Osäkerhetsindex för Sverige. - ett verktyg för svensk realekonomi. Uncertainty index for Sweden - an instrument for Swedish real economic

Transkript

1 Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2014:16 Osäkerhetsindex för Sverige - ett verktyg för svensk realekonomi Uncertainty index for Sweden - an instrument for Swedish real economic Maria Elofsson och Rebecca Westerström Självständigt arbete 15 högskolepoäng inom Statistik III, HT2014 Handledare: Pär Stockhammar

2 1

3 Sammanfattning Det vi undersöker i denna uppsats är om det är möjligt att skapa ett generellt fungerande osäkerhetsindex. Detta genom att vikta samman tre befintliga index. Ett finansiellt stressindex, ett realekonomiskt osäkerhetsindex samt ett europeiskt politiskt osäkerhetsindex tilldelas en tredjedels vikt vardera. På så sätt fångas de tre viktigaste komponenterna av stress upp och förhoppningen är att skapa ett totalt osäkerhetsindex. Detta index borde vara av värde för alla som analyserar svensk realekonomi. Referensperioden avser år Syftet med indexet är att analysera dess påverkan på svensk BNP-utveckling. Genom en vektor autoregressiv modell utförs Grangers kausalitetstest och impulsresponsfunktioner. Då osäkerheten chockas med en standardavvikelse, i residualerna, utlöser det ett fall i BNP. Grangers kausalitetstest åskådliggör att indexets påverkan på BNP är signifikant. Dessa resultat ligger till grund för våra slutsatser om att osäkerhetsindexet kan appliceras på BNP för att se dess utveckling. Nyckelord: osäkerhet, index, BNP-utveckling, vektor autoregressiva modeller, impulsresponsfunktion, Grangers kausalitetstest Abstract In this paper we examine whether it is possible to create a general useful uncertainty index, by weighting together three existing index. A financial stress index, a real economic uncertainty index and European policy's uncertainty index is assigned the weight of one-third each. In this way we catch the three main components of stress and the hope is to create a total uncertainty index. This index should be of value to anyone who analyzes the Swedish real economy.the reference period for this study is year The purpose of the index is to analyze its impact on Swedish GDP growth. By a vector auto regressive model are the Granger causality test and impulse response functions performed. When the uncertainty is shocked with a standard deviation, in the residuals, it triggers a fall in GDP. The result of Granger shows that the index impact on GDP is significant. These results are the grounds for our conclusions regarding that the uncertainty index can be applied to GDP to ensure its development. Keywords: uncertainty, index, GDP growth, vector autoregressive models, impulse response function, Granger causality 2

4 Förord Vi vill tacka vår handledare Pär Stockhammar för vägledning och stöd under arbetets gång. 3

5 Innehållsförteckning 1. Inledning Bakgrund Syfte och mål Hypotes Avgränsningar Disposition Data Osäkerhetsindexets komponenter Finansiellt stressindex Realekonomiskt osäkerhetsindex Europeiskt politiskt osäkerhetsindex Bruttonationalprodukt Data för den utökade VAR modellen Metod och Teori Viktning av komponenter Lika viktning Subjektiv viktning Principalkomponent Analys Behandling av BNP Modellspecifikation Vektorautoregressiva modeller Att välja antal tidsförskjutningar Stationäritet Enhetsrot Utökat Dickey-Fuller test Modelldiagnostik Oberoende Homoskedasticitet Normalfördelning Grangers kausalitetstest Impulsresponsfunktion Resultat

6 4.1 Val av index och antal tidsförskjutningar Utökade Dickey-Fuller testet Test av residualer Granger kausalitet Impulsresponsfunktioner Test av konsumtion Utökad VAR modell Diskussion och slutsats Referenser A. Appendix

7 1. Inledning Bakom varje beslut utgör antagandet om framtidens utveckling en avgörande roll. Prognoser för framtiden är dock inte alltid tillförlitliga då det normalt existerar någon form av osäkerhet. Det kan således vara av intresse att mäta osäkerheten på marknaden för att kunna se hur den påverkar utvecklingen i ekonomiska variabler så som Sveriges BNP. Det finns för närvarande inget universellt mått på total ekonomisk osäkerhet. Emellertid använder många av Sveriges institut och banker sig utav olika mått samt index för att förutse olika typer av osäkerhet. 1.1 Bakgrund Sveriges Riksbank tog 2011 fram ett finansiellt stressindex (FS) för Sverige. Forss et al. (2011). Syftet var att få en generell uppfattning över närvaron av störningar på de finansiella marknaderna. Detta index består av fyra komponenter, volatilitet, TED-spread, obligationsspread samt valutakursvolatilitet. Volatilitet är ett utav de vanligaste måtten för att mäta finansiell stress på aktiemarknaden. Begreppet är ett mått på prisrörligheten för aktier och andra finansiella tillgångar och mäts i standardavvikelsen på tillgångens avkastning. Volatiliteten är därför en indikator på hur riskfylld en tillgång är, en högre volatilitet medför en högre risk som i sin tur är ett tecken på finansiell stress. Från kreditmarknaden har indikatorerna TED- och obligations-spread valts. När skillnaden mellan räntesatsen för statsskuldsväxlar och STIBOR (Stockholm interbank offerd rates) ökar är detta en signal på oro i ekonomin. Skillnaden som uppstår kallas TEDspread och är en indikator på upplevd kreditrisk på penningmarknaden. Graden av finansiell stress på obligationsmarknaden representeras av räntedifferens. I tider utmärkt av finansiell stress har obligations-spreaden en tendens till att öka då räntorna på statsobligationer sjunker och räntorna på de säkerställda obligationerna ökar. Valutakursvolatilitet används för att sätta ett värde på den valutarisk som existerar på den svenska marknaden för banker och företag som finansierar sig i utländsk valuta. Med dessa fyra indikatorer ger FS en omfattande blick av utsträckningen av finansiell stress. Ett realekonomiskt osäkerhetsindex (REU) för Sverige togs fram av Malmström och Thorleifsson (2014). Syftet med indexet är att fungera som ett komplement till Riksbankens finansiella stressindex. REU är framställt av tre komponenter, de två första är spridningen i prognoser av BNP-tillväxt och KPI-inflation där prognoser från Finansdepartementet, Konjunkturinstitutet, Svenskt Näringsliv, Riksbanken, LO samt bankerna Nordea, SEB och Handelsbanken har jämförts. Dessutom ingår den betingande variansen från Konjunkturinstitutets konjunkturbarometer. Den mäter hushållens och företagens förväntningar på framtiden. Indexet anses ge en bra samlad blid av realekonomisk osäkerhet. Baker et al. (2013) har framställt ett europeiskt politiskt osäkerhetsindex (EPU) bestående av två likaviktade aspekter av politisk osäkerhet. Den nyhetsbaserade komponenten är baserad på två nyhetstidningar i de fem största europeiska ekonomierna, Tyskland, Spanien, Italien, Frankrike och England. Fortsättningsvis räknas antalet artiklar som innehåller specifika nyckelord, så som osäkerhet, ekonomi och skatt etc. Den andra komponenten är prognoser av oenigheter från individuella prognoser för KPI, inflation och statens budgetsaldo. 6

