer bland annat att visa att en avgörande påverkan på matematikundervisningen i de nordiska länderna kom från Island, som på vissa sätt låg närmare Europa än vad Sverige gjorde för 1000 år sedan. Lingefjärd 4 Matematik-Biennalen

3 Sverige fick sin första tryckta lärobok i aritmetik drygt 100 år efter motsvarande böcker skrivna på latin eller grekiska hade börjat cirkulera i Europa. Den första tryckta läroboken i aritmetik kom från Treviso i Italien och publicerades Författaren är okänd. En engelsk översättning finns bland annat i Swetz (1987). Boken propagerade för en ny matematik, ett ersättande av det gamla romerska räknesättet med ett nytt, baserat på Hinduarabiska siffror och nya räknesätt. Detta var omvälvande och tog i många länder lång tid att genomföra. Hur såg det ut innan? Lingefjärd 5 Jag har valt en startpunkt i 800-talets klosterskolor. Klosterskolorna, eller katedralskolorna, vilande bland annat på kejserliga och påvliga dekret från 787, 789, och 827 e. Kr. och utgör ett första tecken på organiserad utbildning i norra Europa. I ett dekret från Karl den store daterat år 789, finns spår av hur kursplanen såg ut: Scholae legentium puerorum fiant; psalmos, notas, cantus, computum, grammaticam discant [Skolan skall undervisa om: psalmer, skrivning, kantater, kyrkoaritmetik, och grammatik] Computum betyder egentligen computus ecclesiasticus, det vill säga att beräkna datum för kyrkoårets högtidsdagar. Lingefjärd 6 Matematik-Biennalen

4 Den första nedskrivna läroboken i matematik som vi känner till var en handskriven bok av munken Beda Venerablis (Den vördnadsvärde) som är omnämnd i åtskilliga källor (Dahlbo, 1897; Hollander, 1884; Howson, 1981; McLeish, 1991). Beda var en engelsk munk ( e.kr.) och författare till en bok vid namn computus, De Temporum Ratione. Denna lärobok användes i Sverige och Finland likväl som i England (Dahlbo, 1897). I denna handskrivna bok, med världens äldsta bild på romerska räkneord med fingrarna, visade Bede på en speciell form av fingerräkning tillsammans med romerska siffror. Bedas algoritm beskriver hur två tal, större än fem men mindre än tio, kan multipliceras ihop. Metoden, kallad De computo vel loquela digitorum, ("Om att räkna eller tala med fingrarna") används fortfarande i modifierad form på travbanor och börsmarknader. Lingefjärd 7 Beda var också skaparen av en systematisk version av den kristna almanackan, med bland annat metoder för hur man beräknar påsk, och med introduktion av datering relativt Kristi födelse. Så trots att han inte var någon stor matematiker, utan präst och kanske skollärare, lever Bedas namn kvar trots att många större matematiker gått förlorade i tidens glömska. Quum dicis sex, tertium nihilominus elevabis, medio duntaxat solo, qui Medicus appellatur, in medium palmae fixo. För talet sex måste du räta ut ditt mittfinger och därefter böja ringfingret, kallat Medicus, tillbaka in i handflatan. (K. Menninger: Zahlwort und Ziffer I, 1958, sid 6) Lingefjärd 8 Matematik-Biennalen

5 Upptäckten av bland annat runstavar antyder att Island, Norge och Sverige hade en nästan komplett almanacka långt innan kristendomen nådde Norden (Dahlin, 1875). Almanackor skurna i trä, så kallade rimstavar, fanns på många håll men de med runtecken som dagangivelser var en rent svensk uppfinning. Trots detta, så var vid denna tid kvalitén på matematikutbildningen i de nordiska länderna relativt undermålig (Hollander, 1884). De Skandinaver, som önskade förvärfva ett kunskapsmått utövfer det vanliga i latin, filosofi och kyrkolära, voro af omständigheternas tvång hänvisade att söka detta i länder med längre framskriden odling. (Hollander, 1884, p. 20) Lingefjärd 9 I slutet av 1200-talet anses Norges och Danmarks klosterutbildningar och kulturella utbud ha legat ca 100 år före Sveriges. Danmark hade sitt religiösa center i Lund och var mycket påverkade av det franska utbildningssystemet. Universitetet i Bologna och senare universitetet i Paris ansågs vid denna tid ge den mest kultiverade utbildningen (Brun, 1962). Under 1200-talet reformerades matematikutbildningen vid Europeiska universitet. En anledning till detta var att många matematikböcker, ursprungligen skriva på grekiska, nu översattes till Latin. Den ökade handeln ställde dessutom nya krav på aritmetiska färdigheter. Not: Bologna i norra Italien har Europas äldsta ännu existerande universitet. Detta var ett mycket viktigt intellektuellt centrum under medeltiden. Även idag är Bologna aktuellt - på grund av Bolognaprocessen. Lingefjärd 10 Matematik-Biennalen

6 I norden nämns aritmetik för första gången i den norska boken Kongespeilet [Kungens spegel] från ca Gerðu þik tolvisan vel, þat þurfu kaupmenn mjok [Lär dig aritmetiken väl, den är viktig för handelsmän] (Bekken & Christoffersen,1985, p. 7). Den äldsta bevarade nordiska texten om räknande med hinduarabiska siffror, är den isländska boken Hauksbók. Hauksbok är en av de få medeltidshandskrifter som vi känner vid namn. På ett av bladen namnger sig författaren som Haukr Erlendsson (? -1334). Så långt tillbaka som vi kan spåra boken, har den därför kallats Hauksbok. Vi vet inte när han blev född, men vet at han blev lagman på Island år 1294 och kom till Norge ca Lingefjärd 11 Det förefaller som om Haukr Erlendsson. använde minst 15 olika assistenter för att skapa verket Hauksbók. Den matematiska delen av Hauksbok kallas Algorismus och utgör ca 6-7 A4-sidor. Detta är den äldsta räknebok med "våra" tal på ett nordisk språk och här visas det decimala positionssystemet. Det är viktigt att notera att denna bok skrevs på ett nordiskt språk 300 år före det att den svenske matematikern Stiernhjelm (Arithmetica Mnemonica Universalis, 1642) försökte visa på det decimala systemets fördelar och ett halvt millennium innan detta system sattes i praktiskt bruk i Sverige. Lingefjärd 12 Matematik-Biennalen

7 Kopplingen mellan olika arbeten på Latin nere på kontinenten och Hauksbók kan verifieras med hjälp av ett fel i den Julianska kalendern. Detta fel orsakade att Påven Gregorius XIII ändrade årsalmanackan år Felet har upptäckts i såväl De Computo Ecclesiastico by Sacrobosco (ca 1232) and in the Hauksbók ca 70 år senare (Bekken & Christoffersen, 1985). Lingefjärd 13 Men varför skrevs denna bok på Island? Island låg så mycket längre bort från kontinenten än Sverige? Enligt Isländsk mytologi och historia, så fanns det en man vid namn Sæmund Sigfusson som reste som ung man till Europa för att studera (runt 1070). Han besökte Paris, Rom, och Herfurt i Westfalen och var tydligen mycket studieintresserad. Sæmund Sigfusson är välkänd i Island och syns här som staty. Lingefjärd 14 Matematik-Biennalen

