DE 17 TAPETGRUPPERNA

Transkript

1

2

3 DE 7 TAPETGRUPPERNA Innehåll. Inledning. Matrisgrupper 3.. Isometrier 3.. Linjära matrisgrupper 3.3. Rotation och spegling 5 3. Den euklidiska gruppen Direkta och semidirekta produkter Sammansättning av den euklidiska gruppen 3.3. Förflyttning och förskjuten spegling De diskreta frisgrupperna Sammanställning av matrisgrupperna och den euklidiska gruppen 4 4. Kristallografiska rymdgrupper 6 5. Klassifikation av tapetgrupper Gitter och punktgrupper Antalet inekvivalenta kristallografiska rymdgrupper Resultat Slutsats Konstnärlig inspiration 44 Referenser 45 Bilaga A. Identifiering av kristallografiska rymdgrupper 46 Bilaga B. Exempel på mönster i tapetgrupper 47

4 DE 7 TAPETGRUPPERNA. Inledning Gruppteorin har blivit ett viktigt verktyg för studier av symmetrier. Den används framför allt inom ämnesområdena fysik och kemi för att beskriva kvantmekaniken och uppbyggnaden av kristaller. Det är speciellt matrisgrupper som har visat sig vara ett bra verktyg för sådana modeller av verkligheten. Inom matematiken har gruppteorin fått stor betydelse inom såväl algebra som geometri och funktionsteori. Det finns tre historiska rötter som under utvecklingen på 8-talet ledde fram till den abstrakta gruppteorin: teorin om algebraiska ekvationer, talteorin och geometrin. Under 88 lyckades Walter von Dyck ( och Heinrich Weber (84 93 att oberoende av varandra sätta samman de tre rötterna till en tydlig definition av en abstrakt grupp. Avstånd och bevarandet av avstånd är centrala begrepp i denna uppsats. Det är nämligen bevarandet av avstånd som ger symmetriska kompositioner, s. k. isometrier. Ett symmetriskt tapetmönster innebär att ett grundläggande motiv upprepas över hela tapeten. Beroende på hur motivet ser ut så kan det förflyttas, roteras och speglas. Dessa transformationer är de naturliga isometrierna som också kan sättas samman till godtyckliga isometrier. Enligt [], s. 6, är det tillräckligt om vi förutom de naturliga isometrierna sätter samman produkten av förflyttning och spegling. Denna sammansättning kallar vi förskjuten spegling. Det är isometrierna som vi representerar med element i matrisgrupperna och den euklidiska gruppen. Dessa grupper ligger till grund för den kristallografiska rymdgruppen som gör det möjligt att klassificera både tapetmönster och kristallstrukturer. Kommentar.. Vi kommer att använda kolumnvektorer x i det euklidiska planet R för att beskriva punkter i tapetmönster och tvådimensionella kristaller. I det generella fallet är det fråga om det euklidiska rummet R n som vi låter representeras av vektorrummet V. I detta vektorrum V använder vi standardbasen E = {e, e,..., e n }. För en linjär transformation T : V V gäller att [ T ] [ ] = T Mat (n, R är matrisen till T. Omvänt får vi med matrisen A Mat (n, R E,E att T A : V V, x Ax är en linjär transformation och även [ ] TA = A T [ T ] = T. Om en linjär transformation T A representeras med en matris A Mat (, R, tolkas detta som att T A multiplicerar areor med faktorn det(a. I fortsättningen låter vi V beteckna antingen vekttorrummet i R eller i R n, och I stå för antingen - eller n n-enhetsmatriser. Vilket av de två alternativen som ska gälla för respektive beteckning kommer att framgå av sammanhanget. Med mänden M definierar vi också den symmetriska gruppen som Dessutom låter vi Sym(M = { f : M M : f bijektiv }. Aut(V = { T : V V : T linjär och bijektiv } vara automorfigruppen på vektorrummet V. Sålunda är automorfigruppen delgrupp i den symmetriska gruppen i vektorrummet V.

5 DE 7 TAPETGRUPPERNA 3.. Isometrier.. Matrisgrupper Definition.. Låt kolumnvektorerna x = (x, x,..., x n V och y = (y, y,..., y n V vilket ger skalärprodukten x, y = x y y = (x, x,..., x n. = x y + x y + + x n y n. y n Definition.. Utifrån skalärprodukten defineras normen av en kolumnvektor x = (x, x,..., x n som x = x, x = x + x + + x n. Normen tolkas som längden av en vektor och på så sätt kan också avståndet mellan två vektorer beräknas. Definition.3. Avståndet mellan kolumnvektorerna x = (x, x,..., x n och y = (y, y,..., y n definieras som x y. Definition.4. En transformation T kallas avståndsbevarande eller isometri om y x, y V : T (x T (y = x y. Definition.5. Vi kan bilda den isometriska gruppen som mängden Iso(V = { T : V V : T bijektiv och x, y V : T (x T (y = x y }. Vi ser att den isometriska gruppen Iso(V är delgrupp i den symmetriska gruppen Sym(V... Linjära matrisgrupper. Grupper med element som är inverterbara n n- matriser har matrismultiplikation som operation. Därför representerar dessa element linjära transformationer. Definition.6. Mängden av alla inverterbara n n-matriser bildar en grupp som kallas den generella linjära gruppen GL(n, R. Gruppens sägs ha graden n. Om kompositionen är matrismultiplikation, är gruppens identitet n = I. Låt istället mängden av alla inverterbara n n-matriser bestå av inverterbara element som tillhör en ring R med en etta. Då kan vi beteckna gruppen av alla dessa matriser med GL(n, R. Definition.7. Den delgrupp i GL(n, R vars matriser har determinanten kallas den speciella linjära gruppen SL(n, R. Typiskt för transformationer som representeras med matriser i SL(, R är att dessa, som följd av att matrisernas determinanter alltid är, bevarar areor [7, ]. Definition.8. Den delgrupp i GL(n, R vars element är ortogonala matriser, dvs. A = A, kallas den ortogonala gruppen O(n. Transformationer som representeras med matriser i den ortogonala gruppen O(n har egenskapen att bevara vektorernas längder. Detta framkommer i den följande satsen. Sats.9. Låt A O(n och kolumnvektorerna x, y V vara godtyckliga. Då är följande påståenden ekvivalenta:

6 4 DE 7 TAPETGRUPPERNA i. Kolumnerna i den ortogonala matrisen A bildar en ortonormal mängd. ii. A = A. iii. Ax, Ay = x, y. iv. Ax Ay = x y. v. Ax = x. Bevis. (ii (i: Låt A O(n. Då får vi det(aa = det(i det(a = det(a det(a = det(a = AA = I. Låt a j vara kolumnvektorerna i den ortogonala matrisen A = [ a a ] a n. Vi får där Kroneckers delta är AA = I a r, a s = δ rs, δ rs = {, om r = s;, annars. Detta visar att alla skalärprodukter med distinkta kolumnvektorer a j är, dvs. alla a j är ortogonala. Samtliga a j har också normen. Alltså är alla a j ortonormala. (i (ii: Låt {a, a,..., a n } vara en ortonormal mängd av kolumnvektorer, dvs. så är Alltså får vi med att (ii (iii: (iii (ii: (iii (iv: a r, a s = δ rs, [ a a a n ] O(n. A = [ a a a n ] A = A. Ax, Ay = (Ax Ay = x A Ay = x Iy = x y = x, y. x, x = Ax, Ax = (Ax Ax = x A Ax = x, A Ax, x, x = x, A Ax x, x = x, Ix x, A Ax x, Ix = x, (A A Ix =, x V : x A A I = A = A. Ax Ay = A(x y = A(x y, A(x y = x y, x y = x y.

