Modulens delar Problemlösningsmodulen består av följande åtta delar som bygger på varandra:

Transkript

1 Problemlösning Problemlösning har en särställning i matematikundervisningen. I Lgr11 är problemlösning framskriven både som en förmåga och som ett centralt innehåll genom vilket alla förmågor kan utvecklas inte enbart förmågan att lösa problem. Problemlösning är således både mål och medel i matematikundervisningen. Att undervisa genom problemlösning i syfte att lyfta alla förmågor och att göra det på ett sätt så att alla elever blir delaktiga, utmanas, utvecklas och bidrar till varandras lärande inrymmer både stora möjligheter och är en stor pedagogisk utmaning. Syftet med den här modulen är att ge dig som lärare stöd och verktyg för att ta dig an den utmaningen. Modulens delar Problemlösningsmodulen består av följande åtta delar som bygger på varandra: 1. Matematikundervisning genom problemlösning 2. Givande helklassdiskussioner 3. Förutseende och överblick av elevlösningar 4. Urval, ordning och sammankoppling av elevlösningar 5. Klassrumsnormer och delaktighet 6. Interaktion, kommunikation och resonemang 7. Formativ bedömning 8. Lektionsplanering och framåtblick Del 1 ägnas åt en introduktion kring matematikundervisning genom problemlösning och fokuserar särskilt på att sätta lektionsmål och välja problem. För att göra det mer hanterbart att hålla givande klassdiskussioner utifrån elevernas olika lösningar kommer ni att få en modell presenterad för er med fem steg: att förutse, överblicka, välja ut, ordna och koppla ihop elevlösningar. I del 2 introduceras denna modell och de olika stegen fördjupas sedan under del 3 och 4. Under resterande delar tillkommer sedan ytterligare viktiga aspekter som klassrumsnormer (del 5), interaktion (del 6), formativ bedömning (del 7) och lektionsplanering (del 8). Verktygsbanken Till varje del finns ett verktyg som ni kan ha som stöd vid planeringen och genomförandet av lektionsaktiviteten. Vi har samlat alla verktygen i Verktygsbanken (se nedan). I varje del förklaras och beskrivs verktyget i de texter ni läser. Problembanken Varje lektionsaktivitet kommer att vara en problemlösningslektion, med varierande fokus, utifrån ett problem som ni gemensamt väljer och anpassar ur Problembanken (finns i Se även-rutan). Den är framtagen speciellt för denna modul. Problemen behöver inte behandlas i någon särskild ordning och kan efter lite anpassning användas i er elevgrupp i sjuan, åttan eller nian. Revision: 3 Datum:

2 Att tänka på I flera av delarna kommer ni att få se lektionsfilmer där problem ur Problembanken behandlas. Lärarna och eleverna i dessa filmer är vana vid att arbeta med problemlösning på det sätt som föreslås i den här modulen. Tänk på att det kan ta tid att få till stånd ett sådant diskussionsklimat och att det kräver ett medvetet arbete. Vi vill uppmuntra er till att besöka varandras lektioner i den utsträckning ni har möjlighet till det. Om ni har sett varandra i klassrummet kan era diskussioner bli ännu mer givande. Vi vill också påminna om att ni redan från början kontinuerligt för anteckningar över vad ni själva gör, era reflektioner och upplevelser. Ansvariga för modulen Mälardalens högskola, i samarbete med Örebro universitet. Revision: 3 Datum:

3 Del 1. Matematikundervisning genom problemlösning Vad kan det innebära att undervisa matematik genom problemlösning? Hur kan en problemlösningslektion läggas upp? Vad kan man tänka på när man väljer problem och hur sätter man lämpliga mål för arbetet med problemet? I den här första delen får du en bakgrund till matematikundervisning genom problemlösning och vilka möjligheter den kan ge för att utveckla elevernas matematiska förmågor. Vi diskuterar vad som ligger i själva begreppet problem och hur olika strategier och uttrycksformer kan användas vid problemlösning. Vi föreslår ett arbetssätt för problemlösningslektionerna i modulen som innebär att lektionen följer fyra faser: introduktion av problemet, enskilt arbete, arbete i smågrupper och gemensam klassdiskussion. Här i del 1 beskriver vi de olika faserna men betonar också en viktig del av förberedelsearbetet: att formulera mål och att välja och anpassa problem i förhållande till det. Du kommer tillsammans med dina kollegor att få välja ett utmanande problem ur det läromedel ni använder och genomföra en problemlösningslektion med de fyra faserna. Under lektionen får du särskilt fokusera på vilka uttrycksformer eleverna använder sig av när de löser problemet. Mål för dig som lärare Målet med den här delen är att du ska fördjupa dina kunskaper om vad matematikundervisning genom problemlösning enligt de fyra faserna kan innebära. Du ska dessutom utveckla dina färdigheter i att sätta mål och välja lämpligt problem samt i att särskilja olika uttrycksformer i dina elevers lösningar. Revision: 3 Datum:

4 Del 1: Moment A individuell förberedelse Se föreläsning Se först föreläsningen Problemlösning i matematikundervisning. Den ger en kort bakgrund till matematikundervisning genom problemlösning och introducerar översiktligt modulens innehåll. Vilken roll spelar problemlösning i din matematikundervisning idag? Läs Läs Undervisa i matematik genom problemlösning. Särskilt fokus läggs vid att sätta mål och välja problem, vilket utgör själva grunden för undervisning genom problemlösning. Se och lyssna på presentation Lyssna på den ljudsatta presentationen Ett problem många olika lösningar. Här presenteras ett arbetssätt där alla elever arbetar med samma problem fast på olika sätt som en väg att möjliggöra gemensamma diskussioner. Bilderna till presentationen finns också för utskrift. I fördjupningen finns en ljudsatt presentation med elevlösningar till problemet En brakmiddag där du kan höra eleverna förklara dem utförligt. Leta i ert läromedel Leta efter uppgifter i ert läromedel som ställer högre krav på elevernas tänkande (vad det innebär framgår av texten Undervisa i matematik genom problemlösning ). Anteckna vilka uppgifter du hittar och ta med dig anteckningarna till mötet med kollegorna i moment B. Då väljer ni tillsammans ut ett av era problem att genomföra i era klasser. Läs Läs Till läraren som tar upp saker som är bra att veta inför arbetet med modulen. I Lektionsaktiviteter finns en tabell där du kan föra bok över vilka problem som används i modularbetet. Revision: 3 Datum:

5 Material Undervisa i matematik genom problemlösning M. Larsson Ett problem många olika lösningar M. Larsson Till läraren A. Bergwall och M. Larsson Lektionsaktiviteter A. Bergwall Problemlösning i matematikundervisning Mälardalens högskola Filformatet kan inte skrivas ut Ett problem - många olika lösningar null Filformatet kan inte skrivas ut En brakmiddag - elevers egna förklaringar till sina olika lösningar null Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 3 Datum:

6 Grundskola åk 7 9 Modul: Problemlösning Del 1: Matematikundervisning genom problemlösning Undervisa i matematik genom problemlösning Maria Larsson, Mälardalens högskola Att hjälpa barn att bli bättre problemlösare är inte bara ett utomordentligt viktigt mål, det är också den mest spännande utmaningen en lärare kan få. Om jag bara fick ge ett enda råd till en lärare som har tänkt att börja med problemlösning, så skulle det vara: Kom ihåg att barn är problemlösare av naturen. Lärarens arbete är att försöka utveckla denna naturliga förmåga så långt det går [ ]. (Lester, 1996, s.91 ) Problemlösning och matematiska förmågor Som det står i Lgr11 ska eleverna ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem samt värdera valda strategier och metoder. Då är det problemlösningsförmågan vi talar om. Genom att eleverna får lösa och diskutera utmanande matematiska problem kan faktiskt alla matematiska förmågor utvecklas. Om eleverna arbetar med samma problem och diskuterar sina olika lösningar får de uppleva att det finns många olika sätt att tänka kring ett problem. De får kommunicera, resonera, utveckla sina räknefärdigheter och sin begreppsförståelse. Genom att eleverna får möjlighet att arbeta med utmanande problem får de också uppleva vad det kan innebära att utöva matematik. Matematikern George Pólya betonade att en naturlig del av att utöva matematik är att kämpa med centrala matematiska idéer (Pólya,1945/1957). Forskning visar också tydligt (Hiebert & Grouws, 2007) att elever som utmanas med problem och aktiviteter som kräver att de brottas med viktiga matematiska idéer utvecklar sin begreppsförståelse. Dessutom presterar de lika bra eller rentav bättre även på rena rutinuppgifter än elever som enbart följer mer traditionell undervisning där man huvudsakligen övar på det som har demonstrerats av läraren. Det har också visat sig att elever som tränar sin räknefärdighet i en miljö som fokuserar på begreppslig utveckling blir mer flexibla och kan i högre grad anpassa sina färdigheter till att lösa nya uppgifter. Att fokusera på begrepp innebär att tydliggöra matematiska kopplingar mellan matematiska idéer och representationer. Det hjälper också eleverna att se matematiken som en sammanhängande helhet. Att engagera eleverna i utmanande matematiska aktiviteter som synliggör matematiska kopplingar är ett genomgående tema i den här modulen. Det kommer du att få göra i alla delar och för att underlätta ditt arbete kommer du att få olika verktyg. I den modell av Stein med flera (2008) som genomsyrar denna modul har matematiska kopplingar en central plats. Strukturerade, logiskt sammanhängande diskussioner av de centrala idéerna i matematik och deras samband är en nyckel för att utveckla elevernas begreppsförståelse. Att leda givande helklassdiskussioner utifrån elevernas olika lösningar till ett utmanande problem är således en viktig aspekt och kommer att ges mycket utrymme i denna modul. Undervisa i matematik genom problemlösning April (7)

7 Grundskola åk 7 9 Vad är ett problem och vad är en lösning? Pólya (1945/1957) delar upp elevernas arbete med ett problem i att förstå problemet, att göra upp en plan, att genomföra planen och att se tillbaka och kontrollera resultatet. Det sista steget får inte glömmas bort. Du som lärare kan hjälpa eleverna att ställa sig frågor som: Är det rimligt? Stämmer det jag kom fram till med förutsättningarna som gavs i problemet? Hur kan jag kontrollera resultatet? När vi i den här modulen talar om ett matematiskt problem avser vi alltid en matematisk uppgift som personen inte från början vet hur han/hon kan gå tillväga för att lösa. Det krävs ansträngning för att lösa ett problem. Det innebär också att det är individuellt vad som är ett problem. En uppgift som är ett problem för en person behöver inte vara det för en annan person! Något som är ett problem för en person idag kan senare bli en rutinuppgift för samma person. Det innebär dessutom att en textuppgift inte behöver vara ett problem och att en rent matematisk uppgift kan vara ett problem. Med lösningen till ett problem menar vi hela resonemanget och inte enbart svaret. Kerstin Hagland, Rolf Hedrén och Eva Taflin har i sin bok Rika matematiska problem tagit fram ett antal kriterier för ett rikt problem. Ett rikt problem är ett problem som: introducerar viktiga matematiska idéer eller strategier alla elever kan arbeta med på sin nivå kräver att eleverna anstränger sig och ska få ta tid kan lösas på många olika sätt med olika strategier och representationer kan samla hela klassen i en diskussion baserad på elevernas olika lösningar kan knyta samman olika matematiska områden kan inspirera till skapandet av egna, liknande problem För att ett problem ska passa alla elever i en klass är det viktigt att problemet har en låg tröskel och samtidigt ett djup så att alla elever kan få lagom utmaning av det. I Problembanken finner du ett antal problem som ni kommer att få välja bland vid genomförande av lektionsaktiviteten i denna modul. Exempelvis ser problem nr 2 ut så här: Kramar Ellinor har bjudit hem sina tjejkompisar till en filmkväll. Alla som är på filmkvällen kramar varandra. Alla kramarna är mellan två personer i taget. Hur många kramar blir det totalt om det är: 4 personer på filmkvällen? 5 personer? 10 personer? 20 personer? n personer på filmkvällen? Hitta på ett eget liknande problem och lös det. Undervisa i matematik genom problemlösning April (7)