8 1.2 Syfte och mål Syftet med denna uppsats är att estimera vikter på de tre ovannämnda indexen för att studera dess gemensamma påverkan på svensk BNP tillväxt. Vårt mål är att föra samman dessa tre komponenter för att skapa ett nytt mer omfattande osäkerhetsindex. Förhoppningen är att det ska fungera som ett generellt osäkerhetsindex för Sverige. 1.3 Hypotes Det sammansatta osäkerhetsindexet är ett fungerande mått för att studera svensk BNP tillväxt. 1.4 Avgränsningar Uppsatsen begränsas till det finansiella stressindexet, det realekonomiska osäkerhetsindexet och det politiska osäkerhetsindexet för Europa. Referensperioden begränsas från 2001Q1-2013Q4 då REU endast finns tillgänglig inom denna tidsperiod. Variablerna i modellen baseras på ekonomiska aspekter som kan tänkas påverka osäkerhet. 1.5 Disposition I kapitel 2 beskrivs valet av variabler som inkluderats i vår bivariata vektorautoregressiva modell. Kapitel 3 behandlar de metoder och teorier som ligger till grund för konstruktionen av vårt index. Kapitlet behandlar även modellspecifikation och modelldiagnostik för VARmodeller. Resultaten redovisas i kapitel 4 där även inkluderandet av ytterligare variabler undersökts. Vidare följer diskussion samt slutsats i kapitel 5. 7

9 2. Data 2.1 Osäkerhetsindexets komponenter Finansiellt stressindex Sveriges Riksbank (2011) utvecklade ett finansiellt stressindex för Sverige med syfte att användas som ett redskap för att analysera den finansiella marknaden. FS består av fyra stresskomponenter med utgångspunkt från kapital- och valuta marknaden, tre komponenter från kapitalmarknaden samt en indikator från valutamarknaden används. Stressindikatorerna normaliseras så att de anges i samma enhet och blir därmed jämförbara med varandra. Indikatorerna vägs sedan samman med lika vikter till ett index som även det normaliseras så att medelvärdet blir noll och standardavvikelsen ett Realekonomiskt osäkerhetsindex Det realekonomiska osäkerhetsindexet, Malmström och Thorleifsson (2014), har en begränsad referensperiod från 2001Q1 till 2013Q4. Detta då konjunkturbarometern inte finns tillgänglig tidigare än Likt det finansiella stressindexet så har även varje observation standardiserats för att sedan viktats ihop. Vid valet av vikter testades tre olika metoder, lika viktning, principalkomponentanalys samt subjektiv viktning. De slutgiltiga vikterna som REU består av är då konjunkturbarometern har vikten 0.5 och spridningen i prognoserna för BNP och KPI har vikten 0.25 vardera Europeiskt politiskt osäkerhetsindex Som tidigare nämnts består det europeiska politiska osäkerhetsindexet av två komponenter. Dessa kombineras på landnivå och därefter normaliseras de för att erhålla ett enhetligt index för hela Europa. Figur 2.1 De normaliserade indexen 8

10 2.2 Bruttonationalprodukt Bruttonationalprodukt (BNP) är ett mått på ett lands totala ekonomiska aktivitet under en viss tidsperiod och används för att beskriva ekonomisk tillväxt. För att se utvecklingen i BNP används fasta priser mestadels. Denna metod är populär då den tar bort effekten av inflationen. Det BNP mått vi har valt att använda i denna studie är hämtat från SCB och är BNP till marknadspriser som är säsongsrensad och mätt i fasta priser med referensår BNP Figur 2.2 Säsongsrensad BNP till marknadspriser kvartalsvis från , mnkr, källa: SCB. 2.3 Data för den utökade VAR modellen. För att kontrollera sambandet mellan osäkerhet och BNP utökas modellen senare i uppsatsen med variabler som kan tyckas påverka båda komponenterna. Vi antar att osäkerhet och BNP kan ha en relation till arbetslöshet, reporäntan samt BNP i Europaområdet. Därav inkluderas dessa i den utökade modellen. Logaritmisk kvartalsdata från perioden 2001Q1-2013Q4 används. 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0-0,01-0,02-0,03 Arbetslöshet Figur 2.3 Arbetslöshet i Sverige kvartalsvis från , logaritmerad och differentierad, källa: SCB 9

11 0,008 0,006 0,004 0, ,002-0,004-0,006-0,008-0,01-0,012 BNP i Euroområdet Figur 2.4 BNP i euroområdet kvartalsvis från , logaritmerad och differentierad, källa: Konjunkturinstitutet 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5 Reporänta Figur 2.5 Reporäntan i Sverige mellan kvartalsvis, logaritmerad och differentierad, källa: Riksbanken 10

