Livförsäkringsmatematik II

Transkript

1 Livförsäkringsmatematik II Hantering av överskott Föreläsningar

2 Resultaträkningen Liksom alla andra företag redovisar livförsäkringsbolaget årets verksamhet i en resultaträkning. Resultaträkningens har i huvudsak följande poster: + premieinkomst + kapitalavkastning - utbetalningar - förändring av försäkringstekniska avsättningar - driftskostnader = resultat Uppställningen är ganska märklig ur flera synpunkter. Den visar driftskostnader men inga intäkter. Den visar intjänad kapitalavkastning men ingen kapitalavkastning tillförd försäkringstagarna och det syns bara i en post (förändring av försäkringstekniska avsättningar) att det rör sig om försäkringsrörelse. Det är denna post som rymmer all förklaring. Livförsäkringsbolag gör utfästelser om avtalade utbetalningar långt framåt i tiden. Exempel: pensioner med avtalade premier och avtalade pensionsbelopp D-försäkring med avtalade premier och avtalat belopp vid dödsfall eller vid försäkringstidens slut Eftersom utfästelserna är garanterade i försäkringsavtal är det nödvändigt att göra försiktiga antaganden om framtida kapitalavkastning dödlighet driftskostnader Det är därför normalt att livförsäkringsbolag ger vinst. Detta avsnitt i Livförsäkringsmatematik II handlar om hur bolagen hanterar den uppkomna vinsten. Denna gång ska vi analysera vinsten och se vad i försäkringsrörelsen som kan generera vinst. Hanteringen av vinsten sker sedan med hjälp av s. k återbäringsteknik. Livförsäkringsbolagen i Sverige var till för några år sedan förbjudna i lag att dela ut vinst till sina ägare. De flesta livbolagen är ömsesidiga, dvs. saknar andra ägare än sina försäkringstagare. All vinst i dessa kommer därför försäkringstagarna till godo. Några är livförsäkringsaktiebolag och av dem kommer endast Handelsbanken Liv att dela ut vinst till ägarna. I den s.k. C-rapporten görs en analys av resultatet i livförsäkringsrörelsen. Där uppdelas resultatet efter sina vinstkällor. För en normal traditionell livförsäkringsrörelse är de väsentliga posterna: dödlighet

3 driftskostnader säkerhetsbelastningar kapitalavkastning Analysen grundar sig på resultaträkningen och Thiele s differentialekvation i integrerad form. Resultaträkningen är alltså: + premier P + kapitalavkastning AVK - utbetalningar U - ökning av försäkringstekniska avsättningar V - driftskostnader DKO = resultat Här är premierna P de verkligt betalda premierna. Kapitalavkastningen AVK innefattar såväl direktavkastning som realiserade och orealiserade värdeförändringar. Utbetalningarna U är utbetalningar enligt försäkringsavtalen, alltså inte utbetald återbäring. Den senare påverkar inte resultatet, eftersom det endast handlar om utbetalning av från tidigare år uppsamlade vinstmedel. Thiele s differentialekvation är schematiskt dv dt = δv µ ( S V ) + P U ε Här är P och U premie- respektive utbetalningsintensiteter. S är reservens värde efter försäkringsfall, så S-V är risksumman. Avdragstermen ε DKO står för intensitet för driftskostnadsuttag, som kan härröra från belastningar på premie, utbetalning, ränta och dödlighet. Om ekvationen integreras över en period fås DKO V = grundränta riskpremie + P U- driftskostnadsuttag där nu P och U får betyda in- respektive utbetalda belopp. Denna ekvation gäller för en försäkring för en period då försäkringsfall inte inträffar. Vid försäkringsfall förfaller risksummor. För hela rörelsen måste man därför tillfoga dessa. Man får då V = grundränta riskpremie + P - U driftskostnadsuttag + förfallna risksummor Om dessa termer införs i resultaträkningen får den formen: +riskpremie förfallna risksummor + driftskostnadsuttag - DKO + AVK - grundränta = resultat

4 Detta är uppställningen i C-rapporten, och här kan livförsäkringsrörelsens tre vinstkällor analyseras. Livförsäkringsrörelsens vinstkällor är alltså: riskrörelsen driften kapitalavkastningen och i analysen studerar man frågeställningarna tar bolaget ut tillräckligt mycket riskpremier för att täcka de förfallna risksummorna är driftskostnadsuttagen tillräckligt stora föra att täcka de verkliga driftskostnaderna ger avkastningen på bolagets tillgångar tillräckligt för den grundränta som man räknar med vid bestämningen av förmånerna