8 Kejsare Otto IIIs välkända lärare Gerbert är känd som den förste personen som introducerade Hinduarabiska siffror i Europa i slutet av 900-talet. Symbolerna som Gerbert hade med sig från Spanien kallades Gubar symboler (på arabiska kallas dessa symboler för Gubar [damm] siffror, antagligen beroende på att man en gång i världen räknade i dammet på bord) och vissa av dem är fortfarande i bruk i Egypten, Irak, Iran, och Turkiet. Dessa plockade Sæmund Sigfusson troligtvis med sig till Island. Den del i Hauksbók som kallas Algorismus börjar så här: Her byrjar algorismum. List þessi heitir algorismus. Hana fundu fyrst indverskir menn ok skipuðu með.x. stofum þeim er. svá eru ritnir: [Denna konst kallas algorismus. Den blev först upptäckt av Indier, som formade 10 tecken, så här:] Lingefjärd 15 I Indien var decimalsystemet känt redan 300 f. Kr. Vi ser också att Gubar symboler innehöll noll, något som blev allmänt känt först på 1300-talet. Algorismus anger endast två positioner. Ental kallas fingr och positionen för tiotalssiffran kallas liðr. De andra positionerna kallas sammansatta tal. Det finns 7 namngivna räknesätt (operationer): viðrlagning addition I dubblering och afdráttr subtraktion halvering kan vi se tvífaldan dubblering arabisk påverkan från helmingaskipti halvering al-khwarizmi margfaldan multiplikation (Bekken & skipting division Christoffersen, 1985.) taka rot undan kvadratrot Lingefjärd 16 Matematik-Biennalen

9 De arabiska siffrorna är idag de mest använda i världen. Begreppet arabiska siffror är emellertid inte ett enhetligt begrepp: Modern Arabiska (Väst); Tidig Arabiska (Väst); Arabiska bokstäver Modern Arabiska (Öst); Tidig Arabiska (Öst); Tidig Devanagari (Indien); Modern Devanagari Lingefjärd 17 Under medeltiden fanns det fyra olika typer av handskrivna böcker som handlade om siffror och beräkningar. De kan klassificeras enligt: Böcker om talteori, baserade på Grekisk tradition från Euclides och Nicomachus dagar via Boethius till Jordanus Nemorarius (ca 1225). Böcker om Abacus, det vill säga om hur man räknade med tabeller, artefakter som calculi, jetons eller stenar, och med romerska siffror. Computi ecclesiastici, mallar och instruktioner för att beräkna datum för påsk och andra varierande festhögtider. Algorismus, med grundläggande instruktioner för tekniken med de nya hinduarabiska symbolerna, mestadels byggt på arbetet av al- Khwarizmi. Lingefjärd 18 Matematik-Biennalen

10 Tre olika handskrivna böcker, med större genomslag än andra, spreds över Europa: Liber Abaci, av Leonardo Fibonacci av Pisa (ca 1202) Carmen de Algorismo, av Alexander de Villa Dei (ca 1200) Algorismus Vulgaris, av Johannes de Sacrobosco (ca 1230) Vi vet idag att arbetet av Fibonacci vann denna strid eftersom många av de första tryckta läroböckerna i aritmetik i Italien i slutet av 1400-talet grundades just på hans verk. Fibonacci anses av många vara Europas förste matematiker, och han är också på sätt och vis mer accepterad av den matematiska samfälligheten idag. Men vid 1300-talet början, så var de andra två författarna mer välkända och sålde bättre. Lingefjärd 19 Ökad handel ledde fram till ökat behov av att räkna på ett effektivt sätt. Fibonaccis Liber Abaci och de första tryckta läroböckerna från Treviso i Italien skrevs alla utifrån ett praktiskt ändamål (Swetz, 1987). Men situationen var annorlunda för Villa Dei och Sacrobosco. Dessa två skrev matematikböcker för universitetsstudenter. Frånsett sina Algorismus böcker, så skrev de också välkända och vitt spridda böcker om Computus. Svårigheten med att beräkna datum för högtidsdagar i almanackan var en av orsakerna till ett ökat intresse för matematik i klosterskolor och på universitet runt 1000-talet. Lingefjärd 20 Matematik-Biennalen

11 Den första notisen om ett svenskt namn i samband med matematik är daterat till den 25 mars år1299. Biskop Hemming, vid en anrik katedralskola i Paris dör, och hans sparade testamente upptar ett stort antal böcker i matematik och andra vetenskaper. Det stora antalet titlar (med tanke på att böcker var oerhört dyra och svåra att få tag på vid denna tid, så kan vi anta att Hemming faktiskt läste alla böcker han hade i sin ägo) indikerar att Hemming måste ha varit en mycket välutbildad man vid denna tid (Dahlbo, 1897; Dahlin, 1875). Lingefjärd 21 Det kan vara värt att känna till Petrus de Dacia, rektor i Paris 1326, och filosof, matematiker och astronom, den mest berömde och lysande i sin tid tyvärr inte var svensk utan troligen från Danmark. Petrus Philomenia de Dacia är speciellt känd för att ha författat kommentarmaterial till Sacrobosco s Algorismus. Från 1250 till 1500, så var Sacrobosco s Algorismus med Petrus de Dacia s kommentarer en av de mest kända aritmetikböckerna i Europa (Larsen, 1952). Lingefjärd 22 Matematik-Biennalen

12 Det är inte förrän i början av 1500-talet som vi finner svenskar, verksamma i Sverige och som blev omtalade för sin matematiska bildning. Naturligt nog, så var två av dessa munkar vid Vadstena kloster, och lyssnade till namnen Petrus Astronomus och Peder Månsson. Astronomus är känd för den geniala klocka han konstruerade för domkyrkan i Uppsala. Olyckligtvis, så förstördes domkyrkan i en stor brand 1702, och Astronomus geniala klockarbete gick förlorat. Hans munkbroder, Månsson, är ännu mer känd. Han är den förste författare i Sverige som vi kan koppla samman med en matematiktext. Hans bok publicerades (ett handskrivet manuskript) i Rom i början av 1500-talet och handlade om regula de tri (Dahlin 1875; Dahlbo 1879; Hultman 1870). Lingefjärd 23 Här är ett exempel från Peder Månssons bok: Problem 4: 32 uns av saffran säljs för 3 floriner. Hur mycket kostar ett uns? Lösning: Produkten eller 3 kan inte divideras med 32, eftersom divisorn är större än dividenden. Därför måste jag växla 3 floriner till 540 dinarer och dela dem med divisorn 32. Om du delar korrekt, så får du svaret 16 dinarer och 28 delar av en dinar. Med dagens notationssystem skulle vi kanske skriva så här: 32 u 540 = 3 f ( = 540 d ) u = = d Lingefjärd 24 Matematik-Biennalen