12 3. Metod och Teori 3.1 Viktning av komponenter Varje vikt bör uppfylla kraven att vara mellan noll och ett, samt att tillsammans summera till ett. För att kunna jämföra de utvalda indexen normaliseras datat så att de uttrycks i samma enhet. När medelvärdet dras bort från varje observation och divideras med standardavvikelsen erhålls normaliserade komponenter där medelvärdet blir noll och standardavvikelsen ett. I figur 2.1 ser vi de normaliserade värdena för varje index under referensperioden. I denna studie undersöks tre vanliga förekommande viktningsmetoder, lika viktning, viktning utifrån principalkomponentanalys och marknadsvikter. Utifrån resultaten kan slutsatser dras om vilka vikter som genererar det mest lämpliga indexet. Fördelen med att vikta ihop komponenterna till ett samansatt index är att det ger en generell översikt av hur osäkerhet påverkar marknaden. Ytterligare en fördel är att den enskilda komponentens inflytande reduceras Lika viktning Den första och mest grundläggande metoden är lika viktning. Metoden går ut på att varje komponent tilldelas lika stor vikt utan att man tar hänsyn till storleken på komponenten. Vid användandet av lika viktning riskeras möjliga gemensamma faktorer att överrepresenteras i indexet. Utöver det så tas ingen hänsyn till hur stor betydelse en indikator generellt har på det man vill påvisa. Därmed tilldelas FS, EPU och REU 1 3 vardera och får därav lika stor påverkan på osäkerhetsindexet. Fördelen med att ge komponenterna lika vikt är att indexet blir lättbegripligt Subjektiv viktning En alternativ metod till lika viktning är marknadsviktning som utgår ifrån att ge varje komponent en vikt grundad på dess relevans gällande marknaden. Detta görs exempelvis genom att utgå från indikatorns storlek i förhållande till de andra indikatorerna. Ett problem med marknadsvikter är att finna ett mått på faktorernas betydelse och dess storlek. Då det inte föreligger något som påvisar storleken av betydelsen hos de tre indexen kan marknadsviktning inte användas. Som alternativ till marknadsvikter är subjektiv viktning att föredra. Betydelsen av en faktor antas och får en vikt utifrån egna bedömningar. Då det finansiella stressindexet innefattar fyra indikatorer som täcker upp för kapital- och valutamarkanden antar vi att detta index har störst påverkan gällande osäkerhet. Därav tilldelas denna komponent den största vikten, ½. Det politiska och realekonomiska indexen tilldelas ¼ var Principalkomponent Analys Principalkomponent analys (PCA) är en multivariat statistisk metod som används för att skapa nya variabler som är linjära kombinationer av originalvariablerna. PCA transformerar korrelerade variabler till nya icke korrelerade variabler. Metoden används vanligtvis för att reducera antalet variabler men samtidigt behålla en hög grad av information, Sharma (1996, sid 58-80). PCA är även andvändbar då den kan upptäcka eventuella mönster i datat. Den första variabeln som skapas är principalkomponent 1 som innehåller den högsta variansen i datat. Principalkomponent 2 innehåller högsta variansen som inte redan har täckts utav den 11

13 första variabeln, detta fortgår tills den totala variansen har blivit förklarad. I vårt fall används tre principalkomponenter. PCA utgår ifrån en korrelations- alternativt en kovariansmatris. Om datat inte är standardiserat används en korrelationsmatris som medför att det blir standardiserat när PCA genomförs. Då komponenterna sedan tidigare är standardiserade används istället kovariansmatrisen för att utföra principalkomponent analysen. Resultaten visas i tabell 3.1 och 3.2. Egenvärde Skillnad Proportion Kumulativ Prin Prin Prin Tabell 3.1 Egenvärden från kovariansmatrisen Prin1 Prin2 Prin3 FS EPU REU Tabell 3.2 Egenvektorer Utifrån tabell 3.2 ser man att FS förklarar den största delen av variansen i principalkomponent ett med 63.49%. Det politiska osäkerhetsindexet står för den största delen förklarad varians i principalkomponent två och den sista principalkomponentens varians förklaras till största del av det realekonomiska osäkerhetsindexet. Kopplat till detta dras slutsatsen om vilka vikter de olika komponenterna tilldelas. Från proportionskolumnen i tabell 3.1 får FS vikten 0.57, EPU 0.26 och REU För att bestämma hur många komponenter som ska behållas finns tre stycken förfaranden att gå efter. Egenvärde-större-än-ett regeln gäller enbart på standardiserat data, den argumenterar för att endast behålla principalkomponeter som har egenvärden större än ett. I detta fall säger denna regel att endast en principalkomponent ska behållas. Ett ytterligare sätt att avgöra hur många komponenter som bör behållas är armbågsregeln. Egenvärdena plottas gentemot antalet komponenter och där man urskiljer en tydlig brytpunkt, som liknar en armbåge, avgörs det hur många principalkomponenter som ska bevaras. Enligt denna regel bör två principalkomponeter användas, se Appendix A.1. Slutligen används förklaringsgraden, antalet principalkomponenter ska kumulativt förklara minst 80 procent av variansen. Även denna regel rekommenderar att två principalkomponenter ska användas. Utifrån resultaten anger dessa regler att en alternativt två komponenter ska behållas. Då vi ursprungligen endast har tre komponeter och syftet inte är att minska antalet variabler kommer alla tre komponenter behållas. Detta då vi inte vill gå miste om någon information. 12

14 Lika viktning Subjektiv viktning PCA FS EPU REU Tabell 3.3 Resultat av vikter utifrån de tre olika metoderna 3.2 Behandling av BNP Som vi kan se i figur 2.2 syns en positiv trend i BNP utvecklingen. Detta indikerar ickestationäritet vilket är en oönskad egenskap i tidsserier. För att inte enbart undersöka detta visuellt utfördes det utökade Dickey-Fuller testet som visar att BNP är icke-stationärt. 0,015 0,01 0, ,005 BNP2-0,01-0,015 Figur 3.1 Visar första differensen av logaritmerat säsongsrensat BNP till marknadspriser kvartalsvis från , källa: SCB och egna uträkningar. För att åtgärda detta problem logaritmeras BNP för att sedan beräkna första differensen. Detta beräknas genom att ta förändringen från en period t till en annan t-1. I figur 3.1 visas behandlat BNP som inte längre kan anta någon trend. För att utreda huruvida transformerat BNP är stationärt genomfördes åter igen ett ADF-test som visar att variabeln nu är stationär. En mer utförlig förklaring av ADF-test ges i sektion För ADF-resultat se Appendix A.2 och A Modellspecifikation Vektorautoregressiva modeller I denna uppsats använder vi oss utav vektorautoregressiva (VAR) modeller för att se hur vårt index påverkar BNP. VAR-modellerna utvecklades av Sims (1980) och gjordes mera allmänt känd inom ekonometrin som en naturlig förlängning av de univariata autoregressiva modellerna. Det som utmärker VAR modeller till skillnad från en linjär regression är att samtliga inkluderade komponenter behandlas som endogena. Varje variabel i modellen i 13