5 Balansräkningen Balansräkningen har uppgifter om bolagets tillgångar T och skulder S. I ett livförsäkringsbolag utgörs tillgångarna huvudsakligen av placeringstillgångar, och dessa utgörs mest av aktier, fastigheter och obligationer. För livförsäkringsbolag gäller vissa restriktioner beträffande hur medlen får placeras. Bl. a. måste bolaget kunna täcka belopp svarande mot livförsäkringsavsättningarna FTA med tillgångar som huvudsakligen består av obligationer och som till högst 25 % består av aktier. I ett normalt svenskt livförsäkringsbolag är värdet av tillgångarna mycket större än FTA. För Skandia Liv gällde vid slutet av 2003 följande: Tillgångar T Skulder S Aktier 36 % Konsolideringsfond 29 % Fastigheter 13 % FTA 67 % Obligationer 44 % Övrigt 4 % Övrigt 6 % T = S gäller alltid. Skillnaden mellan T = S och FTA är i huvudsak Konsolideringsfonden. Den kan uppfattas som bolagets ackumulerade överskott. Konsolideringsfonden ökar varje år med årets vinst och minskar med utbetald återbäring. Nästan alla svenska livförsäkringsbolag arbetar efter ömsesidiga principer; ingen utdelning sker till ägare. Undantag är nu Handelsbanken Liv, som är ett aktiebolag och tänker dela ut del av vinsten till ägarna. Även Skandia Liv är ett aktiebolag, men delar inte ut någon vinst till sin ägare, moderbolaget i Skandiakoncernen. Livförsäkringsbolag som deklarerat att inte dela ut vinst till ägare får spara överskottsmedlen i Konsolideringsfonden. För andra gäller andra regler. Vi går inte in på dessa regler här. Det självklara villkoret för att ett livförsäkringsbolag ska vara solvent är förstås att tillgångarnas värde täcker värdet av de garanterade förpliktelserna, dvs. att T > FTA. Men det räcker inte med det. Finansinspektionen kräver att bolaget ska ha en solvensmarginal, som huvudsakligen beräknas som Solvensmarginal = 4 % av FTA + 1 av positiva risksummor Hur ska överskottsmedlen fördelas till försäkringstagarna? Man bildar en retrospektiv reserv V på individnivå, och vars summa på bolagsnivå ska ta i anspråk lagom mycket av skuldsidan. Balansräkningen har då utseendet

6 Tillgångar T Skulder S Aktier 36 % Kollektivt konsolideringskapital KKK - 5 % Fastigheter 13 % Retrospektiv reserv V 105 % Obligationer 44 % Övrigt 6 % V på individnivå utgör det förespeglade utökade försäkringskapitalet, som normalt är högre än den individuella premiereserven eller återköpsvärdet. Skillnaden mellan T = S och V på bolagsnivå är det Kollektiva konsolideringskapitalet KKK, som man vill hålla på en rimlig nivå. Normalt är att styra den kollektiva konsolideringsgraden KKK/V mot 5 eller 10 %. Idag ligger dock de flesta bolag med negativt KKK, dvs. T < V. Det är väldigt viktigt att i information till försäkringstagarna betona att V inte svarar mot en utökad avtalad förmån. Det ursprungligt avtalade försäkringsavtalet gäller oförändrat, men V ger en antydan om hur stora utbetalningarna kan bli. Med V får försäkringstagaren en andel av bolagets uppsamlade vinstmedel. Men värdet av V är inte garanterat. Tekniken med retrospektiv reserv tillämpas allmänt inom svensk livförsäkring. Den har två viktiga goda egenskaper: de avtalade förmånerna bibehålls, så placeringsrestriktionerna behöver bara tillämpas på oförändrade FTA. Om man hade ökat de avtalade förmånerna hade FTA ökat. Man kan allokera stor del av överskottsmedlen till försäkringstagarna. Det är inte så allvarligt om KKK tillfälligtvis skulle bli negativt. Om däremot T < FTA, dvs. konsolideringsfonden vore negativ, är bolaget konkursmässigt, och då måste man antingen få in nya pengar eller omförhandla alla försäkringsavtalen. Det är en komplicerad process. Förändringen av T och V under en viss period ges av T = P U + Kapitalavkastning Driftskostnader V = P U + r V + Förfallna risksummor Riskpremier Avgifter Här är P = verkligt inbetalda premier U = verkligt gjorda utbetalningar till försäkringstagarna, alltså avtalade utbetalningar plus utbetald återbäring Kapitalavkastning = verklig kapitalavkastning omfattande direktavkastning samt realiserade och orealiserade värdeförändringar Förfallna risksummor, Riskpremier och Avgifter är alla på återbäringsplanet r = återbäringsräntan = den räntesats som V förräntas med Vid framskrivningen av V anpassar man riskpremierna någorlunda väl till värdet av förfallna risksummor och avgifterna någorlunda väl till driftskostnaderna. Det innebär att för att V ska följa utvecklingen av T, ska termen r V ligga nära Kapitalavkastningen. En vanlig modell att bestämma återbäringsräntan är följande. Man definierar en målkonsolideringsgrad m, som kan vara 5 eller 10 %. Dessutom definieras en

