Rapport av genomförd "Lesson study" av en lektion med temat ekvationer i gymnasiets B-kurs. Bultar, muttrar och brickor

Transkript

1 Rapport av genomförd "Lesson study" av en lektion med temat ekvationer i gymnasiets B-kurs Bultar, muttrar och brickor Vågad problemlösning Förberedelser Ekvationssystem i matematik B ger progression från högstadiets matematikkurs och samtidigt är matematik B en kurs som ingår i många gymnasieprogram och därmed av intresse för många lärare. Ekvationssystem är ett område där laborativ matematik är en användbar metod som använts på Farsta gymnasium under lång tid med gott resultat. Allt detta medförde att av innehåll i denna "lesson study" blev självklar. Den befintliga uppgiften utökades med en svårare laborativ tilläggsuppgift för de snabba eleverna. Utifrån erfarenhet av den befintliga uppgiften var det enkelt att planera lektionens olika skeden. Ingen särskild litteratur har lästs in inför denna Lesson Study. Vis av erfarenhet från den första filmning bestämdes att uppgiften skulle utökas med ett moment där elever tillämpar ekvationssystem. Hur denna uppgift skulle utformas var det skilda åsikter, det bestämdes att eleverna skulle formulera ett eget problem till den givna ekvationen. Planering av lektionen Lektionens innehåll Den primära uppgiften är bestämma vikten av en bricka som förekommer i tre olika kombinationer tillsammans med muttrar på bultar. Eleverna jobbar två och två för att med hjälp av en våg lösa uppgiften och beskriva lösningen. Snabba grupper får en svårare extra uppgift med två kombinationer av brickor och muttrar som är sammanhållna av ett "viktlöst" snöre. Eleverna skall sedan presentera sin lösning för en annan kamrat. Läraren väljer även ut några lösningar, som visar olika lösningsmetoder, vilka presenteras av elever på vita tavlan. Läraren visar sedan utifrån uppgiften hur ett algebraiskt ekvationssystem skapas och löses med en allmängiltig metod.

2 Eleverna får sedan i uppgift att utifrån egna tankar och erfarenheter formulera ett ekvationssystem och lösa det. Det vågade v problemet Bult Mutter Bricka Vad väger v en bricka? Ta reda påp det utan att ta bort muttrar eller brickor från bulten. Lektionens mål De matematiska målen är: Att introducera studenterna till linjära ekvationssystem. Att ge eleverna förtrogenhet med metoden att formulera en ekvation som ett steg i lösandet av ett matematiskt problem. Att ge eleverna kunskap om algebraiska metoder för att lösa ekvationssystem. Att avdramatisera begreppet ekvationssystem. Detta enligt målen för Matematik B som anger att eleven skall lösa linjära olikheter och evationssystem med grafiska och algebraiska metoder. Utöver det matematiska innehåll som eleven skall tillgodogöra sig finns följande mål med lektionen: Att träna eleven i problemlösning i samverkan med en klasskamrat. Att träna eleven i att reflektera över sina lösningsstrategier. Att träna eleven i att presentera sina lösningar muntligt och skriftligt inför en grupp Att träna eleven i att lyssna på och reflektera över andras lösningar och strategier. Återkoppling till kursplanen Mål för Matematik B Lektion uppfyller följande av skolverkets mål: Eleven skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser Eleven skall kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder

3 Betygskriterier Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt olja, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Eleven ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. Material och utrustning Lektionen förbereddes så att olika former av stöd fanns att tillgå. IT-stöd: Laborativt stöd: Lärarstöd: PowerPoint med animeringar som ska underlätta förståelsen för både uppgiften, lösningen och sedan även fördjupningen. Sammansättningar av bultar, muttrar och brickor samt våg. Förberedda muntliga ledtrådar som utarbetats och skrivits ner. Utöver detta delades klassen in i grupper utifrån elevernas förutsättningar och förkunskaper.

4 Manus för lektionen 1. Introduktion (5 min) Eleverna är redan indelade i grupper enligt modellen ovan. De första fem minuterna används till att presentera dagens vågade laborativa matematik-uppgift. Läraren använder sig här av en PowerPointpresentation tillsammans med uppgiftsbladet som delas ut till hela klassen. Material till första uppgiften i form av givna bult-mutter-bricka sammansättningar och våg finns redan på arbetsplatserna. 2. Elever jobbar med problemet (5+ 10 min) De följande 15 minutrama arbetar klassen med uppgiften. Planen är att de även skall hinna med att skriva ned sina lösningar för att kunna redovisa för kamrat eller för hela klassen senare. De snabba grupperna får en extra uppgift med en väsentlig svårighetshöjning att jobba med. Om någon grupp fastnar så får de en lämplig ledtråd. Läraren avslutar fasen - väljer ut de elever som skall presentera på tavlan och parar ihop de andra för att presentera sina lösningar 3. Elever presenter för nya kamrater (5 min) 2-3 elever skriver sina lösningar på tavlan medan de andra i nya par-konstellationer beskriver sina lösningar för varandra. De utvalda eleverna skriver sina lösningar på tavlan under tiden. 4. Gemensam presentation av några lösningar (10 min) De utvalda grupperna/eleverna presenterar sina lösningar för klassen som ombeds att komma med frågor, förslag och synpunkter. 5. Läraren går igenom hur man ställer upp och löser en allmän ekvation (10 min) Läraren gör en allmän genomgång med hjäp av "power point" med återknytningar till de presentationer som eleverna just gjort. Tanken är att läraren gradvis lyfter fram ett allmänt algebraiskt ekvationssystem som representerar det problem som eleverna jobbat med. Det är vår förhoppning att eleverna då ska se hur allmängiltig denna metod faktiskt är, att man till i princip alla problem kan associera en algebraisk ekvation. Eleverna får en ny uppgift nämligen att hitta på ett eget problem och formulera och lösa ekvationsssystem till denna. 6. Eleverna jobbar med uppgiften (15 min) För att eleverna ska få träna på samspelet mellan problemlösning och uppställandet av ekvationer så får de nu i uppdrag att konstruera egna uppgifter som ska motsvara den allmänna ekvationen som står på tavlan. De får alltså (tills vidare) inte ändra på siffrorna i uppgiften, endast på innebörden av dessa siffror. Varje grupp ska helst konstruera minst tre olika problem. Klassen har upp till 25 minuter för detta ändamål, men det förväntas att alla grupper klarar av detta fortare än så. Läraren avbryter momentet när han/hon uppskattar att samtliga grupper kommit tillräckligt långt i uppgiften. 7. Elever presenterar sina uppgifter på tavlan (10 min) Sista momentet är att grupperna får gå upp en och en och presentera en av sina eget påhittade uppgifter på tavlan. Varje grupp uppmuntras att presentera en uppgift som inte redan finns. 8. En kort reflektion över det som gjorts (5 min) Läraren reflekterar tillsammans med eleverna över det faktum att så många olika uppgifter har en och samma lösning, samt att den allmänna lösningen fångas aven enda ekvation som står på tavlan. Detta visar hur pass allmängiltig metoden är. Läraren bör även avsluta med att säga