7 DE 7 TAPETGRUPPERNA 5 (iv (v: Sätt y =. Detta ger att (v (iii: Ax = Ax Ay = x y = x. Ax, Ay = [ Ax + Ay Ax Ay ] = [ A(x + y Ax Ay ] = [ x + y x y ] = x, y. Korollarium.. Låt den linjära transformationen T Iso(V. Då följer av sats.9 att [ T ] O(n och om matrisen A O(n så är T A Iso(V. Definition.. Snittet mellan O(n och SL(n, R kallas den speciella ortogonala gruppen SO(n. Givetvis är SO(n en delgrupp i GL(n, R. Elementen i SO(n är de matriser i O(n som har determinanten..3. Rotation och spegling. En isometri som roterar objekt med en positiv vinkel θ i vektorrummet V representeras av matrisen R i den ortogonala gruppen O(. Ett sådant element karakteriseras av att det(r =. Alltså är matrisen R även element i den speciella ortogonala gruppen SO(. Om en ortogonal -matris istället har determinanten - så representerar denna en isometri som speglar objekt i symmetriaxeln λ. Vi betecknar en sådan matris med S. Sats.. De ändliga delgrupperna i O( är antingen cykliska grupper, C n, eller diedergrupper, D n. Bevis. Låt G {}, G O( och A Mat (, R vara element i G. Vidare låter vi kolumnvektorerna x, x V och sätter matrisen A = [ x Detta ger att x och x är ortonormala, dvs. x ] O(. x = x = x, x =. För två enhetsvektorer gäller det samma, nämligen att e = e = e, e =. Geometriskt har vi att x x och e e. Vi låter matrisen A representera den linjära transformationen T A och får T A (e, T A (e = Ae, Ae = x, x =.

8 6 DE 7 TAPETGRUPPERNA Den geometriska tolkningen av detta är att den räta vinkeln mellan de två enhetsvektorerna bevaras med transformationen T A. Detta ger oss de möjliga kolumnvektorerna och x = (cos(θ, sin(θ ( x = (cos(θ + π, sin(θ + π ( x = (cos(θ, sin(θ (3 x = (cos(θ + 3π, sin(θ + 3π, (4 där vinkeln θ [, π]. Det första paret av kolumnvektorerna (, är rotationer med vinkeln θ av enhetsvektorerna e och e medan det andra paret av kolumnvektorerna (3, 4 är speglingar i symmetriaxeln λ av e och e. Om det(a = så följer att paret (, är den enda möjliga lösningen, dvs. transformationen T A utför rotation. I annat fall är det(a = som ger att paret (3, 4 är den enda möjliga lösningen. I det senare fallet utför transformationen T A spegling. Fall : Alla element i G har determinanten. Det finns åtminstone en rotation som har den minsta positiva vinkeln θ. Denna rotation låter vi representeras av R θ. Vi påstår att G är cyklisk och genererad av R θ. Låt R θ G, θ. Då gäller för något n Z + att Vi har ett element som kan skrivas nθ θ < (n + θ. R θ R n θ G R θ R n θ = R θ R nθ = R θ nθ. Med undantag för fallet θ = nθ representerar elementet en rotation med en positiv vinkel som är mindre än θ. Därför får vi R θ = R nθ = R n θ. Detta visar att alla element i G är potenser av matrisen R θ som ger att G är en finit cyklisk grupp. Fall : Det finns element i G som inte har determinanten. Antag att det finns en spegling som representeras av S i G. Låt homomorfin φ H : G {, }, A det(a, där -matrisen A G. Vidare sätter vi H = ker(φ H = { A : det(a = } som med homomorfisatsen för grupper ger att H G med [G : H] =. Eftersom matrisen S / H så följer kvotgrupperna G/H = {H, HS}. Detta ger att H måste vara en ändlig delgrupp i O( och vars element endast har determinanten. Från fall ( får vi att H måste vara cyklisk och genererad av en rotation som representeras av matrisen R. Antag att ord(r = n. Då får vi G = { I, R, R,..., R n, S, RS,..., R n S }.

9 DE 7 TAPETGRUPPERNA 7 Elementen i gruppen G följer relationerna R n = I S = I SRS = R = R n. En sådan grupp kallas diedergrupp.

10 8 DE 7 TAPETGRUPPERNA 3. Den euklidiska gruppen 3.. Direkta och semidirekta produkter. Den i sammanhanget viktiga euklidiska gruppen kan beskrivas som en yttre semidirekt produkt. Därför definierar vi först såväl inre som yttre direkta och semidirekta produkter. Definition 3.. Låt G vara en grupp under multiplikation och { G i : i =,,..., n } vara delgrupper i G. Om varje G i är normal delgrupp i G och varje element i G kan skrivas unikt på formen g = g g g n, där g i G i, så är G den inre direkta produkten av { G i : i =,,..., n }. Definition 3.. En grupp G är den inre semidirekta produkten av en delgrupp N med en delgrupp H om följande villkor är uppfyllda:. G = NH.. N G. 3. H N = {}. Sats 3.3. Om gruppen G är den inre semidirekta produkten av N med H, där N är normal delgrupp i G och H är delgrupp i G, så gäller att kvotgruppen G/N är isomorf med H. Bevis. Låt G vara grupp, N G, H G och H N = {}. Detta ger med den andra homomorfisatsen för grupper att G/N = NH/N H/(H N = H/ {} H. Sats 3.4. Låt G vara en inre semidirekt produkt av N med H. För varje element h i H är avbildningen ϑ h : N N, som definieras ϑ h (n = hnh, en automorfi av N. Avbildningen ϑ : H Aut(N som definieras av ϑ(h = ϑ h är en homomorfi. Bevis. Eftersom så har vi N G hnh N. Detta ger för godtyckliga n, n N och ett godtyckligt h H att ϑ h (n n = hn n h = hn h hn h = ϑ h (n ϑ h (n, dvs. ϑ h är en homomorfi. Om vi antar så följer att ϑ h (n = ϑ h (n hnh = hn h n = n. Alltså är homomorfin ϑ h injektiv. Dessutom ser vi att n N : ϑ h (h nh = n

11 DE 7 TAPETGRUPPERNA 9 som innebär att homomorfin ϑ h också är surjektiv. Därför är homomorfin ϑ h bijektiv, dvs. ϑ h är en automorfi av N. Slutligen visar vi att ϑ en är homomorfi, ty ϑ(h h (n = ϑ hh (n = (h h n(h h = h (h nh h = ϑ h (h nh = ϑ h (ϑ h (n = ϑ(h ϑ(h (n. Definition 3.5. Låt G och H vara grupper under multiplikation med elementen g G och h H. Då är den yttre direkta produkten G H mängden av alla ordnade par (g, h under multiplikationen (g, h (g, h = (g g, h h. Sats 3.6. Utgående från grupperna N och H, samt homomorfin ϑ : H Aut(N, h ϑ(h = ϑ h, låter vi G vara mängden av ordnade par { (n, h : n N, h H }. Då är G = N ϑ H en grupp under multiplikation som definieras (n, h (n, h = (n ϑ h (n, h h. Gruppen G kallas den yttre semidirekta produkten av N med H. Bevis. Vi låter N och H vara grupper och använder de fyra gruppaxiomen för att visa att också G är en grupp. i. G. Med godtyckliga element n, n N respektive h, h H får vi (n, h (n, h = (n ϑ h (n, h h. För det första elementet i paret (n ϑ h (n, h h gäller att n ϑ h (n N, ty ϑ h (n N. Eftersom H är en grupp så är h h H, dvs. det andra elementet i paret (n ϑ h (n, h h tillhör H. Alltså är (N, H = G sluten under den definierade gruppoperationen. ii. Med godtyckliga element n, n, n 3 N respektive h, h, h 3 H får vi ((n, h (n, h (n 3, h 3 = (n ϑ h (n, h h (n 3, h 3 = (n ϑ h (n ϑ hh (n 3, (h h h 3 = (n ϑ h (n ϑ h (ϑ h (n 3, h (h, h 3 = (n ϑ h (n ϑ h (n 3, h (h h 3 = (n, h (n ϑ h (n 3, h h 3 = (n, h ((n, h (n 3, h 3. Av detta framgår att elementparen i G är associativa under den definierade gruppoperationen. iii. Identiteten i G är paret (,, ty iv. Eftersom (n, h(, = (nϑ h (, h = (n, h = (ϑ (n, h = (, (n, h. (n, h(ϑ h (n, h = (nϑ h (n, hh = (nn, = (, så har varje element i G en högerinvers, dvs. g G : g G, gg =.