15 period t påverkas av sig själv och de andra variablerna i ett bestämt antal föregående perioder. Sambandet mellan komponenterna i en VAR-modell skattas simultant. Till skillnad från en linjär regression kan man då bedöma effekten av variablerna på ett mer interaktivt sätt. VAR modeller skattas genom OLS regressioner vilket gör resultaten förhållandevis lättolkade. Modellen är även ett bra verktyg för att analysera hur variablerna påverkas av en impuls. Den generella VAR(p) modellen uttrycks som: y t = α + β 1 y t β p y t p + u t (3.1) Ett specifikt fall av VAR(p) är den bivariata som innefattar två variabler, y 1t och y 2t, vars samtliga aktuella värden är beroende av olika kombinationer av det laggade värdet. En bivariat VAR(1) då antalet laggar, k=1, är uppbyggd på följande sätt: Alternativt: y 1t = α 1 + β 11 y 1 t 1 + β 12 y 2 t 1 + u 1 t (3.2) y 2t = α 2 + β 21 y 1 t 1 + β 22 y 2 t 1 + u 2 t (3.3) ( y 1 t y 2 t ) = ( α 1 α 2 ) + ( β 11 β 12 β 21 β 22 ) ( y 1 t 1 y 2 t 1 ) + ( u 1 t u 2 t ) (3.4) där u it är de stokastiska feltermerna som antas vara oberoende, normalfördelade, med medelvärde noll och konstant varians. Även kallat vitt brus Att välja antal tidsförskjutningar Det första steget innan skattningen av ekvationen är att bestämma optimalt antal tidsförskjutningar som ska inkluderas i modellen. För varje lagg som tilläggs förloras frihetsgrader. Då för många förskjutningar inkluderas ökar risken för multikollinearitet då de oberoende variablerna riskerar att vara korrelerade med varandra. Att välja för många laggar är således inte optimalt då man går miste om information och får osäkra resultat. Inkluderandet av för få förskjutningar kan däremot bidra till andra typer av specifikationsfel. Tillexempel att den oberoende variabeln blir korrelerad med feltermen eller att feltermerna är autokorrelerade. För att komma fram till hur många laggar som bör inkluderas i modellen används olika informationskriterier. Informationskriterier används i det här fallet för att bestämma antalet laggar som bör inkluderas, där modellen med antal laggar som minimerar en eller flera av kriterierna väljs. Brooks (2008, sid ) rekommenderar de multivariata utformningarna av Akaikes informationskriterium (AIC), Schwartz Bayesianska informationskriterium (SBIC) och Hannan-Quinns informationskriterium (HQIC) som metod för att välja optimalt antal tidsförskjutningar. De mutlivariata informationskriterierna definieras som: AIC = log Σ + 2k T (3.5) SBIC = log Σ + k log (T) (3.6) T HQIC = log Σ + 2k log(log(t)) (3.7) T 14

16 3.3.3 Stationäritet Vid användandet av VAR-modeller är det viktigt att tidsserierna uppfyller kravet beträffande stationäritet. För att en tidsserie ska klassas som svagt stationär krävs det att den har ett konstant medelvärde, konstant varians samt konstant autokovarians för varje given tidsförskjutning. De förblir densamma oavsett vilken tidspunkt den mäts på och är därmed inte en funktion utav tiden. För att en tidsserie ska vara tidsinvariant ska komponenterna uppfylla kraven: E(y t ) = μ (3.8) E(y t μ)(y t μ) = σ 2 < (3.9) E(y t μ)(y t s μ) = γ s, s = 0,1,2, (3.10) Vid icke-stationäritet går det enbart att studera beteende under den tidsperiod som det tas hänsyn till, det går därmed inte att utöka den till andra tidsperioder. En oönskad egenskap hos en icke-stationär tidsserie är att eventuella chocker i en tidpunkt följer med och påverkar alla kommande tidsperioder. Tillskillad från stationära serier där effekten av chocker försvinner med tiden Enhetsrot För att testa för stationäritet används ett enhetsrotstest som utgår ifrån den stokastiska processen: Y t = ρy t 1 + u t 1 ρ 1 (3.11) Tanken bakom testet är att regrediera Y t på dess föregående period Y t 1 för att sedan se om ρ statistiskt är lika med ett. Där ρ =1 betyder att det finns problem med enhetsrot vilket i sin tur innebär att processen är icke-stationär. Ekvationen 3.11 kan inte estimeras med hjälp av OLS. Detta då t-testet inte får väntevärdesriktiga resultat vid förekomsten av enhetsrot. För att kunna utföra ett korrekt enhetsrotstest måste därav ekvationen manipuleras som följande: Y t Y t 1 = ρy t 1 Y t 1 + u t = (ρ 1)Y t 1 + u t detta kan skrivas som: Y t = δy t 1 + u t (3.12) där δ = (ρ 1) och Y t, är första differensen sådan att Y t 1 = (Y t 1 Y t 2 ), Y t 2 = (Y t 2 Y t 3 ) och så vidare. Nollhypotesen som testas blir därav att δ = 0 gentemot alternativhypotesen att den är stationär, således att δ < 0. T-värdet av den uppskattade koefficienten Y t 1 inte följer t- fördelningen. Det alternativa testet för att undersöka stationäritet är Dickey-Fuller testet (DFtestet). Dickey och Fuller (1979). Testet estimeras i tre olika former: 15

17 Y t = δy t 1 + u t (3.13) Y t = β 1 + δy t 1 + u t (3.14) Y t = β 1 + β t + δy t 1 + u t (3.15) Där 3.13 är slumpvandring utan drift, 3.14 är slumpvandring med drift och 3.15 är slumpvandring med drift och trend. I dessa tre fall antas feltermerna vara icke-korrelerade Utökat Dickey-Fuller test Som nämnts tidigare antas feltermerna vara icke-korrelerade i DF-testet. I det fall då u t är korrelerade utvecklades det utökade Dickey-Fuller (ADF) testet, Dickey och Fuller (1981). Det är uppbyggt som en förlängning av de tre tidigare ekvationerna genom att addera det laggade värdet av den beroende variabeln Y t då eventuell korrelation i residuerna fångas upp. Mer specifikt, anta att ekvation 3.15 används. Då utgår ADF-testet från att skatta följande regression: m Y t = β 1 + β 2t + δy t 1 + i=1 i Y t i + u t (3.16) Där u t är vitt brus och är första differensen. I det utökade testet är hypoteserna de samma som i DF-testet. För mer information om enhetsrot och ADF-test se Gujarati (2009, sid 757) 3.4 Modelldiagnostik Residualanalys utförs för att kontrollera följande villkor: (i) oberoende residualer (ii) homoskedasticitet (iii) normalfördelade residualer Oberoende Då det inte finns någon autokorrelation mellan feltermerna talar man om oberoende. Detta innebär att residualerna som avser en observation inte ska påverkas av residualerna som avser en annan. Även uttryckt som: cov(u i u j ) = 0, för i j (3.17) Ett lämpligt test för att se om residualerna är oberoende är genom Breusch-Godfrey test, Breusch och Pagan (1979), även känt som LM-test. För att se om korrealtionen mellan feltermerna är noll över tiden utförs ett test som baseras på residualerna. Modellen för feltermerna i detta test är: där v t är vitt brus. u t = ρ 1 u t 1 + ρ 2 u t ρ k u t k + v t (3.18) 16

