Problemlösning Fk- åk 3 19/ Pia Eriksson

Transkript

1 Problemlösning Fk- åk 3 19/ Pia Eriksson

2 Fyra glaskulor och tre pappersstjärnor väger 63 gram. Tre glaskulor och två pappersstjärnor väger 46 gram. Alla glaskulor väger lika mycket och alla pappersstjärnor väger lika mycket. Hur mycket väger två glaskulor och en pappersstjärna?

3 Svar: 29 gram. "För att lösa uppgiften måste vi ta reda på hur mycket en kula och en stjärna väger." Ja, det är en bra metod och flera gjorde så, men här kommer ett annat sätt: Fyra glaskulor och tre pappersstjärnor väger 63 g. Tre glaskulor (dvs. en färre) och två pappersstjärnor (också en färre) väger 46 g (17 g mindre). Alltså en glaskula och en pappersstjärna väger 17 g. Om man från tre glaskulor och två pappersstjärnor som väger tillsammans 46 g tar bort en glaskula och en pappersstjärna (de väger 17 g), så har man kvar två glaskulor och en pappersstjärna och de väger 46g-17g= 29g.

4 Lgr 11, kursplan i matematik i Syfte grundskolan Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder

5 använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter föra och följa matematiska resonemang och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser

6 Centralt innehåll i åk 1-3 Problemlösning Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer.

7 Centralt innehåll i åk 4-6 Problemlösning Strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer.

8 Definition problem En uppgift ska uppfylla tre kriterier för att utgöra ett problem: 1. en person vill och behöver lösa det 2. personen ifråga har inte på en förhand given procedur för att lösa uppgiften. 3. det krävs en ansträngning av personen för att lösa problemet. Individuellt vad som uppfattas som ett problem Rika matematiska problem s. 27

9 Exempel på rutinuppgift och problem Emma är dubbelt så gammal som sin bror Max. Tillsammans är de 12 år. Hur gammal är Emma? = 12

10 Rika problem Sju kriterier för rika matematiska problem 1. Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. 2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.

11 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer. 5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer.

12 6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden. 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.

13 Lärarens roll vid problemlösning Ha en känsla för eleven Välja en utmanande uppgift Organisera för lärandet Jaworski (1994)

14 Varför ska elever lösa problem? Ökad variation och därmed också en ökad arbetsglädje under matematiklektionen. Eleven upplever matematikens skönhet och känner tillfredställelse med att lösa problem.

15 Vad karaktäriserar problemlösningsuppgiften? 1.Problemet ska vara lätt att förstå. 2.Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt. 3.Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. 4.Problemet ska leda till nya bra problem. (Schoenfeld)

16 Polyas fyra faser (s. 19) att förstå problemet att göra upp en plan att genomföra planen att se tillbaka och kontrollera resultatet

17 Undervisning i problemlösning Polyas fyra faser: 1. Förstå problemet 2. Göra upp en plan. 3. Genomföra planen. 4. Se tillbaka, kontrollera resultatet.

18 Lärarens roll (Hagland m.fl. s.19) Ordna en miljö för lärande Förvissa sig om att eleverna har de redskap de behöver för att ha en rimlig chans att lyckas med att lösa en uppgift eller ett problem Gå in med vägledning och stöd utifrån elevens eller gruppens tankar och idéer Söka reda på de idéer och tankegångar hos enskilda elever och/eller elevgrupper, som kan vara värdefulla att föra fram i en gemensam diskussion Leda diskussioner i klassen så att elevernas fruktbärande idéer uppmuntras och utvecklas Bedöma vad eleven kan snarare än vad hon inte kan Förmedla engagemang för matematikämnet och vara en god förebild Vara bärare av det matematiska språket och av matematik som ett kulturarv

19 Olika typer av resonemang Resonemang Imitativt Kreativt matematiskt Memoriserat Algoritmiskt Familjärt AR Avgränsat AR Guidat AR Text-guidat Personguidat

20 Memoriserat resonemang Strategival: Återge från minnet ett fullständigt svar. Genomförandet av strategin: Skriv ned svaret. Ex. Hur många cm 3 går det på 1 l?