12 DE 7 TAPETGRUPPERNA Därför följer att Detta ger att h G : g h =. = g h = g h = g gg h = g g = g g så att g också har en vänsterinvers. Därmed har vi bevisat att är den dubbelsidiga inversen till (n, h. (v h (n, h Punkterna (i - (iv visar att G är en grupp. Kommentar 3.7. Om gruppen G i sats 3.6 istället skrivs G = H ϑ N så definieras gruppens multiplikation (h, n (h, n = (h h, n ϑ h (n. Korollarium 3.8. I denna följdsats används definitionerna enligt sats 3.6. Låt mängderna Ñ = { (n, : n N } och H = { (, h : h H }. Dessa är delgrupper i G och isomorfa med N respektive H. Då är Ñ = { (n, : n N } normal delgrupp i G och Ñ H = {(, }, dvs. G är den inre direkta produkten av Ñ med H, G = Ñ H. Bevis. i. Ñ. Med godtyckliga element n, n N får vi dvs. Ñ är sluten under multiplikation. (n, (n, = (n n,, ii. Identiteten i G är paret (, som också är identiteten i Ñ, ty iii. Eftersom (n, (, = (n, = (, (n,. (n, (n, = (n, (n, = (nn, = (, (n, (n, = (n, (n, = (n n, = (, så har varje elementpar i Ñ både höger och vänster invers som tillhör mängden Ñ. Enligt (i - (iii har vi där Ñ N. Ñ G, iv. H. Med godtyckliga element h, h H får vi (, h (, h = (, h h, dvs. H är sluten under multiplikation. v. Identiteten i G är paret (, som också är identiteten i H, ty (, h(, = (, h = (, (, h. vi. Eftersom (, h(, h = (, h(, h = (, hh = (, (, h (, h = (, h (, h = (, h h = (,

13 DE 7 TAPETGRUPPERNA så har varje elementpar i H både höger och vänster invers som tillhör mängden H. Punkterna (iv - (vi visar att H G, där H H. Då får vi Vi har också att dvs. vii. Vi har Eftersom (n, h = (n, (, h G = Ñ H. (n, h(n, (n, h = (n n, h(n, h = (n n n, hh = (n n n, N, Ñ G. Ñ H = { (n, : n N } { (, h : h H } = {(, }. Ñ G H G Ñ H = {(, } så är G den inre semidirekta produkten av Ñ och H, dvs. G = Ñ H. 3.. Sammansättning av den euklidiska gruppen. Lemma 3.9. En isometri f som fixerar origo i vektorrummet V är en linjär transformation. I synnerhet är f given av ett element i O(n. Bevis. i. Låt f vara en isometri med f( = och kolumnvektorerna x, y V vara godtyckliga. Eftersom f( = och f(x = x kan vi skriva ii. Låt x f(x, f(y + y = f(x f(x, f(y + f(y = f(x f(y, f(x f(y = f(x f(y = x y = x y, x y = x x, y + y x f(x, f(y = x, y. x x =. = x e + x e + + x n e n, x n vara en godtycklig kolumnvektor i V. Vi har x, e j = x j x = x, e e + x, e e x, e n e n.

14 DE 7 TAPETGRUPPERNA Eftersom f : V V, x f(x så får vi f(x = f(x, f(e f(e + f(x, f(e f(e f(x, f(e n f(e n. Enligt (i har vi Detta visar att isometrin f är linjär. f(x, f(e j = x, e j = x j f(x = x f(e + x f(e + + x n f(e n. Korollarium 3.. Om transformationen f Iso(V och f( =, är f Aut(V. Korollarium 3.. Om en linjär transformation T Iso(V så är detta ekvivalent med att [ T ] O(n. Korollarium 3.. Den ortogonala gruppen O(V = { T A : A O(n } är en delgrupp i den isometriska gruppen Iso(V. I synnerhet är Aut(V Iso(V = O(V. Definition 3.3. Låt A Mat (n, R. Vidare låter vi (R n, + och (O(n, vara grupper. Vi definierar E(n = O(n ϑ R n med homomorfin ϑ : O(n Aut(R n, A T A för någon kolumnvektor x V. E(n kallas den euklidiska gruppen under multiplikationen där A, A Mat (n, R och a, a V. (A, a (A, a = (A A, A a + a, Bevis. Avbildningen ϑ : O(n Aut(R n definieras dvs. ϑ(a = ϑ A : A T A, ϑ A (x = Ax. För godtyckliga x, x V och en godtycklig A O(n får vi ϑ A (x + x = A(x + x = Ax + Ax = ϑ A (x + ϑ A (x, dvs. ϑ A är en homomorfi. Om vi antar så följer att ϑ A (x = ϑ A (x Ax = Ax x = x. Alltså är homomorfin ϑ A injektiv. Dessutom är den linjära transformen T A (x = Ax som innebär att homomorfin ϑ A också är surjektiv. Alltså är ϑ A bijektiv och en automorfi av R. Låt matriserna A, A O(n vara godtyckliga. Då får vi för någon kolumnvektor x V att dvs. ϑ är en homomorfi. ϑ(a A (x = ϑ AA (x = (A A x = A (A x = ϑ A (ϑ A (x = ϑ(a ϑ(a (x, Sats 3.4. Avbildningen φ : E(n Iso(V, (A, a T (A,a är en gruppisomorfi.

15 DE 7 TAPETGRUPPERNA 3 Bevis. Låt varje elementpar (A, a E(n representera en transformation T (A,a (x = Ax + a, där kolumnvektor x V är godtycklig. Låt x, x V vara godtyckliga. Då får vi T (A,a (x T (A,a (x = (Ax + a (Ax + a = ty matrisen A O(n. Detta ger att A(x x = x x, (A, a : T (A,a Iso(V. Låt elementparen (A, a, (A, a E(n som ger att φ((a, a (A, a (x = φ((a A, A a + a (x = T (AA,A a +a (x = A A x + A a + a = A (A x + a + a = T (A,a T (A,a (x = φ((a, a φ((a, a (x. Detta ger att φ är en homomorfi. Eftersom så är dvs. φ är injektiv. Låt transformationen med inversen x V : Ax + a = x (A, a = (I, ker(φ = {(I, }, T a (x = x + a T a (x = x a. Vidare låter vi f Iso(V fixera origo för en kolumnvektor a V med T a f, dvs. T a f( = T a (a = a a =. Eftersom T a f fixerar origo så följer att det existerar en matris A O( sådan att den representerade transformationen T A = T a f T a T A = T a T a f f = T a T A = T (A,a = φ((a, a. Därför är φ surjektiv. Sålunda är homomorfin φ : E(n Iso(V, (A, a T (A,a bijektiv, dvs. en isomorfi. Kommentar 3.5. Sats 3.4 visar att varje isometri kan skrivas som produkt av en förflyttning och en ortogonal transformation. Det senare är i fallet n = antingen en spegling eller en rotation.