8 Grundskola åk 7 9 En problemlösningslektions faser De fyra faser som vi tänker oss i en problemlösningslektion är: introduktion enskilt arbete arbete och diskussioner i smågrupper/par klassdiskussion Du introducerar först problemet och ser till att alla elever förstår problemställningen, varefter eleverna arbetar tyst och enskilt med problemet en stund innan de får arbeta vidare och diskutera sina lösningar i smågrupper eller par. Till sist leder du en gemensam klassdiskussion utifrån elevernas olika lösningar och gör en summering av viktiga aspekter. Självklart finns det olika varianter av de här faserna. Man behöver ju inte alltid låta eleverna arbeta både enskilt och i smågrupper, men det kan finnas stora fördelar med det jämfört med att direkt låta eleverna sätta sig i smågrupper. Det kan bidra till mångfalden av olika lösningar i klassen. Eleverna har oftast hunnit komma igång med problemet och har med sig sina egna tankar in i grupparbetet. Även de elever som tar lite längre tid på sig att komma igång har då chansen att bidra i gruppdiskussionen. Eleverna kan välja att arbeta vidare på en av lösningarna eller att ta idéer från olika lösningar och smälta samman. Ofta kan det vara lagom med 5-10 minuter för det enskilda arbetet för att eleverna ska ha kommit en bit på väg med sin lösning innan de arbetar vidare och diskuterar i smågrupper. Beroende på gruppens nivå kan det dock behövas längre tid. Klassdiskussionen ligger oftast sist, men ibland kan det även behövas en kort klassdiskussion mitt i elevernas arbete för att samla tankarna. Om du har möjlighet till halvklass ibland kan det också vara ett alternativ. Ibland kan man behöva ägna flera lektioner åt ett problem. För att du i lugn och ro ska hinna sätta dig in i elevernas olika lösningar innan klassdiskussionen kan du vänta med klassdiskussionen till dagen efter. Då kan du samla in elevlösningarna efter elevernas arbete. En annan variant är att bara ta en rast innan klassdiskussionen. Fördelen med det är att eleverna har sina tankar i färskt minne när klassdiskussionen kommer. Naturligtvis kan du också ta alla faserna i ett svep under en enda lång lektion. Det ställer ganska höga krav på att du ska hinna skaffa dig en överblick över alla elevers olika lösningar medan de arbetar, men det kan vara ett mål på sikt. När det gäller sammansättningen av smågrupper så visar forskning att det är bra med heterogena grupper så länge skillnaderna inte är för extrema. Blanda gärna medelpresterande med hög- eller lågpresterande elever, men undvik att sätta samman de mest högpresterande med de mest lågpresterande eleverna. Håll gärna samman smågrupperna under en längre period. Det är bra om grupperna inte består av mer än 2-3 elever för delaktighetens skull. Undervisa i matematik genom problemlösning April (7)

9 Grundskola åk 7 9 Sätta mål och välja problem Om vi går tillbaka till ett övergripande plan så är huvudmålet med undervisning genom problemlösning att eleverna utvecklar djup förståelse för matematiska begrepp och metoder genom att lösa problem. En nyckel till förståelse är elevernas egna engagemang och meningsskapande. Eleverna kan lära sig att arbeta matematiskt genom att lösa problem, och det har de nytta av i alla matematiska situationer. Du som lärare behöver avgöra vilka problem som ska väljas, vad som ska lyftas fram i klassdiskussionen utifrån elevernas olika idéer och vilka frågor som kan ställas för att utmana och stötta eleverna utan att tänka åt dem (Lester & Lambdin, 2007). I del 2-4 går vi in på en modell som stöd för att hålla givande klassdiskussioner och i del 6 kommer vi in på vilka frågor som kan ställas i interaktionen med eleverna. När det gäller val och anpassning av problem så måste problemet passa alla elever i klassen och bygga på den kunskap de redan har. För att anpassa ett problem kan man exempelvis lägga till eller ta bort delproblem, ändra problemets kontext, anpassa språket eller de ingående talen. I problemet Kramar (se ovan) skulle man till exempel kunna ändra kontexten till att handla om handskakningar eller ta bort delproblemet med n personer. Matematikinnehållet, alltså de begrepp och procedurer som ska studeras, måste finnas inbäddat i problemet. Problemet väljs i relation till lektionsmålen. Ett långsiktigt mål för all matematikundervisning är ju att utveckla elevernas förmågor med hjälp av det centrala innehållet. För att tydliggöra vilka kunskaper och förmågor som eleverna ska ges förutsättningar att utveckla under arbetet med ett problem behöver man som lärare konkretisera de långsiktiga målen. Nu ska vi ge ett exempel på hur målen kan sättas för arbetet med problemet Lägga plattor runt rabatter (problem nr 5 i Problembanken): Lägga plattor runt rabatter figur 1 figur 2 figur 3 Eva och Ali lägger vita plattor runt rabatter som bilden visar. Hur många vita plattor går det åt i: o figur 4? o figur 5? o figur 14? o figur 54? Undervisa i matematik genom problemlösning April (7)

10 Grundskola åk 7 9 Beskriv med ord hur mönstret är uppbyggt! Hur många vita plattor går det åt i figur n? Hitta på ett eget liknande problem och lös det. Mål för en klass som arbetar med problemet i samband med mönster kan vara att eleverna utvecklar sin förmåga att: visualisera ett mönster på olika sätt använda figurens nummer som variabel för att uttrycka en explicit regel för antal plattor göra kopplingar mellan olika visualiseringar av mönstret och olika, ekvivalenta sätt att uttrycka en formel argumentera för och jämföra sina egna och andras algebraiska formler utifrån den grafiska representationen Mål för en annan klass som arbetar med problemet i samband med funktioner kan vara att eleverna utvecklar sin förmåga (Smith & Stein, 2011) att: se att linjära funktioner växer med konstant hastighet uttrycka en explicit regel som definierar sambandet mellan de två variablerna på flera olika, ekvivalenta sätt uttrycka förändringstakten hos en linjär funktion med olika representationsformer: o o o som skillnaden mellan efterföljande y-värden i en tabell som k-värdet i räta linjens ekvation y = kx + m som lutningen hos funktionens graf Målen i det här fallet skiljer sig en hel del från målen i det första exemplet, trots att det är samma problem vi utgick ifrån. Lärare behöver välja problem med omsorg och matcha problemen med målen för elevernas lärande. Olika problem ger ju eleverna olika möjligheter att lära sig och utöva matematik. Undervisa i matematik genom problemlösning April (7)

11 Grundskola åk 7 9 Uppgifter som ställer högre eller lägre kognitiva krav Forskarna Margaret S. Smith & Mary Kay Stein med kollegor särskiljer mellan uppgifter som ställer högre eller lägre krav på elevernas kognitiva förmåga. I uppgifter som ställer lägre krav ligger fokus på att producera korrekta svar istället för på att utveckla matematisk förståelse. Det kan handla om: att återge memorerad fakta. Ex) Skriv som procent och i decimalform: = = att en algoritmisk procedur kan användas utan koppling till begreppen eller betydelsen som ligger bakom proceduren. Det krävs inga förklaringar (eller förklaringar som enbart fokuserar på att beskriva proceduren). Ex) Beräkna I uppgifter som ställer krav på högre nivå ligger fokus på att utveckla matematisk förståelse. Det kan vara uppgifter som: kräver komplext och icke-algoritmiskt tänkande och att eleverna utforskar och förstår matematikens karaktäristiska begrepp, processer eller samband. Ex) Lägga plattor runt rabatter (se ovan). föreslår breda vägar att följa som har nära kopplingar till bakomliggande begreppsliga idéer. Ex) Beräkna av. Rita figurer och förklara din lösning. Även om uppgiften som den ser ut i läromedlet ställer krav på högre nivå är det inte säkert att den höga nivån bibehålls under arbetet med problemet. Forskarna Stein och Smith med kollegor har utvecklat ett ramverk för analys av hundratals lektioner i ett stort projekt. Deras ramverk ser ut så här (Stein, Smith, Henningsen & Silver, 1998): Uppgifter som de ser ut i läromedlet Uppgifter som de sätts upp av lärare Uppgifter som de genomförs av elever Elevers lärande Faktorer som bidrar till att problemets nivå sjunker under arbetets gång är att läraren tar över tänkandet och resonemangen och talar om för eleverna hur man löser problemet, att läraren byter fokus från meningsskapande, begrepp och förståelse till huruvida svaret är korrekt, att för lite eller för mycket tid ges till problemet, att det finns svårigheter med att leda klassrumsarbetet, att problemet inte passar eleverna samt att oklara förklaringar accepteras. Undervisa i matematik genom problemlösning April (7)

12 Grundskola åk 7 9 Faktorer som bidrar till att en högre nivå bibehålls har visat sig vara att läraren stöttar elevernas tankar och resonemang, att elever får verktyg för att hålla koll på sina egna framsteg, att läraren eller andra elever visar på resonemang på hög nivå, att läraren ser till att det alltid finns förväntningar på tydliga förklaringar, att uppgiften bygger på elevers tidigare kunskap, att läraren ofta gör begreppsliga kopplingar samt att det finns tillräckligt med tid att utforska (inte för lite och inte heller för mycket). Referenser Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. Hiebert, J., & Grouws, D. A. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students learning. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). Charlotte, NC: Information Age Publishers. Lester, F. K. (1996). Problemlösningens natur. I Matematik ett kommunikationsämne. Nämnaren TEMA. Göteborg: NCM/Nämnaren. Lester, F., & Lambdin, D. (2007). Undervisa genom problemlösning. I Lära och undervisa matematik internationella perspektiv. Göteborg: NCM/Nämnaren. Pólya, G. (1945/57). How to solve it. Oxford: Princeton University Press. Smith, M. S., & Stein. M. K. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematical discussions. Reston, VA: NCTM. Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating productive mathematical discussions five practices for helping teachers move beyond show and tell. Mathematical Thinking and Learning, 10, Stein, M. K., Smith, M. S., Henningsen, M. A., & Silver, E. A. (2009). Implementing standardsbased mathematics instruction a casebook for professional development. New York: Teachers College Press and Reston, VA: NCTM. Undervisa i matematik genom problemlösning April (7)

13 Matematiklyftet Grundskola åk 7-9 Modul: Problemlösning Del: 1 April

14 Ett problem många olika lösningar Maria Larsson, Mälardalens högskola

15 Ett problem många olika lösningar! Alla elever arbetar med ett och samma problem, men med olika uttrycksformer och olika strategier. En lärarledd gemensam klassdiskussion kan då hållas utifrån elevernas olika sätt att tänka.