18 Hypoteserna som testas är: H0: ρ 1 = ρ 2 = = ρ k = 0 H1: minst en av ρ 1, ρ 2,.., ρ k 0, där ρ k är korrelationen mellan residualerna på tidsavstånd k. Under nollhypotesen vill man se att inga nuvarande fel är relaterade till några av deras tidigare värden, k. Då n är antalet observationer är teststatistikan givet av: (n k)r 2 ~χ k 2 (3.19) Vilken följer en chi-två fördelning med k antal frihetsgrader. Om (n k)r 2 är större än det kritiska chi-två värdet på given signifikansnivå förkastas nollhypotesen vilket betyder att minst en av ρ 1, ρ 2,, ρ k 0. Skulle autokorrelation föreligga och ignoreras uppstår det konsekvenser utav detta. Koefficient skattningarna är fortfarande väntevärdesriktiga men ineffektiva, detta kan leda till att skattningen av standardavvikelen blir felaktig. Skulle man därför ignorera detta problem finns det en möjlighet att dra felaktiga slutsatser. För ytterligare information se Brooks (2008, sid ) Homoskedasticitet Då feltermerna har konstant varians, även känt som homoskedasticitet, gäller följande villkor var(u t ) = σ 2 <. Skulle residualerna inte uppfylla detta föreligger heteroskedasticitet. Ett vanligt förekommande test för hetrosedasticitet är Whites test (1980). Testet är särskilt användbart då den inte är beroende av antagandet om normalfördelning. Den undersöker även specifikt om förekomsten av heteroskedasticitet orsakar felaktiga beräkningar av varians och kovarians. För att urskilja om feltermerna har konstant varians testas följande hypoteser: H0: Residualerna är homoskedastiska H1: Residualerna är inte homoskedastiska Teststatistikan är nr 2 som är chi-två fördelad. För mer information om Whites test se Brooks (2008, sid 132). Om det föreligger heteroskedasticitet och detta ignoreras kommer detta ge väntevärdesriktiga estimat som dock inte är användbara då standardavvikelsen blir felaktig. Detta på grund utav att den blir större alternativt mindre än vad den egentligen bör vara Normalfördelning Antagandet (u t ~ N(0, σ 2 )) är nödvändigt för att genomföra inferens om modellparametrarna. Det kan testas under följande hypoteser: H0: Residualerna är normalfördelade H1: Residualerna är inte normalfördelade Ett av de mest tillämpade testen är Jarque-Bera (1981) (JB) test. Testet beräknar först residualernas skevhet och kurtosis, vilket baseras på de OLS skattade residualerna. Skevheten mäter i vilken utsträckning en fördelning inte är symmetrisk kring sitt medelvärde och kurtosis mäter svansens tjocklek på fördelningen. Teststatistikan som används är följande: JB=n [ S2 6 + (K 3)2 24 ] ~χ 2 2 (3.20) 17

19 Där, n är antalet observationer, S är skevhetkoefficienten och K är kurtosiskoefficienten. Även JB följer chi-två fördelningen med två frihetsgrader. I de fall då test variabeln följer en normalfördelning är S=0 och K=3. Därmed testar JB gemensamt att S och K är noll respektive tre, i sådant fall förväntas JB statisitikan att vara noll. För mer detaljerad infromation om detta test, se Gujarati (2009, sid 132). 3.5 Grangers kausalitetstest Syftet med Grangers kausalitetstest är möjligheten att kunna beskriva eventuella orsakssamband mellan variabler i ekonometriska modeller. Detta är bra då man kan studera konsekvenserna av de olika åtgärder som kommer eller övervägs att tas. Tanken bakom Grangers kausalitetstest är att avgöra om framtida värden på en tidsserie X kan förutsägas genom att använda sig av förflutna värden på ytterligare en tidsserie Y. Om Y kan förutsägas bättre med hjälp av tidigare värden av både X och Y än vad den kan förutses med hjälp av endast gamla värden på Y brukar detta uttryckas som att X granger-orsakar Y. Detta kan ses som om förväntningarna på Y givet förflutna värden på X är annorlunda om man jämför med de obetingade förväntningarna på Y. E (Y Y t k, X t k ) E (Y Y t k ) (3.21) Testet observerar två tidsserier för att kunna identifiera om serie X förekommer tidigare än serie Y, X eller om rörelserna är samtida. Begreppet innebär därför inte sann kausalitet utan istället identifierar den om en variabel föregår en annan. Detta test är ett lämpligt verktyg då det tillåter att testa för riktningen av Granger kausalitet samt om det finns närvarande. Grangers kausalitetstest gör regressioner på varje variabels laggade värden samt andra förklarande variabler. Det är nödvändigt att tidsserierna testas för stationäritet samt att man fastställer optimalt antal tidsförskjutningar för VAR- modellen innan testet kan genomföras. Det är dock viktigt att komma ihåg att kausalitet är något missvisande då Granger kausalitet innebär en korrelation mellan det aktuella värdet på en variabel och de senare värdena för den andra variabeln, det innebär inte att förflyttningarna av en variabel orsakar rörelser i en annan. Om X orsakar Y skulle laggar av X vara signifikanta i ekvationen för Y, man talar då om enkelriktad kausalitet, X Y. Skulle även Y orsaka X och dess laggar vara signifikanta i ekvationen av X finns dubbelriktad kausalitet, X Y. Hypoteserna i testet är följande: H0: X granger-orsakar inte Y H1: X granger-orsakar Y För att testa hypotesen används följande F-test med (n-k) och m frihetsgrader: F = (RSS R RSS UR )/m RSS UR /(n k) (3.22) 18

20 där RSS R är den begränsade kvadratsumman av residualerna och RSS UR är den obegränsade kvadratsumman av residualerna. Antal laggade termerna är m, k är antal parametrar estimerade i den obegränsade regressionen och n är antal observationer. Om det beräknade F- värdet överstiger det kritiska F-värdet på den valda signifikansnivån förkastas nollhypotesen. Detta är ett annat sätt för att säga att säga att X orsakar Y. För mer information om Grangers kausalitetstest se Brooks (2008, sid 297, ). 3.6 Impulsresponsfunktion Vid undersökning av Grangers kausalitet visar testet vilka variabler som har statistisk signifikant inverkan på framtida värden av de variabler som är inkluderade i modellen. Det f- test man utgår ifrån kan dessvärre inte fastställa om denna inverkan är positiv eller negativ. Detta kan däremot förklaras med hjälp utav en impulsresponsfunktion (IRF). Funktionen går ut på att få kunskap om hur de beroende variablerna i VAR modellen reagerar på en impuls, även kallad chock. IRF beskriver responsen på en variabel då en annan variabel i systemet utsätts för en enhet chock i feltermen, givet att inga andra chocker påverkar modellen. Funktionen visar även hur lång tid det tar för effekten av chocken att försvinna ur systemet. Om modellen är stationär ska denna effekt vara temporär och dö ut med tiden. Brooks (2008, sid ). 19