13 Den äldsta tryckta danska läroboken i aritmetik utgavs (Larsen 1952, Brun 1962). Författaren anses vara Claus Lauridsen Skavbo och boken introducerade bland annat komplementär multiplikation på danska. Exempel: Produkten av 9 8 ges av identifiering av komplementen 1 och 2. Produkten ges av 1 2 som entalssiffra och 9-2 = 8-1 = 7 som tiotalssiffra. Metoden finns med som övertygande argument i en engagerad diskussion i filmen Stand and Deliver (Warner Brothers, 1988). Lingefjärd 25 I filmen Stand and Deliver (1988), så utmanar matematikläraren Jaime Escalante, en motstridig gängledare vid namn Chuco, med så kallad fingerräkning: Escalante: Ohh. You know the times tables? Chuco: I know the ones...twos...three. [On "three" Chuco flips the bird to Escalante.] Escalante: Finger Man. I heard about you. Are you The Finger Man? I'm the Finger Man, too. Do you know what I can do? I know how to multiply by nine! Nine times three. What you got? Twenty-seven. Six times nine. One, two, three, four, five, six. What you got? Fifty-four. You wanna hard one? How about seven times nine? One, two, three, four, five, six, seven. What do you got? Sixty-three. Lingefjärd 26 Matematik-Biennalen

14 De svenskar, som vid denna tid ville lära sig det decimala positionssystemet, hade inte tillgång till läroböcker på svenska. Dessutom var beräkningsuppgifter i olika böcker ofta kopplade till mätning, valutor och viktsystem som var kulturellt förankrade och delvis existerande i respektive land. Denna situation skapade ett stort antal problem för de som ville lära sig räkna med de nya siffrorna och det nya talsystemet (Hollander, 1984; Ohlon, 1986). Striden stod länge mellan Abakister (från abakus, vilket var vad de räknade med) och Algorister (av algoritm) som istället räknade med arabiska siffror (i damm, på papper eller annan skrivbar yta). Striden gällde hur man skulle räkna och hur man skulle skriva tal (romerska eller arabiska siffror). Idag får vi väl alla sägas vara algorister? Lingefjärd 27 Läroplansförändringen 1611 Det ökande intresset för matematik i dåvarande Sverige visade sig vid kyrkomötet i Örebro Vid detta möte, togs beslut om en ny läroplan för katedral- och provinsskolor. I kursplanen för 5: klass finner vi följande påpekande (Rhetorica et Logica): Anmärkningar: Om dessutom rektor eller konrektor har någon tid övrig, må han också på lediga timmar offentlig eller enskilt föredraga Buscheri aritmetik (detta också i provinsskolorna), Philippi de Animas och Johannes de Sacrobosco s astronomi; dock så att icke desto mindre det förut nämnda kurserna medhinnas (1611 års skolordning i Hall 1921, sid 37.) Lingefjärd 28 Matematik-Biennalen

15 Läroplansförändringen 1611 Om än den rekommenderade boken var skriven av en tysk och på Latin, så var införandet av en lärobok i aritmetik en stark kraft bakom framtagandet och tryckandet av svenska läroböcker i aritmetik. Buscherus, Heizo Buscher, var en tysk filosof och rektor i Hannover German. Paradoxalt nog, så kom hans böcker att betyda betydligt mer i Sverige och Finland än i Tyskland. Texten tros ha modifierats innan den användes i Sverige, av Johannes Bothvid, en präst vid Gustaf II Adolf hov (Dahlbo, 1897; Hollander, 1884). Lingefjärd 29 Svenska läroböcker Den äldsta svenska läroboken i aritmetik påstås aldrig ha blivit tryckt. Författare anses Hans Larsson Rizanesander vara. Boken saknar titel och är daterad Den är beskriven i Dahlin (1875): Rizanesander använder nio signifikanta siffror [1-9] och en osignifikant, som han kallar nulla eller ziphra. Rizanesander förklarar insignifikansen av nollan genom att förklara att talet skall läsas som 321 tusen gånger tusen, 62 tusen, 489 och att nollan kommer att vara tyst i detta uttryck. Lingefjärd 30 Matematik-Biennalen

16 Ett annat exempel visar metoden med falsk position, Regula Falsi. Exempel Tre personer vill köpa ett hus för 200 daler. A vill betala tre gånger mer än B, och B vill betala fyra gånger så mycket som C. Hur mycket skall var och en betala? Lösning Rizanesander prövar med C = 10 daler, som medför B = 40 och A = 120 daler. Detta leder till följande tabell: Rizanesander skriver därefter att 170, eller priset på huset som skulle passa med värdet 10 för C, relaterar till 200 som 10 relaterar till daler. Resultatet blir att C skall betala daler, B skall betala daler, och A skall betala daler Lingefjärd Den första svenska läroboken i aritmetik var Aurelius Arithmetica, utgiven år I nästan ett århundrade var Aurelius räknelära den vanligaste läroboken i Sverige. Den gavs ut i nytryck 1995, dvs 381 år senare, redigerad av Bengt Johansson! Lingefjärd 32 Matematik-Biennalen

17 Aurelius räknelära var inget mästerverk på något sätt, det faktum att den blev så känd och spridd beror nog först och främst på att den var först på marknaden. Björk s räknelära från 1643 anses vara ett betydligt bättre verk, en av de bästa matematikböckerna under denna tid (Hultman, 1871; Lindroth, 1975). Aurelius bok inleder med ett förord med argumentering för varför man skall lära sig matematik. En utförlig beskrivning finns i Johansson (1995), vi citerar kort: Denna korta räknelära med figurer och räknepenningar, med hela och brutna tal, med sköna, lustiga och användbara exempel på vårt eget modersmål och med våra egna mynt, mått och vikter (Aurelius, 1614 i Johansson, Vår översättning från gammal svenska) Lingefjärd 33 Exempel: Såsom en wil låta täckia ett taak medh lijka storre takstenar/ och then nästföliandhe raden hafwer altijdh 2 stenar meer än then förre/ såsom thenne figur uhtwisar/ huru många stenar behöfwes til heele taket? Gör såledhes: addere then första till then ytersta/ fac. 16. Multiplicere honom medh progressionis rums taal thet är 8 / fac. 128/ Dividere honom medh 2 hafwer tu 64. Och så månge stenar behöfwas til ett sadant taak. (Aurelius, 1614, sid G iiij i Johansson, 1995, sid XCIX). Lingefjärd 34 Matematik-Biennalen

18 En berömd beskrivning av hur det vara att studera matematik under mitten av 1600-talet kommer från Samuel Pepys dagböcker. Notera att det mesta av den matematik som undervisades fortfarande var under stark påverkan av romerska böcker, skrivna på Latin och med underutvecklade algoritmer. 4th July, 1662 By and by comes Mr Cooper, mate of the Royall Charles, of whom I entend to learn Mathematiques. After an hour's being with him at my Arithmetique, my first attempt being to learn the multiplication table, then we parted till tomorrow. 5th July At my office all afternoon and then my maths... at night with Mr Cooper; and so to supper and bed. 8th July Cooper being there, ready to attend me; so he and I to work till it was dark. Lingefjärd 35 9th July Up by 4-aclock and at my multiplication table hard, which is all the trouble, I meet withal my arithmetique. 10th July Up by 4-aclock and before I went to the office, I practised my arithmetique. 11th July Up by 4-aclock and hard at my multiplication table which I am now almost a master of. 12th July At night with Cooper at Aritmetique... 13th July Having by some mischance hurt my cods... [I] keep my bed all this morning. 14th July Up by 4-aclock and to my Aritmetique... 18th July and then came Cooper for my Mathematiques; but in good earnest my head is so full of business that I cannot understand it. (Source: Howson, 1981, p. 29) Lingefjärd 36 Matematik-Biennalen

