Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 22 mars 2006

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 2070 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 22 mars 2006 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 22 mars 2006 Uppgift 1 a) Eftersom T x är likformigt fördelad, vilket innebär att f x (t) = = 1/(ω x), 0 < t < ω x, får vi P (T x t) = t ω x, 0 < t < ω x, vilket ger att l(x + t) = ω x t ω x, 0 < t < ω x. Vidare gäller att µ x+t = l (x + t)/l(x + t) vilket ger att µ x+t = 1 ω x t, 0 < t < ω x.

2 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars b) Eftersom T 20 är likformigt fördelad på intervallet (0, ω 20) innebär det att e 20 = (ω 20)/2 = 60. Vidare gäller för denna fördelning att σ 2 (T 20 ) = (ω 20) 2 /12. Detta ger då att σ 2 (T 20 ) = /12 = Uppgift 2 a) Sannolikheten att minst en av dem lever efter 50 år är lika med, med sedvanliga antaganden om oberoende mellan individernas återstående livslängder, ett minus sannolikheten att båda har avlidit vilken ges av ( 1 1 l(65) l(15) ) ( 1 l(66) ) l(16) Kapitalvärdet kan skrivas som = l(65) l(15) + l(66) l(16) l(65) l(15) l(66) l(16) [ D(65) A = D(15) + D(66) D(16) l(65) = l(15) l(66) [ D(65) D(15) + D(66) D(16) ] l(16) e 50 δ D(65, 66) D(15, 16) a 0 (10) = ] a 0 (10). Observera att ingen uppgift ges om vem som skall ha pengarna, ej heller är utbetalningen villkorad av mer än att någon skall leva efter 50 år. Vad som händer därefter påverkar inte utbetalningen. b) Ett rimligt enkelt sätt är att utveckla annuiteterna i termer av kommutationsfunktioner. Det görs enklast genom att vi först skriver om likheten. Vi får M(x + s) M(x + s + n) = ( ) l(x + s + n) 1 = (1 δ a 1 (x + s; n)) δ l(x + s) δ a 0(n)

3 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Vidare gäller att samt att a 0 (n) = 1 e δn δ 1 δ a 1 (x + s; n) = D(x + s + n) + M(x + s) M(x + s + n). Vi får då l(x + s + n) l(x + s) ( ) 1 δ δ a l(x + s + n) ( ) 0(n) = 1 (1 e δn ) = l(x + s) D(x + s + n) = och därmed följer påståendet. Uppgift 3 Beviset låter sig enklast göras med hjälp av induktion. Till att börja med ser vi att påståendet är sant för x = 1 eftersom l(1) = 1 q 0. Nästa steg är att anta att påståendet är sant för x = k, det vill säga att l(k) = k 1 i=0 (1 q i). Slutligen gäller att visa att då är påståendet också sant för x = k + 1. Men eftersom l(k + 1) = l(k)(1 q k ) så är påståendet sant för alla x. Uppgift 4 Försäkringen är ett exempel på en temporär uppskjuten ålderspension med, i det här fallet, en indexerad förmån. Indexeringen bestäms av intensiteten δ r som alltså skiljer sig från diskonteringsintensiteten δ.

4 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Mot bakgrund av att individen är x år när försäkringen tecknas, att utbetalning från försäkringen sker i åldersintervallet (z, z + s) samt med användande av de två intensiteterna för indexeringen respektive diskonteringen kan kapitalvärdet av förmånen, vid durationen 0, skrivas som s A = L = L e δ r(z x) 0 s 0 e δ(z x+t) l(z + t) e δrt dt = l(x) e (δ δ r)(z x+t) l(z + t) dt = l(x) = L e δ r(z x) N (z) N (z + s) D (x) där N ( ) är beräknad med ränteintensiteten δ δ r. Nämnaren D (x) är obekväm när vi skall härleda Thieles differentialekvation där det är bekvämare att ha D(x) i nämnaren. Vi konstaterar att D (x) = e δrx D(x) vilket ger att A = L e δ rz N (z) N (z + s) D(x) Nästa steg är att studera A(t) samt B(t) vid olika durationer. Vi kan då skriva L e δ rz N (z) N (z+s), 0 < t z x A(t) = L e δrz N (x+t) N (z+s), z x < t z x + s. Eftersom försäkringen skall löpa med en konstant årlig premie, P = P x, får vi B(t) = { P N(x+t) N(x+n), 0 < t n 0, n < t z x + s.