7 dämpningsfaktor d, som anger hur snabbt återbäringsräntan kommer att svara på förändringar i kapitalavkastningen. Den kan t.ex. sättas till 3 (år). Återbäringsräntan bestäms nu som r = förväntad kapitalavkastning + (T/V - 1 m)/d Formeln innebär att om den kollektiva konsolideringsnivår T/V är högre än 1+m, så sätts återbäringsräntan högre än den förväntade kapitalavkastningen, och tvärtom. Finansinspektionen kräver av livförsäkringsbolagen att de ska fastlägga en konsolideringspolicy, som ska ange inom vilket intervall bolaget avser hålla den kollektiva konsolideringsnivån och vad bolaget kommer att göra om den hamnar utanför. Det man kan ta till är att frångå den mjuka regleringsprincipen ovan och i stället ta till kraftigare åtgärder som momentan allokering eller reallokering av återbäringsmedel. Detta innebär att diskontinuerligt öka eller minska V.

8 Fördelning av överskott på individnivå I de flesta svenska livförsäkringsbolag fördelas överskott med retrospektivreservteknik. I vissa tjänstepensionsplaner används en enklare teknik. Vi återkommer till den senare. För varje försäkring bildas en retrospektiv reserv V. Den skrivs enligt en Thiele-liknande differentialekvation fram på samma sätt som återköpsvärdet. V svarar mot den utökade/förändrade försäkringen på samma sätt som återköpsvärdet svarar mot den avtalade. Den utökade/förändrade försäkringen kan väljas på flera sätt. Återköpsvärdet svarar mot försäkringens aktuella värde enligt försäkringsavtalet. Det beräknas oftast prospektivt, även om det till sin karaktär är en retrospektiv reserv. Vi betecknar det med Å. Vi har Å t = B A t P a t Här är B = avtalat försäkringsbelopp A t = kapitalvärdet av vid tidpunkten t återstående framtida utbetalningar à 1 krona enligt försäkringsavtalet P = avtalad premie a t = premiebetalningslivräntan à 1 krona Ekvationen kan tolkas så att återköpsvärdet plus framtida premier ska räcka till de framtida försäkringsersättningarna. Om vi nu har en retrospektiv reserv V, så kan vi beräkna hur mycket den räcker till. Vi skriver därför V t = B t A t P t a t och har här infört en modifierad försäkring. Här kan kapitalvärdena A t och a t vara beräknade enligt mer realistiska grunder än de som ingår i återköpsvärdet. Dehär grunderna kallas prognosgrunder, ett ganska dåligt namn, eftersom alla grunder inom livförsäkring handlar om prognoser. Återköpsvärdets grunder är normalt fastställda då försäkringen tecknades. Den förändrade försäkringen kan ha annan struktur än den ursprungliga. Det innebär att A t och a t kan ha annan form än A t och a t. Man skulle t.ex. kunna ha kortare återstående premiebetalningstid i den förändrade försäkringen än i den ursprungliga, eller göra den helt premiefri. Normalt ändras dock bara formen för A t, dvs förmånssidan; premiesidan brukar hållas oförändrad.. B t och P t är de vid tidpunkten t gällande beloppet respektive premien. Den retrospektiva reserven V uppfyller Thiele-ekvationen dv /dt = r V + P - U - µ (S - V ) Avg (Alla storheter här kan bero av tiden t.) Här är S kapitalvärdet av de utbetalningar som ska göras vid dödsfall. Normalt kan det skrivas S = B A + där A + är motsvarande kapitalvärde à 1 krona.