19 Samuel Pepys var vid denna tid en välbetald civil servant in the British Admiralty, och han hade utbildats vid St Paul's School och vid Cambridge University. Det faktum att han behövde en lärare för att lära sig det nya påfundet the multiplication table är en stark indikator på nivån hos matematikutbildningen under 1600-talet. Ännu mer häpnadsväckande är eventuellt det faktum att inom tre år efter det att Pepys lärde sig multiplikationstabellen, så blev han invald som Fellow of the Royal Society (Howson, 1981, p. 29). Man kan fråga sig om multiplikationstabellen var så viktig? Svaret är tveklös JA! De nya algoritmer som hade började nå Norden och Storbritannien vid denna tid skulle drastisk förändra matematikutbildningen! Lingefjärd 37 Emedan den hinduarabiska aritmetiken med hela tal fick sitt genombrott hos handelsmän, så fick decimaltalsaritmetiken sitt genombrott hos ingenjörer och lantmätare. Den första tryckta läroboken på svenska som innehåller decimaltal skrevs av Matthias Andreæ Biörk och trycktes i Västerås Detta är första gången som vi känner till att tecknen + och används i svensk räknelära (Johansson, 1995, sid 13). Stjernhielm och Gestrinius gav ut handskrivna böcker om decimalräkning Lingefjärd 38 Matematik-Biennalen

20 I allmänhet så pläderade textförfattarna vid denna tid för den praktiska nyttan av att studera matematik, dvs lär dig matematik och du får ett bättre liv (från Kongaspielet och framåt). Ett undantag är Biörks räknelära från 1643, som också var en första skrift i algebra, där Biörk fokuserar på vikten av att träna sitt intellekt. Denna syn på matematik växte sig allt starkare samtidigt som latinet gradvis förlorade sin position som det starkaste ämnet. Under och 1600-talet var latin fortfarande det ämne man studerade för att träna sitt intellekt, för att bli medlem i en utbildad elit, för att få goda positioner (nästan alla högre positioner i samhället kontrollerades av kyrkan och krävde latin), och för att kunna studera andra ämnen (1611 års skolordning, i Hall 1921). Lingefjärd års skolordning utarbetades först och främst av Johannes Rudbeckius ( ) som var den drivande kraften i den kommission som tillsattes av riksdagen för att se över skolorganisationen. Rudbeckius var professor i Uppsala och blev 1619 biskop i Västerås stift där han grundade det första svenska gymnasiet Den nya skolordningen stipulerade att katedralskolor skulle upprättas i stiftstäderna. Skolan skulle bestå av sex klasser, där varje klass skulle ta två år. Det andra året i varje klass skulle i första hand ägnas åt repetition. I större städer skulle provinsialskolor med fyra klasser upprättas. Även i dessa skolor skulle varje klass vara tvåårig. Varje klass skulle ha en egen lärare och för de tre översta klasserna skulle en lektor utses. Skolan skulle styras av en rektor och en konrektor. Efter genomgång av provinsialskolans sista klass var eleven berättigad till inträde i katedralskolans femte klass. De första läroverken kallades ofta latinskolor. Det blir svårt att förstå dessa skolors kunskapsbedömande praktiker om man inte förstår innebörden av en latinskola. Benämningen leder en till att tro att de kallas så därför att man i princip bara läste latin och att undervisningen uteslutande hölls på latin. I själva verket bör man nog förstå latinkulten i dessa skolor som ett uttryck för en kunskapssyn som satte språket i centrum. Språket organiserade vetandet. Foucault skriver i The order of things att kunskap under och 1600-talen var att representera tinget med ord, orden uttryckte tinget exakt och att kunna ordna orden med hjälp av grammatiska regler var i själva verket också att kunna ordna världen. Lingefjärd 40 Matematik-Biennalen

21 Sverige och svenskarna fick vänta tills början av talet innan aritmetik med decimaltal slog igenom i alla svenska läroböcker i aritmetik. Orsaken var huvudsakligen att alla olika system av valutaberäkningar, av mått och viktsystem, etcetera, behövde standardiseras i enlighet med basen 10 innan ett decimalsystem kunde implementeras. Denna process tog lång tid och som alla vet så är den inte fullständigt genomförd i alla länder ännu. Lingefjärd 41 Det tidigast kända verket som omnämner sannolikhetslära på svenska skrevs av Andreas Gabriel Duhre Boken handlar om geometri, men förordet innehåller argument om varför man bör få lära sig matematik i allmänhet och speciellt sannolikhetslära. Duhre var lärare i matematik i Uppsala och hade såväl Celsius som Klingenstierna som studenter (Nordenmark, 1936). Klingenstierna var den förste svenska matematiker som kunde mätas med de stora i Europa. Bland hans elever fanns Mårten Strömer (Gårding, 1994, sid 2) Lingefjärd 42 Matematik-Biennalen

22 När det gäller Geometri så var kanske Mårten Strömer, som lät trycka en svensk version av Euclides Elementa 1744, en av de allra viktigaste inspiratörerna. Det var inte den första geometriboken i Sverige, men den första svenska översättningen av Euklides. Detta verk hade en stor påverkan på matematikundervisningen i Sverige. I förordet till första utgåvan pläderar Strömer inte bara för nyttan utan också för vikten av bildning. Lingefjärd 43 Euklides Elementa var vid den här tiden ett självklart inslag i matematikundervisningen. Bland genomgångna kurser vid årsexamen i trivialskolan i Jönköping 1772 Geometri efter Euklides Aritmetik efter Celsius-Palmquists lärobok (Elmgren, 1975) Lingefjärd 44 Matematik-Biennalen

23 Att få sitt betyg benämnt Testimonium academicum öppnade en genväg från trivialskolan direkt till universitetet. I 1807 års skolordning föreskrivs att lärjungar som blått genomgått trivialskola, icke kan få börja akademiska studier Trivialskolorna var glest belägna i det svenska riket, eleverna undervisades i tre grundläggande ämnen (trivium): grammatik, dialektik (logik) samt retorik. Trivialskolan ersatte katedralskolan år 1626 och kvarlevde till 1905, då realskolan infördes. Lingefjärd 45 Den 16 december 1820 skrev Karl XIV Johan under en ny skollag. I den nya skolordningen räknar man med tre slag av skolor: apologistskolor, lärdomsskolor och gymnasier. (Åstrand, 1976) Lingefjärd 46 Matematik-Biennalen

24 Karaktäristiskt för sättet att betrakta de olika skolformerna är att man undervisar i ämnet matematik i lärdomsskolan men i apologistskolan nöjer man sig med Räkna vartill i de högre klasserna kommer geometri och algebra. (Åstrand 1976) Högre apologistskolan (klass 1-3) Räkna veckotimmar Geometri veckotimmar Algebra veckotimmar Högre lärdomsskola (klass 1-4) Matematik veckotimmar Apologist Räknelärare i apologistskola. En Apologist undervisar genom skolordningen 1649, i förening med trivialskolan inrättade skrivarklasser. Han undervisar även högsta klassen i räkning. Yrket Apologist upphör Lingefjärd 47 Mot slutet av 1700-talet och framförallt under 1800-talets början inrättas de första skolorna för flickundervisning. Lärda ämnen som klassiska språk och avancerad matematik skulle flickorna inte studera. Deras undervisning skulle vara praktisk, allmänbildande och uppfostrande med moderna språk och modersmål som centrala teoretiska ämnen. (Kyle & Herrström, 1972) Lingefjärd 48 Matematik-Biennalen

