STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, EA, GA, ML 14 december 2009

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT8003 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, EA, GA, ML 14 december 2009 Tentamen i Livförsäkringsmatematik II, 14 december 2009 Examinator: Gunnar Andersson Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling som bifogas till tentamen. Valfri miniräknare. För godkänt på kursen (betygen A-E) krävs minst 8 poäng på var och en av de tre delarna. Utöver detta sätts betygen enligt följande gränser. Betyg A B C D E 50p 45p 36p 30p 24p Del 1 Uppgift 1 Antag att vi vill beskriva en enkel försäkring för avgångsbidrag p.g.a. arbetsbrist som även innefattar situationen där en person ofrivilligt tvingas gå ner i arbetstid p.g.a. arbetsbrist. Vi tänker oss att den här försäkringen kan beskrivas med följande fyra tillstånd: Tillstånd 3: personen arbetar heltid, har ej tidigare varit tvungen att gå ner i arbetstid p.g.a. arbetsbrist Tillstånd 2: personen arbetar deltid motsvarande andelen a av heltid p.g.a. arbetsbrist Tillstånd 1: personen arbetar heltid, har tidigare varit tvungen att gå ner i arbetstid p.g.a. arbetsbrist

2 Tentamen Livförsäkringsmatematik II, 14 december Tillstånd 0: personen är uppsagd eller har avslutat försäkringen a) Rita upp tillståndsgrafen som beskriver hur personer kan förflytta sig mellan de olika tillstånden då de enda övergångsintensiteterna som är skilda från 0 är µ 32, µ 30, µ 21, µ 20, µ 12 samt µ 10. b) Antag att µ 30 = µ 21 = µ 10 = µ/2, µ 32 = µ 12 = µ samt att µ 20 = 2µ. Om vi dessutom antar att betalningar sker enligt följande: så länge personen som är försäkrad befinner sig i tillstånd 3 görs premieinbetalningar b, där b > 0, och så länge den försäkrade befinner sig i tillstånd 1 eller 2 görs premieinbetalningar b, där b > 0. Utöver dessa betalningar görs utbetalningar vid förflyttningar mellan tillstånd enligt: Förflyttning 3 0: B kronor betalas ut Förflyttning 3 2: (1 a)b kronor betalas ut Förflyttning 2 0: ab kronor betalas ut Förflyttning 1 0: ab kronor betalas ut där 0 < a < 1. Ställ upp Thieles differentialekvationer för reserverna V i (t), i = 1, 2, 3, under antagandet att räntan är r(t) = r > 0 för alla t. c) Om vi antar att betalningar sker enligt uppgift b) men att µ 32 = µ, µ 20 = 2µ och µ 30 = µ/2 är de enda övergångsintensiteterna som är skilda från 0. Beräkna reserverna V i (t), i = 2, 3, då vi antar att sluttiden T = + och bestäm b så att premien blir rättvis givet start i tillstånd 3 under ovan givna antaganden. Uppgift 2 Vi är nu intresserade av att beskriva en livförsäkring för två liv som beskrivs av följande fyra tillstånd: Tillstånd 3: båda personerna är vid liv Tillstånd 2: person 2 har avlidit, men person 1 är vid liv Tillstånd 1: person 1 har avlidit, men person 2 är vid liv

3 Tentamen Livförsäkringsmatematik II, 14 december Tillstånd 0: båda personerna har avlidit Förflyttningar mellan de ovan angivna tillstånden sker enligt övergångsintenstiteterna µ 32 (t), µ 31 (t), µ 20 (t) samt µ 10 (t) och övriga intensiteter är 0. a) Rita upp tillståndsgrafen som beskriver försäkringens olika tillstånd. Är systemet markovskt eller semi-markovskt? om du anser att systemet är markovskt, är det i så fall stationärt eller icke-stationärt? Motivera ditt svar tydligt. b) Ställ upp ekvationer för övergångssannolikheterna som beskriver var systemet befinner sig vid t givet att systemet nu, vid s = 0, befinner sig i tillstånd 3. OBS: Ta endast med de övergångssannolikheter som är skilda från 0. Del 2 Uppgift 3 Beskriv vad som menas med försäkringstekniska grunder. Ange också de huvudsakliga frågeställningarna som regleras i de försäkringstekniska grunderna. Inga väsentliga delar skall utelämnas. Uppgift 4 Ange den så kallade Pensionsförsäkringsmatematikens huvudsats samt bevisa dess giltighet. Del 3

4 Livförsäkringsmatematik II Tentamensuppgifter december 2009 Ett fondförsäkringsbolag säljer en livförsäkringsprodukt som ger försäkringsersättning i form av ett dödsfallsbelopp på tio gånger fondvärdet vid dödsfall före försäkringens slutålder, och fondvärdet tillbaka om den försäkrade överlever till försäkringens slutålder. Försäkringen har löpande premiebetalning i form av en årspremie som betalas i början av året. Den kan återköpas. De avgifter som tas ut av försäkringarna är: En avgift som är proportionell mot premien, en avgift som är proportionell mot premiereserven, en återköpsavgift, samt en riskavgift motsvarande den tekniska dödligheten. 1. Under våren drabbades landet av en allvarlig epidemi av fårinfluensa. Den ledde till att antalet dödsfall under året blivit mycket fler än förväntat, men epidemin gick hastigt över och förväntas inte återkomma. Året är nu slut och du skall rapportera hur det gått under året under följande rubriker a) Värde av nytecknad affär b) Effekt på årets resultat av årets avvikelser från gjorda antaganden c) Effekt på portföljvärdet av årets avvikelser från gjorda antaganden d) Förändringar i portföljvärde orsakade av förändringar i antaganden Vad kan en sådan rapport förväntas innehålla för korta kommentarer under de olika rubrikerna med anledning av fårinfluensaepidemin. 2. Beskriv kortfattat tanken bakom att skapa en modellportfölj som underlag för sina beräkningar av lönsamhet eller reserver för ett försäkringsbestånd. 3. Beskriv hur försäkringsprodukten efterlevandepension fungerar 4. Bifogat är ett utdrag ur en kommutationsfunktionstabell (diskret notation). Beräkna med hjälp av den: a) Engångspremie för en T-försäkring, teckningsålder 45, slutålder 60, försäkringsbelopp kronor. b) Premiereserven för denna försäkring vid ålder 55. c) Löpande konstant årlig premie, premiebetalningstid ålder 40-64, för en försäkring som ger kr årligen i livränta från ålder 65 till 74 och ett engångsbelopp på vid ålder 75 om försäkringstagaren fortfarande är vid liv då. d) Premiereserven för denna försäkring vid ålder 70. e) Premiereserven för denna försäkring vid ålder 80.

5 Ålder 1000qx px lx vx Dx Nx dx Cx Mx Rx