16 4 DE 7 TAPETGRUPPERNA 3.3. Förflyttning och förskjuten spegling. Definition 3.6. Låt kolumnvektorn a V. Vi definierar T a som den affina transformationen T a : V V, x x + a. Isometrin T a är geometriskt tolkat en förflyttning av kolumnvektorn x med kolumnvektorn a. Sammansättningen av T A och T a ger T (A,a (x = T a T A (x = Ax + a. Alltså representerar elementparet (I, a i den euklidiska gruppen E(n isometrin dvs. T (I,a (x = x + a, T a = T (I,a. Kommentar 3.7. Det är möjligt att sätta samman kombinationer av de tre naturliga isometrierna. Med produkten av en förflyttning och en spegling fås transformationen förskjuten spegling, (eng. Glide Reflection. Denna transformation tillsammans med de tre naturliga isometrierna är (som tidigare har nämnts tillräckliga för att kunna beskriva alla förekommande isometrier i vektorrummet V. Definition 3.8. Låt matrisen S O( tillsammans med kolumnvektorn a V utgöra ett elementpar (S, a E(. Matrisen S representerar en spegling, dvs. det(s =. Då kan vi sätta samman isometrin förskjuten spegling med T (S,a (x = T a T S (x = Sx + a De diskreta frisgrupperna. Som exempel på isometriska grupper Iso(V vars element representerar förflyttningar, rotationer, speglingar och förskjutna speglingar, tar vi de diskreta frisgrupperna. Dessa grupper används för att beskriva mönster med ändliga bredder och höjder som upprepas längs baslinjer. Dessa upprepade mönster återfinns i dekorationer och konst, som t. ex. tapetborder, målade motiv på väggar, ornament på fasader, utsmyckningar av mosaik och dekorationer på kärl. Det är till och med möjligt låta frisgrupper beskriva strukturer hos växter och djur [3]. Frisgrupperna är sju till antalet och isomorfa med en av Z, D, Z Z eller D Z. Se [3, 4, 9]. D betecknar en icke-abelsk grupp som genereras av förflyttningar av oändlig ordning och rotationer av ordningen. Mängden i Z n består av alla de rester som kan fås under heltalsdivision med n Sammanställning av matrisgrupperna och den euklidiska gruppen. GL(n, R, SL(n, R, O(n och SO(n är grupper under matrismultiplikation. Detta innebär att en kolumnvektor x V avbildas med transformationen T A (x = Ax, där A Mat (n, R. Däremot är elementen i den euklidiska gruppen E(n ordnade par av matriser i O( och tillhörande kolumnvektorer i V, dvs. (A, a. I E(n används gruppoperationen (A, a (A, a = (A A, A a + a, där (A, a, (A, a E(n. Om vi låter paret (I, x representera den kolumnvektor x V som ska avbildas, ger gruppoperationen att transformationen kan skrivas T (A,a (x = Ax + a,

17 DE 7 TAPETGRUPPERNA 5 där (A, a E(n. Alltså får vi T (A,a = T a T A. Grupp Mängd Vissa egenskaper Transformationer i planet R GL(n, R { A Mat (n, R : det(a } är bijektiva och linjära. Transformationer i planet R SL(n, R { A GL(n, R : det(a = } som bevarar areor. Transformationer i planet R O(n { A GL(n, R : A = A } som bevarar avstånd. Transformationer i planet R SO(n { A GL(n, R : A = A det(a = } som bevarar både areor och avstånd. Transformationer i planet R E(n { (A, a : A = A a R n } innefattar alla de naturliga isometrierna. Tabell 3.. Matrisgrupperna och den euklidiska gruppen.

18 6 DE 7 TAPETGRUPPERNA 4. Kristallografiska rymdgrupper Kristallografi innebär studiet av distinkta karaktäristikor hos kristaller. En kristalls karaktäristika baseras på upprepningen av ett geometriskt objekt, dvs. ett grundläggande motiv. En kristall kan analogt ses som en tredimensionell upprepning av ett tapetmönster. I verkligheten är de grundläggande motiven klungor av atomer. Dessa sätts samman till en komplett kristall efter en regelbunden struktur. Geometrin hos dessa klungor av atomer och de symmetrier som tillåts i kristallernas strukturer ligger till grund för klassifikationen av kristaller. Med hjälp av matematiska beskrivningar kan det visas att en kristall uppvisar endast en av 9 möjliga former []. Tapetmönster är begränsade till det euklidiska planet R och kan betraktas som tvådimensionella kristaller. Trots detta kommer väsentliga principer fram under studiet av tapetmönster. Kommentar 4.. Sedan tidigare har vi att vektorrummet V representerar det euklidiska rummet R n. I vektorrummet V har vi skalärprodukter x, y och normer x = x, x. Med hjälp av detta får vi den isometriska gruppen Iso(V = { T : V V : T bijektiv och x, y V : T (x T (y = x y } som är delgrupp i den symmetriska gruppen Sym(V. Enligt kor.. får vi dels för transformationer T att och dels för matriser A att T Lin(V, V Iso(V [ T ] E O(n A O(n T A Iso(V. Därför kunde vi i kor. 3. bilda den ortogonala gruppen som i vektorrummet V skrivs O(V = Aut(V Iso(V = GL(V Iso(V. I def. 3.3 satte vi samman den euklidiska gruppen E(n som den semidirekta produkten mellan O(n och R n. I vektorrummet V får vi på motsvarande sätt att Iso(V = E(V O(V v V, där homomorfin ϑ : O(V Aut(V, T T. Detta är en grupp under multiplikationen där T, T O(V och x, x V. (T, x (T, x = (T T, T (x + x, Kommentar 4.. Strukturen som bär upp alla speglade motiv kallas gitter, (eng. Lattice. Dessa gitter kan ha olika grundläggande former. Om vi begränsar oss till det euklidiska planet R är det t. ex. fråga om romber, rektanglar och hexagoner. En grundläggande form upprepas tills hela tapeten blir täckt. I fig. 4. visas ett gitter bestående av kvadrater. De två kolumnvektorerna t och t bildar basen i gittret. Ett gitter kan ha flera baser, t. ex. kan basen i fig. 4. bytas ut med { (,, (, }.

19 DE 7 TAPETGRUPPERNA 7 t t {t, t } = {e, e } Figur 4.. Gitter med kvadratiska grundformer. Definition 4.3. Låt B = {t, t,..., t n } V, där B är linjärt oberoende, dvs. en gitterbas. Då kallas L = L(t, t,..., t n = L(B = { m t + m t + + m n t n : m i Z } = för ett gitter. Zt + Zt + + Zt n Sats 4.4. Låt B och B vara gitterbaser som gör att gittret L(B = L(B. Då existerar en matris U Mat (n, Z sådan att [ id ] B,B = U och det(u = ±. Bevis. Antag att vi har två baser B och B som gör att gittret L(B = L(B. Då avbildas en godtycklig kolumnvektor t L(B till gittret L(B med [ t ]B = [ id ] B,B [ t ] B. För det omvända gäller att t L(B avbildas till gittret L(B med [ t ]B = [ id ] B,B [ t ] B. Med U = [ id ] har vi B,B [[ U = T (t ] B [ T (t ] B [T (t n ] B ], där alla T (t i L(B, dvs. linjärkombinationer med heltalskoefficienter som ger U Mat (n, Z. På samma sätt är [ id ] = U Mat (n, Z. Eftersom B,B så följer att UU = I = U U det(i = det(uu = det(u det(u = det(u det(u = det(u U det(u = ±. Definition 4.5. En matris U Mat (n, Z som har det(u = ± kallas unimodulär. Definition 4.6. Ett par (G, B, där G E(V och B V är bas till V, kallas för kristallografisk rymdgrupp, (eng. Crystallographic Space Group, med avsende på gittret L(B om G ({id V } V = {id V } L(B.

20 8 DE 7 TAPETGRUPPERNA Vidare definierar vi den förflyttande delgruppen, (eng. the Translation Subgroup, i (G, B som L = L(B = {id V } L(B. Lemma 4.7. Den förflyttande delgruppen L = {id V } L(B i en kristallografisk rymdgrupp är en abelsk delgrupp och isomorf med Z n. Bevis. Låt (id V, t och (id V, t vara godtyckliga element i L = {id V } L(B, där kolumnvektorerna t, t L(B. Med dessa element får vi (id V, t (id V, t = (id V, t (id V, t = (id V, id V ( t + t = (id V, t t L och som ger att Dessutom fås (id V, L L G. (id V, t (id V, t = (id V, id V t + t = (id V, t + t = (id V, t + t = (id V, id V t + t = (id V, t (id V, t, dvs. L är en abelsk grupp. Eftersom varje kolumnvektor t L(B är en linjärkombination med heltalskoefficienter av gitterbasen B så gäller att t Z n. Detta ger att {(id V, t : t L(B} Z n L Z n. Definition 4.8. En punktgrupp, (eng. Point Group, består av mängden G = { T O(V : x V : (T, x G }, där (G, B är en kristallografisk rymdgrupp. Sats 4.9. Alla transformationer T G av godtyckliga kolumnvektorer t i gittret L(B ger avbilningar i samma gitter, dvs. T (t L(B. Bevis. För ett godtyckligt element (T, x G, där T G, och en godtycklig kolumnvektor t L(B gäller att och (T, x(id V, t(t, x G (T, x(id V, t(t, x = (T, T (t + x(t, T (x = (T T, T ( T (x + T (t + x = (id V, x + T (t + x = (id V, T (t, T (t L. Kommentar 4.. Om G O(V är en punktgrupp som tillhör en kristallografisk rymdgrupp G och G = { (T, : T G } så är G E(V. Däremot är G inte nödvändigtvis en delgrupp i G. Eftersom G Iso(V så verkar G på vektorrummet V med (T, x = T (x +. Denna verkan av G är faktiskt verkan av G på gittret L som den följande satsen visar. Sats 4.. Låt G vara en punktgrupp i en kristallografisk rymdgrupp (G, B. Då är kvotgruppen G/ L isomorf med G.

