The effect of a reduced mortgage interest deduction. Pardis Ghadrdan och Samuel Hultqvist

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "The effect of a reduced mortgage interest deduction. Pardis Ghadrdan och Samuel Hultqvist"

Transkript

1 Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2014:17 Effekten av borttaget ränteavdrag The effect of a reduced mortgage interest deduction Pardis Ghadrdan och Samuel Hultqvist Självständigt arbete 15 högskolepoäng inom Statistik III, HT2014 Handledare: Pär Stockhammar

2

3 Sammanfattning Hur påverkas Sveriges ekonomi av ett minskat ränteavdrag? För att undersöka detta har vi använt oss av vektor autoregressiva modeller för att se hur Sveriges ekonomi utvecklas om ränteavdraget minskar. Vi gör tre olika modeller för att se hur en chock i räntan motsvarande ett minskat ränteavdrag påverkar BNP, konsumtion och arbetslöshet. Vi fann att det gick att göra goda prognoser för framtiden som stämmer väl med till exempel Riksbankens prognos för BNP. När vi sedan chockade räntan motsvarande ett minskat ränteavdrag visade det sig att det gav stora negativa effekter på ekonomin. Nyckelord: Vektor Autoregressiva modeller, Ekonometri, Ränteavdrag, BNP Abstract How is the Swedish economy affected by reduced mortgage interest deduction? To investigate this, we used vector autoregressive models to see how the economy is developing in case of a reduced interest deduction. We make three different models to see how a chock on the interest rate, corresponding to a reduced interest deduction, affects GDP, consumption and unemployment. We found that it was possible to make good forecasts for the future that fits well with those of the Central Bank of Sweden for GDP. When we chocked the interest rate, corresponding to a reduced interest deduction, it turned out having negative effects on the economy. Keywords: Vector Autoregressive Models, Econometrics, Mortgage interest deductibility, GDP i

4 Förord Vi vill tacka vår handledare Pär Stockhammar, lektor vid Statistiska institutionen, för konstruktiva idéer samt stöd och uppmuntrande under arbetets gång. ii

5 Innehållsförteckning 1 Inledning Syfte Metod Data Metod Tidsserieanalys Stationäritet Enhetsrot Test av stationäritet Augmented Dickey-Fuller (ADF) test Vektor autoregressiva modeller (VAR) Impuls-responsfunktion Laggar Prognoser med VAR Modelldiagnostik Normalfördelning och heteroskedasticitet Granger kausalitetstest Prognosutvärdering Resultat Stationäritet Granger kausalitetstest VAR-modeller Optimalt antal laggar Normalfördelning och heteroskedasticitet Modelldiagnostik Impuls-respons Prognosutvärdering Prognoser Effekten av minskat ränteavdrag Diskussion och slutsats Litteraturförteckning Appendix A A.1 Källförteckning variabler Appendix B Figur B.1: Grafisk granskning av stationäritet Figur B.2: Korrelogram variabel 1, 2, 3, Figur B.3: Det utökade Dickey-Fuller testet variabel 1, 2, 3, iii

6 Figur B.4: ADF differentierade värden I(1) variabel 2, 3 och Tabell B.1: Variabler, benämning, iteraktionsordning, urvalsstorlek och urvalsperiod Appendix C Tabell C.1: Resultat för optimalt antal laggar Modell Tabell C.2: Resultat för optimalt antal laggar Modell Figur C.2: Modell 2 output Figur C.3: Modell 3 output Figur C.4: Normalitetstest Modell Figur C.5: Normalitetstest Modell Figur C.6: Normalitetstest Modell Figur C.7: White test Modell Figur C.8: White test Modell Figur C.9: White test Modell Modell C.1: Ekvation Modell Modell C.2: Ekvation Modell Figur C.10: Impulsrespons Modell Figur C.11: Impulsrespons Modell iv

7 1 Inledning Diskussionen om ränteavdragets avskaffande blossar upp med jämna mellanrum i den politiska debatten, men har nu aktualiserats i och med hushållens höga skuldsättning och de stigande bostadspriserna. Ränteavdrag på bostadslån är något relativt ovanligt världen över, endast fem andra länder tillämpar ränteavdrag på bostadslån, däribland USA och Schweiz uppmanade EU-kommissionen Sverige att fasa ut ränteavdraget för att minska skevheten på bostadsbeskattningen. I skrivande stund är endast Vänsterpartiet och Miljöpartiet villiga att diskutera en förändring av ränteavdragets utformning. I Sverige innebär ränteavdraget att 30 procent av räntekostnaden på lån, främst då bolån, betalas varje år ut som en skattereduktion. Om räntekostnaden överstiger kronor så erhålls endast 21 procent av räntekostnaden. Ränteavdraget är ett gammalt avdrag som uppkom dels för att skatten på ränteinkomsten i Sverige är 30 procent, dels för att för ge privatpersoner möjligheten att köpa en egen bostad. På 1970-talet var ränteavdraget fullständigt vilket innebar att man fick hela räntekostnaden subventionerat. Det var alltså väldigt fördelaktigt att låna under den perioden. Under skattereformen fick ränteavdraget sin nuvarande utformning. (Fregert & Jonung, 2010) 70 procent av Sveriges hushåll gör idag ränteavdrag varav snittet för subventionen ligger på 6500 kronor per person. Dock är avdraget ojämnt fördelat då personer i 40 års ålder gör störst avdrag medan unga och gamla får lägst. De största avdragen gör familjer i storstäderna. (Heggeman, 2014) Figur 1.1: Ränteavdrag för låntagare år. Genomsnittligt belopp i kronor, efter ålder, år 2012, källa: SCB 1

8 Det finns flera anledningar att studera effekterna av ränteavdraget, dels rör det sig om en stor kostnad för staten, 2012 utbetalades 32 miljarder i ränteavdrag. Dels finns det en växande opinion att ränteavdraget spär på bostadsprisernas drastiska prisutveckling och därmed bör avskaffas. Den kända opinionsbildaren Lars Wilderäng (Cornucopia) skriver att ränteavdraget överskrider bankernas vinst: Eftersom bankerna gör mindre vinst på bostadslånen än ränteavdraget saknar privata banker existensberättigande. Antingen förstatligar man alla bostadslån eller så tar man bort ränteavdraget. Under rådande ideologiska paradigm där statligt är fult blir slutsatsen att hela ränteavdraget omgående ska avskaffas. (Wilderäng, 2013) Ränteavdragets vara eller inte vara är synnerligen en het potatis. 1.1 Syfte Syftet med denna uppsats är att utgöra underlag för en diskussion om hur effekten av ett slopat alternativt minskat ränteavdrag skulle drabba svensk ekonomi. Vi har valt att statistiskt analysera effekterna på BNP, hushållens konsumtion och arbetslöshet. 1.2 Metod För att undersöka effekten av ett reducerat samt borttaget ränteavdrag kommer vi skapa modeller för de ekonomiska variabler som vi ska analysera, för att därefter göra en prognos för hur dessa variabler kommer utvecklas de närmaste tre åren. Slutligen kommer vi lägga till en chock på räntan motsvarande ett minskat ränteavdrag och analysera hur denna påverkar BNP, hushållens konsumtion och arbetslöshet. Vi kommer att använda oss av så kallade vektor autoregressiva modeller (VAR) som är en effektiv metod för att göra prognoser på framförallt finansiell data. För att kunna göra goda prognoser med VAR-modeller krävs det att både de enskilda variablerna och själva modellerna uppfyller vissa kriterier och antaganden. Modellbyggandet påminner mycket om en vanlig ARIMA-process. Den statistiska mjukvaran vi använder för VAR-modellerna är Eviews 8. Med hjälp av Excel kommer vi utvärdera våra modellers giltighet genom att jämföra dem med faktiska värden från med måtten MAPE och MAE. 2