25 En skola för folket? fattigskola medborgarskola hemundervisning skolgång En konservativ linje som förespråkade den traditionella kyrkliga undervisningen med läsning och kristendomskunskap. En liberal linje som pläderade för en utökad bildning med ämnen som skrivning, räkning, historia, geografi och samhällslära. (Johansson & Nordström, 1993) Lingefjärd 49 Efter en 16 månader lång riksdagsbehandling utfärdas Kongl. Maj:ts Nådiga Stadga angående Folk-underwisningen i Riket, den 18 juni Räkning och geometri för pojkarna, enbart räkning för flickorna. Fortsättningen är en annan historia Se Matematikundervisningen i Sverige under 150 år. Matematikbiennalen 2004 Lingefjärd 50 Matematik-Biennalen

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Den kristna kyrkans inriktningar

Den kristna kyrkans inriktningar Den kristna kyrkans inriktningar Läran växte fram Budskapet att alla människor var lika mycket värda tilltalade många människor, fattiga och rika, kvinnor och män. De första gudstjänsterna innehöll sång,

Läs mer

1.1. Numeriskt ordnade listor Numerically ordered lists 1.1.1. Enheter med F3= 10 efter fallande F Units with 10 by descending F

1.1. Numeriskt ordnade listor Numerically ordered lists 1.1.1. Enheter med F3= 10 efter fallande F Units with 10 by descending F 1.1. Numeriskt ordnade listor Numerically ordered lists 1.1.1. Enheter med F3= 10 efter fallande F Units with 10 by descending F 1 DET ÄR 2652 282 71 HAR EN 350 140 141 KAN INTE 228 59 2 FÖR ATT 2276 369

Läs mer

Högre utbildning ett fåtal förunnat

Högre utbildning ett fåtal förunnat Högre utbildning ett fåtal förunnat Lärdomsskolan från medeltid till 1800-talets mitt Samtidigt med införandet av den obligatoriska folkskolan pågick också strider om hur undervisningen i skolan närmast

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Fibonacci. Miniporträttet

Fibonacci. Miniporträttet Miniporträttet ANDREJS DUNKELS Fibonacci I serien berömda matematiker har NÄMNAREN denna gång valt Fibonacci. Frågan är hur våra siffror sett ut idag om inte Fibonacci lagt ner så stor möda på att sprida

Läs mer

3-3 Skriftliga räknemetoder

3-3 Skriftliga räknemetoder Namn: 3-3 Skriftliga räknemetoder Inledning Skriftliga räknemetoder vad är det? undrar du kanske. Och varför behöver jag kunna det? Att det står i läroplanen är ju ett klent svar. Det finns miniräknare,

Läs mer

Introduktion. Fundera på: vad dessa ord betyder: dialekt, forska, tidiga, spår, f Kr var i världen man talar mandarin, hindi och bengali.

Introduktion. Fundera på: vad dessa ord betyder: dialekt, forska, tidiga, spår, f Kr var i världen man talar mandarin, hindi och bengali. Språkhistoria VT11 Introduktion Det finns många språk i världen. Det är ingen som vet exakt hur många. Det är nämligen svårt att skilja på vad som är språk och vad som är dialekt. Ibland säger man att

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Datorspel med agenter som lär sig matematik utan symboler. Lena Pareto Högskolan Väst

Datorspel med agenter som lär sig matematik utan symboler. Lena Pareto Högskolan Väst Datorspel med agenter som lär sig matematik utan symboler Lena Pareto Högskolan Väst 1 Idé: matematik i ny förklädnad koncept: positiva tal negativa tal decimal systemet addition subtraktion multiplikation

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev

Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Dagens program Introduktion och kursens översikt Talbegreppets utveckling Den äldsta matematiken - EGYPTEN och BABYLON Obligatorisk kurslitteratur Tord Hall

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Föra och följa matematiska resonemang, Berätta för andra hur du tänker och lyssna på andras matematiska tankegångar.

Föra och följa matematiska resonemang, Berätta för andra hur du tänker och lyssna på andras matematiska tankegångar. Sparsörskolan Lokal pedagogisk planering Klass: 6A Ansvarig lärare: Fanny Olausson och Linda Wahlberg Ämne/område: Ja mfo relse, uppskattning och ma tning av vikt och volym samt avrundning och o verslagsra

Läs mer

Enligt kristendomen visar sig Gud på tre sätt: SOM FADERN, SONEN OCH ANDEN. 1. Gud visar sig som en FADER, som bryr sig om sina barn.

Enligt kristendomen visar sig Gud på tre sätt: SOM FADERN, SONEN OCH ANDEN. 1. Gud visar sig som en FADER, som bryr sig om sina barn. Enligt kristendomen visar sig Gud på tre sätt: SOM FADERN, SONEN OCH ANDEN GUD ÄR ALLTSÅ TRE PERSONER I EN EN TREEING GUD 1. Gud visar sig som en FADER, som bryr sig om sina barn. 2. Gud visar sig som

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Steg-Vis. Innehållsförteckning

Steg-Vis. Innehållsförteckning Innehållsförteckning SIDAN Förord 6 Inledning 7 Målgrupp och arbetssätt 8 Dåligt minne? 9 Nyckelfakta 10 Råd till pedagog 11 Tre matematiska lagar 12 10-komplement 14 Från subtraktion till addition 15

Läs mer

Pedagogisk planering aritmetik (räkning)

Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Vi kommer att arbeta med de fyra räknesätten i matematik. Syfte (ur Skolverkets kursplan) Under det här arbetsområdet kommer vi att arbeta med att utveckla följande

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Engelska åk 5 höstterminen 2013

Engelska åk 5 höstterminen 2013 gelska åk 5 höstterminen 2013 Under hösten kommer vi att jobba utifrån olika temaområden i engelska. Några områden handlar om länder, intressen och partyinbjudningar. Vi utgår från ett läromedel i engelska

Läs mer

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte vara?

Läs mer

VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX

VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX (Centrum för Vuxnas Lärande, f.d. Komvux) vänder sig till Dig som är över 20 år och som saknar, behöver förbättra eller komplettera Din utbildning. Särvux är en del av CVL som

Läs mer

Yaria. Viktor Rydberg

Yaria. Viktor Rydberg Yaria Viktor Rydberg Innehåll Förord 9 Förra avdelningen Om Buddah återvände 15 Inledning till Victor Pfeiffs översättning av Edwin Arnolds dikt»asiens ljus». 1888. Den mekaniska världsteorien 50 Inledande

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Språkhistoria. Svenska språkets historia

Språkhistoria. Svenska språkets historia Språkhistoria Svenska språkets historia Indoeuropeiska språk http://cwasteson.blogspot.se/2011/01/spraktrad-i-farg.html Indoeuropeiskan är den språkgrupp som har stått som grund för nästan alla av de europeiska

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Svenska Finska Estniska. Ryska Engelska Koreanska. Franska Tyska Italienska. Grekiska Danska Norska. Isländska Ungerska Spanska

Svenska Finska Estniska. Ryska Engelska Koreanska. Franska Tyska Italienska. Grekiska Danska Norska. Isländska Ungerska Spanska Kapitel 4 - Nationalitet och språk Aktivering 4.1. Vilka språk talar Åsa och Jens? Vi undersöker vilka språk som talas i gruppen och i världen. Material: språkplansch på väggen med olika språk. Affisch

Läs mer

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper.