21 DE 7 TAPETGRUPPERNA 9 Bevis. Vi har L G. Låt avbildningen φ L : G G, (T, x T, där (T, x G. För godtyckliga elementpar (T, x och (T, x gäller att φ L((T, x (T, x = φ L((T T, T (x + x = T T = φ L((T, x φ L((T, x, dvs. φ L är en surjektiv homomorfi. Eftersom ker(φ L = { (id V, x : x V : (id V, x G } = L så ger homomorfisatsen för grupper att G/ L G. Korollarium 4.. Den förflyttande delgruppen i en kristallografisk rymdgrupp är normal. Korollarium 4.3. Distinkta element T och T i en punktgrupp G ger tillsammans med den förflyttande delgruppen L att LT LT som fastställer distinkta sidoklasser L(T, x = { (T, x + t G : t L(B } i en kristallografisk rymdgrupp (G, B. Bevis. Låt transformationerna T, T G. Då följer att Om vi har följer att Detta visar att x, x V : (T, x (T, x G. LT = LT, { (id V, t(t, x : t L(B } = { (id V, t(t, x : t L(B } { (T, x + t : t L(B } = { (T, x + t : t L(B } Vidare vet vi (enligt sats 4. att T = T. T T LT LT. G/ L G = { T O(V : x V : (T, x G }, dvs. distinkta element i G ger distinkta sidoklasser L(T, x = { (id V, t(t, x : t L(B } = { (T, x + t G : t L(B } i den kristallografiska rymdgruppen (G, B. Kommentar 4.4. G = { (T, : T G } är inte nödvändigtvis en delgrupp i dess kristallografiska rymdgrupp (G, B. Om så är fallet, är G den inre semidirekta produkten av L och G, dvs. G = G L = { (T, t : T G, t L }. En sådan kristallografisk rymdgrupp kallas symmorfi. Kommentar 4.5. En punktgrupp G verkar på gittret L(B via homomorfin ϑ : O(V Aut(V, T T. Korollarium 4.6. För varje transformation T G gäller att [ T ] är unimodulär. B,B

22 DE 7 TAPETGRUPPERNA Bevis. Låt P = [ T ] E,E. Vi har T G, dvs. T O(V, som ger att det(p = ±. Med gitterbasen B = {t, t,..., t n } V låter vi M = [ T ] B,B, N = [ id V ]B,E och N = [ id V ] E,B som ger att M = NP N. Detta ger att det(m = det(np N = det(n det(p det(n = det(p = ±. Dessutom har vi (enligt sats 4.9 M Mat (n, Z, dvs. [ T ] B,B = M är unimodulär. Sats 4.7. En punktgrupp G som tillhör en kristallografisk rymdgrupp (G, B är ändlig. Bevis. Vi har B = {t, t,..., t n } R n som gitterbas i gittret L(B. Låt x vara en godtycklig vektor i B. Då gäller att Därför låter vi som ger att r R : x r. B = { x R n : x r } B k Z + : B L(B = k. Låt matrisen A [ G. Då existerar (enligt sats 4.9 en motsvarande transformation T A. Därför inducerar varje A [ G en permutation i Sym({,,..., k} = ]B,B ]B,B S k, dvs. vi har en homomorfi ρ : G S k. Då är Vi ser att ker(ρ = { A [ G ]B,B : x B L(B : T A(x = x }. Eftersom B är en gitterbas så följer att A ker(ρ i k : ρ(a(i = i j n : T A (t j = t j. T A = id R n A = I, dvs. homomorfin ρ är injektiv. Detta ger att dvs. punktgruppen är ändlig. G S k = k!, Kommentar 4.8. Låt matrisen A Mat (n, R. Då är spåret av matrisen, tr(a, summan av elementen i huvuddiagonalen från det övre vänstra hörnet till det nedre högra. Detta ger att tr(a + tr(b = tr(a + B, tr(a = tr(a och tr(ab = tr(ba. Om ett element A [ G ]B,B avbildas med UAU = A till gitterbasen B, blir förhållandet mellan matriserna tr(a = tr(a. Kommentar 4.9. Inför den följande satsen påminner vi om sats.. Enligt denna sats är varje ändlig delgrupp i den ortogonala gruppen O( isomorf med antingen en cyklisk grupp C n eller en diedergrupp D n.

23 DE 7 TAPETGRUPPERNA Sats 4.. Den kristallografiska restriktionen i det euklidiska planet R : Om T Rθ O(R G är en rotation med vinkeln θ = π k, är k =,, 3, 4 eller 6. Bevis. Låt rotationen T Rθ O(R representeras av matrisen [T Rθ ] E,E = R θ O(, där vinkeln θ = π k. Antag att ( cos θ sin θ R θ = sin θ cos θ som ger att tr(r θ = cos(θ. Å andra sidan, en matris som representerar en rotation i ett gitter har (enligt sats 4.9 heltalselement. Eftersom matriser i olika gitterbaser som representerar samma linjära transformation har samma spår, så får vi tr( [ T Rθ ]B,B = tr(r θ Z cos θ =,,, eller k =,, 3, 4 eller 6. Korollarium 4.. Punktgrupperna i tapetgrupperna (eller de tvådimensionella kristallografiska rymdgrupperna är isomorfa med C n eller D n, där n =,, 3, 4 och 6. Kommentar 4.. W. Barlow var först med att bevisa den kristallografiska restriktionen som leder till punktgrupperna enligt kor. 4.. Kristallografer kallar dessa punktgrupper för kristallklasser. Motsvarande studie av kristaller i tre dimensioner ger 3 kristallklasser []. Definition 4.3. Två kristallografiska rymdgrupper (G, B och (G, B kallas ekvivalenta om det existerar en isomorfi φ : G G, sådan att φ( L(B = L(B. I ett sådant fall skriver vi (G, B (G, B. Sats 4.4. Om de kristallografiska rymdgrupperna (G, B och (G, B är ekvivalenta så existerar en unimodulär matris U GL(n, Z sådan att [ G ]B,B = U [ G ] B,B U. Lemma 4.5. Låt de kristallografiska rymdgrupperna (G, B och (G, B vara ekvivalenta så att vi har φ( L(B = L(B, där φ : G G är en isomorfi. Då gäller att mängden är en gitterbas i L = L(B. C = { s L : t B : φ( t = (id V, s } Bevis. Eftersom avbildningen φ är injektiv så kan vi skriva att där där C = {c, c,..., c n }, c i = φ( b i, B = {b, b,..., b n }.