9 2 Data De variabler vi använder oss av har vi valt utifrån makroekonomisk teori. Vi har valt följande fyra variabler för att mäta effekten av ett minskat ränteavdrag: Bruttonationalprodukt (BNP) är ett mått på den totala ekonomiska aktiviteten i ett land under ett år. Ett lands BNP kan uttryckas som värdet av total konsumtion av varor och tjänster, bruttoinvesteringar samt export minus import. Vi kommer använda oss av BNP till marknadspris med säsongsrensning som är det vanligaste måttet. Hushållens konsumtion är säsongsjusterad och till marknadspris. Sveriges ekonomi är väldigt konsumtionsdriven och hushållens konsumtion står ungefär till cirka hälften av värdet av BNP. Räntan är de fem storbankernas viktade rörliga utlåningsränta. Arbetslöshet uttrycker andelen som inte är sysselsatta för åldrarna Datamaterialet är hämtat från Statistiska Centralbyrån och Konjunkturinstitutet. Appendix A hänvisar källor för samtliga variabler. Variablernas frekvens är kvartalsvis då de flesta makroekonomiska variabler publiceras på kvartalsbasis. De variabler som släpps på månadsbasis har vi justerat till kvartalsdata med aritmetiskt medelvärde. All data utgår från 2003 då det var det första året vi kunde finna data över bankernas utlåningsränta. 3

10 3 Metod 3.1 Tidsserieanalys En tidsserie är en uppsättning observationer som genereras vid givna tidpunkter, t. Den observerade tidsserien kan ses som en stokastisk process, Y!, där observerade värden är en realisation av processen. Vi kan betrakta observation y! vid tidpunkt t som en realisation av en slumpmässig variabel y! med täthetsfunktionen p(y! ). På samma sätt som ett urval används för att analysera en viss population, förklaras den underliggande stokastiska processen av dess observerade värden. Tidsserieanalys syftar till att identifiera beroende mellan observationer i tiden för att konstruera en modell som reflekterar dessa. (Brooks, 2008) 3.2 Stationäritet En central del i tidsseriedata och utformning av tidsseriemodeller är antagandet om viss form av statistik jämvikt. Närmare bestämt talar man om begreppet stationäritet som är av särskild betydelse för de autoregressiva modeller som kommer att behandlas längre fram. En stokastisk process sägs vara strikt stationär om fördelningens egenskaper är opåverkade av en tidsförskjutning fram eller bak i tid. Den simultana täthetsfunktionen för observationerna y!!, y!!,..., y!! vid tidpunkt t!, t!,..., t! är densamma som den för observationerna y!!!!, y!!!!,., y!!!! vid tidpunkt t! + k, t! + k,, t! + k. Men andra ord är sannlikhetsfördelningen oberoende av tidsförskjutningar. Vid praktisk tillämpning är det minst sagt krångligt och empiriskt osannolikt att uppnå detta. För att möjliggöra analys av tidsserier finns ett mindre restriktivt antagande om statistisk jämvikt - svag stationäritet. I fortsättningen benämner vi stationäritet i denna form. (Box & Jenkins, 2008) En svag stationär stokastisk tidsserie Y! har ett konstant medelvärde som är oberoende av tid, en konstant varians och en kovarians mellan två tidsperioder som endast beror på avståndet k mellan perioderna och inte tiden t: 4

11 E(Y t ) = µ (3.1) V(Y t ) = E(Y t µ) 2 = σ 2 (3.2) γ k = E [(Y t µ)(y t+k µ) ] (3.3) Det mest fundamentala exemplet på stationär process är en sekvens av oberoende, identiskt fördelade och slumpmässiga variabler som antar väntevärdet 0 och variansen σ!. Processen är strikt stationär och refereras till vitt brus. Då oberoendet implicerar att variablerna inte är korrelerade, ter sig autokovariansfunktionen på samma sätt som vid strikt stationäritet. Alla vitt brus processer är stationära, dock gäller inte det omvända sambandet alltid. En normalfördelad vitt brus -process refereras som Gaussisk vitt brus och har då samma egenskaper som svag stationäritet. (Gujarati & Porter, 2009) Av flera skäl är stationäritet en önskvärd egenskap vid estimering av AR-modeller. Avsaknad av stationäritet kan ha stark påverkan på beteendet och egenskaperna hos en tidsserie. Ett exempel är att oförutsedda händelser på en variabel så som chocker i tidpunkt t har en oändlig och bestående effekt på kommande tidsperioder. För en stationär process har chocker och feltermer en avtagande effekt ju längre fram i tiden man kommer. Om en serie inte uppfyller kravet om stationäritet är det omöjligt att studera eller generalisera beteendet av tidsserien i andra tidsperioder. Prognoser blir då på det hela taget meningslösa. Ett annat problem som lätt kan uppstå är så kallade spuriösa eller nonsens-regressioner. Vad som händer är att två icke-stationära variabler som i själva verket inte är korrelerade uppvisar statistisk samband vid linjär regression. Regressionen ser bra ut när det egentligen inte föreligger något samband (Gujarati & Porter, 2009). Detta kan påvisas genom extremt låga värden på Durbin Watson d-statistika som tyder på hög autokorrelation samtidigt som R! värdet är väldigt högt. Om R! > d är det läge att misstänka att estimerade värden är spuriösa där t-statistikan är missvisande. Vid ett sådant samband krävs vidare granskning av tidsserien där nästa steg är att göra en kointegrationsanalys för att utreda om det istället finns ett giltigt statistiskt samband mellan variablerna. 5