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Lokala mål Tala och lyssna: Jag kan lyssna och förstå

Läs mer

Min man kommer ursprungligen från

Min man kommer ursprungligen från t í m e a d a n i Varför räknar du just så? Denna artikel bygger på ett examensarbete för lärarutbildningen. I arbetet undersöktes skillnader mellan lärares, svenska föräldrars och invandrarföräldrars

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Matematik i Skolverket

Matematik i Skolverket SMaLs sommarkurs 2013 Matematik i Skolverket Helena Karis Margareta Oscarsson Reformer - vuxenutbildning 1 juli 2012 - Kursplaner - vuxenutbildning, grundläggande nivå - särskild utbildning för vuxna på

Läs mer

Vad skall en matematiklärare kunna? Översikt. Styrdokument. Styrdokument. Problemlösning

Vad skall en matematiklärare kunna? Översikt. Styrdokument. Styrdokument. Problemlösning Vad skall en matematiklärare kunna? Andreas Ryve Stockholms universitet och Mälardalens Högskola. Översikt 1. Vad skall en elev kunna? 2. Matematik genom problemlösning ett exempel. 3. Skapa matematiska

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Lära matematik med datorn. Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby

Lära matematik med datorn. Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby Lära matematik med datorn Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby Innehåll Varför undervisar jag som jag gör? Lärarens roll i det digitala klassrummet

Läs mer

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden.

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. Man ser en jämn ström av uppseendeväckande scenarier. Man undviker nog

Läs mer

omkyrkans program för grundskolan gymnasieskolan och gymnasiet

omkyrkans program för grundskolan gymnasieskolan och gymnasiet DDomkyrkans omkyrkans program för program grundskolan och för grundskolan gymnasieskolan och gymnasiet Kyrka - skola Med skolans nya läroplan finns många möjligheter till samarbete mellan skola och kyrka.

Läs mer

En bild av skolan eller Bilder av skolan? November 2010 Astrid Pettersson

En bild av skolan eller Bilder av skolan? November 2010 Astrid Pettersson En bild av skolan eller Bilder av skolan? November 2010 Astrid Pettersson Hemsida A Rektorer behöver stärka sitt ledarskap Elever lär sig utan att förstå Skolan sätter betyg på olika grunder Skolan utvärderar

Läs mer

Dyskalkyli & Matematik

Dyskalkyli & Matematik Björn Adler Dyskalkyli & Matematik En handbok i dyskalkyli NU-förlaget Förord Matematik är livet. Den finns runt omkring oss på olika sätt och genomsyrar hela vår vardag. Den finns i samtalet om hur man

Läs mer

Räkneflyt. Addition och Subtraktion. Färdighetsträning i matte. Talområde 11-20

Räkneflyt. Addition och Subtraktion. Färdighetsträning i matte. Talområde 11-20 Räkneflyt Addition och Subtraktion område 11-20 Färdighetsträning i matte Gunnel Wendick Inga-Lis Klackenmo Innehållsförteckning Introduktion 2-3 Räkneflyt är kopplat till Lgr11 och Diamant 7 Förståelse

Läs mer

Den äldsta riktningen är den Romersk- katolska kyrkan som började ta form redan några sekel efter Jesu verksamhet. Kyrkans högste ledare kallas PÅVE.

Den äldsta riktningen är den Romersk- katolska kyrkan som började ta form redan några sekel efter Jesu verksamhet. Kyrkans högste ledare kallas PÅVE. Kristendom lektion 4 Den katolska kyrkan Den äldsta riktningen är den Romersk- katolska kyrkan som började ta form redan några sekel efter Jesu verksamhet. Påven Kyrkans högste ledare kallas PÅVE. Dagens

Läs mer

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal.

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. MATEMATIK ÅR1 MÅL Begrepps- och taluppfattning Kunna talbildsuppfattning, 0-10 EXEMPEL Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. Kunna

Läs mer

Latinsk språkhistoria. År 9

Latinsk språkhistoria. År 9 Latinsk språkhistoria År 9 Innehållsförteckning Inledning 3 Syfte 3 Metod 3 Historia 4 Jämförelsetext 5 Jämförelse Med Det Svenska Språket 6 Disskussion 8 Källförtäckning 9 2 Inledning Det latinska språket

Läs mer

Mål i mun Förslag på en plan för svenska språket

Mål i mun Förslag på en plan för svenska språket Mål i mun Förslag på en plan för svenska språket Den här utredningen ger förslag på en plan för hur vi ska fortsätta att tala och skriva svenska, fast vi har börjat använda mer engelska. Texten är omskriven

Läs mer

Läs och fråga om svåra ord. Jag har markerat de ord jag tror ni tycker är svåra. (fakta hämtad ur Spår av tro ) Lucia

Läs och fråga om svåra ord. Jag har markerat de ord jag tror ni tycker är svåra. (fakta hämtad ur Spår av tro ) Lucia Läs och fråga om svåra ord. Jag har markerat de ord jag tror ni tycker är svåra. (fakta hämtad ur Spår av tro ) Lucia Legenden om Lucia berättar om hur en hedning hade blivit förälskad i henne, men att

Läs mer

CAS-vuxenutbildning för dig

CAS-vuxenutbildning för dig SÄRVUX- värmdö CAS-vuxenutbildning för dig Särskild utbildning för vuxna Särvux Värmdö är kommunens vuxenutbildning för dig som är över 20 år och har inlärningssvårigheter som beror på utvecklingsstörning

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

Räkna med C# Inledande programmering med C# (1DV402)

Räkna med C# Inledande programmering med C# (1DV402) Räkna med C# Upphovsrätt för detta verk Detta verk är framtaget i anslutning till kursen Inledande programmering med C# vid Linnéuniversitetet. Du får använda detta verk så här: Allt innehåll i verket

Läs mer

Antikens Grekland förr och nu

Antikens Grekland förr och nu Antikens Grekland förr och nu Namn: Lisa Söderberg Klass: 9an Innehållsförteckning Antikens Grekland då och nu..1 Innehållsförteckning...2 Sammanfattning..3 Varför har jag valt att skriva om det här.4

Läs mer

Läroverkens utveckling i Sverige

Läroverkens utveckling i Sverige Läroverkens utveckling i Sverige Författare: Sven Salin Läroverkens föregångare var lärdomsskolan som uppstod under medeltiden. Boklig bildning ansågs då behövas enbart av präster och de fåtal adelsmän

Läs mer

ATT UNDERVISA MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED 10, 100 OCH 1000

ATT UNDERVISA MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED 10, 100 OCH 1000 EN UTVECKLINGSARTIKEL PUBLICERAD FÖR PEDAGOG STOCKHOLM ATT UNDERVISA MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED 10, 100 OCH LEARNING STUDY I PRAKTIKEN Författare: Tina Edner E-post: tina.edner@stockholm.se Skola:

Läs mer

Pedagogisk kartläggning av nyanlända elever

Pedagogisk kartläggning av nyanlända elever Pedagogisk kartläggning av nyanlända elever Symposium 4 oktober 2012 Anniqa Sandell Ring anniqa.sandell.ring@andrasprak.su.se Arash Hassanpour arash.hassanpour@linkoping.se Innehåll En historisk tillbakablick

Läs mer

Centralt innehåll som vi arbetar med inom detta område:

Centralt innehåll som vi arbetar med inom detta område: BRÅK & PROCENT PEDAGOGISK PLANERING/KUNSKAPSKRAV MATEMATIK Ö7 HT 2012 Syfte Lgr 11 Meningen med att läsa matematik i skolan är att du ska utveckla din förmåga att ü formulera och lösa problem med hjälp

Läs mer

Kommunikation. Tror du att det finns något universellt kroppsspråk? Vilket kroppsspråk brukar du använda?