24 DE 7 TAPETGRUPPERNA i. Varje t L kan skrivas som en linjärkombination med heltalskoefficienter av kolumnvektorer i basen C: Eftersom B är en bas så följer att t L t L : φ( t = t. m i Z : t = m i b i som på grund av att avbildningen φ är en isomorfi ger att φ( t = φ((id V, m i b i = m i φ((id V, b i = m i (id V, c i = (id V, m i c i = t. Detta ger att t = m i c i. ii. Vidare kan vi visa att C är linjärt oberoende, ty mi c i = m i b i = m i = i. Korollarium 4.6. Låt de kristallografiska rymdgrupperna (G, B och (G, B vara ekvivalenta så att vi har en isomorfi φ : G G med φ((id V, t = (id V, t. Då existerar en unimodulär matris U GL(n, Z som ger att [ t ] B = U [ t ] B. Bevis. Som i beviset till lemma 4.5 är t = m i b i och t = m i c i, dvs. [ t ] B = [ t ] C. Från sats 4.4 får vi att det existerar en unimodulär matris U GL(n, Z sådan att Detta ger att Nu kan vi bevisa sats 4.4: [ t ] B = [ id V ] U = [ id V ]B,C. B,C [ t ] C = U [ t ] B. Bevis. Vi låter (G, B (G, B och ska bevisa att det existerar en unimodulär matris U GL(n, Z sådan att [ G ]B,B = U [ G ] B,B U. Låt elementen (T, t, (id V, x G vara godtyckliga. Sätt Detta ger att (T, t = φ(t, t (id V, x = φ(id V, x y = T (x y = T (x. (T, t(id V, x(t, t = (T, T (x + t(t, T (t = (T T, T T (t + T (x + t = (id V, T (x = (id V, y. På samma sätt får vi att (T, t (id V, x (T, t = (id V, T (x = (id V, y.

25 DE 7 TAPETGRUPPERNA 3 Vi ser att som ger oss Kor. 4.6 ger att (T, t(id V, x(t, t = (id V, y φ φ φ φ (T, t (id V, x (T, t = (id V, y φ(id V, y = (id V, y φ(id V, T (x = (id V, T (x. [ x ] B = U [ x ] B [ y ] B = U [ y ] B, där matrisen U = [ id V är unimodulär. Detta ger att ]B,C [ ] y = U [ y ] B B = U [ T (x ] B = U [ T ] [ ] B,B x [ y ] B = [ T (x ] B,B = [ T ] B,B [ x ] B = [ T ] B,B U [ x ] B B för alla T G, x L(B. Vi får [ T ] B,B U = U [ T ] B,B [ T ] B,B = U [ T ] B,B U. Kommentar 4.7. Vi sätter samman den affina gruppen med Aff(V = GL(V id V, dvs. E(V Aff(V. Låt elementet (S, s Aff(V vara fixerat. Då gäller att φ : Aff(V Aff(V, (T, t (S, s(t, t(s, s är en automorfi av Aff(V. Om nu G E(V är en kristallografisk rymdgrupp så är G = φ(g Aff(V isomorf med G och φ = φ G : G G är en isomorfi. Emellertid, om G är en kristallografisk rymdgrupp med avseende på gittret L(B, är det inte självklart att det existerar en gitterbas B som ger att (G, B är en kristallografisk rymdgrupp. Härnäst gör vi några beräkningar. Lemma 4.8. Vi har automorfin φ : Aff(V Aff(V, (T, t (S, s(t, t(s, s. Detta ger att i. φ((t, = (ST S, ST S (s + s. ii. iii. φ((id V, t = (id V, S(t. φ((t, t = (ST S, ST S (s + S(t + s. Bevis. Låt automorfin φ : Aff(V Aff(V, (T, t (S, s(t, t(s, s, dvs. φ((t, t = (S, s(t, t(s, s = (ST, S(t + s(s, S (s = (ST S, ST S (s + S(t + s. Vi ansätter t = som ger att φ((t, = (ST S, ST S (s + S( + s = (ST S, ST S (s + s.

26 4 DE 7 TAPETGRUPPERNA Om vi istället ansätter T = id V, får vi φ((id V, t = (Sid V S, Sid V S (s + S(t + s = (SS, SS (s + S(t + s = (id V, id V (s + S(t + s = (id V, s + S(t + s = (id V, S(t. Sats 4.9. Låt (G, B vara en kristallografisk rymdgrupp som med homomorfin φ : G G = φ(g, där φ(g är konjugatet till G med (S, s Aff(V. Detta ger att (G, B är en kristallografisk rymdgrupp om och endast om L(B = S(L(B. I detta fallet är (G, B ekivialent med (G, B. Bevis. Vi har som med lemma 4.8 ger att ST S = id V T = id V ({id V } V G = { (id V, S(t : t L(B } = S(L(B. Om (G, B är en kristallografisk rymdgrupp, är detta det samma som att S(L(B = L(B. I detta fallet får vi φ( L(B = φ({ (id V, t : t L(B } = { (id V, S(t : t L(B } = Enligt def. 4.3 ger detta att S(L(B = L(B. (G, B (G, B. Lemma 4.3. Låt U Mat (n, Z vara unimodulär, B vara gitterbas till gittret L(B och B = {u, u,..., u n }, där U = [[ [ u u ]B ]B [u ] n B]. Då är B en gitterbas med L(B = L(B och U = [ id ]. B,B Bevis. Vi har Eftersom [ id ]B,B = [[ u ] B [ u ]B [u n ] B] = U. det(u så är B en bas i vektorrummet V. Låt gittervektorn t L(B som medför att m i Z : t = m i u i. Eftersom matrisen U är unimodulär får vi och vice versa. t = m i u i = m ib i L(B, Lemma 4.3. Låt (G, B vara en kristallografisk rymdgrupp, matrisen U Mat (n, Z vara unimodulär, matrisen M = U [ G ]B,B U, gitterbasen B vara sådan att [ id ]B,B = U. Då gäller att M = [ G ] B,B. Bevis. Det existerar enligt lemma 4.3 en gitterbas B sådan att L(B = L(B. Därför får vi att (G, B och (G, B är samma kristallografiska rymdgrupp. Detta ger [ ] G = [ id ] [ ] [ ] G B,B B,B B,B id = M B,B.

27 (T, x Ĝ. DE 7 TAPETGRUPPERNA 5 Sats 4.3. Låt B vara en gitterbas i gittret L = L(B. Vidare låter vi (G, B och (G, B vara kristallografiska rymdgrupper i gittret L(B med punktgruppen G = G = {T, T,..., T m } samt x i, x i V sådana att m G = L(T i, x i G = i= m L(T i, x i. i= Om det existerar en kolumnvektor s V : i : x i (T i id V (s x i L(B, ger detta att (G, B (G, B. Bevis. Betrakta φ : Aff(V Aff(V, (T, x (id V, s(t, x(id V, s som är en gruppisomorfi (som i sats 4.9 och låt Ĝ = φ(g, där G är en kristallografisk rymdgrupp. Eftersom id(l(b = L(B så följer av sats 4.9 att (G, B (Ĝ, B. Vi ska visa att Ĝ = G. i. Vi visar att ett element ( T, x Ĝ ( T, x G. Låt ( T, x Ĝ i v L : ( T, x = φ((id V, v(t i, x i. Med hjälp av lemma 4.8 får vi ( T, x = φ((id V, v(t i, x i = (id V, v(t i, (T i id V (s + x i = (T i, x i (T i id V (s + v. Villkoret x i (T i id V (s x i L ger oss x i (T i id V (s + v = x x i L L( T, x = L(T i, x i ( T, x L(T i, x i G. ii. Vi visar att element (T, x G (T, x Ĝ. Låt (T, x G i v L : (T, x = (id V, v(t i, x i. Villkoret x i (T i id V (s x i L ger oss w L : w = x i (T i id V (s x i. Med hjälp av lemma 4.8 får vi φ((id V, w + v(t i, x i = (T i, x i w + v (id V T i (s = (T i, v + x i = (id V, v(t i, x i = (T, x