12 3.2.1 Enhetsrot Trots det faktum att man eftersträvar stationäritet vid tidsserieanalys är finansiell data dessvärre sällan stationär i sin grundform. Tillgångspriser så som aktiepriser och växelkurser följer ofta det klassiska exemplet av en slumpvandring (Random Walk model) som är en icke stationär process. En möjlig åtgärd att vidta för att justera för icke-stationär process, utöver de formella testerna som kommer att förklaras närmare i kommande avsnitt, är att logaritmera en tidsserie. (Gujarati & Porter, 2009) Man skiljer mellan tre varianter av slumpvandring: (1) slumvandring utan konstant, (2) slumvandring med konstant och (3) slumvandring med konstant och deterministisk trend. Den första är en AR(1) modell där y! = y!!! + ε! vilket innebär att värdet av variabel y i tidpunkt t motsvaras av dess senaste historiska värde i tidpunkt t 1 plus en felterm som är vitt brus med väntevärde 0 och varians σ!. Väntevärdet för variabeln motsvarar dess initiala värde där E(Y! ) = Y! och är således konstant. Variansen däremot ökar med tiden då var(y! ) = tσ! och strider därmed mot villkor (3.2) för stationäritet. De beskrivna AR (1) modellerna är exempel på vad som i litteraturen benämns som enhetsrot Test av stationäritet Våra tidsserier med autoregressiva komponenter behöver uppfylla kravet på stationäritet och transformeras om villkoret inte uppfylls. Ett första steg är att intuitivt granska tidsserien grafiskt för att få en uppfattning om hur serien beter sig. En uppåtgående trend indikerar att väntevärdet och/eller variansen varierar med tiden. Tidsserien är således inte stationär. Ett annat sätt att grafiskt studera stationäritet är via autokorrelationsfunktionen i ett korrelogram. Höga och långsamt avtagande värden på autokorrelationskoefficienterna samt signifikans indikerar icke stationäritet (Gujarati & Porter, 2009). Vidare behöver en tidsserie testas formellt via enhetsrottest vilket innebär att sambandet mellan stationäritet och enhetsrot för en tidsserie studeras. En stokastisk process med enhetsrot utgår från ekvationen Y! = py!!! + ε! där feltermen är vitt brus. I fallet av enhetsrot då p = 1 är serien en slumpvandring utan konstant vilket är en icke-stationär process. Den generella tanken bakom test av enhetsrot är ta reda på om det estimerade p värdet är lika med 1. Det går emellertid inte att direkt estimera p värdet genom vanlig OLS då den är biased vid fallet av 6

13 enhetsrot. I praktiken estimeras istället den differentierade serien av Y! = py!!! + ε! under nollhypotesen att δ = (p 1) = 0 och mothypotesen att δ < 0. Om δ = 0 är p = 1 och tyder på att vi har en enhetsrot och därmed en icke-stationär serie. Ett vanligt OLS tillvägagångsätt skulle i det här fallet innebära att förändringen av Y! regresseras på Y!!! för att se om δ = 0 eller inte. Problemet är att t-värden för de estimerade koefficienterna av Y!!! inte följer en t-fördelning och är därför inte normalfördelade. I ovannämnda hypoteser visade Dickey och Fuller (1979) istället att teststatistikan följer en τ-fördelning baserat på Monte Carlo-simulering. Detta är känt som DF-testet. Beroende på en given series utformning estimeras DF-testet under tre olika nollhypoteser: ΔY t = δy t 1 +ε t ΔY t = β 1 +δy t 1 +ε t ΔY t = β 1 + β 2 t +δy t 1 +ε t H! = y! är en slumpvandring (3.4) H! = y! ".. " med konstant (3.5) H! = y! ".." runt en deterministisk trend (3.6) Dessa hypoteser råder under antagandet att feltermerna ε! är okorrelerade. I det fall där ε! är autokorrelerade har Dickey-Fuller utvecklat det så kallade ADF-testet som tillåter oss att testa för stationäritet Augmented Dickey- Fuller (ADF) test Det utökade DF-testet härleds från det föregående testet genom att utöka de tre ekvationerna med laggade värden för beroende variabeln Y!. Därigenom justeras eventuell autokorrelation i residualerna. Ekvation (3.6) skrivs om som: ΔY t = β 1 + β 2 t +δy t 1 + m i=1 a i ΔY t i +ε t (3.7) där den utökade termen uttrycker antalet laggade värden, Y!!! = Y!!! Y!!!, och därε t är vitt brus. För att erhålla väntevärdesriktiga estimat för koefficienten av laggade värden δ, behöver man inkludera ett visst antal laggar. Valet av dessa laggar går ut på att välja så många termer som det krävs för att residualerna ska vara okorrelerade. Eviews föreslår antalet laggar baserat på ett antal viktiga 7

14 informationskriterier, bland annat Akaike och Schwarz som förklaras närmare i kommande avsnitt. 3.3 Vektor autoregressiva modeller (VAR) Vektor Autoregressiva modeller har utvecklats av Christopher Sims som ett alternativt sätt att modellera tidseriedata. (Sims, 1980) Inom makroekonomi används strukturella modeller där man försöker påvisa ekonomiska samband där vissa variabler ses som endogena respektive exogena. I VAR-modeller betraktas alla variabler som endogena vilket inte förutsätter någon teoretisk förkunskap för valet av variabler utan endast ett hypotetiskt antagande hur dessa variabler samspelar med varandra 1. (Brooks, 2008) VAR-modellen bygger på generaliserade univariata AR-modeller. Autoregressiva modeller innebär att y! beror linjärt på dess tidigare tidsförskjutna värden plus en felterm. Ekvationen för en AR(p) med p laggade feltermer skrivs som: y t = δ +φ 1 y t 1 +φ 2 y t φ p y t p +ε t (3.8) alternativt som: y t = δ + p i=1 φ i y t i +ε t (3.9) där y! är tidsserien, δ är en konstant, φ är modellparametrar och ε! är vitt brus. Om vi går vidare till enklaste formen av multivariata tidsserier, den bivariata modellen med m antal laggar på båda variablerna och feltermen ε!", erhålls: y 1t = δ 10 +α 11 y 1t α 1m y 1t m + β 11 y 2t β 1m y 2t m +ε 1t (3.10) y 2t = δ 20 +α 21 y 2t α 2m y 2t m + β 21 y 1t β 2m y 1t m +ε 2t (3.11) Introduceras fler variabler k så blir denna form aningen otymplig. Om man går över till matrisform får man en mer kompakt modell: y t = δ + Φ 1 y t 1 + Φ 2 y t Φ m y t m +ε t (3.12) 1 I vissa fall kan endast exogena variabler inkluderas i modellen för att tillåta för trend- och säsongsfaktorer. (Gujarati & Porter, 2009) 8