9 Beloppshöjning Den vanligaste formen för förändring av försäkringen är beloppshöjning eller uppblåsning. Då bibehålls den avtalade premien, P t = P, försäkringen har oförändrad struktur men försäkringsbeloppet förstoras med en förstoringsfaktor F t, så vi har B t = F t B. Om vi bortser från skillnaden i beräkningsgrunder får vi B A t = Å t + P a t F t B A t = V t + P a t varur F t = (V t + P a t )/( Å t + P a t ) I början av försäkringstiden, då det återstår mycket premiebetalning, är inte förstoringsfaktorn särskilt stor. Men då försäkringen är färdigbetald, t.ex. för en pension under utbetalning, är F t = V t/ Å t Premiesänkning Här bibehålls försäkringsförmånen, men den framtida premien minskas. Vi inför en minskningsfaktor M t sådan att P t = M t P, och får P a t = B A t - Å t M t P a t = B A t - V t Nu kan det ju hända att vid tiden t V t redan blivit så stort att det inte behövs någon framtida premiebetalning, dvs. att högerledet i sista ekvationen ovan är negativ. Då kan förstås M t sättas till noll. Men om så inte är fallet, sätter man M t = (B A t V t)/( B A t - Å t ) om V t < B A t Vinstsamling Här sparas allt överskott, dvs. det sätts inte under risk. Risksumman på V -planet (andra ordningens plan) R = S - V är samma som den ursprungliga: R = S Å, så S = S + V - Å. Då blir differentialekvationerna för V och Å lika sånär som på ett par termer som representerar ett sparande. Man får nämligen dv /dt = r V + P - U - µ (S - V) Avg och vi har ju då/dt = δ Å + P - U - µ (S - V) Avg så dv /dt = då/dt + r V - δ Å vilket också kan skrivas

10 (d/dt)(v - Å) = r (V - Å) + (r - δ) Å så beloppet V - Å deltar inte i riskrörelsen utan är ett rent sparande. Den vanligaste metoden är alltså beloppshöjning. Där gäller alltså efter premiebetalningstidens slut B t = F t B = (V t /Å t ) B. Under utbetalningstid räknas normalt beloppet om varje år. Hur blir det då med beloppets utveckling från år till åt, med tanke på utvecklingen av V, som i sin tur styrs av återbäringsräntan. Här har vi Pensionsförsäkringsmatematikens huvudsats. Se nedan. Annan teknik för fördelning av överskott än med retrospektiv reserv Speciellt bland pensionsförsäkringsbolag, särskilt bland sådana som förvaltar stora tjänstepensionsplaner, används en annan något mer schablonmässig metod att fördela överskotten. Rent schematiskt går det till på följand sätt. Man utgår från totala tillgångarna T och en realistisk uppskattning av pensionsåtagandena, i form av en premiereserv. Dessa består av pensioner under spartid och pensioner under utbetalningstid. Normalt ändrar men inte pensionerna under spartid. De följer sin avtalsmässiga utveckling. Man ändrar bara pensionerna som är under utbetalning. Alla deras reserver är proportionella mot deras pensionsbelopp, inklusive hittills gjorda höjningar. Man gör då en bedömning av hur mycket större man vågar göra den reserven, med hänsyn tagen till hur stor då skuldsidan blir i förhållande till tillgångssidan. Normalt har man den policyn att försöka höja utgående pensioner med t.ex. höjningen i basbeloppet. I så fall blir utgående pensioner värdesäkrade i förhållande till inflationen.