Kommunikation. Tror du att det finns något universellt kroppsspråk? Vilket kroppsspråk brukar du använda? Kommunikation Vi människor kommunicerar på många olika sätt. Vi ringer, mejlar och pratar med varandra. Men vi använder också kroppen väldigt mycket. När personer kommunicerar är all kommunikation inte

Läs mer

FRÅttwtKrsTlLL MATTEFILMER. - omikt i skolan. ';j, :d- r..'11*{s"n"-' :Jr. i ri:sslr:,iriitlr

FRÅttwtKrsTlLL MATTEFILMER. - omikt i skolan. ';j, :d- r..'11*{sn-' :Jr. i ri:sslr:,iriitlr FRÅttwtKrsTlLL MATTEFILMER - omikt i skolan :Jr r..'11*{s"n"-' :d- ';j, i ri:sslr:,iriitlr ffiffihxxnffi ffi*# ffiasfrfrgä Smxsrfrillem Konkret, Lekfullt. Roligt. Det är några omdömen om Rutiga familjen,

Läs mer

Matematiklyftet 2013/2014

Matematiklyftet 2013/2014 Matematiklyftet 2013/2014 Didaktiskt kontrakt Ruc 140522 AnnaLena Åberg 79 Matematiklärare 9 skolor? Elever 10 Rektorer 1 Förvaltningschef 2 Skolområdschefer 5 Matematikhandledare Hur ser ni på det didaktiska

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Rapport elbilar Framtidens fordon

Rapport elbilar Framtidens fordon Teknikprogrammet Klass TE14. Rapport elbilar Framtidens fordon Namn: Joel Evertsson Datum: 2015-03-09 Abstract This report is about electric car. We have worked with future vehicles and with this report

Läs mer

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande tikk Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte

Läs mer

VI OCH DOM 2010/01/22

VI OCH DOM 2010/01/22 VI OCH DOM 2010/01/22 Integration och invandring En bild av olika människor I Norbotten, Till.exempel.I Boden lever många människor med olika bakgrund. Vissa är födda i Sverige och andra i utlandet. Integration

Läs mer

Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten

Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten Digitala verktyg i matematik- och fysikundervisningen ett medel för lärande möten Ulrika Ryan Hur bygger jag den vetenskapliga grunden för min undervisning? Styrdokument Forskning Beprövad erfarenhet Matematik

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Svenskt skolväsen och lärarnas villkor från medeltiden till våra dagar

Svenskt skolväsen och lärarnas villkor från medeltiden till våra dagar KAPITEL 1 Svenskt skolväsen och lärarnas villkor från medeltiden till våra dagar Den allra första skolordningen är daterad 1571 och var en del av kyrkoordningen. Skolutbildningen dominerades helt av kyrkan

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

NYHETER I TEKNIKKLUBBEN LUSTEN

NYHETER I TEKNIKKLUBBEN LUSTEN NYHETER I TEKNIKKLUBBEN LUSTEN Solcellsbilar Våra bilar spyr ut smutsiga avgaser. Strömmen hemma i vägguttaget kommer delvis från smutsig kolkraft och vi slänger mycket som skulle kunna återanvändas. Många

Läs mer

Malmö 25/10 2014. Tjugofemte oktober tvåtusenfjorton. Gunne Bergström

Malmö 25/10 2014. Tjugofemte oktober tvåtusenfjorton. Gunne Bergström Räkna med dem som räknar på fingrarna. Malmö 25/10 2014 Tjugofemte oktober tvåtusenfjorton Gunne Bergström Svårigheten känd i mer än 100 år Europaparlamentet 2007 Vändning 2008 Dyskalkyli finns det? Ingvar

Läs mer

Språkrevitalisering och ortografi

Språkrevitalisering och ortografi *!"#$%&'(#)"*+,-*'(#)"&."/+0+1$2*3450$1-.&.#*+,-*6&37/$/17#*%4#*($&.'73$'"7* 8#5.(0+1*9:*375*;

Läs mer

Grekiska gudar och myter

Grekiska gudar och myter Under det här arbetsområdet kommer vi att arbeta med Antikens Grekland och Romarriket. Jag kommer att hålla genomgångar, ni kommer att få ta del av den här presentationen så kommer ni själva att få söka

Läs mer

Svensk författningssamling

Svensk författningssamling Svensk författningssamling Förordning om ändring i högskoleförordningen (1993:100); SFS 2012:712 Utkom från trycket den 30 november 2012 utfärdad den 22 november 2012. Regeringen föreskriver i fråga om

Läs mer

Inkvarteringsstatistik. Göteborg & Co. Februari 2012

Inkvarteringsstatistik. Göteborg & Co. Februari 2012 Inkvarteringsstatistik Göteborg & Co Februari 2012 FoU/ Marknad & Försäljning Gästnätter storstadsregioner Februari 2012, hotell och vandrarhem Gästnattsutveckling storstadsregioner Februari 2012, hotell

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

LÄTTLÄST UTSTÄLLNINGSTEXT ARKITEKTUR I SVERIGE. funktion, konstruktion och estetik

LÄTTLÄST UTSTÄLLNINGSTEXT ARKITEKTUR I SVERIGE. funktion, konstruktion och estetik LÄTTLÄST UTSTÄLLNINGSTEXT ARKITEKTUR I SVERIGE funktion, konstruktion och estetik Bord 1 Skydd mot vind, fukt och kyla Vi som bor långt norrut på jordklotet har alltid behövt skydda oss mot kyla. För länge

Läs mer

Viktoriaskolans kursplan i Engelska I år 2 arbetar eleverna med:

Viktoriaskolans kursplan i Engelska I år 2 arbetar eleverna med: Viktoriaskolans kursplan i Engelska I år 2 arbetar eleverna med: UPPNÅENDEMÅL ENGELSKA, ÅR 5 TIPS År 2 Eleven skall Tala - kunna delta i enkla samtal om vardagliga och välbekanta ämnen, - kunna i enkel

Läs mer

Nyhetsbrev SKR:s program Kyrka-Skola Juni 2012 (Nr 1/2012)

Nyhetsbrev SKR:s program Kyrka-Skola Juni 2012 (Nr 1/2012) Nyhetsbrev SKR:s program Kyrka-Skola Juni 2012 (Nr 1/2012) Innehåll 1. SKR:s programråd för kyrka-skola 2. Föreläsningserbjudanen! 3. Kyrkornas globala vecka 4. Skolforum i Skövde 5. En liten sammanfattning

Läs mer

Antiken 700 f Kr 500 e Kr. Greker och Romare

Antiken 700 f Kr 500 e Kr. Greker och Romare Antiken 700 f Kr 500 e Kr Greker och Romare Varför dessa årtalsgränser? Händelser som traderats muntligt från 1200- talet f Kr, krig o myter m hjältar skrivs ned i Iliaden/Odysseen äldsta diktverken i

Läs mer

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09 EXTENAL ASSESSENT SAPLE TASKS SWEDISH BEAKTHOUGH LSPSWEB/0Y09 Asset Languages External Assessment Sample Tasks Breakthrough Stage Listening and eading Swedish Contents Page Introduction 2 Listening Sample

Läs mer

Klara målen i 3:an - undervisa i matematik!