16 Uttrycksformer/representationsformer K L A G K: Konkret L: Logisk/språklig A: Algebraisk/aritmetisk G: Grafisk/geometrisk Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber.

17 Generella problemlösningsstrategier Rita en figur Sätta upp en tabell Söka mönster Gissa och prova Lösa ett enklare problem av samma typ Arbeta baklänges Ställa upp en ekvation

18 Problemspecifika strategier En brakmiddag Ett lejon äter upp ett får på 3 timmar, en björn äter upp ett får på 6 timmar och en leopard äter upp ett får på 4 timmar. 1. Hur lång tid tar det för lejonet och björnen att tillsammans äta upp ett får? 2. Hur lång tid tar det för alla tre djuren att tillsammans äta upp ett får? 3. Hitta på ett eget liknande problem och lös det. Larsson, M. (2007). 32 rika problem i matematik. Stockholm: Liber.

19 En brakmiddag strategin per timme På en timme äter lejonet 1/3 får och björnen 1/6 får. Alltså äter de ett halvt får tillsammans på en timme: Lejonet Björnen Att äta ett helt får tar då två timmar för dem tillsammans.

20 En brakmiddag strategin per timme Antag att det tar t timmar för lejonet och björnen att tillsammans äta upp ett får. Eftersom lejonet äter 1/3 får och björnen äter 1/6 får på en timme kan vi ställa upp ekvationen: (1/3 + 1/6)t = 1 (2/6 + 1/6)t = 1 t/2 = 1 t = 2 Det tar alltså 2 timmar för lejonet och björnen att tillsammans äta upp ett får.

21 En brakmiddag strategin jämföra inbördes hastighet Lejonet äter dubbelt så fort som björnen. Tillsammans äter djuren tre gånger så fort som björnen ensam. För björnen ensam tar det sex timmar att äta ett får. Då måste det ta 6/3 timmar = 2 timmar för djuren tillsammans.

22 En brakmiddag strategin äta på På sex timmar äter björnen ett får och lejonet två får. Tillsammans äter de alltså tre får på sex timmar, vilket ger att det tar två timmar för dem att tillsammans äta ett får.

23 En brakmiddag olika elevlösningar Lyssna gärna när elever själva förklarar sina lösningar till En brakmiddag och hur kamraterna kommer med frågor och synpunkter. I fördjupningen till denna del finner du presentationen med elevers egna lösningar och förklaringar.

24 Referenser och lästips Hagland, K., Hedrén, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. Larsson, M. (2007). 32 rika problem i matematik. Stockholm: Liber.

25 Grundskola åk 7 9 Modul: Problemlösning Del: 1 Till läraren Andreas Bergwall & Maria Larsson Här har vi valt att lyfta några saker som vi modulmakare tror är extra viktigt att du är medveten om redan från början i arbetet med den här modulen. Bakgrunden är de synpunkter vi fått in från lärare och handledare som redan har arbetat med modulen. Modulens övergripande upplägg En av grundbultarna i Matematiklyftet är det kollegiala lärandet. Du kommer att ges många tillfällen att tillsammans med dina kollegor diskutera matematikdidaktiska frågeställningar i nära koppling till din egen matematikundervisning! Modulen har åtta delar som alla består av fyra moment: individuell förberedelse (moment A), kollegialt arbete (moment B), lektionsaktivitet (moment C) och gemensam uppföljning (moment D). I den här modulen är aktiviteten alltid en problemlösningslektion med följande fyra faser: 1) introduktion av ett problem, 2) enskilt arbete, 3) arbete och diskussion i smågrupper, samt 4) gemensam klassdiskussion. Som stöd för att planera och hålla klassdiskussioner kommer ni att få använda er av femstegsmodellen. Den handlar om hur du skapar förutsättningar för en givande klassdiskussion genom att: 1) förutse elevlösningar, 2) överblicka elevernas arbete, 3) välja ut elevlösningar, 4) ordna de utvalda elevlösningarna för gemensam diskussion, samt 5) visa på viktiga matematiska kopplingar mellan elevlösningar och till centrala matematiska idéer. Det här arbetssättet gås igenom i del 1-4. Senare i modulen lyfts ytterligare aspekter av arbetet med problemlösning som klassrumsnormer, interaktion, formativ bedömning och lektionsplanering. Alla modulens delar bygger på varandra. Att förbereda och genomföra problemlösningslektioner Problemlösningslektionerna genomförs under vanliga matematiklektioner. Antingen kan du välja att genomföra merparten av dem i samma elevgrupp eller att fördela dem mellan flera olika elevgrupper. Om du genomför de flesta problemlösningslektioner i en och samma elevgrupp kan du få se hur just dessa elever utvecklas under loppet av en termin. Om du istället fördelar lektionerna mellan ett par olika elevgrupper kan du å andra sidan använda samma problem flera gånger (med vissa anpassningar), vilket gör att du kan känna dig ännu bättre förberedd på vilka lösningar eleverna kan komma med och hur du kan använda dig av dem för att skapa en givande klassdiskussion. Vi vill redan nu göra er uppmärksamma på att ni i del 7 behöver återanvända ett problem från en tidigare del men i en ny elevgrupp. Till läraren April (3)

26 Grundskola åk 7 9 Som hjälp för planering av lektionsaktiviteterna finns ett Aktivitetsprotokoll (moment A, del 1) där ni kan notera datum, elevgrupp och val av problem. För att det kollegiala utbytet ska bli så stort som möjligt är det önskvärt att ni kollegor arbetar med samma problem. Ni kommer gemensamt att förbereda lektionsaktiviteten i moment B. Men redan i moment A kommer du att på egen hand påbörja förberedelsearbetet. För att detta ska vara möjligt gör ni redan i moment D i delen innan ert gemensamma val av problem. Varje del av modulen följer det cykliska upplägg som visas i bilden nedan. Leda klassdiskussion och göra kopplingar (moment C) Reflektera över lektionen utifrån delens fokus (moment D) Välja ut och ordna elevlösningar (moment C) Överblicka elevernas arbete (moment C) Sätta mål och välja problem (moment D) Introducera problemet (moment C) Förutse elevlösningar (moment A) Förbereda lektion (moment B) Att börja undervisa genom problemlösning Att genomföra en problemlösningslektion är en stor utmaning för de flesta. Räkna med att det behövs en lång lektion (på minuter) alternativt två 40-minuterslektioner för att genomföra problemet. I början av arbetet med modulen vill vi rekommendera följande: 1) Ta om möjligt en paus mellan elevernas grupparbete och klassdiskussionen. Om två lektioner används kan du introducera problemet och låta eleverna arbeta med det under den första lektionen och vänta med klassdiskussionen till nästa. Då kan du i lugn och ro välja ut och ordna elevlösningar till den gemensamma diskussionen. 2) Genomför om möjligt de första problemlösningslektionerna i halvklass. Det blir då lättare att överblicka elevernas arbete och att hantera den gemensamma diskussionen (mångfalden av elevlösningar kan dock bli mindre). 3) Återanvänd gärna problemen i nya elevgrupper. Då har du igen mycket av dina förberedelser och får känna dig väl förberedd, vilket ofta gör att klassdiskussionen blir mer givande. 4) Börja gärna med ett enklare mönsterproblem (t.ex. Lägga plattor runt rabatter eller Buskar på rad). Även elever som är ovana vid problemlösning brukar kunna sätta sig in i och engagera sig i sådana problem. Till läraren April (3)

27 Grundskola åk 7 9 Att etablera nya normer Problemlösningslektioner med klassdiskussioner är utmanande även för eleverna och för många är det ett helt nytt arbetssätt. Om eleverna är ovana vid detta arbetssätt bryter det mot de rådande klassrumsnormerna och man får räkna med att tar tid att ändra på dessa. Det kan vara bra att vara medveten om detta redan från början. I del 5 kommer du att få fokusera på just klassrumsnormer. Om filmerna I några av delarna finns det lektionsfilmer att titta på. Både lärare och elever har lång erfarenhet av att jobba med problemlösning på detta sätt. Filmerna visar kanske inte hur det ser ut i ett typiskt svenskt matematikklassrum men de visar hur matematikundervisningen typiskt ser ut i de här klasserna. Man kan inte förvänta sig att allt ska fungera från första början. Däremot intygar de lärare som arbetat med modulen att man faktiskt upplever stora framgångar redan under den termin som modularbetet pågår. Problembanken & Verktygsbanken Som stöd för att välja problem finns Problembanken med problem som är konstruerade för att kunna användas i olika årskurser och av elever som kommit olika långt i sin matematiska utveckling. I Problembanken finns en sammanställning över vilka centrala innehållsområden som de olika problemen fokuserar så att du lättare kan välja problem som passar med det ni håller på med. Till alla lektionsaktiviteter finns också ett verktyg. Dessa kan du använda vid behov och på ett sätt som passar just dig. Verktygen finns samlade i Verktygsbanken och alla verktyg behandlas i det material som du tar del av i moment A. Problembanken och Verktygsbanken hittar du under rubriken Se även till höger i Lärportalen. Anteckna och spara Både du och dina elever kommer att lägga ner mycket arbete på varje problemlösningslektion. Försök hitta ett bra sätt att spara problem, elevlösningar och dina egna kommentarer så du kan dra nytta av det nedlagda arbetet när du senare vill återanvända problemen. Skapa gärna en mapp i datorn för varje problem ni arbetar med, där du kan spara fotograferade eller inskannade elevlösningar och dina egna anteckningar rörande problemet. Med tiden får du då en bank av material som kan vara riktigt användbart, både för dig själv och för att dela med kollegor. Skaffa gärna särskilda häften i A4-format som dina elever använder när de löser problem. I dessa häften kan eleverna klistra in problemen och skriva sina lösningsförsök och lösningar. Dessa kan du som lärare samla in mellan gångerna och ha som underlag för era diskussioner kollegor emellan. Häftena blir även en markering för dina elever att dessa tillfällen är speciella på det viset att problemen är mer utmanande, kräver ansträngning och får ta tid. Du behöver också kontinuerligt föra anteckningar över dina egna reflektioner. Det behöver inte vara så märkvärdigt, det räcker att skriva ner några punkter efter varje lektionsaktivitet och som sammanfattning av de kollegiala diskussionerna. Till sist, varmt lycka till med arbetet! Till läraren April (3)

28 Grundskola åk 7 9 Modul: Problemlösning Del 1: Matematikundervisning genom problemlösning Lektionsaktiviteter Andreas Bergwall Nedanstående tabell kan användas vid planering av aktiviteterna i moment C. Det finns två rader för datum eftersom man alltid kan välja att dela upp problemlösningsaktiviteten på två lektioner. I del 1 väljs problem ur läroboken. För övrigt hänvisar vi till Problembanken. Observera att upplägget av del 7 förutsätter att du då kan upprepa ett problem i en ny elevgrupp. Det är naturligtvis fritt fram att göra så även i andra delar. Del Datum Elevgrupp Problem Anm. 1. Uppgift i läroboken: Samma som i del: 8. Lektionsaktivitet April (1)