15 där y t = (y 1t, y 2t,..., y kt ), δ t = (δ 1,δ 2,...,δ k ) " $ och Φ i = $ $ # $ φ 11i φ 1ki φ k1i φ kki % ' ' ' &' VAR-modellers ateoretiska natur är både en för- och nackdel. Modellens största styrka ligger i att generera prognoser som i de flesta fall är mer precisa än de prognoser som görs med strukturella ekvationer, genom att fånga upp samband som är okända mellan variablerna. Detta gör att VAR modeller är mindre lämpade för teoretisk analys och mer passande för prognoser. Ett annat problem som kan uppkomma gäller val av antal laggar. För en reducerad VAR-modell av formen (3.12) estimeras varje ekvation separat genom OLS. En modell med k antal ekvationer och m laggar i varje ekvation ger k + mk! parametrar att skatta. För en modell med två variabler med fyra laggar, vilket är vanligt vid användandet av kvartalsdata, får man 34 parametrar plus en felterm i varje ekvation vilket kan ge stora standardfelen. (Brooks, 2008) Impuls- responsfunktion Impuls-responsfunktionen används som ett komplement vid analys av VAR-modeller då koefficienterna i den estimerade modellen ofta är svåra att tolka. Impulsresponsfunktionen kvantifierar effekten av en exogen chock på varje enskild endogen variabel i modellen. Om vi antar att feltermen i (3.10) chockas med en standardavvikelse kommer den endogena variabeln att påverkas i tidpunkt t och längre fram i tid. I den bivariata VAR-modellen kommer chocken även ge utslag på den andra endogena variabeln i (3.11) då de laggade värdena för den första endogena variabeln även ingår i den andra ekvationen. Med andra ord ger en chock av ε!! effekt på y!! och på y!! och omvänt Laggar Att välja optimalt antal laggar för en VAR-modell är inte helt enkelt. Väljer man för få laggar kommer prognosen bli felspecifierad, väljer man däremot för många laggar konsumeras för många frihetsgrader vilket ökar standardfelet. Lyckligtvis finns en 9

16 mängd kriterier för att välja rätt antal laggar. Vi kommer titta närmare på två informationskriterier; Akaike Information Criterium (AIC) och Schwartz Information Criterium (SIC) 2. Dessa kriterier frångår normalfördelningsantagande i residualer då finansiell data sällan är normalfördelat. (Brooks, 2008) Detta diskuteras närmare i avsnitt De multivariata versionerna av informationskriterierna AIC och SIC uttrycks enligt: MAIC = log Σ + 2 k" T (3.13) MSIC = log Σ + 2 k" T log(t ) (3.14) där Σ är varians-kovarians matrisen av residualerna, T är antal observationer och k totala antalet regressorer i alla ekvationer. Dessa informationskriterier bestraffar kvadratsumman av residualerna RSS när fler laggar läggs till. Därför eftersträvas det lägsta värdet på informationskriterierna för att välja ut optimalt antal laggar Prognoser med VAR Fördelen med VAR-modeller är att prognoser endast beror på tidigare värden på variablerna vilket gör att modellens form inte förändras under prognosperioden. (Lütkepohl, 2005) Prognos för Y!!! : ŷ T+1 = δ + Φ 1 y T + Φ 2 y T Φ m y t m+1 ŷ T+2 = δ + Φ 1 y T+1 + Φ 2 y T Φ m y t m+2 ŷ T+h = δ + Φ 1 y T+h 1 + Φ 2 y T+h Φ m y t+h m (3.15a) (3.15b) (3.15c) 2 Frekvensen i datamaterialet kan även avgöra valet av antalet laggar. För månadsdata används 12 laggar, för kvartalsdata använd 4 laggar och så vidare. (Brooks, 2008) 10

17 3.4 Modelldiagnostik Modellbyggandet av VAR-modeller är av liknande slag som AR-modeller. Vid behandling av finansiell data är det nästan utopiskt att datat uppfyller alla kriterier. Det är därför lite av en konstform att bygga bra VAR-modeller, mycket trial and error samt att olika av avvägningar krävs. (Gujarati & Porter, 2009) Då varje enskild variabel i en VAR-modell bestäms utifrån dess tidigare värden samt de historiska värdena på andra variabler i modellen, kan man genomföra dynamiska prediktioner vilket innebär att det görs prognoser för alla variabler samtidigt för en period framåt i tid. Dessa prognosvärden används i sin tur för att fortsätta proceduren för ytterliga en period framåt Normalfördelning och heteroskedasticitet För att formellt testa om residualerna är normalfördelade använder vi Jarque-Bera normalitetstest (Jarque och Bera, 1980). Testet utgår från egenskaperna hos en normalfördelning där skevheten(s) och kurtosis (K) hos residualerna jämförs. Skevheten mäter till vilken grad en fördelning inte är symmetrisk kring medelvärdet och kurtosis eller toppighet mäter hur tjocka svansarna är. S = E! " ε 3 # $ (σ 2 ) 3 2 K = E! " ε 4 # (3.16) $ (σ 2 ) 2 ε är feltermerna och σ! är variansen som estimeras utifrån OLS-regressionen. Därefter beräknas det univariata Jarque-Bera testet genom följande teststatistika: " JB = N S 2 $ # 6 + (K 3)2 24 % ' & (3.17) där N är urvalsstorleken och S och K följer ovanstående definition. Jarque och Bera formulerade dessa idéer om att koefficienterna för skevhet och för excess kurtosis gemensamt är noll vilket innebär at S = 0 och K = 3. Under nollhypotesen att residualerna är normalfördelade följer testet en asymptotisk χ! -fördelning med två frihetsgrader. Om p värdet av teststatistikan är skilt från noll förkastas nollhypotesen 11

18 för normalfördelning i residualerna. För att testa för heteroskedasticitet i residualerna används White-test (White, 1980). Utifrån det univariata fallet där: Y i = β 1 + β 2 x 2i + β 3 x 3i +ε i (3.18) erhålls estimerade residulerna ε!. Sedan estimeras följande hjälpregressionen : ˆε i = α 1 +α 2 x 2i +α 3 x 3i +α 4 x 2 2i +α 5 x 2 3i +α 6 x 2i x 3i + v i (3.19) Under nollhypotesen att det inte råder heteroskedasticitet i residualerna urvalsstorleken N gånger R! asymptotiskt χ! - fördelat med lika många frihetsgrader som antalet regressorer minus konstanten. I vårt fall är det fem frihetsgrader. Om χ! - värdet överskrider vald signfikansnivå råder ingen heteroskedasticitet utan a! = a! = a! = a! = a! = 0. I VAR-modeller motsvaras frihetsgraderna av m gånger n där m = k(k + 1)/2 är antalet korsprodukter och n är antalet termer i hjälpregressionen. är Granger kausalitetstest När VAR-modellen innehåller många laggar är det svårt att utröna vilken kombination av laggade variabler som har respektive inte har signifikant inverkan på de beroende variablerna. För att lösa problemet introducerade Granger (1969) ett kausalitetstest där avsikten var att avgöra om en tidsserie har en signifikant roll att prediktera framtida utfall hos en annan. En tidsserie y! sägs Granger-orsaka y! om värden på y! ger statistisk signifikant information om framtida värden på y!. Det vill säga y! har förmågan att prediktera y!. Testet estimeras genom följande regressioner: n y 1t = α i y 2t i + β j y 1t i +ε 1t i=1 n i=1 (3.20) n n y 2t = γ i y 2t i + δ j y 1t i +ε (3.21) 2t i=1 Feltermerna ε!! och ε!! antas vara okorrelerade. Nuvärdet av variabel y! i ekvation (3.20) är en funktion av dess egna tidigare värden samt den andra variabelns tidigare i=1 12