28 6 DE 7 TAPETGRUPPERNA 5. Klassifikation av tapetgrupper För att klassificera tvådimensionella kristaller och tapetmönster så studerar vi först vilka gitter och punktgrupper som kan förekomma i bestämda gitterbaser. Därefter kan antalet kristallografiska rymdgrupper per punktgrupp bestämmas. 5.. Gitter och punktgrupper. Sats 5.. Låt matrisen R O( representera en rotation T Rθ G, där vinkeln θ = π k för k = 3, 4 eller 6. Vidare låter vi kolumnvektorn t L, t, ha minimal längd. Då är {t, Rt} en gitterbas. Bevis. Låt B = {t, t } vara gitterbas i gittret L(B och ( [ ] α t B =, β där t och t är minimal, och [ Rt ] B = ( γ, δ där α, β, γ, δ Z och R = [ ] T Rθ O( som representerar rotationen TRθ G med vinkeln θ = π k för k = 3, 4 eller 6. Eftersom k / {, } så kan vi låta B = {t, Rt} vara en bas i V som ger att ( [ ] a t B = b ( [ ] c t B =, d där a, b, c, d Q. Vidare låter vi ( a b M = = [ id ] c d B,B. Av t och t bildar vi nu kolumnvektorer som har heltalskoefficienter. Vi gör det genom att låta â beteckna det till a närmaste heltalet med fallet = o.s.v. för b, c och d. Detta ger att (â [ ] s B = b (ĉ [ ] s B =. d Vi bildar kolumnvektorn [ ] t s B = ( a â b b = ( x, y där x, y. Detta ger oss tre fall där vi utnyttjar att R O(, dvs. t = Rt. i. Om vi har x = och y, ger detta att t s = yrt = y t < t. ii. Om vi har x och y =, ger detta att t s = xt = x t < t. iii. Om vi har x och y, får vi med hjälp av triangelolikheten att t s = xt + yrt < xt + yrt ( x + y t t.

29 DE 7 TAPETGRUPPERNA 7 De tre fallen (i-(iii påvisar en motsägelse: Det finns en kolumnvektor t s som är kortare än kolumnvektorn t som har minimal längd. Det samma kan visas för en kolumnvektor t s. Alltså är a, b, c och d heltal. Därmed är också {t, Rt} en gitterbas i gittret L. Kommentar 5.. Vi undersöker vilka gitter som är möjliga genom att studera en spegling T S och en kolumnvektor t L som inte ska ha samma riktning som varken x- eller y-axeln. Med x-axeln som symmetriaxel speglar vi t, dvs. t = T S (t. I fig. 5. ser vi att t + t och t t får samma riktningar som x-axeln respektive y-axeln. t t t t t t t + t Figur 5.. Spegling av en kolumnvektor i x-axeln. Låt t och t vara gittervektorer med minimala längder på x- respektive y-axeln. Då får vi med n, m Z att Detta ger t + t = mt t t = nt. t = m t + n t. Vidare gäller att m n (mod. Antag utan inskränkning av den allmänna giltigheten att n är ett jämt heltal och att m är ett udda heltal. Då skulle vektorn x = t n t = m t vara en gittervektor på x-axeln med x / Zt. Detta är en motsägelse. Om m n (mod så är {t, t } gitterbas och gittret kallas rektangulärt. Ett specialfall av sådana gitter är det kvadratiska. Om så får vi m n (mod t = m t + n t = ( m + n ( t + t + (m n ( t t, där { t + t, t } t är gitterbas och gittret kallas rombiskt. Om rombiska gitter är möjliga, har vi också hexagonala gitter. Se fig. 5.4 och 5.6. Slutsatsen blir det följande: Gitter i planet R är antingen rektangulära, kvadratiska, rombiska eller hexagonala.

30 8 DE 7 TAPETGRUPPERNA Kommentar 5.3. En gitterbas {t, T Rθ (t} enligt sats 5. ger för vinkeln θ = π k, där k = 3, 4 eller 6, bestämda gitter och punktgrupper. Detta ska vi visa. i. De cykliska grupperna. Låt gitterbasen B = {t, T Rθ (t} där [ t ] B = (, och [ T Rθ (t ] B = (,. Då har vi ( [ a TRθ ]B,B = = R, b där a, b Z. Om vinkeln θ = π 3 ska den cykliska punktgruppen vara av ordningen 3. Detta ger att [ T Rθ (t ] = [ T B R θ (t ] B [ TRθ (T Rθ (t ] B = [ T R θ (t ] B ( ( a = ( ( b a b a ( a = b ( b a { { a = b a a 3 = b = a b = a som för a, b Z ger att Vi får som ger punktgruppen ( ( a = b ( R =. ( ( R = = C 3 = { I, (, ( ( } i ett gitter med hexogonal grundform enligt fig De cykliska grupperna C 4 och C 6 fås på samma sätt men med vinkeln θ = π respektive θ = π 3. (C och C är enklare att visa eftersom de är punktgrupper i gitter med generell grundform som i fig. 5.. ii. Diedergrupperna. Eftersom den cykliska gruppen C 3 D 3 så utnyttjar vi att rotationen T Rθ med vinkeln θ = π 3 i gitterbasen B = {t, T R θ (t} representeras av matrisen ( [ TRθ ]B,B = = R. Låt speglingen T S representeras av matrisen ( [ a b TS ]B,B = c d = S. Vi har ett gitter med hexagonal grundform och kan spegla i två olika symmetriaxlar enligt fig. 5.6.

31 DE 7 TAPETGRUPPERNA 9 Fall. Spegling i en kort diagonal. Med spegling i den korta symmetriaxeln enligt fig. 5.6 får vi [ TS (t ] B = [ T Rθ (t ] B ( ( a b = c d ( a = c (. Eftersom vi i en diedergrupp har S = I så får vi ( ( ( b b = d d ( ( b bd d b + d = ( ( b = d ( S =. Diedergruppen som har denna spegling kallas D 3,s. Fall. Spegling i en lång diagonal. Om vi i fig. 5.6 använder en lång diagonal som symmetriaxel för spegling, får vi [ TS (t ] = [ T B Rθ (t ] B ( ( ( a b = c d ( ( a =. c Eftersom vi i en diedergrupp har S = I så får vi ( ( ( b b = d d ( ( b bd d b + d = ( ( b = d ( S =. Diedergruppen som har denna spegling kallas D 3,l. Eftersom D 3 = C 3 { S, RS, R S : R 3 = S = I } så får vi att de två fallen ger {( ( ( } D 3,s = C 3,, {( ( ( } D 3,l = C 3,,.

32 3 DE 7 TAPETGRUPPERNA Diedergrupperna D,rh, D,rh, D 4 och D 6 fås på samma sätt. (Däremot får vi D,r och D,r på ett enklare sätt. Eftersom vi fick två möjliga D 3 -grupper så måste vi kontrollera om D 3,s och D 3,l är ekvivalenta. Om så är fallet ska endast en av dem vara med i klassifikationen. Därför undersöker vi om det existerar en unimodulär matris U Mat (, Z så att D 3,s = UD 3,l U, dvs. D 3,s U = UD 3,l. Låt ( a b U =, c d där a, b, c, d Z. Vi får att förhållandet mellan S-matriserna i D 3,l och D 3,s är ( ( ( ( a b a b = c d c d ( ( c d b a = a b d c ( ( b + c a + d =. (4 a + d b + c Förhållandet mellan R-matriserna i D 3,l och D 3,s ger oss ( ( ( ( a b a b = c d c d ( ( c d b a b = a c b d d c d ( ( b + c a + b d =. (5 a c d b + c Av (5 och (6 får vi ekvationssystemet a + b d = a c d = a + d = b + c =. Vi skriver ekvationssystemet på matrisform och utför elimination enligt Gauss- Jordan:. Om vi sätter a = α Z får vi lösningen a = α b = α c = α d = α.