11 Pensionsförsäkringsmatematikens huvudsats Pengarna räcker precis om vi räknar och gissar rätt! Här ska visas att när man använder gängse teknik för bestämning av pensionsbelopp, så kommer pengarna att räcka, givet att antagandena om framtida avkastning och dödlighet infrias. Vi studerar en grupp individer av samma ålder som går i pension vid en tidpunkt, som vi betecknar t = 0. De har tillsammans kapitalet K 0. Utbetalning av pension sker för dem som lever vid varje tidpunkt t = 0, 1, 2, 3,. Tidsenheten är godtycklig; den kan t ex vara månad eller år. Andelen kapital som inte förfaller genom dödsfall mellan tidpunkterna t och t+1 antages prospektivt bli l t+1 / l t. Här kan vi godtyckligt sätta l 0 = 1. Andelen som förfaller genom dödsfall är alltså 1 - l t+1 / l t. Talen l t kan kallas ekonomiska överlevnadstal. Tillväxten av kapitalet genom avkastning på tillgångarna antas kunna representeras med räntesatsen r, så ett kapital som vid tidpunkten t har värdet K antas växa till K (1+r) vid tidpunkten t+1. Pensionsbeloppen beräknas med dessa antaganden ur kommutationsfunktionern D t och N t, definierade genom D t = l t (1+r) -t och N t = Σ v t D v = D t + D t+1 + D t+2 + Den prospektiva reserven, värderad vid tidpunkten t, för utbetalning av en pension livsvarig pension på beloppet 1 från och med tidpunkten t, är A t = N t /D t = 1 + (l t+1 /l t )/(1+r) + (l t+2 /l t )/(1+r) 2 + (l t+3 /l t )/(1+r) 3 + Talen A t kallas inom det nya pensionssystemet för delningstal. Man härleder lätt följande rekursiva relation: A t = 1 + (D t+1 /D t )A t+1 = 1 + A t+1 (l t+1 /l t )/(1+r) Om de levande vid tidpunkten t, före utbetalning av pensioner, tillsammans har kapitalet K t, så betalas ut som pension tillsammans beloppet B t = K t / A t. Varje individ får ett pensionsbelopp som är proportionellt mot sitt eget kapital. Om vi betecknar en enskild individs kapital med k t och hans pensionsbelopp med b t, så gäller alltså även b t = k t / A t. Hittills införda storheter ska i betrakta som prospektiva, dvs. syftande framåt i tiden. Låt den verkliga avkastningen på kapitalet representeras av räntesatsen r t * för tiden mellan t och t+1. Den verkliga ekonomiska dödligheten representeras på motsvarande sätt med tal l t *, där vi också satt l 0 * = 1. Andelen kapital som inte förfaller genom dödsfall är således l t+1 */l t *. Det sammanlagda kapitalet K t växer därför under perioden från t till t+1 med ränta till värdet K t (1 + r t *).

12 Tag nu en enskild individ, som vid tidpunkten t har kapitalet k t och som lever vid tidpunkten t+1. Hans kapital förändras under perioden av tre orsaker: utbetalning av beloppet b t, förräntning med räntan r t *, samt fördelning av de medel som förfallit genom dödsfall. Dessa medel fördelas som arvsvinster. De senare medlen fördelas proportionellt. Eftersom andelen l t+1 */l t * finns kvar, så kan varje kvarvarande krona skrivas upp till värdet l t */l t+1 *. Vi får därför k t+1 = (k t b t )(1+r t *)(l t */l t+1 *) Det belopp som ska betalas ut som pension till denna individ vid tidpunkten t+1 blir då b t+1 = k t+1 / A t+1 = (k t b t )(1+r t *)(l t */l t+1 *)/A t+1 = = k t (1 1/A t ) )(1+r t *)(l t */l t+1 *)/A t+1 = = k t ((A t 1)/A t+1 )(1+r t *)(l t */l t+1 *)/A t = = b t (l t+1 /l t )(l t */l t+1 *)(1+r t *)/(1+r) Relationen ovan innebär att om de verkliga ränte- och överlevnadstalen r t * och l t * överensstämmer med de antagna r respektive l t, så blir beloppet att utbetala oförändrat: b t+1 = b t. Om vi inför andelen kapital som försvinner genom dödsfall, p t, under tidsintervallet, så gäller l t+1 /l t = 1 p t respektive den verkliga l t+1 */l t * = 1 p t * Då kan relationen mellan beloppen skrivas b t+1 /b t =[(1 - p t )/(1 - p t *)] [(1 + r t *)/(1 + r)] 1 + (r t * - r) + (p t * - p t ) Högre verklig ränta och dödlighet än antagna leder alltså till att beloppet höjs.