Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet.

Transkript

1 Problemlösning Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Denna modul riktar sig till dig som arbetar i årskurserna 1-3 och handlar om hur du kan utveckla din undervisning i matematik genom problemlösning. I modulens åtta delar får du tillsammans med kollegor ta del av några didaktiska perspektiv på undervisning i matematik via problemlösning. Ni får veta hur olika uppfattningar om matematiska problem och arbete med matematiska problem kan påverka elevers matematiklärande. Vidare diskuterar ni hur lärare kan anpassa matematiska problem och hur elevers olika matematiska förmågor kan synliggöras i samband med problemlösning. Ni drar också slutsatser om hur lärare och elever kan lära av varandra när de med hjälp av matematikens olika strategier och uttrycksformer samtalar om problem och elevers olika lösningar. I modulen behandlas också metakognitionens betydelse för matematiklärandet. Modulens delar: 1. Matematiska problem 2. Att arbeta med matematiska problem 3. Undervisning och matematisk problemlösning 4. Strategier och uttrycksformer i problemlösning 5. Bedömning i problemlösning 6. Kommunikation i problemlösning 7. Anpassning av problem 8. Lektionsutveckling via problemlösning Innan ni tar itu med de åtta delarna kan ni med fördel se en sammanfattande film i del 8. Varje del består av fyra moment, A-D. I moment A finns det material du behöver för att vara väl förberedd för nästa moment. I moment B väljer ni i lärargruppen tillsammans ut ett gemensamt problem, anpassar det till era olika elevgrupper och planerar er undervisning kring det. Inget hindrar att samma problem används i flera delar. Våra förslag på problem är tänkta att användas i helklass och är valda så att de tillsammans täcker stora delar av kursplanens centrala innehåll. I moment C genomför ni era planerade lektioner. Observationsprotokollen är till för att du ska notera sådant som du vill berätta om och diskutera med lärargruppen i nästa moment. Ni kommer tillsammans överens om när och om ni vill använda protokollen, i vissa fall handlar noteringarna om att observera elever och deras arbeten i andra fall handlar det om dina egna reflektioner. I moment D sammanfattar ni ert lärande i delen. Ni ska också diskutera hur ni utifrån era erfarenheter från arbetet med momenten A, B och C kan fortsätta utveckla undervisningen tillsammans. Slutligen ska ni komma fram till hur ni som lärargrupp vill fortsätta ert gemensamma arbete för att problemlösning ska vara en naturlig och givande del av matematikundervisningen. Under arbetet med modulen ska ert eget lärande stå i fokus.

2 Ansvariga för modulen Högskolan Dalarna.

3 Del 2. Att arbeta med matematiska problem Syftet med denna del är att du ska utveckla din förmåga att skapa undervisning där elever ges möjlighet att formulera egna problem. Ni får även tillfälle att diskutera hur elevers egna formulerade problem kan användas för att skapa tillfällen till lärande. Innehållet i den första delen handlade om uppfattningar om matematiska problem. Enligt styrdokumenten ska undervisning i matematik erbjuda elever tillfällen att utveckla förmåga att formulera och lösa problem. En viktig uppgift för dig som lärare är att skapa förutsättningar och möjligheter för elever att formulera egna matematiska problem. I denna del kommer du att läsa om och diskutera aspekter av undervisning där elever ska ges möjlighet att formulera matematiska problem. Genom arbete med elever i klassrummet ska du undersöka elevernas egna formulerade matematiska problem. Genom att formulera egna matematiska problem ges eleverna möjlighet att använda sina egna kreativa idéer och visa vilka sammanhang de kopplar till matematik. Målen med denna del är att du ska få förståelse för olika sätt att inbjuda elever till att formulera egna problem få förståelse för samband mellan undervisning och elevers egna formulerade problem diskutera och formulera hur elevers egna problem kan användas för att skapa tillfällen till lärande