5 vad som skall göras nästa lektion: mer träning på att formulera ekvationer till problem och mer träning på att lösa dessa ekvationer! Ledtrådar och extrauppgift I laborationsuppgiften finns det tre olika komponenter som sitter ihop i tre olika konstellationer. Typ 1: En bult sitter ihop med en mutter. Typ 2: En bult sitter ihop med 3 muttrar. Typ 3: En bult sitter ihop med 2 muttrar och 3 brickor. Ledtrådarna till att hitta samtliga delars vikter är enligt följande: 1. Kan du använda dig av bara typ 1 och typ 2 för komma framåt? 2. Kan du använda typ 1 och typ 2 för att få fram vikten hos en mutter? 3. Kan du använda typ 1 och typ 2 för att få fram vikten hos 2 muttrar? 4. Kan du använda dina resultat för att få fram vikten hos en bult? Det förväntas att enbart ledtråd 1 skall behövas, om någon ledtråd behövs alls. För de elever som löser denna uppgift betydligt snabbare än alla andra har vi förberett en ny uppgift. Denna gång sitter nya muttrar och brickor fast i ett tunt snöre, i det ena fallet 3 muttrar och 2 brickor, i det andra fallet 2 muttrar och 4 brickor. De ska nu genom att väga dessa få fram vikten hos en bricka respektive en mutter. Ledtrådar till den nya uppgiften: 1. Dela ut en till typen "3 muttrar och 2 brickor". 2. Klumpa ihop dina 2 av typen"3 muttrar och 2 brickor" och jämför med den andra typen. Om de inte lyckas lösa uppgiften så gör inte det något, utan man hänvisar till att detta skall gås igenom nästa lektion. Om de lyckas lösa uppgiften ombeds eleverna att komma ihåg lösningen till nästa lektion för de ska då få en chans att redovisa den inför övriga klassen. Genomförandet av lektionen i klass och filmningen Genomförandet av lektionen går problemfritt och helt enligt planerna. Det är inte svårt att hålla tidsgränserna och det är inte svårt att få igång eleverna att arbeta kreativt med uppgiften. De får mycket utrymme till att diskutera tillsammans och presentera sina lösningar på tavlan. Större delen av klassen går verkligen igång på att konstruera egna uppgifter vilket blir ett naturligt underlag för framtida lektioner. Filmningen går även den problemfritt. Filmare och lärargruppen når ett bra samförstånd över vad som ska fångas på bild. Det som utmärker sig från tidigare filmer är att kameramannen denna gång på ett mycket bra sätt fångar det som eleverna skriver på sina arbetsblad.

6 Filmen som slutresultat Målet med filmen är naturligtvis flerfaldigt. Gruppen har fokuserat på följande mål: Att målet med lektionen skall framkomma i tydligaste mån. Att de olika faserna i lektionen såsom planerats enligt ovan skall synas. Att belysa kraften i användandet av IT och laborativt material i matematikundervisningen. Att filmen skall vara inspirerande för andra lärare. Målet med lektionen framkommer tydligt i och med att lektionen tydligt presenteras för eleverna med hjälp av PowerPoint. Även sammanfattningen i slutet av filmen ger en helhetskänsla och belyser än en gång vilka kunskapsmål som eftersträvas. I inledning och sammanfattning syns det tydligt hur IT i form av PowerPoint lyfter kvalitén på lektionen. Gruppen anser även att de olika faserna av lektionen fångats på ett bra sätt. Egentligen återstår det enbart för betraktaren att avgöra hur pass inspirerande filmen är. Det vi hoppas på är att filmen skall inspirera till mer användande av PowerPoint presentationer och till att visa på hur man kan avdramatisera utlärandet av ekvationssystem. Slutsatser Vi observerar att eleverna har svårt att ta till sig uppgiften att konstruera egna problem till det givna ekvationssystemet, dock övergår de flesta elever till att konstruera sina egna ekvationssystem med stor lust och inlevelse. Det fördjupar deras förståelse för hur en ekvation fungerar på ett betydligt effektivare sätt än om de enbart övar på att lösa givna ekvationer eller givna problem. Det ger en större känsla av eget deltagande och gör matematiken mer personlig.