33 DE 7 TAPETGRUPPERNA 3 Vi får som för α ger att ( α α U = α α det(u = 3α ±, dvs. matrisen U är inte unimodulär. Eftersom övriga element i D 3,s och D 3,l är olika sammansättningar av R och respektive grupps S, så är D 3,s och D 3,l inekvivalenta. Därför ska båda grupperna vara med i klassifikationen. I de följande avsnitten ( fixerar vi en gitterbas och anger alla transformationer med matriser i denna bas Generellt gitter. t t Figur 5.. En gitterbas i ett gitter med generell grundform, (dvs. parallellogram. i. En cyklisk grupp av ordningen : C = {I} ii. En cyklisk grupp av ordningen : { ( } C = I, 5... Rektangulärt gitter. t Figur 5.3. En gitterbas i ett gitter med rektangulär grundform. i. Endast en basvektor är symmetriaxel för spegling: { ( } D,r = I, ii. Båda basvektorerna är symmetriaxlar för spegling: { ( ( ( } D,r = I,,, t

34

35 DE 7 TAPETGRUPPERNA 33 ii. En cyklisk grupp av ordningen 6: {( C 6 = C 3, (, ( } iii. Rotation med moturs och spegling i den korta diagonalen: {( ( ( } D 3,s = C 3,, iv. Rotation med moturs och spegling i den långa diagonalen: {( ( ( } D 3,l = C 3,, v. Rotation med 6 moturs och spegling i en av diagonalerna: {( ( ( ( ( ( } D 6 = C 6,,,,, Kommentar 5.4. Av framgår att det finns minst 3 kristallografiska rymdgrupper som är inekvivalenta. En sådan rymdgrupp hör samman med en av de 3 punktgrupperna i den följande listan: C, C, C 3, C 4, C 6, D,r, D,rh, D,r, D,rh, D 3,s, D 3,l, D 4, D Antalet inekvivalenta kristallografiska rymdgrupper. Vi har ännu inte visat något av de motiv som kan finnas inne i gittrens former. Detta är heller inte nödvändigt under en klassifikation. Däremot gör man det motsatta under typning av tapetmönster. Då söker man efter en kristallografisk rymdgrupp som passar för ett mönster. Under ett sådant arbete kan en färdig tabell användas, t. ex. tabellen enligt bilaga A. I detta avsnitt ska vi ta fram det totala antalet inekvivalenta tvådimensionella rymdgrupper. Vi studerar liksom i avsnitt 5. fallet V = R. I avsnittet 5. studerade vi alla abstrakta punktgrupper samt deras representationer i alla olika gitterbaser så att man får inekvivalenta rymdgrupper. Vi klassificerade 3 par bestående av var sin punktgrupp och var sitt gitter. Nu ska vi för var och en av de 3 paren studera antalet inekvivalenta rymdgrupper. Vi antar att både punktgruppen G och gitterbasen B är fixerade. Därför skriver vi G som en matrisgrupp, dvs. istället för G = { A, A,..., A n : A i Mat (, Z } [ G ] B,B = {A, A,..., A n }. Analogt skriver vi (A i, a G, där a R, istället för (T i, x G. Vi har alltså [ ] Ti B,B = A i och [ x ] = a. Vi uttrycker även den förflyttande delgruppen L(B B relativt till basen B och skriver Γ = { (I, [ x ] : x L(B }. B Vi söker alla inekvivalenta rymdgrupper G för de tretton paren (G, B med G/Γ G. Därför kan vi skriva varje G som en disjunkt union av sidoklasser, dvs. n G = Γ(A i, a i, i= där a i R. Vilka a i är tillåtna? En lösning är alltid att a = = a n =. Enligt kom. 4.4 för denna lösning med sig att G blir den semidirekta produkten av G och

36 34 DE 7 TAPETGRUPPERNA Γ. Detta kallas det symmorfa fallet som ger oss minst 3 inekvivalenta rymdgrupper. Vi ska alltså visa att det finns ytterligare fyra inekvivalenta rymdgrupper. Observera att Γ = { (I, [ x y ] : x, y Z }. Eftersom Γ(A, a = Γ(A, a + t för alla t Z så kan vi anta att där x i, y i <. i n : a i = [ x i y i ], Lemma 5.5. Låt A i A j = A k i G. Då är A i a j + a i a k (mod, där = (. Bevis. Låt (A i, a i, (A j, a j, (A k, a k G och G vara punktgrupp i G. Vidare låter vi A i A j = A k. Detta ger att Därför måste (A i, a i (A j, a j = (A i A j, A i a j + a i = (A k, A i a j + a i. A i a j + a i = a k + t, där t Z. Detta innebär att de två vektorerna A i a j + a i och har en differens som är en vektor med heltalskoordinater. Därför kan vi skriva Korollarium 5.6. Låt och A i a j + a i a k (mod. G = G = n Γ(A i, a i, i= n Γ(A i, b i, i= vara kristallografiska rymdgrupper med samma punktgrupp G och gitter L(B. Om det existerar en kolumnvektor s R sådan att så är i n : a i (A i I(s b i (mod (G, B (G, B. I synnerhet, om det existerar en kolumnvektor s R sådan att i n : (A i I(s a i (mod så är (G, B ekvivalent med en symmorfi.

37 DE 7 TAPETGRUPPERNA De cykliska grupperna C, C, C 3, C 4 och C 6. Eftersom den cykliska gruppen C = {I} så finns det endast en kristallografisk rymdgrupp för denna. För att undersöka de cykliska grupperna C, C 3, C 4 och C 6 använder vi C 3 som typfall. Generatorn i C 3 är ( A =, dvs. matrisen A representerar en rotation. Vi ser att skillnaden ( ( ( A I = = är en inverterbar matris, ty det(a I = 3. Ett annat element i C 3 är A. Detta gör att vi kan låta G = Γ(I, Γ(A, a Γ(A, b vara den kristallografiska rymdgruppen (G, B som har punktgruppen G C 3. Eftersom (A, a = (A, Aa + a så kan vi sätta b = Aa + a. Vi låter (med ledning av kor. 5.6 kolumnvektorn dvs. Vi beräknar Eftersom vi har satt så blir s = (A I a, a = (A Is. (I, s(a, a(i, s = (A, a + s(i, s = (A, As + a + s = (A, As + (A Is + s = (A, As + As s + s = (A, a = s =. b = Aa + a (I, s(a, b(i, s = (I, s(a, Aa + a(i, s = (A, Aa + a + s(i, s = (A, A s + Aa + a + s som med a = och s = ger att (I, s(a, b(i, s = (A, b =. Vi får (enligt kor. 5.6 att den kristallografiska rymdgruppen (G, B är ekvivalent med en symmorfi. Undersökningar av de cykliska grupperna C, C 4 och C 6 kommer att visa att respektive (G, B är det samma. Slutsatsen blir att det endast finns en kristallografisk rymdgrupp för respektive cyklisk punktgrupp som bygger upp tapetmönster.

38 36 DE 7 TAPETGRUPPERNA 5... Diedergruppen D,r. Denna grupp har förutom identiteten, I, elementet ( A =. Vi ser att skillnaden A I = ( ( = ( inte är en inverterbar matris, ty det(a I =. Därför kan vi inte använda samma undersökande metod som för de cykliska grupperna. Vi låter G = Γ(I, Γ(A, a vara den kristallografiska rymdgruppen (G, B som har punktgruppen G D,r. Sätt a = (x, y. Om vi väljer kolumnvektorn s = (, y, får vi (med ledning av kor. 5.6 att a (A Is = ( x y ( ( ( ( ( x x y = =, y y dvs. de kristallografiska rymdgrupper som har punktgruppen G D,r är ekvivalenta med en kristallografisk rymdgrupp som har a = (x,. Eftersom D,r är en diedergrupp så är A = I som (enligt lemma 5.5 ger att Vi får ( ( x + Aa + a ( x = ( x + (mod ( ( x x = (mod. x (mod, x < x = x =. Detta ger två möjliga kristallografiska rymdgrupper (G, B och (G, B sådana att G = Γ(I, Γ(A, G = Γ(I, Γ(A,. Vi har A = I och och beräknar ( ( A + = (A, = (A, A och med k, l Z ( ( k k A + l l (A, + + = = (I, + = ( ( ( ( ( k k k k = + = + = l l l l ( ( ( ( k = (A k k k, A + = (I,. l l l ( ( k Antag att (G, B och (G, B är ekvivalenta kristallografiska rymdgrupper med isomorfin φ : G G och φ(l(b = UL(B, för någon U Mat (, Z som är unimodulär. Vi låter ( φ((a, k = (A, l