19 värden. En förutsättning för att genomföra testet är att alla variabler skall vara stationära. Testet genomförs med F-testet där: F = (RSS R RSS UR ) / m RSS UR / (n k) (3.22) m är antalet skattade parametrar och k är totalt antal skattade parametrar. I första steget av testet regresseras y!! med alla dess laggade värden för att återfå RSS! som är den begränsade kvadratsumman av residualen. I nästa regression där den andra variabelns laggade värden inkluderas återfås den obegränsade residualkvadratsumman RSS!". Under nollhypotesen att den andra variabelns laggade värden inte påverkar y!!, H! : α! = 0 = 1, 2, n, får vi reda på om y! i det här fallet Granger-orsakar y!. Man skiljer på fyra olika utfall för Granger kausalitet: 1. y! orsakar y! - De laggade termerna i y! är statistiskt skiljda från noll och de laggade termerna i y! inte är det. 2. y! orsakar y! - De laggade termerna i y! är statistisk skiljda från noll och de laggade termerna i y! inte är det. 3. Ömsesidig kausalitet - De laggade termerna i y! och y! är statistisk signifikanta. 4. Oberoende - De laggade termerna i varken y! eller y! är statistiskt signifikanta. Antalet valda laggar i testet är kritiskt för riktningen på kausalitet. Vi kommer därför att testa för ett antal olika laggar Prognosutvärdering Eftersom vi gör prognoser för framtiden så kan vi inte uppskatta det faktiska prognosfelet, vilket endast kan göras retroaktivt. Men för att få en uppfattning om vår modells giltighet kommer vi att göra prognoser utifrån tidigare värden, till exempel från 2012 till 2014 för att se hur bra vår modell är. Prognosfelet räknas ut genom att man tar det faktiska värdet på variabeln minus prognosen. Om prognosfelet är negativt innebär det att modellen är överskattad och 13

20 om prognosfelet är positivt är modellen underskattad. Vi kommer att använda oss av dessa två mått: Medelabsolutprocentfel, MAPE är inte beroende av skalan på den beroende variabeln utan är ett relativt prognosmått. Att använda sig av MAPE som prognosmått kan ge problem ifall man har data som visar nollvärden då man inte kan dividera med noll. MAPE = 1 n!!!! y! y! y! (3.23) Medelabsolutfel, MAE mäter det absoluta medelvärdet på prognosfelet i faktiska tal. MAE = 1 n!!!! y! y! (3.24) 14

21 4 Resultat 4.1 Stationäritet Figur 4.1 Stationäritet 1,000, , , , , , , I ett första steg för kontroll av stationäritet granskades tidsserierna för respektive variabel grafiskt. I vänster figur (4.1) visas tidsserien för BNP i fasta priser från första kvartalet år 2003 till och med tredje kvartalet 2014 enligt y!. Grafen visar på en tydlig uppåtgående trend under tidsperioden vilket indikerar att väntevärdet har ändrats under peioden och serien är således icke-stationär. Vi valde att transformera serien till logaritmerad form för att minska på skevheten. Utifrån ACF-diagrammet i Appendix B (Figur B.2) råder tydliga tecken på icke-stationäritet då koefficienten för autokorrelationsfunktionen startar vid ett högt värde vid första laggen (0.914) och avtar därefter långsamt. Den logaritmerade BNP-serien testades därefter för enhetsrot i det utökade Dickey-Fuller testet. Först vid en förstadifferentiering, y! y!!! = ΔY! = ε!, uppvisade serien tydligare tecken på stationäritet med ett konstant medelvärde (höger Figur 4.1). ADF testet gav ett p-värde på vilket tillät oss att förkasta nollhypotesen för enhetsrot vid samtliga signifikansnivåer. I Appendix B finns resultaten för samtliga variabler där ACF-diagrammet samt iteraktionsordningen för samtliga variabler redovisas. Serien för hushållens konsumtion logartimerades och differentierades av första ordningen för att erhålla stationäritet. Variabeln arbetslöshet användes i sin grundform men krävde differentiering av första ordningen för att bli stationär. Räntan å andra sidan uppfyllde kravet i sin grundform utan att transformeras. I fortsättningen används de logaritmerade och differentierade serierna för BNP och konsumtion då stationäritetskravet är starkare än vid icke logaritmerade serier. 15

22 4.2 Granger kausalitetstest I våra modeller har vi med så kallad prior kunskap enligt makroekonomisk teori valt ut fyra variabler som påverkas av en ändring i ränteläget. För att testa detta statistiskt tillämpades Grangers Kausalitetstest. Tanken bakom testet är som tidigare förklarat att om variabel X Granger-orsakar variabel Y så bör förändringar i variabel X även påverka framtida förändringar i variabel Y. Genom cause(1) kommandot i Eviews skattade vi en bivariat VAR(1) modell för kombinationen mellan bolåneränta och varje variabel 3. Nollhypotesen är att testvariabeln inte Granger-orsakar motvariabeln. Tabell 4.1: Granger Kausalitetstest Variabler 2 laggar 4 laggar 6 laggar 8 laggar ränta y i y i ränta ränta y i y i ränta ränta y i y i ränta ränta y i y i ränta Log (BNP) ** ** ** * 0.03* 0.04* * Arbetslöshet ** ** ** ** ** * * Log(EHK) ** * ** *** ** p- värde *<0.05, **<0.01,***< Utifrån ovanstående resultat kan vi konstatera att valet av antalet laggar är kritiskt för testet. VAR (1) modellen uppvisar ömsesidig kausalitet upp till sjätte laggen för alla tre variabler (undantag för konsumtion mot ränta vid andra laggen). I fallet av två och fyra laggar förkastas samtliga nollhypoteser på högst fem procents signifikansnivå vilket innebär att det föreligger ett ömsesidigt samband (punkt 3 avsnitt 3.4.2) för alla tre variabler under den kvartalsvisa tidsperioden 2003 till Vid sex och åtta laggar visar resultaten att det inte föreligger något statistiskt urskiljbart samband mellan flera av variablerna i de parvisa Granger-testen. Därmed kan vi bekräfta att valet av variabler är relevanta för våra kommande modeller. 4.3 VAR- modeller Vi kommer nu skapa tre modeller för att undersöka hur en räntechock motsvarande en sänkning av ränteavdraget påverkar svensk BNP, konsumtion och arbetslöshet. Vi 3 Då varje test (totalt tre) inkluderar två variabler hanterar vi en så kallad bilateral kausalitet. 16

- en statistisk analys

- en statistisk analys STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Växelkursens påverkan på svensk export och import - en statistisk analys The exchange rate effect on Swedish exports and import - A statistical analysis

Läs mer

Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie. Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study

Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie. Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2013:14 Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie Forecasting the exchange rate index KIX A comparative