5 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Värdefunktionen kan nu skrivas som V (t) = A(t) B(t) vilket, för att vara lite mer noggrann, blir V (t) = L e δ rz N (z) N (z+s) P N(x+t) N(x+n), 0 < t n L e δrz N (z) N (z+s), n < t z x L e δrz N (x+t) N (z+s), z x < t z x + s. När vi nu skall slutföra härledningen av Thieles differentialekvation, genom att multiplicera V (t) med D(x + t), derivera med avseende på t samt dividera med D(x + t), noterar vi att vi behöver derivera N (x + t) med avseende på t. Vi får att d dt N (x + t) = e δr(x+t) D(x + t). Om vi nu multiplicerar ekvationen för värdefunktionen med D(x + t) och deriverar kan det vänstra ledet skrivas dv (t)d(x + t) dt = V (t) D(x + t) (µ x+t + δ) V (t) D(x + t). Högerledet delas egentligen upp i tre delar som ses i skrivningen av V (t). För 0 < t n faller utbetalningstermen bort i deriveringen. Likadant för n < t z x. För z x < t z x + s blir det kvar en term, enligt deriveringen av N (x + t) ovan. Premietermen lämnar också ett bidrag för 0 < t n. Sammantaget får vi då, efter att ha organiserat om termerna en del, δv (t) + P + µ x+t V (t), 0 < t n V (t) = δv (t) + µ x+t V (t), n < t z x δv (t) L e δr (t (z x)) + µ x+t V (t), z x < t z x + s. och därmed har vi alltså härlett Thieles differentialekvation för en indexerad uppskjuten temporär ålderspension.

6 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Uppgift 5 Detta är ett exempel på en tvålivsförsäkring. Premieekvationen kan skrivas som A = B, vilken kan formuleras som A = B = P a 2 (x, y; 40 x). där vi använt gängse beteckningar för annuiteter. Utbetalningen A från försäkringen kan delas upp i två delar. Den första delen hänför sig till den tid som är kopplad till om den försäkrade avlider i åldersintervallet (40, 60). Vid durationen 40 x kan kapitalvärdet skrivas som A 1 = L 1 (a 1 (y + 40 x; 20) a 2 (40, y + 40 x; 20)). Observera att vid durationen 40 x är den medförsäkrade y + 40 x år gammal och utbetalningen kan komma att pågå i 20 år. Kapitalvärdet av den andra delen av utbetalningen, diskonterat till durationen 60 x, ges då av A 2 = L 2 (a 1 (y + 60 x) a 2 (60, y + 60 x)). Kvar återstår att diskontera respektive kapitalvärde till durationen 0 vilket görs med relationen A = D(40, y + 40 x) [ ] D(60, y + 60 x) A 1 + D(40, y + 40 x) A 2. Vi har därmed härlett de komponenter som behövs för att formulera premieekvationen.

7 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Lösningen på uppgiften kan också uttryckas med hjälp av kommutationsfunktioner. Genom att använda definitionerna på annuitetsfunktionerna får vi N(y + 40 x) N(y + 60 x) A 1 = L 1 D(y) N(40, y + 40 x) N(60, y + 60 x) L 1. Vidare får vi, på samma sätt, N(y + 60 x) A 2 = L 2 D(y) N(60, y + 60 x) L 2. Slutligen gäller också att B = P N(x, y) N(40, y + 40 x) och vi kan då, med lite arbete, formulera premieekvationen A = B med hjälp av kommutationsfunktioner.