29 Del 1: Moment B kollegialt arbete Se till att spara minst halva mötestiden till att förbereda lektionsaktiviteten (se nedan). Diskutera Hur arbetar ni med problemlösning i nuläget? Hur brukar ni använda er av helklassdiskussioner av olika elevlösningar? Vad ser ni för möjligheter och utmaningar med faserna introduktion, enskilt arbete, arbete och diskussion i smågrupper samt helklassdiskussion? Hur resonerar ni när ni sätter samman eleverna i smågrupper/par? Förbered en aktivitet Diskutera det urval av uppgifter ni har gjort ur ert läromedel i moment A. Är ni överens om vilka uppgifter som ställer krav på högre nivå? Välj tillsammans ett problem ur ert läromedel att genomföra i era olika klasser. Problemet ni väljer ska ställa krav på högre nivå. Lös tillsammans problemet på så många olika sätt som möjligt, med olika uttrycksformer och strategier. Formulera mål för lektionen. Hur ska era elever ges möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor genom arbete med det valda problemet? Med vilket centralt innehåll ska detta ske? Målen kan variera mellan olika årskurser och elevgrupper. Anpassa problemet så att det passar för era olika elevgrupper (ni kan anpassa kontexten, språket, de ingående talen, skapa fler delproblem m.m.). I olika elevgrupper kan det alltså bli frågan om att använda olika utformningar av problemet. Diskutera vilka elevlösningar (uttrycksformer och strategier) ni ser som troliga av just era elever och anteckna dessa. Material Revision: 3 Datum:

30 Del 1: Moment C aktivitet Genomför Genomför det valda problemet enligt faserna: introduktion enskilt arbete arbete och diskussion i smågrupper/par hel/halvklassdiskussion Introducera problemet på det sätt du har planerat. Låt eleverna arbeta enskilt med problemet en stund innan de får arbeta och diskutera tillsammans i smågrupper eller par som du har satt ihop. Håll en gemensam hel- eller halvklassdiskussion där du har valt ut några av elevernas lösningar till diskussion. Hjälps tillsammans åt att få så tydliga förklaringar som möjligt. Ni kan också diskutera likheter och skillnader mellan olika lösningar samt värdera olika lösningar. Uppmärksamma särskilt Uppmärksamma särskilt vilka uttrycksformer och strategier som dina elever använder sig av när de arbetar med problemet. Se KLAG-modellen för uttrycksformer i Verktygsbanken. Kom ihåg Samla in elevernas problemlösningshäften. Material Revision: 3 Datum:

31 Del 1: Moment D gemensam uppföljning Ta med Problembanken och elevernas problemlösningshäften till mötet. Se till att spara minst halva mötestiden till att välja problem till nästa del (se nedan). Diskutera Hur fungerade problemet i era olika klasser i relation till lektionens mål? Hur introducerade ni problemet? Hur gick det när eleverna arbetade enskilt och i smågrupper? Vilka uttrycksformer och strategier använde era elever? Lyft fram några särskilt intressanta elevlösningar. Hur kunde ni använda era elevers olika lösningar under helklassdiskussionen? På vilka grunder valde ni ut elevlösningar till diskussion i klassen? Var det på frivillig basis utifrån handuppräckning eller valde ni medvetet ut vissa elevlösningar? Var det någon elev som överraskade er positivt under problemlösningen? Hur i så fall? Vad tror ni att eleverna lärde sig denna lektion? Vad behöver följas upp och för vilka elever? Välj problem till nästa del Bläddra tillsammans igenom Problembankens elevsidor och välj ett problem att genomföra i era olika klasser i del 2. Formulera mål för lektionen. Hur ska era elever ges möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor genom arbete med det valda problemet? Med vilket centralt innehåll ska detta ske? Målen kan variera mellan olika årskurser och elevgrupper. Anpassa problemet till era olika elevgrupper (ni kan anpassa kontexten, språket, de ingående talen, skapa fler delproblem m.m.). I olika elevgrupper kan det alltså bli frågan om att använda olika utformningar av problemet. Om ni hinner kan ni redan nu under mötet börja förutse troliga elevlösningar av just era elever. Under mötet i moment B i nästa del får ni tid för gemensam förberedelse av lektionen. Material Revision: 3 Datum:

32 Fördjupning årskurs 7-9 Del 1. Matematikundervisning genom problemlösning Maria Larsson, Mälardalens högskola Artiklarna Undervisa genom problemlösning och Why is teaching mathematics through problem solving important? handlar om matematikundervisning genom problemlösning och varför det är viktigt. Forskaren Frank Lester har varit med och skrivit dessa liksom Nämnarenartikeln Why is mathematical problem solving difficult for students? som även finns översatt till svenska som Problemlösningens natur. Två böcker handlar om rika problem. Boken Rika matematiska problem inspiration till variation har många tankar om hur man kan arbeta med problemlösning enligt de fyra faserna och hur man kan variera och anpassa problemen. I boken 32 rika problem i matematik består varje uppslag av ett elevblad med ett problem samt en lärarsida med lösningsförslag, lektionsförslag och förslag på variationer. Problemen i båda böckerna lämpar sig för årskurs 7-9. Kapitel 2 i boken 5 undervisningspraktiker i matematik för att planera och leda rika matematiska diskussioner handlar om att sätta lektionsmål och välja lämpligt problem. Att välja och sätta upp uppgifter med högre kognitiva krav samt vikten av att upprätthålla uppgiftens höga kognitiva krav under genomförandet tas upp i presentationen Effective mathematics instruction the role of mathematical tasks. Presentationen finner du längst ner på sidan som länken går till. Presentationen hör till boken Implementing standards-based mathematics instruction som du hittar referens till här nedan. Nämnarenartiklarna Vad är kunskap i matematik? och Kompetenser och matematik behandlar matematiska förmågor. I presentationen En brakmiddag elevers egna förklaringar till sina olika lösningar förklarar ett antal elever i Cecilia Christiansens sjätteklass sina olika lösningar. Detta är en fristående fortsättning på den ljudsatta presentationen i del 1. Referenslitteratur Rika matematiska problem inspiration till variation. K. Hagland, R. Hedrén och E. Taflin (2005). Stockholm: Liber. 32 rika problem i matematik. M. Larsson (2007). Stockholm: Liber. Problemlösningens natur. F. Lester (1995). I Matematik ett kommunikationsämne. Nämnaren TEMA (s ). Lägga grunden sätta mål och välja ut uppgifter. Kapitel 2 i boken 5 undervisningspraktiker i matematik för att planera och leda rika matematiska diskussioner (s ). M. S. Smith och M. K. Stein (2014). Stockholm: Natur o. Kultur. Revision: 3 Datum:

33 Implementing standards-based mathematics instruction a casebook for professional development. M. K. Stein, M. S. Smith, M. A. Henningsen och E. A. Silver (2009). New York: Teachers College Press. Material Revision: 3 Datum:

34 Material Undervisa genom problemlösning F. Lester och D. Lambdin Teaching mathematical problem solving F. Lester Vad är kunskap i matematik? A. Ryve Kompetenser och matematik O. Helenius Why is teaching mathematics through problem solving important? null Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 3 Datum:

35 Undervisa genom problemlösning FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN Att undervisa i matematik via problemlösning har som huvudmål att elever ska utveckla en djupare förståelse för matematiska begrepp och metoder. Vägen till förståelse går via elevernas arbete med utvalda problem där den matematik som ska studeras finns inbäddad. Vi fokuserar två frågeställningar: Vilka är fördelarna med att undervisa genom problemlösning? och Vad säger forskningen om hur lärare kan lära sig att undervisa genom problemlösning? Artikeln avslutas med en diskussion kring några konkreta exempel på hur man kan undervisa genom problemlösning. De senaste åren har såväl intresse som forskning ökat vad gäller att sätta problemlösning i fokus inom skolmatematiken (NCTM, ). Idag råder enighet bland ledande matematikutbildare om att problemlösningens roll i skolmatematiken bör få en ny karaktär. Idag är problemlösning ofta en aktivitet som kommer efter att eleverna studerat begrepp och färdigheter. Istället bör problemlösning betraktas som ett hjälpmedel för att utveckla nya kunskaper i matematik. Det är gott och väl att författarna till de senaste upplagorna av NCTM-dokumenten föreslår att problemlösning skall fungera som ett medel för att lära sig matematiska idéer och färdigheter (NCTM,, s ), men det är något helt annat att tillfredställa behovet av sammanhängande och tydlig vägledning för lärare om hur detta ska gå till. Som ett svar på detta behov av vägledning initierade NCTM ett uppdrag att utveckla två böcker innehållande artiklar som behandlar problemlösning som medel för att lära sig matematik. Den ena boken är inriktad mot undervisning av elever i åldern år (Lester & Charles, ), den andra mot äldre elever, år (Schoen & Charles, ). Diana Lambdin medverkade i det redaktionsråd som sammanställde och granskade artiklarna. Hon skrev också introduktionskapitlet till boken för tidigare år. 1 NCTM, National Council of Teachers of Mathematics Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola Lära och undervisa matematik internationella perspektiv 95

36 FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN Vid sammanställningen av de två böckerna vägleddes redaktionsrådet av vad det ansåg vara det centrala budskapet i fyra dokument utgivna av NCTM. Detta budskap handlar om att se skolans matematikundervisning som ett sammanhängande system. Enligt Hiebert m fl ( ) omfattar ett sådant system fem dimensioner karaktären hos skolmatematikens uppgifter, lärarens roll, den socio-kulturella miljön i klassrummet, matematiska verktyg som hjälpmedel för lärande, jämlikhet och tillgänglighet. Om man förändrar något i en av dessa dimensioner, så måste motsvarande ändringar göras i de andra eftersom de bildar en helhet. I denna artikel behandlas två teman, dels vilka fördelar det är med att undervisa genom problemlösning, dels vad forskningen säger om hur lärare kan lära sig undervisa på detta sätt. Innan vi diskuterar dessa teman tar vi upp de övergripande visioner som väglett oss vid arbetet med de två böckerna. Amerikansk undervisningstradition Det senaste seklets dominerande matematikundervisning i USA kan grovt karaktäriseras med hjälp av några av de dimensioner som nämnts ovan: Uppgifterna som eleverna arbetar med kommer framför allt från läroboken. Dessa är i huvudsak korta, saknar kontext och är symboltyngda. De syftar till att eleverna ska behärska och behålla sina procedurfärdigheter. Lärarens roll är att visa lösningar av typexempel för eleverna som förväntas lyssna och lära sig att tillämpa demonstrerade metoder. Eleverna övar sedan dessa genom ett individuellt räknande av många uppgifter, som liknar de som läraren löst. Om dessa metoder/procedurer överhuvudtaget används för att lösa vardagsproblem så är problemen kortfattade, tillrättalagda textuppgifter som ges i direkt anslutning till de metoder/procedurer som behövs för att lösa vardagsproblemen. I den traditionella socio-kulturella miljön i klassrummet finns en överenskommelse att läraren och facit är de enda matematiska auktoriteterna. Elever som utvecklar färdigheter i att använda just de procedurer som presenteras i läroböckerna eller demonstreras av läraren belönas med 2 De fyra NCTM-dokumenten är: Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (1989), Professional Standards for Teaching Mathematics (1991), Assessment Standards for School Mathematics (1995) och Principles and Standards for School Mathematics (2000). Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola 96 Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM

37 Undervisa genom problemlösning beröm och höga betyg. Eleverna utvecklar och använder olika typer av tänkande och strategier för att lösa problem. En del är matematiskt korrekta, en del är inkorrekta. I denna miljö är deras tänkande och strategier generellt sett betydligt mindre intressanta än det korrekta svaret på problemet och den av läroboken föreslagna metoden. Den olyckligaste konsekvensen av den ovan beskrivna undervisningen är att eleverna även i bästa fall lämnar skolan med bara en uppsättning av fakta, procedurer och formler som förstås på ett ytligt och osammanhängande sätt. Kanske än värre är att de knappast kommer att ha en aning om hur det de lärt sig kan användas utanför skolan. Undervisning genom problemlösning: Ett alternativt sätt De två böcker som nämns i början, beskriver tillsammans vad det innebär att undervisa i matematik genom problemlösning. Huvudmålet är att elever skall utveckla djup förståelse för matematiska begrepp och metoder. Nyckeln till en sådan förståelse är elevernas egna engagemang och att de försöker skapa mening i de problemuppgifter de arbetar med. Förutom den nya matematik som används i arbetet, lär sig eleverna genom engagemang, meningsskapande och problemlösning även att arbeta matematiskt vilket i sin tur innebär att de utvecklar ett sätt att tänka som är användbart för vilken matematisk situation som helst. Att undervisa på detta sätt innebär inte att man ska leta rätt på och använda en massa roliga problem. Det främsta kravet är att den matematik som skall behandlas måste vara inbäddad i de utvalda problemuppgifterna. För det andra måste uppgifterna vara tillgängliga och utmanande för eleverna samt bygga på vad de redan vet och kan göra. För det tredje har läraren en mycket viktig uppgift i att se till att de normer som finns i klassrummet verkligen uppmuntrar eleverna att lära sig på detta sätt. Vidare måste läraren betona att eleverna noggrant ska fundera över sina och klasskompisarnas lösningsmetoder. Och kanske viktigast av allt, att fundera över den matematik som de lär sig under arbetet. Läraren skall också se till att eleverna har tillgång till lämpliga teknologiska och intellektuella verktyg, vilket också innebär färdigheter med papper och penna. En verklig utmaning blir det för lärare och kursplanekonstruktörer att finna vägar så att undervisning genom problemlösning verkligen blir tillgänglig för alla. Att se klassrumsundervisning som ett system i fem dimensioner är ett förhållningssätt som vuxit fram genom mer än års klassrumsbaserade studier utförda av forskare och teoretiker. Denna forskning har varit teoriinriktad på så sätt att den syftat till att utveckla en eller flera teorier för matematikundervisning. Resultaten bygger till stor del på det socialkonstruktivistiska perspektivet. Vi anser att de primära målen med matematiklärande är förståelse och problemlösning. Dessa två mål är naturligt relaterade till varandra eftersom förståelse uppnås bäst genom problemlösning. Relationen mellan problemlösning och förståelse är alltså symbiotisk. Vi vill att elever ska kunna lösa problem Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola Lära och undervisa matematik internationella perspektiv 97

38 FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN både i matematik och i verkliga livet. Om man inte kan lösa några problem med den matematik man lärt sig, vad är den då bra för? Men för att kunna lösa problem måste man ha en djup begreppslig förståelse av den matematik man lär sig annars kommer man bara att klara av rutinuppgifter. Således, för att bli en bra problemlösare behöver man en gedigen förståelse förståelse förhöjer problemlösningsförmågan. Å andra sidan, problem är per definition en situation som skapar mental obalans, förvirring e t c man vet inte vad man ska göra. En grundtanke med undervisning genom problemlösning är att individer som ställs inför problem tvingas in i ett mentalt tillstånd där de behöver förstå hur man kan koppla ihop olika slag av kunnande. Följaktligen, lärande genom problemlösning utvecklar förståelsen. Elevers mentala nätverk av idéer och begrepp utvecklas och växer i komplexitet och styrka när de löser problem som tvingar dem att tänka djupare samt att relatera, utvidga och förfina sina tidigare kunskaper. Ett lärande inriktat mot förståelse är visserligen ofta svårare att uppnå, och tar mer tid än att endast memorera eller att kopiera, men ändå överväger fördelarna. Matematikdidaktiker har identifierat åtminstone sex orsaker till varför det är fördelaktigt för elever att lära sig matematik inriktat mot förståelse (Hiebert & Carpenter, ; Van de Walle, ). Dessa sammanfattas nedan: Förståelse är motiverande Ingenting är mer belönande än känslan att en idé är begriplig och sammanhängande, och ingenting är mer frustrerande än att inte förstå. Elever som inte förstår en idé eller ett begrepp känner sig ofta så avskräckta och nedtryckta att de till och med slutar att försöka lära sig genom att förstå. Eleverna måste då istället motiveras med hjälp av yttre belöningar eller påtryckningar (t ex hot om prov, pengar för bra betyg, en guldstjärna i kanten, önskan att tillfredställa föräldrar eller lärare). Men när något känns begripligt för en elev, så uppmuntras hon/han av sin egen inre önskan att fördjupa förståelsen. Eleven vill lära sig mer eftersom det är en så svindlande känsla att lyckas relatera nya idéer till gamla. Hiebert m fl ( ) uttrycker det träffsäkert med följande formulering förståelse föder självtillit och engagemang; att inte förstå leder till uppgivenhet och brist på engagemang (s ). Förståelse skapar förutsättningar för mer förståelse Vi gör vår värld begriplig genom att använda de idéer, begrepp och procedurer vi har tillgängliga. När vi ställs inför obekanta matematiska situationer försöker vi använda de idéer, begrepp och beräkningsmetoder som vi använt förut. Om vi endast ytligt förstår det vi försöker använda oss av, så att vi inte inser om situationen eller metoderna är lämpliga, så kan dessa vara olämpliga för just denna situation eller komma att tillämpas på ett inkorrekt sätt. Följden blir att vi inte kan lösa problemet. När elever försöker lösa problem genom att använda sitt nätverk av matematisk förståelse är sannolikheten högre att den använda matematiken blir användbar och också produktiv. Inventions that operate on understandings can Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola 98 Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM

39 Undervisa genom problemlösning generate new understandings, suggesting a kind of snowball effect. As networks grow and become more structured, they increase the potential for invention (Hiebert & Carpenter, s ). Förståelse hjälper minnet När våra idéer är osammanhängande är de svåra att komma ihåg. De flesta vuxna kan erinra sig att de memorerade ändlösa rader av osammanhängande fakta i skolan i flera ämnen, inte bara matematik. Många av dessa fakta glömdes bort kort efter lektionen eller efter provet. Men när enskilda idéer får mening pga att de blir kopplade till andra idéer, så blir det mycket mindre att memorera. Det finns t ex ingen anledning att memorera olika regler för hur decimaltecknet skall placeras vid additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisionsproblem om vi istället förstår denna enda princip: Principen för hur platsvärdet representeras i det decimala systemet. Med hjälp av förståelsen av platsvärdet kan vi enkelt avgöra var decimaltecknet skall placeras vid vilken beräkning som helst. En enskild viktig princip, som egentligen är ett väl sammanhängande nätverk av mindre principer, är alltså lättare att komma ihåg än flera enskilda osammanhängande principer. Förståelse förbättrar transfer Transfer, d v s att kunna tillämpa sina kunskaper i nya situationer, är kanske den enskilt största utmaningen i all undervisning. Det är en sak att prestera väl på ett prov när provfrågorna nyligen behandlats vid lektionstillfällen, men något helt annat att kunna tillämpa det man lärt sig i andra, kanske oväntade, framtida situationer i eller utanför skolan. Naturligtvis måste transfer vara målet med utbildning, vi förbereder ju eleverna för ett framtida liv utanför skolan. De flesta lärare har säkert hört sina elever klaga Men berätta nu då vad jag skall göra (addera? subtrahera? multiplicera? dividera?), så att jag kan lösa problemet. Dessa elever har lärt in matematiska principer och procedurer utan att egentligen förstå dem. Det är därför de blir så hjälplösa i nya situationer. Förståelse påverkar attityder och föreställningar Förståelse leder till att elever ser på matematikämnet på ett mer positivt sätt, eftersom förståelse gör matematiken logisk, sammanhängande och meningsfull. Detta är ett resultat av att deras självförtroende stärks och att de blir mer benägna att ge sig i kast med utmanande situationer. Elever som inte uppfattar hur matematiska idéer hänger samman blir däremot i allmänhet negativa till matematikämnet i sig. De upplever det som godtyckligt och mystiskt ett ämne som bara genier kan behärska. Förståelse leder till självständiga elever Elever lär sig mer och bättre när de tar kontroll över sitt eget lärande genom att definiera sina inlärningsmål och styra sitt arbete mot dessa mål. När barn är små engagerar de sig naturligt i problemlösning och meningsskapande. Förskolebarn gör ofta sina föräldrar tokiga genom sina varför-frågor. Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola Lära och undervisa matematik internationella perspektiv 99

40 FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN Tyvärr har traditionell undervisningspraktik i USA snarast uppmuntrat barn att överge sin nyfikenhet och upphöra med sitt intuitiva sätt att tänka. Istället har de lockats åtminstone i skolan att imitera vadhelst läraren eller läroboken uppmanar dem att göra. Elever i alla åldrar bär med sig många idéer till skolan. Dessa idéer består av både informell intuition om världen omkring oss och idéer från tidigare skoltid. Alla dessa idéer har potential att logiskt relateras till nya idéer. Eftersom nya kunskaper bäst byggs upp i relation till tidigare kunskaper bör lärare verkligen försöka reda ut vad eleverna redan kan. Elever som upplevt problemlösning agerar mer självständigt och ser ofta svåra uppgifter som en utmaning som ska mötas istället för som ett kommande nederlag. När eleverna sedan lyckas lösa ett svårt problem eller lyckas förstå en komplex idé kan de bli uppfyllda av en mycket speciell självkänsla och få ökad tilltro till egen förmåga. Vad forskningen säger De senaste decennierna har man gjort väsentliga framsteg i förståelsen av de komplexa processer som ingår i problemlösning. Det har också varit en hel del diskussion om matematikundervisning kopplad till problemlösning. Att undervisa matematik genom problemlösning är dock en relativt ny idé i problemlösningens historia (Lester, ), därför har det inte ännu forskats så mycket kring detta. Ganska lite är känt om de faktiska mekanismer som elever använder för att lära sig och förstå matematik just genom problemlösningsaktiviteter. Trots detta råder det en stor enighet om att undervisning genom problemlösning utvecklar elevers lärande. Många väsentliga forskningsfrågor är relaterade till detta sätt att undervisa, t ex lärarens roll, konstruktion och urval av problem, grupparbeten, problematiseringar av styrdokument. Dessa områden har nu studerats ingående och forskningsbaserade svar på ett flertal frågor om problemlösningsundervisning finns numer tillgängliga. Vad säger då forskningen om undervisning av matematik genom problemlösning? Jinfa Cai ( ) poängterar att vissa aspekter av detta angreppssätt har betydande empiriskt stöd, men att det kvarstår några viktiga frågor som behöver kompletterande forskning. Cai menar att det finns ett växande stöd bland forskare, lärarutbildare och lärare för idén att matematikundervisning genom problemlösning skulle vara ett lovande angreppssätt. Han påpekar också att detta angreppssätt verkar rimligt utifrån ett teoretiskt perspektiv. Vidare hävdar han att lika viktiga som teoretiska argument är den växande mängden empiriska resultat som stöder idén att undervisa genom problemlösning. Speciellt betonar han följande fyra frågeställningar, som varit i fokus för ett betydande antal forskningsstudier: Hur kan lärare lära sig att undervisa genom problemlösning? Är barn verkligen kapabla att själva utforska problem och komma fram till vettiga lösningar? Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola 100 Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM

41 Undervisa genom problemlösning Kommer elever att bli sämre på basfärdigheter om de undervisas i matematik genom problemlösning? Vilka uppfattningar har eleverna själva av undervisning genom problemlösning? Av utrymmesskäl är det omöjligt för oss att i detalj diskutera alla fyra frågorna. Vi har valt att begränsa vår diskussion till de huvudsakliga slutsatserna kring den första. Hur kan lärare lära sig att undervisa genom problemlösning? Det finns relativt lite forskning tillgänglig om hur lärare lär sig att undervisa genom problemlösning. Emellertid finns forskningsresultat som på några punkter ger oss angelägen information. Resultaten indikerar att lärares framgångar med att undervisa matematik genom problemlösning är relaterad till den uppmuntran och det stöd de får från sina lärarkollegor, samt från annan personal när de börjar ändra sitt sätt att undervisa (Cohen, ; Cobb m fl, ; Greeno & Goldman, ; Ma, ; Stein m fl, ; Stigler & Hiebert ). Lärare lär sig sin nya roll genom att undervisa och genom självreflektion, snarare än genom att endast gå kurser (Ball, ; Borko & Putnam, ; Bransford, Brown & Cocking, ; Shimhara & Sakai, ). Efter en serie studier på blivande grundskole- och gymnasielärare kunde Ball ( ) dra slutsatsen att en ökad mängd matematikkurser inte ökar lärarstudenternas förståelse för skolmatematiken eller deras förmåga att undervisa. Lärare behöver istället tillfällen att analysera matematiska idéer och relatera dessa till undervisningssituationer. Dessutom lär sig lärare att undervisa genom att delta i dagliga kollegiala aktiviteter i skolan (Paine & Ma, ; Stein m fl, ). Shimahara och Sakai ( ) fann att amerikanska och japanska nyutexaminerade lärare lärde sig mer om undervisning genom sina dagliga konversationer med andra lärare än genom workshops eller verksamhetsförlagd undervisning. Vardagliga diskussioner om undervisning i skolan är viktiga eftersom dessa är konkreta och kontextuella snarare än abstrakta och kontextlösa. I lärarens nya roll ingår val av lämpliga uppgifter samt att organisera klassrumssamtal för att uppmuntra elevers matematiska förståelse. Forskning erbjuder viss information om vilka faktorer som inverkar på hur lärare väljer lämpliga uppgifter och organiserar klassrumskommunikationen. Van de Walle ( ) poängterar att vid undervisning genom problemlösning så är eleverna aktivt deltagande i kunskapsbildningen. På så sätt kopplar eleverna matematiklärandet till sina egna förutsättningar. Uttryckt i andra ord; de blir aktiva deltagare i sitt skapande av kunskap snarare än passiva mottagare av regler och procedurer. Eftersom undervisning genom problemlösning startar med ett problem, så måste problemet vara så rikt att de ger eleverna möjlighet att befästa och utvidga vad de redan vet samt ge stimulans i lärandet. Därför är en av lärarens viktigaste uppgifter att välja och utveckla sådana värdefulla problem. Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola Lära och undervisa matematik internationella perspektiv 101

42 FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN Doyle ( ) har argumenterat för att problem med olika kognitiva krav rimligen framkallar olika typer av inlärning. Problemen styr inte bara elevers uppmärksamhet mot ett speciellt matematiskt innehåll utan också deras sätt att hantera inkommande information. Oavsett sammanhang ska värdefulla problem vara så fascinerande och utmanande att de uppmuntrar till att utforska, spekulera och att arbeta uthålligt med uppgiften (NCTM,, s ). Att använda värdefulla problem Men vad är ett värdefullt problem? Lappan och Phillips ( ) har utvecklat användbara kriterier vid val av problem för undervisning av elever i åldern år. Dessa kriterier kan också användas vid val av problem för undervisning i tidigare år. Utan tvekan är det viktigaste kriteriet att ett värdefullt matematiskt problem skall fungera som ett medel för elever att lära sig matematik som betraktas som väsentlig. Sådana problem behöver inte nödvändigtvis få ett fantasieggande utseende. Så länge som problemet kan uppnå målet att vägleda elevers lärande är det ett värdefullt problem. Det är också viktigt att värdefulla problem implementeras på lämpligt sätt. Stein, Grover och Henningsen ( ) fann att endast omkring % av de uppgifter som använts för att skapa mening och förståelse implementerats på ett sätt som gav önskat resultat. En viktig roll för läraren är därför att besluta om på vilket sätt de värdefulla problemen ska användas för att maximera elevers möjligheter att lära. Det är inte bara en fråga om att starta problemlösningsaktiviteter, utan typen av engagemang är mycket viktig. Med andra ord, karaktären hos klassrumskommunikationen skapad av både elever och lärare är avgörande. Elever måste t ex också få möjlighet att engagera sig i kognitivt utmanande frågor (Hiebert & Wearne, ; Lampert, ). Ett antal faktorer kan tänkas påverka implementeringen av värdefulla problem. En av de mest betydelsefulla faktorerna är hur mycket tid som ges till att lösa problemet samt till att diskutera lösningsförslagen (Henningsen & Stein, ; Perry, Vanderstoep & Yu, ; Stigler & Hiebert, ). Vid undervisning genom problemlösning tar diskussionen av ett problem och dess alternativa lösningar oftast längre tid än en vanlig lektion (Hiebert & Wearne, ). I sådana problemlösningsmiljöer ställer läraren dessutom mer begreppsrelaterade frågor t ex kring att beskriva en strategi eller att förklara ett underliggande resonemang för att komma fram till svaret, och färre rena kom-ihåg-frågor än traditionellt. Dessa forskningsresultat stämmer överens med de resultat som framkommit vid jämförande studier mellan olika kulturer (Perry m fl, ; Stigler & Hiebert, ). Vid undervisning genom problemlösning är lärarens orkestrering av klassrumskommunikationen en mycket komplex aktivitet. Förutom att avsätta rimlig tid för att diskutera problemen måste läraren också avgöra vilka aspekter av problemet som särskilt skall betonas. Hur ska elevernas arbete organiseras och iscensättas, vilka frågor ska ställas för att elever ska utmanas med olika kunskaper? Hur ska elever stöttas utan lotsning som tar bort utmaningen (NCTM, Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola 102 Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM

43 Undervisa genom problemlösning, s ). Annorlunda uttryckt, det är viktigt att lärare tillhandahåller tillräckligt med stöd för elevernas matematiska aktiviteter, men inte så mycket stöd att läraren själv utför tankeprocesserna åt eleverna (t ex Ball, ; Lampert, ; Hiebert m fl, ). Det finns dock inga forskningsbaserade riktlinjer för hur lärare skall uppnå en lämplig balans mellan lärarledd och handledd undervisning, och troligen kommer forskningen aldrig att kunna tillhandahålla några sådana riktlinjer av generell karaktär. Lärare behöver inte bara specifika idéer om hur de skall lära sig att agera i klassrummet utan också konkreta exempel som kan vägleda dem i deras praktik. Vi behöver dokumentera hur undervisning genom problemlösning kan se ut, hur lämpliga matematiska problem kan väljas och hur klassrumskommunikationen och samtalen kan organiseras för att på ett lämpligt sätt engagera elever i matematikproblem (Ball & Bass, ). Ett exempel på en klassrumsaktivitet I klass och ( år) i amerikanska skolor är det vanligt att elever lär sig beräkna area och volym av tredimensionella kroppar. I traditionell undervisning får eleverna helt enkelt formlerna för area och volym hos vanligt förekommande kroppar som kub och cylinder. De uppmanas att använda dessa formler för att finna area och volym av olika objekt med givna dimensioner. Liten eller ingen uppmärksamhet ges dock till att fundera över relationen mellan arean och volymen hos objekten. I följande aktivitet ges ett förslag till undervisning genom problemlösning för att engagera elever i utforskandet av relationen mellan volymen av olika rör. Vi använder termen rör för en cylinder utan lock och botten och använder termen rörets volym för den volym som bildas av röret och dess tänkta botten- och lockytor. Vi håller rörets area konstant och studerar volymen genom att genomföra ett experiment där hypoteser formuleras och testas. 3 En utmanande utvidgning av aktiviteten är att undersöka kopplingen mellan den totala cylinderarean och cylinderns volym, eftersom cylinderns area per definition inkluderar summan av mantelarean ocharean av lock och botten. Vi diskuterar denna utvidgning kortfattat i slutet av denna del. Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola Lära och undervisa matematik internationella perspektiv 103

44 FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN Material Pappersark till varje grupp, ris eller fågelfrön, sax, linjal, tejp och ett decilitermått per grupp. Elevers arbete Fas 1 Låt eleverna rulla två A -ark. Använd tejpen och arken för att konstruera två rör, ett som är cm högt och ett som är cm högt, d v s de hela arken rullas ihop på två olika sätt. Ställ sedan följande fråga till eleverna som arbetar i grupper ( elever): Rymmer det ena röret mer än det andra eller rymmer de lika mycket? Skriv ned era hypoteser på ett separat papper och diskutera era idéer med era klasskamrater. Föreslå att det högre röret placeras inuti det kortare och fyll detta med ris. Tag sedan bort det högre röret och låt riset rinna ut i det lägre röret. Fråga sedan: Vad upptäckte ni? Hur förklarar ni er upptäckt? Uppmuntra eleverna att diskutera hur rörets dimensioner bidrar till olika volymer. Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola 104 Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM

45 Undervisa genom problemlösning Elevers arbete Fas 2 Ta bort tejpen från ett rör och lägg ned arket på bordet. Klipp sedan isär arket på mitten och lägg ena delen bredvid den andra enligt nedan. Tejpa ihop de två delarna så att ett nytt rör skapas. Upprepa försöket där riset hälls i det högre röret efter att de har placerats i det lägre röret. Vad händer denna gång? Vad förväntade ni er? Hur förhåller sig mängden ris i detta nya rör till mängden i de två första rören? Upprepa experimentet där riset hälls i det högre röret och placeras inuti det lägre röret. Vad händer denna gång? Var det vad ni förväntade er? Hur förhåller sig mängden ris i detta nya rör till mängden i de två första rören? Upprepa igen! Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola Lära och undervisa matematik internationella perspektiv 105

46 FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN Vad skulle hända om du klippte isär röret på mitten och konstruerade ett nytt? Hur skulle volymen ändras? Frågor att diskutera Be eleverna att fundera över experimentet som de genomfört och därefter skriva förklaringar till resultaten. Låt dem resonera kring vad som händer med volymen hos röret om vi fortsätter att göra det lägre och lägre (och bredare och bredare). Utvidgning av aktiviteten Diskutera med eleverna varför V = π r h är en rimlig formel för ett rörs volym och varför A = π r h är en rimlig formel för rörets mantelarea. Be dem använda dessa formler för att förklara utfallet av experimentet. Kanske några elever blir intresserade av att undersöka vad som händer när man fortsätter att dela röret på mitten. Uppmuntra dessa elever att skapa en tabell med dimensioner och volymer och att söka efter ett mönster i relationen mellan dessa. En mer avancerad utvidgning av aktiviteten är att undersöka förhållandet mellan den totala arean och volymen hos en cylinder, istället för hos röret. Resultaten kommer att skilja sig åt. Båda undersökningarna leder till ett icke-intuitivt matematiskt faktum: Objekt med samma area kan ha olika volym. För en cylinder upptäcker vi att den mest effektiva formen, alltså den form som ger maximal volym för en given area, ges av h = r. Om en cylinder med samma area är högre eller lägre kommer volymen att bli mindre. Tanken att det finns en maximal volym för cylindern (men inte för röret) är ytterligt intressant och leder till många relevanta och verklighetsanknutna tillämpningar i vetenskap och vardagsliv. Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola 106 Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM

47 Undervisa genom problemlösning Förslag till vidare läsning om denna aktivitet Några intressanta variationer av den ovan beskrivna aktiviteten finns på följande webbsidor (tillgängliga - - ): Referenser Ball, D.L. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. Elementary School Journal, 93, Ball, D.L. & Bass, H. (2000). Interweaving content and pedagogy in teaching and learning to teach: Knowing and using mathematics. I J. Boaler (Red), Multiple perspectives on the teaching and learning of mathematics (s ). Westport: Ablex. Borko, H. & Putman, R.T. (1996). Learning to teach. I D. C. Berliner & R. C. Calfee (Red), Handbook of educational psychology (s ). New York: Macmillan. Bransford, J.D., Brown, A.L. & Cocking, R.R. (Red). (2000). How people learn: Brain, mind, experience, and school. Washington, D.C.: National Academy Press. Cai, J. (2003). What research tells us about teaching mathematics through problem solving. I F.K. Lester & R.I. Charles (Red), Teaching mathematics through problem solving: Prekindergarten grade 6 (s ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Cobb, P., Wood, T., Yackel, E., Nicholls, J., Wheatley, G., Trigatti, B. & Perlwitz, M. (1991). Assessment of a problem-centered second-grade mathematics project. Journal for Research in Mathematics Education, 22, Cohen, D.K. (1990). A revolution in one classroom: The case of Mrs. Oublier. Educational Evaluation and Policy Analysis, 12, Doyle, W. (1988). Work in mathematics classes: The context of students thinking during instruction. Educational Psychologist, 23, Greeno, J.G. & Goldman, S.V., (Red). (1998). Thinking practice in mathematics and science learning. Mahwah, NJ: Erlbaum. Henningsen, M.A. & Stein, M.K. (1997). Mathematical tasks and students cognition: Classroom-based factors that support and inhibit high-level mathematical thinking and reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 28, Hiebert, J. & Carpenter, T. (1992). Learing and teaching with understanding. I D. A. Grouws (Red), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s 65 97). New York: Macmillan. Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Human, P., Murray, H. & Olivier, A. (1997). Making sense: teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann. Hiebert, J. & Wearne. D. (1993). Instructional task, classroom discourse, and students learning in second grade. American Educational Research Journal, 30, Lambdin, D.V. (2003). Benefits of teaching through problem solving. I F.K. Lester & R.I. Charles (Red), Teaching mathematics through problem solving: Prekindergarten grade 6 (s 3 13). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola Lära och undervisa matematik internationella perspektiv 107

48 FRANK K. LESTER & DIANA V. LAMBDIN Lampert, M. (1985). How do teachers manage to teach? Harvard Educational Review, 55, Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: Mathematical knowing and teaching. American Educational Research Journal, 27, Lappan, G. & Phillips. E. (1998). Teaching and learning in the Connected Mathematics Project. I L. Leutzinger (Red), Mathematics in the middle (s 83 92). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Lester, F.K. (1994). Musings about mathematical problem-solving research: Journal for Research in Mathematics Education (special 25th anniversary issue), 25, Lester, F.K. & Charles, R.I. (Red). (2003). Teaching mathematics through problem solving: Prekindergarten grade 6. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah, N.J.: Erlbaum. National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics (1995). Assessment standards for school mathematics. Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Paine, L. & Ma, L. (1994). Teachers working together: A dialogue on organizational and cultural perspectives of Chinese teachers. International Journal of Educational Research, 19, Perry, M., VanderStoep, S.W. & Yu, S.L. (1993). Asking questions in first-grade mathematics classes: Potential influences on mathematical thought. Journal of Educational Psychology, 85, Schoen, H.L. & Charles, R.I. (Red). (2003). Teaching mathematics through problem solving: Grades Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Shimahara, N. & Sakai, A. (1995). Learning to teach in two cultures: Japan and the United States. New York: Garland. Stein, M.K., Grover, B.W. & Henningsen, M.A. (1996). Building student capacity for mathematical thinking and reasoning: An analysis of mathematical tasks used in reform classrooms. American Educational Research Journal, 33, Stein, M.K., Smith, M.S. & Silver, E.A. (1999). The development of professional developers. Harvard Educational Review, 69, Stigler, J. W. & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world s teachers for improving education in the classroom. New York: The Free Press. Van de Walle, J. (2001). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. Boston, MA: Allyn and Bacon. Van de Walle, J. (2003). Designing and selecting problem-based tasks. I F. K. Lester & R. I. Charles (Red), Teaching mathematics through problem solving: Prekindergarten grade 6 (s 67 80). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Används med tillstånd av NCM i Matematiklyftet, av Mälardalens högskola 108 Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM

49 Teaching mathematical problem solving / november 1987 besöktes lärarhögskolan i Mölndal av en världsberömd problemlösningsexpert, professor Frank Lester, Indiana, USA. Hans mycket uppskattade föreläsning publiceras nu i Nämnaren. All mathematics educators agree that problem solving is a very important, if not the most important goal, of mathematics instruction at every level. Indeed, some have even gone so far as to insist that Problem solving should be the focus of school mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 1980, p. 1). 1 ) Unfortunately, when this pronouncement was made it was not accompanied by any suggestions as to how to make problem solving the focus of instruction. Since about 1980 problem solving has been the most written about, but possibly the least understood, topic in the mathematics curriculum in the United States. It probably is safe to say that most teachers agree that the development of students' problem-solving abilities is a primary objective of instruction. It is equally as evident that these same teachers would admit that it is quite another matter to decide how this goal is to be reached (i.e., where to begin, what problems and problem-solving experiences to use, when to give problem solving particular attention, etc.). Although acceptance of the notion that problem solving should play a prominent role in the curriculum has been widespread, there has been anything but widespread acceptance of how to make it an integral part of the curriculum. Indeed, it is common to hear teachers voice concerns like: As if there wasn't already enough content to cover. Now the "experts" want us to add problem solving. Comments of this sort cannot be brushed aside lightly. They point to the fact that to date no mathematics program has been developed that adequately addresses the issue of making problem solving the central focus of the curriculum. Instead of programs with coherence and direction, what teachers have been given is a well-intentioned melange of story problems, lists of strategies to be taught, and suggestions for classroom activities. If problem solving is to become a more prominent goal of mathematics instruction, more serious and thoughtful attention must be given to what it means to make problem solving the focus of school mathematics. Before presenting my ideas for teaching problem solving let me illustrate the severity of the problem facing us as teachers by means of a few examples from my own experience. 1) The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) is an American professional organization for persons interested in the teaching and learning of mathematics. Currently, the NCTM has approximately 70,000 members.

50 Why Is Mathematical Problem Solving Difficult for Students? The Frog in the Well I have been a mathematics teacher for more than 22 years. During my career I have taught students ranging in age from 6 years to adult (my oldest student was over 60 years old when I taught her). As one would expect, some of these students have been exceptionally talented in mathematics and a few have found mathematics a particularly troublesome subject to learn. But, on the whole, most of my students have been of average ability in mathematics. The examples that follow are taken from my experiences with this large majority of average ability students. As is true of any reasonably serious teacher, I have been puzzled from time to time by the behavior of some of these students. My puzzlement has been nowhere more pronounced than in my observations of students' problem-solving behavior. Consider the following three "problems" and the behaviors of several students who have attempted to solve them. A frog is at the bottom of a well that is 10 meters deep. During the daytime the frog climbs up the side of the well 4 meters, but at night it slides back 2 meters when it sleeps. At this rate, how many days will it take the frog to reach the top of the well? It has been my experience that most students (and people in general) over the age of 8 or so determine that it will take the frog 5 days to reach the top of the well. (Their reasoning goes something like this: 4 m - 2 m = 2 m gain each day and 10 days - 2 m per day = 5 days.) By contrast, children 8 years old or less draw some sort of picture and arrive at either 3 1/2 or 4 days as their answer (each of which can be considered correct). What happens to students that makes them less successful on this problem as they become older? The Chickens and Pigs Tom and Susan went to their grandparents' farm and saw some chickens and pigs in the barnyard. Tom said he saw 18 animals in the barnyard. Susan agreed with him and added that she counted 52 legs in all. How many chickens and how many pigs were in the barnyard? About six years ago I gave the Chickens and Pigs problem to a class of grade three students (ages 8 and 9). Nearly half of them gave 70 as their

51 answer not 70 animals or 70 legs, just 70. Some of these children pointed out that the words "in all" in the problem tell you to add. A few weeks later I asked a class of grade five students to solve this same problem. Many of them wrote nothing on their papers. When questioned as to why they did not give an answer, typical responses included: I don't know how to do it, and / think you have to divide, but 18 doesn't go into 52. Not one student in a class of 30 drew any sort of diagram, made any guesses, or otherwise used any "natural" problem-solving strategies. Many of the younger students had been taught a faulty strategy (viz., look for "key words"), but even worse, the older students had actually "learned" that they could not solve mathematics problems. The Car Trip A man drove his car from his home to a friend's house at a speed of 64 kph and it took him 20 minutes. When he returned to his home he travelled along the same roads but at a speed of 80 kph. How long did the return trip take? I have not been particularly puzzled by the fact that many high school and university students fail to solve the Car Trip problem successfully. What has puzzled me is that so many (nearly 25 %) give 25 minutes as the answer (64/20 = 80/x). Doesn't it defy logic and common sense that if you go faster, it would take longer to make a trip? Examples such as these are all too common. In fact, most mathematics teachers are quick to observe that many of their students are unable to solve any but the most routine problems despite the fact that their students seem to have "mastered" all of the requisite computational skills, facts, and algorithmic procedures. The first reason why students are often unable to solve any but the most routine problems is that solving a mathematics problem requires the individual to engage in a variety of cognitive actions, each of which requires some knowledge and skill, and some of which are not routine. Furthermore, these cognitive actions are influenced by a number of noncognitive factors. That is to say, by its very nature problem solving is an extremely complex form of human endeavour that involves much more than the simple recall of facts or the application of well-learned procedures. Successful problem solving involves the process of coordinating previous experiences, knowledge, and intuition in an effort to determine an outcome of a situation for which a procedure for determining the outcome is not known. A second reason why so many students have trouble becoming proficient problem solvers is that they are given too few opportunities to engage in real problem solving. That is, they do not develop expertise in problem solving because they are neither guided nor challenged to do so. Since problem solving is so complex students need to be given carefully designed problem-solving instruction and they must have extensive experiences in solving a wide variety of problems and reflecting on their performance.