4 Del 2: Moment A individuell förberedelse Enligt Lgr11 ska undervisning i matematik erbjuda elever tillfällen att utveckla förmåga att formulera och lösa problem. En viktig uppgift för dig som lärare är att skapa förutsättningar och möjligheter för elever att formulera egna matematiska problem. Skapandet av egna problem är ett sätt för elever att vara kreativa och nyttja sina egna intressen. Läraren kan på olika sätt, i sin undervisning erbjuda elever tillfällen att formulera egna matematiska problem. Läs Texten Att formulera problem behandlar bl.a. olika sätt att uppmana elever att formulera egna problem. De olika sätten kan vara att elever uppmanas att formulera ett eget problem som liknar ett problem man nyss arbetat med, eller att formulera problem fritt utifrån exempelvis bild eller saga. Fundera över hur de två olika uppmaningarna kan komma att påverka elevernas egna formulerade problem avseende matematiskt innehåll och kontext. Anteckna dina reflektioner och ta med dem till den gemensamma planeringen i moment B. Sätt dig in i problemet Solrosen. I problembanken finns en genomgång av problemet. Sätt dig in i Observationsprotokoll del 2 som ni kan använda i momenten C och D. Material

5 Material Att formulera problem L. Sumpter Solrosen K. Hagland Observationsprotokoll del 2 H. Grundén och M. Sundberg

6 Grundskola åk 1 3 Modul: Problemlösning Del 2: Att arbeta med matematiska problem Att formulera problem Lovisa Sumpter Förmågan att kunna formulera ett eget problem är ett viktigt mål i problemlösning. Detta bekräftas både av internationell och svensk forskning (ex. Schoenfeld, 1991; Silver & Cai, 1995; Taflin, 2007). Den här texten handlar om två olika sätt att formulera problem. Momentet formulera problem återkommer i flera teorier om tänkande och förståelse i samt lärande av matematik. Det är en central komponent i beskrivningar av vad som menas med problemlösningskompetens (Niss, 2003, s.7, författarens översättning): Formulera och lösa matematiska problem såsom att identifiera, formulera och specificera olika typer av matematiska problem i ren och tillämpad matematik; öppna och slutna: lösa olika typer av matematiska problem (i ren eller tillämpad matematik, öppna eller slutna), oavsett om de är formulerade av andra eller sig själv, och om lämpligt, på olika sätt. Som lärare är det viktigt att kunna separera olika elevers förståelse i förhållande till en uppgift: hur skiljer sig tankegångarna åt? Denna fråga är kopplad till det japanska matematikdidaktiska begreppet Kikan-shido som återfinns i lärarens roll i problemlösning (Shimizu, 1999). Kikan-shido kan översättas till instruktion hos elevens bänk. Den innefattar att läraren scannar av elevers individuella problemlösningsprocess där en del är att utvärdera elevens tankelinje. För att kunna göra denna utvärdering behöver man förstå vad elever baserar sina lösningar på, det vill säga avgöra vilka matematiska idéer som ligger till grund. Det är utifrån denna utvärdering som läraren sedan designar klassrumsdiskussioner och avgör vilka elever som ska få gå fram och redovisa sina lösningar framme vid tavlan. Ett verktyg för att göra en utvärdering av den här typen är att be eleverna att formulera ett eget problem. Detta kan ske på två sätt: formulera ett liknande problem eller formulera ett problem. Forskning visar att lärare inte bara behöver välja och ordna matematiska uppgifter till en lektion för att skapa produktiva klassrumsdiskussioner utan också måste agera pro-aktivt (Henningsen & Stein, 1997). Detta agerande innefattar att genomgående stötta elevers kognitiva aktiviteter utan att reducera komplexiteten och sänka den kognitiva nivån som uppgifter kräver. När eleverna ska formulera sina egna uppgifter är det därför viktigt att se till att den kognitiva nivån bibehålles. Det första sättet är att be eleverna att formulera ett liknande problem. Då styrs kreativiteten på så sätt att de matematiska idéerna ska vara det samma, men problemet kan vara satt i en Att formulera problem Maj (4)