21 4. Resultat 4.1 Val av index och antal tidsförskjutningar I sektion 3.1 har tre index tagits fram där viktningen av komponenterna skiljer sig åt. Då syftet är att undersöka dess påverkan på BNP måste beslut tas angående vilket index som är lämpligast. För att bestämma detta skattas en bivariat VAR-modell för vardera index. Nedan i tabell 4.1 ser vi resultaten från informationskriterierna som indikerar att lika vikter är optimalt vid konstruerandet av vårt osäkerhetsindex. Index Lag AIC Lag SBIC Lag HQIC AIC SBIC HQIC PCA Subjektivt Lika viktat * -6.24* -6.40* Tabell 4.1 Resultat av informationskriterier för de tre indexen, * indikerar informationskriteriernas lägsta värde Vi har utgått från tre informationskriterier för att fastställa vilket av indexen som är att föredra. Tabell 4.1 visar de tre indexens minimerade värden av de olika informationskriterierna och i vilken lagg kriteriet är som minst. Med hänsyn till dessa resultat bör det likaviktade indexet användas för att estimera hur osäkerhet påverkar BNP. Detta på grund av att AIC, SBIC och HQIC minimeras i det likaviktade indexet. Valet av antalet tidsförskjutningar härleds även här med hjälp av informationskriterierna från tabell 4.1. Resultatet visar inte lika entydigt hur många tidsförskjutningar som bör användas i modellen. AIC minimeras vid fem laggar och SBIC och HQIC vid en. Varje lagg som introduceras i modellen medför att förlusten av frihetsgrader ökar vilket kan medföra att prediktionerna blir bristfälliga. Detta problem blir mer betydande när en modell innehåller många förklarande variabler. Då vi endast har två komponenter att ta hänsyn till, OI och BNP, har vi valt att använda oss utav en lagg. För fullständiga resultat samt den skattade bivariata VAR-modellen se appendix A.4-A.6 och A BNP OI -3-4 Figur 4.1 Visar inverterat osäkerhetsindexet, OI, i förhållande till differentierat logaritmerat BNP från 2001 till

22 4.2 Utökade Dickey-Fuller testet Vid konstruktionen av VAR-modellen krävs det att alla inkluderade variabler är stationära. För att fastställa detta utförs ett ADF-test på differentierat logaritmerat BNP samt osäkerhetsindexet. Resultaten i tabell 4.2 visar att båda komponenterna uppfyller kravet angående stationäritet, då p-värdena är lägre än det kritiska värdet Detta verifierar att de är lämpliga för VAR-modellen. Fullständiga resultat av ADF-testerna kan ses i Appendix A.3 och A.7. ADF-test Prob* OI BNP Tabell 4.2 Resultat av ADF-test för OI och BNP 4.3 Test av residualer Resultaten från BG-testet konstaterar att nollhypotesen om oberoende residualer inte går att förkasta. Detta innebär således att korrelationen mellan residualerna ej är statistiskt skilda från noll. Följaktligen drar vi slutsatsen att residualerna är oberoende. Från Whites test kan vi fastställa att residualerna är homoskedastiska vilket betyder att feltermerna i modellen har konstant varians. Jarque-Bera testet visar att residualerna inte är normalfördelade. I ekonomiska och finansiella modeller förekommer det ofta en eller två extrema residualer som orsakar förkastandet av normalitetantagandet Brooks (2008, sid 164). Då residualerna inte är normalfördelade indikerar det på stora avvikelser som leder till kurtosis och skevhet. Trots att vi inte kan påvisa att antagandet är uppfyllt läggs inte en betydande tyngd på detta då är ett allmänt känt problem för ekonomiska data. För fullständiga resultat av residualtesterna se appendix A.8-A Granger kausalitet För att se om förändringar i indexet med en lagg orsakar förändringar i BNP utfördes Grangers kausalitetstest. Om OI granger-orsakar BNP, OI BNP, skulle indexet hjälpa till att förbättra prognoserna för BNP. Vi testar även för Grangers kausalitet i andra ledet, d.v.s.om BNP OI. Beroende variabel Oberoende variabel Chi-sq df Prob BNP OI OI BNP Tabell 4.3 Resultat av Grangers kausalitetstest för BNP och OI Resultatet från tabell 4.3 visar att kausaliteterna är signifikanta. Hypoteserna kan förkastas och därmed har vi dubbelriktad kausalitet. Vi ser att OI påverkar BNP och drar därav slutsaten att OIs laggar är signifikanta i ekvationen för BNP. Resultaten indikerar på att osäkerhetsindexet kan användas för att prognostisera BNP-tillväxt. För fullständiga tabeller se appendix A

23 4.5 Impulsresponsfunktioner VAR(1) modellen är uppbyggd på följande sätt: BNP t = α 1 + β 11 BNP t 1 + β 12 OI t 1 + u 1,t (4.1) OI t = α 2 + β 21 OI t 1 + β 22 BNP t 1 + u 2,t (4.2) En standardavvikelse chock appliceras på residualerna, u 1,t och u 2,t. Förändringen i u 1,t kommer medföra en förändring i BNP som i sin tur påverkar OI och BNP i nästa period. Syftet med denna metod är att se hur VAR systemet påverkas. Resultaten visar hur den beroende variabeln reagerar på impulsen samt hur lång tid som krävs för att återhämta sig. Konsekvenserna av chocken kommer dock med tiden att försvinna om modellen är stabil. Figur 4.2 BNPs reaktion kvartalsvis, på en chock med en standardavvikelse i residualerna för OI. I figur 4.2 representerar den blå linjen impulsresponsfunktionen och de röda sträckadelinjerna visar ett 95 % konfidensintervall för IRF. Vi ser att en positiv chock med en standardavvikelse, 0.99, på OI orsakar ett fall i BNP. BNP faller i genomsnitt 0.04 enheter av den differentierade logaritmen av BNP i kvartal två, detta är signifikant skilt från noll. Efter kvartal två visar impulsresponsen att BNP börja återhämtar sig för att i kvartal åtta stabilisera sig kring noll. Resultatet visar att följderna av chocken försvinner med tiden vilket antyder på att modellen är stationär. Således skulle effekten av en oväntad och temporär ökning i osäkerhet påverkar BNP omgående för att avta i kvartal fyra då effekten inte längre är signifikant. 22