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, VT2014 2014-05-26 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Kapitel 17: HETEROSKEDASTICITET, ROBUSTA STANDARDFEL OCH VIKTNING

Kapitel 17: HETEROSKEDASTICITET, ROBUSTA STANDARDFEL OCH VIKTNING Kapitel 17: HETEROSKEDASTICITET, ROBUSTA STANDARDFEL OCH VIKTNING När vi gör en regressionsanalys så bygger denna på vissa antaganden: Vi antar att vi dragit ett slumpmässigt sampel från en population

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 8 ARIMA del 2 Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 28 Undersöker funktionerna ρ k och ρ kk Hittills har vi bara sett hur autokorrelationen och partiella autokorrelationen ser ut matematiskt

Läs mer

Statistiska institutionen. Bachelor thesis, Department of Statistics. Reporäntegenomslaget skattat med felkorrigeringsmodeller

Statistiska institutionen. Bachelor thesis, Department of Statistics. Reporäntegenomslaget skattat med felkorrigeringsmodeller Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2013:13 Reporäntegenomslaget skattat med felkorrigeringsmodeller - Har genomslaget förändrats efter finanskrisen?

Läs mer

34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD

34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD 6.4 Att dra slutsatser på basis av statistisk analys en kort inledning - Man har ett stickprov, men man vill med hjälp av det få veta något om hela populationen => för att kunna dra slutsatser som gäller

Läs mer

2. Lära sig skatta en multipel linjär regressionsmodell samt plotta variablerna. 4. Lära sig skatta en linjär regressionsmodell med interaktionstermer

2. Lära sig skatta en multipel linjär regressionsmodell samt plotta variablerna. 4. Lära sig skatta en linjär regressionsmodell med interaktionstermer Datorövning 2 Regressions- och tidsserieanalys Syfte 1. Lära sig skapa en korrelationsmatris 2. Lära sig skatta en multipel linjär regressionsmodell samt plotta variablerna mot varandra 3. Lära sig beräkna

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Vilka indikatorer kan prognostisera BNP?

Vilka indikatorer kan prognostisera BNP? Konjunkturbarometern april 2016 15 FÖRDJUPNING Vilka indikatorer kan prognostisera BNP? Data från Konjunkturbarometern används ofta som underlag till prognoser för svensk ekonomi. I denna fördjupning redogörs

Läs mer

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1 Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs

Läs mer

Poolade data över tiden och över tvärsnittet. Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter.

Poolade data över tiden och över tvärsnittet. Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter. PANELDATA Poolade data över tiden och över tvärsnittet Alternativ 1: Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter. Oberoende stickprov dragna från stora populationer vid olika tidpunkter.

Läs mer

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z)) Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt

Läs mer

Regressions- och Tidsserieanalys - F4

Regressions- och Tidsserieanalys - F4 Regressions- och Tidsserieanalys - F4 Modellbygge och residualanalys. Kap 5.1-5.4 (t.o.m. halva s 257), ej C-statistic s 23. Linda Wänström Linköpings universitet Wänström (Linköpings universitet) F4 1

Läs mer

732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet

732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet 732G71 Statistik B Föreläsning 4 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 11, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 11, 2016 1 / 34 Kap. 5.1, korrelationsmatris En korrelationsmatris

Läs mer

Promemoria Finansdepartementet. Ekonomiska avdelningen. Utvärdering av makroekonomiska prognoser Inledning

Promemoria Finansdepartementet. Ekonomiska avdelningen. Utvärdering av makroekonomiska prognoser Inledning Promemoria 2016-04-11 Finansdepartementet Ekonomiska avdelningen Utvärdering av makroekonomiska prognoser 2016 Inledning Regeringens makroekonomiska prognoser utgör underlag för statens budget och för

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 16 december 2015 är en prognosmetod vi kan använda för serier med en

Läs mer

Uppgift 1. Produktmomentkorrelationskoefficienten

Uppgift 1. Produktmomentkorrelationskoefficienten Uppgift 1 Produktmomentkorrelationskoefficienten Både Vikt och Längd är variabler på kvotskalan och således kvantitativa variabler. Det innebär att vi inte har så stor nytta av korstabeller om vi vill

Läs mer

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3 Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest

Läs mer

Korrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION

Korrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION Prediktion att estimera "poäng" på en variabel (Y), kriteriet, på basis av kunskap om "poäng" på en annan variabel (X), prediktorn. Prediktion heter med ett annat

Läs mer

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test.

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Partiella t-test F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Då man testar om en enskild variabel X i skall vara med

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Regressions- och Tidsserieanalys - F7

Regressions- och Tidsserieanalys - F7 Regressions- och Tidsserieanalys - F7 Tidsserieregression, kap 6.1-6.4 Linda Wänström Linköpings universitet November 25 Wänström (Linköpings universitet) F7 November 25 1 / 28 Tidsserieregressionsanalys

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Kandidatuppsats VT2009 Nationalekonomi/finans. Blankning. -en studie om instrumentets påverkan på Stockholmsbörsen.

Kandidatuppsats VT2009 Nationalekonomi/finans. Blankning. -en studie om instrumentets påverkan på Stockholmsbörsen. Kandidatuppsats VT2009 Nationalekonomi/finans Blankning -en studie om instrumentets påverkan på Stockholmsbörsen Handledare: Hans Byström Författare: Henrik Emilson Wilhelm Jansson Sammanfattning Uppsatsens

Läs mer

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att

Läs mer

Kandidatuppsats. Att prognosticera svensk inflation med Vektor Autoregressiva Modeller

Kandidatuppsats. Att prognosticera svensk inflation med Vektor Autoregressiva Modeller Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2014:8 Att prognosticera svensk inflation med Vektor Autoregressiva Modeller Forecasting Swedish inflation with Vector

Läs mer

Dekomponering av löneskillnader

Dekomponering av löneskillnader Lönebildningsrapporten 2013 133 FÖRDJUPNING Dekomponering av löneskillnader Den här fördjupningen ger en detaljerad beskrivning av dekomponeringen av skillnader i genomsnittlig lön. Först beskrivs metoden

Läs mer

Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp)

Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Uppsala universitet Statistiska institutionen A5 2014-08-26 Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2014-08-26 UPPLYSNINGAR A. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare Formelsamlingar: A4/A8 Tabell- och formelsamling

Läs mer

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 7 Mars 2014 Disposition r Kondensintervall och hypotestest Kondensintervall Statistika Z (eller T) har fördelning F (Z en funktion av ˆθ och θ) q 1 α/2

Läs mer

I vår laboration kom vi fram till att kroppstemperaturen påverkar hjärtfrekvensen enligt

I vår laboration kom vi fram till att kroppstemperaturen påverkar hjärtfrekvensen enligt Introduktion Vi har fått ta del av 13 mätningar av kroppstemperatur och hjärtfrekvens, varav på hälften män, hälften kvinnor, samt en studie på 77 olika flingsorters hyllplaceringar och sockerhalter. Vi