7 Grundskola åk 1 3 annan kontext och ett annat talområde. Låt oss studera följande uppgift (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005, s.123): Figur 1: Problemet Klippa gräs från boken Rika matematiska problem, Liber förlag. Vi ska nu fokusera på b)-delen i uppgiften. Om vi ändrar kontexten kan problemet istället handla om att måla en vägg: Samir målar en vägg på 2 timmar. Peter gör det på 4 timmar. Att formulera problem Maj (4)

8 Grundskola åk 1 3 Notera att om vi bara ändrar kontexten så lite som vi har gjort i exemplet ovan är lösningen densamma, och vi kan ställa oss frågan om uppgiften fortfarande är ett problem. Det krävs alltså lite mer än att bara byta ut namn eller situation för att behålla en fortsatt hög kognitiv nivå. Till exempel kan man säga att det är tre personer som ska måla en vägg. Eller så kan Samir i uppgiften ovan bara arbeta en timme och sedan måste Peter slutföra resten. Med dessa justeringar blir uppgiften svårare. Ett annat sätt att förändra en uppgift är att ändra på talområdet: Jenny klipper en gräsmatta hos Bo på 1 ½ timme. Mona gör det på 3 1/4 timme. Nu har vi samma kontext, men i stället arbetar vi med rationella tal. Svårigheten nu ligger mer på hanteringen av talen än själva problemlösningen. Fördelen med att låta eleverna att formulera ett liknande problem är att du som lärare kan se om eleverna har förstått de matematiska idéerna som är i fokus. Nackdelen är att eleverna är styrda i sin kreativitet och att det är lätt att man fastnar i tänket att jag byter ut namnen eller jag byter ut siffrorna vilket är en reducering av den kognitiva nivån. Det andra sättet är att be eleverna att formulera ett problem. Då får eleverna skapa fritt exempelvis utifrån en bild (exempelvis fotografi eller målning) eller en händelse (exempelvis en saga eller en sång). Här är ett exempel på en uppgift skapad av en elev i åk 3 till följande bild: Maja gick till en djurpark och såg en giraff. Halsen var dubbelt så lång som benen. Och benen var dubbelt så långa som svansen. Hur lång är halsen om svansen är 1 meter? Här styrs inte eleverna utan de kan komma in på andra matematiska områden än det som tidigare har behandlats. Fördelen med detta är att eleverna har möjlighet att upptäcka hur de själva kan kontrollera kontext och matematiskt innehåll. Nackdelen är att man missar möjligheten att använda uppgiften som utvärdering av var eleverna befinner sig i förhållande till ett specifikt matematiskt område. Att formulera problem Maj (4)

9 Grundskola åk 1 3 Det är viktigt att påpeka att momentet med att formulera problem inte bara är något för högpresterande elever. Tvärtom gagnas elever på alla nivåer i och med att det uppmanar till kreativitet mer än att fokusera på minnesträning och upprepning av procedurer. Eftersom förmågor i matematik är utvecklingsbara (Häggblom, 2000) har vi som lärare möjlighet att stimulera problemlösningskompetensen bland annat genom att arbeta med elevers formulering av problem. Referenser Haglund, K., Hedrén R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem -inspiration till variation. Stockholm: Liber. Henningsen, M., & Stein, M. K. (1997). Mathematical tasks and student cognition: Classroom-based factors that support and inhibit high-level mathematical thinking and reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 28(5), Häggblom, L. (2000). Räknespår: barns matematiska utveckling från 6 till 15 års ålder. Doktorsavhandling. Åbo, Finland: Åbo Akademi. Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. Konferensartikel presenterad på Third Mediterranean Conference on Mathematics Education. Schoenfeld, A. (1991). What s all fuss about problem solving? Zentralblatt für Didaktik der Mathematik International Reviews on Mathematical Education, 91(1), 4-8. Shimizu, Y. (1999) Aspects of mathematics teacher education in Japan: Focusing on teachers roles. Journal of Mathematics Teacher Education, 2 (1), Silver, E; S. S. Leung & J. Cai. (1995). Generating multiple solutions for a problem: A comparison of the responses of U.S. and Japanese Students. Educational Studies in Mathematics. 28, Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande. Doktorsavhandling. Umeå: Umeå Universitet. Att formulera problem Maj (4)