24 Figur 4.3 OIs reaktion kvartalsvis, på en chock med en standardavvikelse i residualerna för BNP. Chocken med en standardavvikelse, 0.77, i BNP resulterar i en ökning av osäkerhetsindexet på kort sikt. Dock är detta resultat inte statistiskt signifikant. Figur 4.3 visar att den oväntade ökningen i BNP tenderar att ge en positiv ökning i osäkerhet fram till kvartal två. Då konfidensintervallet omfattar noll kan vi dock inte utesluta att osäkerhetsindexet förblir oförändrat vid en oväntad ökning i BNP. 4.6 Test av konsumtion Man kan tänka sig att det finns någon underliggande faktor i BNP som enskilt påverkas mer av osäkerhet. Vi har valt att underöka detta genom att byta ut BNP mot konsumtion då man kan tänka sig se en större reaktion i osäkerhet. För att härleda huruvida osäkerheten har en större effekt på konsumtion än BNP utfördes samma procedur som tidigare. Resultaten från residualtesten för denna VAR modell visar att residualerna är homoskedastiska, men dock inte normalfördelade eller oberoende. Grangers kausalitetstest visar att osäkerhetsindexet orsakar förändringar i konsumtion. Dock finner vi inget kausalt samband på att konsumtion påverkar indexet. Majoriteten av resultaten visar tydligare att BNP påverkas till större grad av osäkerhet än vad konsumtion gör. Vi finner därmed inget statistiskt underlag för tesen om att konsumtion skulle påverkas mer av osäkerhet än BNP. Med hänsyn till detta ersätts inte BNP av konsumtionen. För utförligare resultat se appendix A.12, A.13 och A.23-A Utökad VAR modell För att se om sambandet mellan OI och BNP inte endast är ett skensamband väljer vi att utöka vår bivariata VAR(1) modell med tre kontrollvariabler. Detta då vi vill undersöka om det eventuellt finns någon ytterligare variabel som påverkar både OI och BNP. Ökad osäkerhet har normalt en negativ inverkan på den ekonomiska aktiviteten. Eftersom efterfrågan minskas då företag och hushåll senarelägger investeringar och konsumtion. Den sänker även sysselsättningen då företag kan tänkas avvakta med nyanställningar. Utifrån detta väljer vi att inkludera arbestlösheten. Den ekonomiska aktiviteten på den svenska marknaden stimuleras av Riksbanken med reporäntan som verktyg. Vi väljer att inkludera reporäntan i den utökade VAR modellen då vi antar att den har en påverkan på både OI samt BNP. Den tredje variabeln vi har valt att inkludera är BNP i europaområdet. Måttet är ett index som KI tagit fram där Sveriges 16 största exportländer viktats ihop efter andelen av exportmarknaden. De tre komponenterna i den utökade VAR-modellen utsätts för ett ADF-test där resultaten visar stationäritet efter att första differensen har beräknats, detta gäller samtliga komponenter. 23

25 För resultaten se Appendix A.16-A.21. Antalet tidsförskjutningar bestäms även här av informationskriterierna som föreslår en lagg. Vilket verkar rimligt då vi förlorar information samt frihetsgrader vid inkluderandet av flera laggar. Modelldiagnostiken visar att ingen autokorrelation eller heteroskedastisitet existerar i residualerna. Dock är de likt tidigare resultat ej normalfördelade. Den utökade VAR-modellen kan ses i Appendix A.22 Beroende variabel Oberoende variabel Chi-sq df Prob BNP OI * BNP Arbetslöshet BNP Reporäntan BNP BNPEU OI BNP OI Arbetslöshet 1.34E OI Reporäntan OI BNPEU Arbetslöshet BNP Arbetslöshet OI Arbetslöshet Reporäntan Arbetslöshet BNPEU Reporäntan BNP Reporäntan OI Reporäntan Arbetslöshet * Reporäntan BNPEU * BNPEU BNP BNPEU OI * BNPEU Arbetslöshet BNPEU Reporäntan * Indikerar p-värde<0.05 Tabell 4.5 Resultat av Grangers kausalitetstest för den utökade VAR modellen Vi finner endast signifikant kausalitet på 5% nivå för OI till BNP, OI till BNPEU, arbetslöshet till reporäntan och BNPEU till reporäntan. Det är värt att notera att begreppet Granger kausalitet är något missvisande då konstanterandet av kausalitet inte betyder att rörelser i en variabel orsakar rörelser i en annan. Exempelvis visar resultatet att förändringar i arbetslösheten påverkar reporäntan. Detta innebär dock inte att reporäntan förändras som ett direkt resultat av rörelser i arbetslöshet. Snarare innebär det en ordnad tidsföljd av rörelser i 24

26 serien. Det kan sägas att rörelser i arbetslöshet ligger till grund för rörelser i reporäntan men med hur mycket går inte att avgöra från resultaten. Effekten av OI på de fyra kontrollvariablerna i den utökade VAR modellen undersöks med en impulsrespons analys. Figur 4.4 Visar BNPs reaktion kvartalsvis, på en chock med en standardavvikelse i residualerna för OI Figur 4.5 Visar BNP i EU-områdets reaktion kvartalsvis, på en chock med en standardavvikelse i residualerna för OI Figur 4.6 Visar räntans reaktion kvartalsvis, på en chock med en standardavvikelse i residualerna för OI Figur 4.7 Visar arbetslöshetens reaktion kvartalsvis, på en chock med en standardavvikelse i residualerna för OI De fyra figurerna visar hur respektive variabel reagerar då OI chockas med en standardavvikelse. Visuellt tycks alla variablerna ge de utslag som förutspås när en chock i osäkerhet uppstår. Dock är de dessvärre inte alltid signifikanta. Resultatet av BNPs reaktion är snarlik resultatet från impulsresponsen i figur 4.2. Även här är den signifikant fram till kvartal fyra. Resultatet verkar troligt då den visar att BNP sjunker när osäkerheten ökar. Detta kan även påvisa att den bivariata modellen tycks fungera, eftersom reaktionen på BNP verkar vara densamma då vi kontrollerar för fler variabler. Vi kan se ett liknade mönster i reaktionen mellan Sveriges BNP och BNP i euroområdet när osäkerheten ökar. Dock visar figur 4.5 en mjukare reaktion på chocken som når sitt lägsta värde mellan kvartal två och tre. I jämförelse med BNP i Sverige som har ett lägsta värde på -0.5 kan vi dra slutsatsen att BNP i euroområdet inte påverkas lika väsentligt av en chock i Sveriges osäkerhet. Detta verkar också sannolikt och stärker beviset för att OI fungerar som den bör. Chocken i OI medför att den logaritmerade och differentierade reporäntan sjunker och den når sitt lägsta värde vid kvartal fyra. Efter detta börjar den återhämta sig och effekten av chocken tenderar att dö ut vid kvartal nio. Då reporäntan avvänds som ett verktyg för att stimulera ekonomin kan man anta att en ökad osäkerhet medför att Riksbanken sänker 25