Läs mer

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Sid 1 (10) Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Uppgift 1 Betrakta nedanstående täthetsfunktion för en normalfördelad slumpvariabel X med väntevärde

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 7

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 7 ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 7 TIDSSERIEDIAGRAM OCH UTJÄMNING 1. En omdebatterad utveckling under 90-talet gäller den snabba ökningen i VDlöner. Tabellen nedan visar genomsnittlig kompensation för direktörer

Läs mer

LTH: Fastighetsekonomi 23-24 sep 2008. Enkel och multipel linjär regressionsanalys HYPOTESPRÖVNING

LTH: Fastighetsekonomi 23-24 sep 2008. Enkel och multipel linjär regressionsanalys HYPOTESPRÖVNING LTH: Fastighetsekonomi 23-24 sep 2008 Enkel och multipel linjär regressionsanalys HYPOTESPRÖVNING Hypotesprövning (statistisk inferensteori) Statistisk hypotesprövning innebär att man med hjälp av slumpmässiga

Läs mer

Linjär regressionsanalys. Wieland Wermke

Linjär regressionsanalys. Wieland Wermke + Linjär regressionsanalys Wieland Wermke + Regressionsanalys n Analys av samband mellan variabler (x,y) n Ökad kunskap om x (oberoende variabel) leder till ökad kunskap om y (beroende variabel) n Utifrån

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 7. Multipel regression. (LLL Kap 15) Multipel Regressionsmodellen

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 7. Multipel regression. (LLL Kap 15) Multipel Regressionsmodellen Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsning 7 Multipel regression (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z)) Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt

Läs mer

3 Maximum Likelihoodestimering

3 Maximum Likelihoodestimering Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Skrivning i ekonometri lördagen den 25 augusti 2007

Skrivning i ekonometri lördagen den 25 augusti 2007 LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA10:3 Skrivning i ekonometri lördagen den 5 augusti 007 1. Vi vill undersöka hur variationen i ölförsäljningen i ett bryggeri i en stad i USA

Läs mer

Regressionsmodellering inom sjukförsäkring

Regressionsmodellering inom sjukförsäkring Matematisk Statistik, KTH / SHB Capital Markets Aktuarieföreningen 4 februari 2014 Problembeskrivning Vi utgår från Försäkringsförbundets sjuklighetsundersökning och betraktar en portfölj av sjukförsäkringskontrakt.

Läs mer

Följande resultat erhålls (enhet: 1000psi):

Följande resultat erhålls (enhet: 1000psi): Variansanalys Exempel Aluminiumstavar utsätts för uppvärmningsbehandlingar enligt fyra olika standardmetoder. Efter behandlingen uppmäts dragstyrkan hos varje stav. Fem upprepningar görs för varje behandling.

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Sid 1 (7) i matematisk statistik Statistik och kvalitetsteknik 7,5 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare. Studenterna får behålla tentamensuppgifterna. Skrivtid: 9.00-12.00 ger maximalt 24 poäng. Betygsgränser:

Läs mer

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik Grundläggande statistik Påbyggnadskurs T1 Odontologisk profylaktik FÖRELÄSNINGSMATERIAL : KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING t diff SE x 1 diff SE x x 1 x. Analytisk statistik Regression & Korrelation Oberoende

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8

Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8 1 Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8 Dessa instuderingsfrågor är främst tänkta att stämma överens med innehållet i föreläsningarna,

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIK B,

TENTAMEN I STATISTIK B, 732G7 Tentamen. hp TENTAMEN I STATISTIK B, 24-2- Skrivtid: kl: -2 Tillåtna hjälpmedel: Ett A4-blad med egna handskrivna anteckningar samt räknedosa Jourhavande lärare: Lotta Hallberg Betygsgränser: Tentamen

Läs mer

Användning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå

Användning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Användning Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet Kärt barn har många namn: (1) Random coefficient models; () Mixed effect models; (3)

Läs mer

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013 Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas

Läs mer

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från det insamlade materialet. Två metoder: 1. att generalisera från en mindre grupp mot en större grupp

Läs mer

Medicinsk statistik II

Medicinsk statistik II Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematisk statistik MSTA16, Statistik för tekniska fysiker A Peter Anton TENTAMEN 2004-08-23 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistik för tekniska

Läs mer

Skattning av matchningseffektiviteten. arbetsmarknaden FÖRDJUPNING

Skattning av matchningseffektiviteten. arbetsmarknaden FÖRDJUPNING Lönebildningsrapporten 9 FÖRDJUPNING Skattning av matchningseffektiviteten på den svenska arbetsmarknaden I denna fördjupning analyseras hur matchningseffektiviteten på den svenska arbetsmarknaden har

Läs mer

Analys av egen tidsserie

Analys av egen tidsserie Analys av egen tidsserie Tidsserieanalys Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 9 december 25 3 25 Antal solfläckar 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 Månad Inledning Vi har valt att betrakta

Läs mer

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys) Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,

Läs mer

En modell för prognoser på offentlig konsumtion tidsserieanalys och prognosutvärdering

En modell för prognoser på offentlig konsumtion tidsserieanalys och prognosutvärdering Lunds universitet Nationalekonomiska institutionen Magisteruppsats VT 2015 En modell för prognoser på offentlig konsumtion tidsserieanalys och prognosutvärdering Författare: Anna Fahlén Handledare: Lina

Läs mer

Regressions- och Tidsserieanalys - F1

Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Det är bara att låna och köpa

Det är bara att låna och köpa Lunds universitet Nationalekonomiska institutionen Kandidatuppsats 2014-05-28 Handledare: Erik Norrman Det är bara att låna och köpa Välkommen på visning till ränteavdraget och bostadspriser Adam Strandh

Läs mer

Grundläggande Statistik och Försöksplanering Provmoment: TEN1 & TEN2 Ladokkod: TT2311 Tentamen ges för: Bt2, En2, Bt4, En4.

Grundläggande Statistik och Försöksplanering Provmoment: TEN1 & TEN2 Ladokkod: TT2311 Tentamen ges för: Bt2, En2, Bt4, En4. Grundläggande Statistik och Försöksplanering Provmoment: TEN1 & TEN2 Ladokkod: TT2311 Tentamen ges för: Bt2, En2, Bt4, En4 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)

Läs mer

Vad Betyder måtten MAPE, MAD och MSD?

Vad Betyder måtten MAPE, MAD och MSD? Vad Betyder måtten MAPE, MAD och MSD? Alla tre är mått på hur bra anpassningen är och kan användas för att jämföra olika modeller. Den modell som har lägst MAPE, MAD och/eller MSD har bäst anpassning.