Klara målen i 3:an - undervisa i matematik! Klara målen i 3:an - undervisa i matematik! Att få chans att lyckas i matematik De flesta elever älskar matte under sitt första skolår. Allas vår önskan är att eleverna ska få en fortsatt intressant och

Läs mer

Mei UPPGIFT 8 - PEDAGOGIK. Framförandeteknik. Jimmie Tejne och Jimmy Larsson

Mei UPPGIFT 8 - PEDAGOGIK. Framförandeteknik. Jimmie Tejne och Jimmy Larsson Mei UPPGIFT 8 - PEDAGOGIK Framförandeteknik Jimmie Tejne och Jimmy Larsson Innehåll Inledning... 1 Retorik för lärare... 2 Rätt röst hjälper dig nå fram konsten att tala inför grupp... 3 Analys... 4 Sammanfattning:...

Läs mer

Matematikundervisningen har under

Matematikundervisningen har under bengt aspvall & eva pettersson Från datorernas värld Hur kan vi stimulera elever i matematik, och hur kan vi genom matematiken visa delar av datorns funktioner? Författarna visar hur man kan introducera

Läs mer

Vem kan gå på Lärvux? Syftet med Lärvux

Vem kan gå på Lärvux? Syftet med Lärvux Kurskatalog Lärvux Läsåret 2015-2016 Innehåll Innehåll... 3 Vem kan gå på Lärvux?... 1 Syftet med Lärvux... 1 Studierna... 2 Betyg... 2 Vilka ämnesområden finns på träningsskolenivå?... 3 1. Språk och

Läs mer

KLASSISK GREKISKA SPRÅK OCH KULTUR

KLASSISK GREKISKA SPRÅK OCH KULTUR KLASSISK GREKISKA SPRÅK OCH KULTUR Ämnet klassisk grekiska språk och kultur är till sin karaktär ett humanistiskt ämne som förenar språk- och kulturstudier. Grekiska har varit gemensamt språk för befolkningen

Läs mer

Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik

Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik Skolverket Stockholm 2012 www.skolverket.se ISBN: 978-91-87115-68-4 Innehåll 1. Inledning... 4 Vad materialet är och inte är...4 Materialets disposition...5

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Sociala strävansmål. De två övergripande områdena är: Normer och värderingar Ansvar och inflytande

Sociala strävansmål. De två övergripande områdena är: Normer och värderingar Ansvar och inflytande Skolans kunskapsmål I läroplanen, Lpo 94, finns kunskapsmålen för grundskolans undervisning beskrivna. Läroplanen anger dessa mål för år 5 och 9, men visar inte vilka detaljkunskaper eleverna ska uppnå.

Läs mer

Focus on English 9. Teacher s Guide with Projects

Focus on English 9. Teacher s Guide with Projects Focus on English 9 Teacher s Guide with Projects Focus on English är ett nyskrivet läromedel för åk 7 9. Goda engelskkunskaper är ett av elevernas viktigaste redskap för det livslånga lärandet. I boken

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 1. Procent och statistik Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Veckomatte åk 4 med 10 moment

Veckomatte åk 4 med 10 moment Veckomatte åk 4 med 10 moment av Ulf Eskilsson Innehållsförteckning Inledning 2 Utdrag ur kursplanen i matematik 3 Grundläggande struktur i Veckomatte - Åk 4 4 Veckomatte och det centrala innehållet i

Läs mer

Hur utforma en strategi för användande av sociala medier? Skapa nytta och nå fram i bruset

Hur utforma en strategi för användande av sociala medier? Skapa nytta och nå fram i bruset Hur utforma en strategi för användande av sociala medier? Skapa nytta och nå fram i bruset Och nu då? När sociala medier, som vi känner dem, blivit en självklarhet. Whats next? Fyra konkreta råd

Läs mer

Kunskapen tar form LAU 150

Kunskapen tar form LAU 150 Kunskapen tar form LAU 150 Akademisk bildning och professionell kompetens i ett historiskt perspektiv Lennart G Svensson 1. Vad är ett universitet? 2. Vad betyder bildning? 3. Vad menas med professionell

Läs mer

Teknikprogrammet Klass TE14A, Norrköping. Jacob Almrot. Självstyrda bilar. Datum: 2015-03-09

Teknikprogrammet Klass TE14A, Norrköping. Jacob Almrot. Självstyrda bilar. Datum: 2015-03-09 Teknikprogrammet Klass TE14A, Norrköping. Jacob Almrot Självstyrda bilar Datum: 2015-03-09 Abstract This report is about when you could buy a self-driving car and what they would look like. I also mention

Läs mer

Vad Gud säger om Sig Själv

Vad Gud säger om Sig Själv Lektion 3 Vad Gud säger om Sig Själv Treenighetens mysterium uppenbaras endast i Bibeln Guds stora plan är att frälsa genom tron allena på vår Frälsare. Denna plan kan förstås och trodd av det minsta barn

Läs mer

Microsoft Office Excel, Grundkurs 1. Introduktion

Microsoft Office Excel, Grundkurs 1. Introduktion Dokumentation - Kursmaterial Innehåll 1. Introduktion 1.1. Programfönster 1.2. Inskrift och redigering 1.3. Cellformat 1.4. Arbeta med formler Kursövning E1.xlsx Egna Övningar E1E.xlsx - OnePRO IT, Bengt

Läs mer

Samhällskunskap. Ett häfte om. -familjen. -skolan. -kompisar och kamratskap

Samhällskunskap. Ett häfte om. -familjen. -skolan. -kompisar och kamratskap Samhällskunskap Ett häfte om -familjen -skolan -kompisar och kamratskap 1 I det här häftet kommer du att få lära dig: Vad samhällskunskap är Hur olika familjer och olika slags vänskap kan se ut Hur barn

Läs mer

Matematik. Arbetslag: Gamma Klass: 8 S Veckor: 34-39 HT 2015

Matematik. Arbetslag: Gamma Klass: 8 S Veckor: 34-39 HT 2015 Matematik Arbetslag: Gamma Klass: 8 S Veckor: 34-39 HT 2015 Tal Vad kan subtraktionen 4 7 innebära? Kan något vara mindre än noll? De här frågorna sysselsatte matematiker i många århundranden. Så länge

Läs mer

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att:

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: Matematik Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska

Läs mer