27 reporäntan för att få ekonomisk stimulans. I figur 4.6 kan vi se att resultatet stärker detta antagande. I figur 4.7 ser vi att arbetslösheten reagerar med att stiga fram till kvartal tre då OI chockas. Därefter börjar utvecklingen från chocken avta för att stabiliseras kring noll under kvartal nio. Även denna reaktion tycks vara rimlig då osäkerheten medför en försvagad ekonomi vilket tenderar att generera en högre arbetslöshet 1. 1 Fler IRF från den utökade modellen kan ses i appendix A.14 26

28 5 Diskussion och slutsats Syftet med uppsatsen var att skapa ett större och mer generellt osäkerhetsindex för Sverige för att studera dess påverkan på BNP-tillväxt. För att åstadkomma detta estimerade vi vikter av tre befintliga index som vi kopplar till osäkerhet. Vi finner ett orsakssamband mellan osäkerhetsindexet och BNP från Grangers kausalitetstest. Dock innebär det inte att OI orsakar direkta rörelser i BNP då det finns många underliggande faktorer som kan ge upphov till förändringen. Utfallet från impulsresponsfunktionen då OI chockas, tyder på att hypotesen om indexet inte kan förkastas. Det signifikanta resultatet visar att BNP sjunker då osäkerheten ökar, vilket stämmer överens med våra förväntningar sedan innan. Med hjälp av Grangers kausalitetstest och IRF finner vi en första antydan på att osäkerhetsindexet kan bidra till att förbättra prognoser för svensk BNP-tillväxt. Däremot kan vi inte fastställa detta resultat endast utifrån en bivariat modell då sambandet mellan vårt index och BNP skulle kunna vara ett skensamband. För att undersöka detta läggs kontrollvariabler till för att se om någon annan variabel kan tänkas påverka förändringar i OI och BNP. Resultatet av hur OI påverkar BNP skiljer sig marginellt från den bivariata modellen. Vi ser detta som en indikation på att osäkerhetsindexet fortfarande är passande. Utöver det visar impulsresponsfunktionerna förväntade reaktioner av de tillagda variablerna när OI chockas. Till följd av chocken ökar arbetslösheten medan reporäntan samt BNP i euroområdet sjunker. Det bör påpekas att bland de tillagda variablerna finner vi endast kausalt samband mellan OI och BNP i euroområdet. Ett önskvärt scenario hade varit att erhålla ett större antal kausala samband mellan samtliga variabler. Detta skulle i sin tur stärka hypotesen om att osäkerhetsindexet är användbart. Kan vi dra slutsatsen om att osäkerhetsindexet är ett fungerande mått för att studera BNPtillväxten i Sverige baserat på dessa resultat? Tar man endast hänsyn till de resultat disskuterat ovan är den första instinkten positiv. Trots detta bör även svagare delar av resultatet belysas. Den utökade VAR modellen ger tvetydiga resultat när vi studerar variablernas samband mellan varandra. Om de övriga resultaten från impulsresponsfunktionerna reagerar på ett sätt som tycks överrenstämma med verkligheten skulle det ge starkare indikationer på att modellen är lämpad för dess syfte. Exempelvis borde BNP i Sverige reagera positivt då BNP i euroområdet ökar dock visar våra resultat ett motsatt gensvar. Vi kan påvisa att vi skapat ett ändamålsenligt osäkerhetsindex med hänsyn till vårt huvudmål. Det står klart att vi inte kan förkasta vår hypotes. Det är dock svårt att dra slutsatser beträffande hur väl fungerande detta index är. Grunden till detta är beträffande impulsresponsfunktionerna av kontrollvariablerna som inte uppvisar resultat förenliga med realiteten. Vidare studier för att undersöka detta är närmast följande genom prognoser. Där man använder osäkerhetsindexet för att prognostisera BNP som sedan jämförs med de faktiska värdena, vilket kan ge en bättre bild av hur välfungerande indexet är. Om detta görs hoppas vi att resultaten är goda så att det kan användas som verktyg för de individer som analyserar svensk realekonomi. 27

29 6 Referenser Artiklar i vetenskapliga tidsskrifter Bera, A. K. and Jarque, C. M. (1981) An Efficient Large-Sample Test for Normality of Observations and Regression Residuals, Australian National University Working Papers in Econometrics 40, Canberra Breusch, T.S. and A.R. Pagan, 1979, A simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation, Econometrica 47, Dickey, D.A and Fuller, W.A. (1979). Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series With a Unit Root. Journal of the American Statistical Association 74 (336), Dickey, D.A and Fuller, W.A. (1981) Likelihood ratio statistics for autoregressive time series. Econometrica Jul 1981; 49, 4; ABI/INFORM Global pg Granger, C. W. J. (1969) Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross- Spectral Methods, Econometrica 37, Granger, C. W. J. and Newbold, P. (1986) Forecasting Economic Time Series 2nd edn, Academic Press, San Diego, CA White, H. (1980) A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity, Econometrica 48, (1992) Artificial Neural Networks: Approximation and Learning Theory, Blackwell, Malden, MA Böcker Agnung, I. Gusti Ngurah, (2009) Time Series Data Analysis Using Eviews, John Wiley & Sons Brooks, C. (2008) Introductory Econometrics for Finance, Second Edition, Cambridge Gujarati, D.M och Porter, D.C. (2009). Basic Econometrics. New York: McGraw-Hill/Irvin Lütkepohl, H. (2005). New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlin: Springer. Sharma, S. (1996) Applied Multivariate Techniques, John Wiley & Sons Wooldridge, J. M. (2002) Introductory Econometrics A modern approach, Second Edition, South Western College. Internetbaserade källor Baker, R.S. Bloom, N. Davis. J.S. (2013) Measuring economic policy uncertainty Forss, S.J. Holmfeldt, M. Ryden, A. Strömqvist, M. (2011) Ett index för finansiell stress för Sverige, Riksbanken 28