Läs mer

Regressions- och Tidsserieanalys - F1

Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet May 4, 2015 Wänström (Linköpings universitet) F1 May 4, 2015 1 / 25 Regressions- och tidsserieanalys,

Läs mer

Effekten på svensk BNP-tillväxt av finansiell turbulens

Effekten på svensk BNP-tillväxt av finansiell turbulens Konjunkturläget december 7 FÖRDJUPNING Effekten på svensk BNP-tillväxt av finansiell turbulens Tillgångar bedöms i dagsläget vara högt värderade på många finansiella marknader. Konjunkturinstitutet uppskattar

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Sid 1 (9) i matematisk statistik Statistik och kvalitetsteknik 7,5 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare. Studenterna får behålla tentamensuppgifterna. Skrivtid: 9.00-12.00 ger maximalt 24 poäng. Betygsgränser:

Läs mer

Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan

Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis Department of Statistics Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan The Taylor rule and its predictability of the repo rate Självständigt

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Elementa om Variansanalys

Elementa om Variansanalys Elementa om Variansanalys för kursen sf9, Statistik för bioteknik Harald Lang 06 Envägs variansanalys. Kapitel tio beskrev metoder för att testa om x,, xk och y, ym kommer från fördelningar med samma väntevärde

Läs mer

Obligatorisk uppgift, del 1

Obligatorisk uppgift, del 1 Obligatorisk uppgift, del 1 Uppgiften består av tre sannolikhetsproblem, som skall lösas med hjälp av miniräknare och tabellsamling. 1. Vid tillverkning av en produkt är felfrekvensen 0,02, dvs sannolikheten

Läs mer

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Spridningsdiagrammen nedan representerar samma korrelationskoefficient, r = 0,8. 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 20 40 0 0 20 40 Det finns dock två

Läs mer

En scatterplot gjordes, och linjär regression utfördes därefter med följande hypoteser:

En scatterplot gjordes, och linjär regression utfördes därefter med följande hypoteser: 1 Uppgiftsbeskrivning Syftet med denna laboration var att utifrån uppmätt data avgöra: (i) Om något samband finnes mellan kroppstemperatur och hjärtfrekvens. (ii) Om någon signifikant skillnad i sockerhalt

Läs mer

Hypotestestning och repetition

Hypotestestning och repetition Hypotestestning och repetition Statistisk inferens Vid inferens använder man urvalet för att uttala sig om populationen Centralmått Medelvärde: x= Σx i / n Median Typvärde Spridningsmått Används för att

Läs mer

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval Två innebörder av begreppet statistik Grundläggande tankegångar i statistik Matematik och statistik för biologer, 10 hp Informationshantering. Insamling, ordningsskapande, presentation och grundläggande

Läs mer

Något om val mellan olika metoder

Något om val mellan olika metoder Något om val mellan olika metoder Givet är en observerad tidsserie: y 1 y 2 y n Säsonger? Ja Nej Trend? Tidsserieregression Nej ARMA-modeller Enkel exponentiell utjämning Tidsserieregression ARIMA-modeller

Läs mer

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 15 december 2015 Data kan generellt sett delas in i tre kategorier: 1 Tvärsnittsdata:

Läs mer

7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test

7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test 7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test Vi har sett hur man kan testa om två populationer har samma väntevärde (H 0 : μ 1 = μ 2 ) med t-test (two-sample). Vad gör man om data inte är normalfördelat? Om vi

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Vid formulering av den linjära regressionsmodellen utgår man ifrån att; Sambandet mellan Y-variabel och X-variabel är linjärt m a p parametrar

Vid formulering av den linjära regressionsmodellen utgår man ifrån att; Sambandet mellan Y-variabel och X-variabel är linjärt m a p parametrar ICKE-LINJÄRA MODELLER Vid formulering av den linjära regressionsmodellen utgår man ifrån att; Y i = 1 + 2 X 2i + u i Sambandet mellan Y-variabel och X-variabel är linjärt m a p parametrar cov(x i,u i )

Läs mer

LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL. Skrivning i ekonometri onsdagen den 1 juni 2011

LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL. Skrivning i ekonometri onsdagen den 1 juni 2011 LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STAB2 Skrivning i ekonometri onsdagen den 1 juni 211 1. Vi vill undersöka hur variationen i försäljningspriset för ett hus (i en liten stad i USA

Läs mer

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts.

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts. Spridningsdiagram (scatterplot) En scatterplot som visar par av observationer: reklamkostnader på -aeln and försäljning på -aeln ScatterplotofAdvertising Ependitures ()andsales () 4 Fler eempel Notera:

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION.

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION. MATEMATISKA INSTITUTIONEN Tillämpad statistisk analys, GN STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB 2011-04-13 DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION. Under Instruktioner och data på

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematisk statistik Regressions- och variansanalys, 5 poäng MSTA35 Leif Nilsson TENTAMEN 2003-01-10 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Regressions- och variansanalys, 5

Läs mer

Skrivning i ekonometri lördagen den 15 januari 2005

Skrivning i ekonometri lördagen den 15 januari 2005 LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA102:3 Skrivning i ekonometri lördagen den 15 januari 5 1. Vi vill undersöka hur variationen i försäljningspris = price för hus i en liten stad

Läs mer

TENTAMEN I REGRESSIONS- OCH TIDSSERIEANALYS,

TENTAMEN I REGRESSIONS- OCH TIDSSERIEANALYS, TENTAMEN I REGRESSIONS- OCH TIDSSERIEANALYS, 204-0-3 Skrivtid: kl 8-2 Hjälpmedel: Räknedosa. Bowerman, B.J., O'Connell, R, Koehler, A.: Forecasting, Time Series and Regression. 4th ed. Duxbury, 2005 som

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

Analys av bostadsrättspriset i Stockholms innerstad

Analys av bostadsrättspriset i Stockholms innerstad Analys av bostadsrättspriset i Stockholms innerstad En multipel linjär regression Kandidatexamensarbete i Teknisk Fysik Anda Zhang andaz@kth.se Handledare Boualem Djehiche Avdelningen för Matematisk Statistik

Läs mer

Regressions- och Tidsserieanalys - F8

Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Klassisk komponentuppdelning, kap 7.1.-7.2. Linda Wänström Linköpings universitet November 26 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 1 / 23 Klassisk komponentuppdelning

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

Promemoria. Utvärdering av makroekonomiska prognoser 2015

Promemoria. Utvärdering av makroekonomiska prognoser 2015 Promemoria Utvärdering av makroekonomiska prognoser 2015 Promemoria Utvärdering av makroekonomiska prognoser 2015 Innehållsförteckning 1 Inledning... 7 Val av precisionsmått... 7 Antaganden och prognoshorisont...

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

EXAMENSARBETE. Den svenska valutan: en ekonometrisk studie av växelkursens bestämningsvariabler. Jan Huhta och Metin Can

EXAMENSARBETE. Den svenska valutan: en ekonometrisk studie av växelkursens bestämningsvariabler. Jan Huhta och Metin Can 2000:165 EXAMENSARBETE Den svenska valutan: en ekonometrisk studie av växelkursens bestämningsvariabler Jan Huhta och Metin Can Nationalekonomiprogrammet C-nivå Institutionen för Industriell ekonomi och

Läs mer