52 The Complex Nature of Mathematical Problem Solving The ability to solve mathematics problems develops slowly over a very long period of time because it requires much more than merely the direct application of some mathematical content knowledge. Problem-solving performance seems to be a function of at least five broad, interdependent categories of factors: (1) knowledge acquisition and utilization (2) control (3) beliefs (4) affects (5) socio-cultural contexts. Let me say a few words about each of these categories. Knowledge Acquisition and Utilization It is safe to say that the overwhelming majority of research in mathematics education has been devoted to the study of how mathematical knowledge is acquired and utilized. By "knowledge" I mean both informal and intuitive knowledge as well as formal knowledge. Included in this category are a wide range of resources that can assist the individual's mathematical performance. Especially important types of resources are the following: facts and definitions (e.g., 7 is a prime number, a square is a rectangle having 4 congruent sides), algorithms (e.g., the long division algorithm), heuristics (e.g., drawing pictures, looking for patterns, working backwards), problem schemas (i.e., packages of information about problem types), and the host of routine, but not algorithmic, procedures that an individual can bring to bear on a mathematical task (e.g., procedures for solving equations, general techniques of integration). Of particular significance to this discourse is the way individuals organize, represent, and ultimately utilize their knowledge. There is not doubt but that many problem-solving deficiencies can be attributed to the existence of "unstable conceptual systems" (Lesh, 1985). That is, when individuals are engaged in solving a problem it is likely that at least some of the relevant mathematical concepts are at intermediate stages of development. In such cases problem solvers must adapt their concepts to fit the problem situation. To the extent that they are able to make appropriate adaptations, they are successful in solving the problem. Control Control refers to the marshalling and subsequent allocation of available resources to deal successfully with mathematical situations. More specifically, it includes executive decisions about planning, evaluating, monitoring, and regulating. Two aspects of control processes have become increasingly popular as objects of research in recent years: knowledge about and regulation of cognition. The processes used to regulate one's behavior are often referred to as me-

53 tacognitive processes, and these have recently become the focus of much attention within the mathematics education research community. In fact, recent research suggests that an important difference between successful and unsuccessful problem solvers is that successful problem solvers are much better at controlling (i.e., monitoring and regulating) their activities. It is clear that a lack of control can have disastrous effects on problemsolving performance. Beliefs Schoenfeld (1985) refers to beliefs, or "belief systems" to use his term, as the individual's mathematical world view; that is, "... the perspective with which one approaches mathematics and mathematical tasks" (p. 45). Beliefs constitute the individual's subjective knowledge about self, mathematics, the environment, and the topics dealt with in particular mathematical tasks. For example, my colleagues and I have found that many elementary school children believe that all mathematics story problems can be solved by direct application of one or more arithmetic operations, and which operation to use is determined by the "key words" in the problem (Lester & Garofalo, 1982). It seems apparent that beliefs shape attitudes and emotions and direct the decisions made during mathematical activity. In my own research I have been particularly interested in students' beliefs about the nature of problem solving as well as about their own capabilities and limitations (Lester, Garofalo & Kroll, in press). Affects This domain includes individual feelings, attitudes and emotions. Mathematics education research in this area often has been limited to examinations of the correlation between attitudes and performance in mathematics. Not surprisingly, attitudes that have been shown to be related to performance include: motivation, interest, confidence, perseverance, willingness to take risks, tolerance of ambiguity, and resistance to premature closure. To distinguish between attitudes and emotions I choose to regard attitudes as traits, albeit perhaps transient ones, of the individual, whereas emotions are situation-specific states. An individual may have developed a particular attitude toward some aspect of mathematics which affects her or his performance (e.g., a student may greatly dislike problems involving percents). At the same time, a particular mathematics task may give rise to an unanticipated emotion (e.g., frustration may set in when a student finds that he or she has made little progress toward solving a problem after working diligently on it for a considerable amount of time). The point is that an individual's performance on a mathematics task is very much influenced by a host of affective factors, at times to the point of dominating the individual's thinking and actions. Socio-Cultural Contexts In recent years, the point has been raised within the cognitive psychology community that human intellectual behaviour must be studied in the context in which it takes place (Neisser, 1976; Norman, 1981). That is to say, since human beings are immersed in a reality that both affects and is affect-

54 ed by human behaviour, it is essential to consider the ways in which sociocultural factors influence cognition. In particular, the development, understanding, and use of mathematical ideas and techniques grow out of social and cultural situations. D'Ambrosio (1985) argues that children bring to school their own mathematics which has developed within their own socio-cultural environment. This mathematics, which he calls "ethnomathematics," provides the individual with a wealth of intuitions and informal procedures for dealing with mathematical phenomena. Furthermore, one need not look outside the school for evidence of social and cultural conditions that influence mathematical behavior. The interactions that students have among themselves and with their teachers, as well as the values and expectations that are nurtured in school, shape not only what mathematics is learned, but also how it is learned and how it is perceived (cf., Cobb, 1986). The point then is that the wealth of socio-cultural conditions that make up an individual's reality plays a prominent role in determining the individual's potential for success in doing mathematics both in and out of school. These five categories overlap (e.g., it is not possible to completely separate affects, beliefs, and socio-cultural contexts) and they interact in a variety of ways too numerous to name in these few pages (e.g., beliefs influence affects, and they both influence knowledge utilization and control; socio-cultural contexts have an impact on all the other categories). It is perhaps due to the interdependence of these categories that problem solving is so difficult for students. Teaching Problem Solving For students who are struggling to become better problem solvers the difficulty caused by the complexity of problem solving is compounded by the fact that most of them do not receive adequate instruction, either in quality or quantity. Since problem solving is so complex, it is difficult to teach. Unfortunately, we do not yet have fool-proof, easily followed and implemented methods of helping students to improve their problem-solving ability. In recent years there has been much research conducted on various approaches to mathematical problemsolving instruction. I will not discuss this research here except to say that detailed discussions of the research conducted in the United States during the past 15 years can be found in Lester (1980, 1983), Schoenfeld (1985) and Silver (1985). In the next section of this paper I present my analysis of what this research suggests to me about how mathematical problem solving should be taught.

55 Fundamental Principles About Teaching Problem Solving In my study of the research literature I was able to isolate four basic principles that stood out as common results of all of the research. These principles are as follows. I. Students must solve many problem in order to improve their problem-solving ability. II. Problem-solving ability develops slowly over a prolonged period of time. III. Students must believe that their teacher thinks problem solving is important in order for them to benefit from instruction. IV. Most students benefit greatly from systematically planned problem-solving instruction. I will not elaborate on the first three of these principles except to mention that although many factors are necessary ingredients for a successful problem-solving program, perhaps none is more important than principle III. Teachers must demonstrate enthusiasm for problem solving and communicate through their actions and words the importance of problem solving in mathematics. When teachers make a sincere commitment to developing students' problem-solving skills, students will make a similar commitment. In the remainder of this paper I will discuss what is involved in "systematically planned problemsolving instruction." Essential Components of a Systematically Planned Problem-solving Program Most problem-solving programs will seem to work for a while in the classroom. However, for a program to be successful all year and year after year, it should be made up of three components: (a) appropriate content, (b) a teaching strategy, and (c) guidelines for managing the program. Let us look at each component in turn. A. Appropriate Content First and foremost, a good problemsolving program must include appropriate content. The content must be of suitable difficulty and must include at least three types of experiences designed to improve problem-solving performance. These types of experiences are the following: (1) regular sessions devoted to solving a variety of kinds of problems; (2) instruction in the use of various problem-solving strategies; and (3) practice aimed at the development of specific problemsolving thinking processes and skills. The focus of instruction should be on the solution of "process" problems, but routine one-step verbal problems and multiple-step verbal problems should also be included. Briefly, a process problem is one whose solution cannot be obtained simply by performing computations. Such problems are included because they exemplify the processes inherent in thinking through and solving a true problem (i.e., a situation for which a procedure for solving the problem is not readily at hand). These types of problems serve to develop general strategies for understanding, planning, and solving problems, as well as evaluating attempts at solutions. One reason why students have difficulty with problem solving is that many of them have not been taught how to use specific problem-solving strategies. Traditionally, most stu-

56 dents are taught only one strategy choose an operation or operations to perform, then do the computations. Several of the strategies that should be included in instruction in grades 1-8 are the following: choose an operation or operations to perform draw a picture make an organized list write an equation act out the situation make a table or chart guess and check work backwards solve a simpler problem use objects or models Instruction aimed at developing students' ability to use strategies such as these needs to include two phases. During the first phase students are taught how to use a particular strategy. This phase emphasizes the meaning of a strategy and the techniques involved in implementing it. After students are introduced to a strategy they are given practice using it to solve problems. The second phase is where students are taught to decide when to use a strategy. Here students are given problems to solve but they are not told which strategy to use. They must select from among the strategies they have learned the one(s) that are appropriate for solving a given problem. Both phases must be included in instruction. Unfortunately, it is beyond the scope of this paper to elucidate effective ways to coordinate these two phases. A person who is learning to play a musical instrument, say the piano, does not learn to play simply by playing musical scores. In addition, considerable time must be devoted to activities designed to help her or him master certain skills and techniques. Such skill activities (e.g., finger exercises) are an essential part of becoming an accomplished pianist. In a similar manner, the novice problem solver must be asked to do more than simply solve problems. The third of the three types of experiences involves activities designed to develop certain problem-solving thinking processes and skills. In my own work I have identified 8 thinking processes that are involved in the solution of mathematics problems. A good problemsolving program includes numerous activities that focus on these thinking processes and the skills associated with them. A list of the thinking processes is given in Table 1. Table 1: Mathematical Problem-solving Thinking Processes (taken from Charles, Lester & O'Daffer, 1987) 1. Understanding/formulating the question in the problem/situation. 2. Understanding the conditions and variables in the problem. 3. Selecting/finding data needed to solve the problem. 4. Formulating subproblems and selecting appropriate solution strategies to pursue. 5. Correctly implementing the solution strategy and attaining subgoals. 6. Giving an answer in terms of the data given in the problem. 7. Evaluating the reasonableness of the answer. 8. Making appropriate generalizations.

57 Finally, in addition to the three types of experiences discussed above, this content should be integrated throughout the entire mathematics program. (Occasional attention to problem solving or including a short unit of instruction on problem solving simply is not enough). B. A Specific Teaching Strategy Teachers must have a specific strategy for teaching the content. A teacher who is not aware of specific ways to teach problem solving often resorts to general admonitions for students to do better when they need assistance. Comments like: "Read the problem again," "Use your head," and "Think harder" are commonly made by such a teacher. Teacher comments such as these may encourage students to try harder, but they are of little help to students who are truly in need of help. Indeed, very few students can become successful problem solvers without the aid of their teachers. The single most challenging task for the teacher is to decide what kind of guidance to provide and when to provide it. The teacher must play an active part during classroom problem-solving activities by observing, questioning, and, if necessary, by providing direction. During the past fifteen years I have collaborated with several colleagues in the development of a teaching strategy for problem solving. This strategy has been tested and shown to be successful in quite a large number of classrooms in a variety of schools throughout the United States (see Lester, 1983 and Charles & Lester, 1984 for discussions of the results of our research). These "teaching actions" as we call them can be used in a teacher-directed activity, beginning with a whole-class discussion of the problem, followed by individual or small-group work on the problem, and ending with another whole-class discussion of the problem. A list of the teaching actions and the purpose of each action are shown in the following table. These teaching actions cannot be used as a "formula" that will guarantee success for all students. Rather, they provide teachers with a means to guide students systematically through the process of solving problems in order to build confidence as well as competence. As students become more capable as problem solvers the teacher's overt role diminishes. Table 2: Teaching Actions for Problem Solving (taken from Charles & Lester, 1982) Teaching Action Purpose Class Discussion BEFORE 1 Read the problem to the class or have a student read it. Discuss vocabulary and the setting of the story as needed. Illustrate the importance of reading problems carefully for good understanding.