10 Grundskola åk 1 3 Modul: Problemlösning Del 1: Att arbeta med matematiska problem Solrosen Kerstin Hagland Kjell planterar ett solrosfrö. Efter 6 dagar är solrosen 10 cm hög. a) Hur hög var solrosen efter 3 dagar? b) Hur många dagar tar det innan solrosen är 20 cm hög? c) Hur många dagar tar det innan solrosen är 25 cm hög? d) Hitta på ett eget liknande problem. Lös det. Solrosen Maj (1)

11 Grundskola åk 1 3 Modul: Problemlösning Del 2: Att arbeta med matematiska problem Observationsprotokoll del 2 Helena Grundén och Maria Sundberg Enligt kursplan i matematik (Lgr11) ska elever, genom undervisning i matematik erbjudas tillfällen att bl.a. utveckla sin förmåga att formulera problem. Detta observationsprotokoll syftar till att vara ett stöd för läraren i arbetet med att identifiera egenskaperna hos elevernas egna formulerade problem. Utgå från några elevproducerade problem och observera hur de är formulerade. Anteckna 1. Beskriv kontexten i elevernas problem. 2. Beskriv det matematiska innehållet i elevernas problem. Observationsprotokoll del 2 Maj (2)

12 Grundskola åk Beskriv vilken typ av uppgift eleverna skapar, rutinuppgift, textuppgift eller problem. Observationsprotokoll del 2 Maj (2)

13 Del 2: Moment B kollegialt arbete Diskutera Utgå från era anteckningar från moment A och diskutera hur de två olika uppmaningarna kan komma att påverka elevernas egna formulerade problem avseende matematiskt innehåll och kontext. Hur kan undervisningen påverka det matematiska innehållet i elevernas egna formulerade problem? Hur kan undervisningen påverka kontexten i elevernas egna formulerade problem? Förbered en lektion Planera ett lektionstillfälle där eleverna ska formulera egna problem. Ni ska var och en uppmana era elever att formulera egna problem utifrån ett av de sätt som beskrivs i texten Att formulera problem. Båda två sätten, formulera ett liknande problem och formulera ett problem, ska vara representerade i lärargruppen. I moment D kommer ni att jämföra vilket matematiskt innehåll och vilken kontext elevernas egna formulerade problem omfattar, relaterat till det sätt som eleverna uppmanats att formulera problem på. Material

14 Del 2: Moment C aktivitet Genomför lektionen Genomför lektionerna och samla in elevernas egna formulerade problem. Använd Observationsprotokoll 2 för att analysera matematiskt innehåll och kontext i elevernas egna formulerade problem. Tag med din analys och dina anteckningar till den gemensamma diskussionen i moment D. Material

15 Del 2: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Diskutera utifrån er analys och era anteckningar från moment C Redogör för varandra det huvudsakliga matematiska innehåll och kontextuella sammanhang som förekom i era elevers formulerade problem. Diskutera likheter och olikheter avseende matematiskt innehåll och kontext i de problem som formulerades i era olika lektioner. Diskutera eventuella samband mellan de problem eleverna formulerade och det sätt på vilket eleverna ombads formulera egna problem. Diskutera även hur ni skulle kunna använda elevernas egna formulerade problem för att skapa tillfällen till lärande i matematik. Sammanfatta Sammanfatta era diskussioner och reflektera över samband mellan undervisning och elevernas egna formulerade problem. Vad kännetecknade elevernas egna problem? Hur kan ni använda elevernas problem för att skapa tillfällen till lärande? Att arbeta vidare med I nästa del kommer ni att planera en lektion med fokus på olika faser där elever och lärare har olika roller. Fundera redan nu på hur era lektioner kan delas in i olika faser och hur elever kan ges tillfällen att formulera egna problem. Vilka roller kan du som lärare och dina elever ha under lektionen? Material