21 Algoritmiskt resonemang En algoritm är en sekvens av instruktioner som löser en specifik uppgiftstyp. Den är bestämd i förväg och behöver inte modifieras under genomförandet. Den är snabb och har hög reliabilitet. Den är designad för att undvika mening. Hur identifiera rätt algoritm?

22 Nyckelordsstrategi Konsistent: På Konsum kostar en stor läsk 15 kr. På ICA kostar läsken 2 kr mer. Hur mycket kostar läsken på ICA? 15+2=17 Inkonsistent: På Konsum kostar en stor läsk 15 kr. Det är 2 kr mindre än vad läsken kostar på ICA. Hur mycket kostar läsken på ICA? 15-2=13

23 Familjärt /Välbekant AR Strategival: Uppgiften ses som välbekant och kan lösas med en tillhörande känd algoritm. Genomförande av strategi: Följ algoritmen. Ex. Beräkna arean av en triangel som har basen 3 och höjden 4. A = b h/2

24 Avgränsat AR Strategival: De algoritmer som provas hör till en delmängd av alla kända algoritmer. Delmängden avgränsas så att algoritmerna har åtminstone en ytlig koppling till uppgiften. Genomförande av strategi: Följ algoritmen, utan verifierande argumentation. Om utfallet inte blir som förväntat, avbryt genomförandet och prova en ny algoritm från den avgränsade mängden. Ex. Ett rätblock har sidorna 2,3 och 4 cm. Beräkna storleken på rätblockets begränsningsarea. Lösningsförslag1: = 24 Lösningsförslag 2: (2+3) 4 = 20

25 Guidat/Lotsat AR Strategival: En lots (ex. lärare eller lärobok) vägleder genom alla svåra delar. Genomförande av strategi: Följ algoritmen. Lotsens auktoritet gör verifierande argumentation överflödig.

26 Text-guidat resonemang Strategivalet handlar om att identifiera ytliga likheter mellan uppgiften och ett exempel, definition, sats, regel, eller liknande i en text. Algoritmen är implementerad utan bekräftande argument. Gleerups Prima Matematik 1A

27 Person-guidat resonemang Alla strategival som är problematiska för lösaren görs utav en guide som ger inga förutspående argument. Implementeringen av strategin görs enligt guidningen och det som kvarstår är transformationer av rutinkaraktär som inte innehåller några bekräftande argument. S: Är a 5 a 3 =2a 15? JL: "Nej, addera exponenterna : a 5 a 3 = a 5+3 = a 8."

28 Kreativt matematisk resonemang En ny resonemangssekvens skapas eller återskapas (inte bara återges) Strategival och slutsats stöds av argument. Argumenten är förankrade i de centrala matematiska egenskaperna hos komponenterna

29 Kreativt kontra imitativt resonemang 2 8 = Flicka, 7 år: Det är samma som *tystnad 20 sekunder] ,18, 17, 16. Det är = Tabellkunskap: = 2 (10-2) = 20-4

30 Vilka resonemang tränas och testas? I läroboksuppgifter och i lärargjorda prov: 70% kan lösas med Imitativa Resonemang (AR/MR) 20% kan lösas med Imitativa Resonemang med en lokal modifiering med Kreativt Matematiskt Resonemang. 10% kräver Kreativt Matematiskt Resonemang. De flesta elever och studenter arbetar nästan bara med Imitativa Resonemang % rätt krävs på prov. Lärare anser ovanstående är nödvändigt för att klara elever med lärandesvårigheter och heterogena grupper. Ingen skillnad mellan utbildningsnivåer.

31 KLAG-matris U t t r y c k s f o r m er Konkret Logisk/språklig Algebraisk/ aritmetisk Grafisk/geo-metrisk Begrepp Procedurer M a t e m a t i s k a i d é e r Strategier Formler/regler Konventioner (skriftliga) Konventioner (muntliga) Rika matematiska problem s. 32