För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))"

Transkript

1 Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt fördelad slumpvariabel. Om z i = β 1 + β 2 x i så kan den (kumulativa) logistiska fördelningsfunktionen uttryckas: p i = e z /(1 + e z ) = 1 / (1+ e z ) p i = 1/(1 + e (β1 + β2xi) ) = e (β1 + β2xi) /(1 + e (β1 + β2xi) ) 1

2 Man kan visa att; - när z i går från - till + så kommer p i att ligga mellan 0 and 1 - p i är icke-linjärt relaterat till z i - p i närmar sig noll i avtagande takt när x i antar mycket låga värden och närmar sig ett i avtagande takt när x i antar mycket höga värden ger en S-formad kurva som ser ut som en kumulativ fördelningsfunktion för en stokastisk variabel (cdf) 2

3 Om p i = sannolikheten för att y i = 1 är (1 p i ) = sannolikheten för att y i = 0 1 p i = 1/(1 + e Zi ) vilket också innebär att: p i /(1 p i ) = e Zi [p i /(1 p i )] kallas oddskvoten, eller relativ risk, för att y i =1, dvs är kvoten mellan sannolikheten för alternativ 1 och alternativ 0 om p i = 0.8 (och (1 p i ) = 0.2) är oddsen 4 mot 1 till fördel för alternativ 1 osv 3

4 Den naturliga logaritmen av funktionen ger; L i = ln [p i /(1 p i )] = z i = β 1 + β 2 x i dvs den naturliga logaritmen av oddskvoten är nu linjär inte enbart med avseende på x utan också m a p β, vilket också innebär att modellen under vissa speciella förhållanden också kan skattas med linjära metoder. 4

5 För den icke logaritmerade formen av modellen, för ; p i /(1 p i ) = e x β ( = exp(x β) ) gäller att om x j ökar med en enhet ökar exp(x β) till exp(x β + β j ) = exp(x β) x exp(β j ) Antag β j = 0.1, en ökning av x j med enhet ger en multiplikation av den initiala oddskvoten med exp(0.1) vilket innebär att den relativa sannolikheten för att y = 1 ökar med 10.5% Dvs om [p i /(1 p i )] = e β1+β2xi = e β1 e β2xi så kommer en ökning av X i med en enhet att öka oddsen till fördel för y i = 1 med e β2*1 5

6 Annat ex: om β 2 = e = oddsen för att Y i = 1 ökar med eller med 8.17 procent Denna tolkning av logitmodellen dock mer vanlig i biostatistiska applikationer I ekonomiska sammanhang tolkar man dock oftare i termer av den logaritmerade modellen. β j = 0.1 skulle här tolkas som att en enhets ökning av x j ökar den logaritmerade oddskvoten med 0.1 vilket för små β j överensstämmer med tolkningen ovan eftersom exp(β j ) 1 β j. (Se dock det andra exemplet) Om data på individnivå (företag, familj etc ) gäller att L i = ln (1/0) om y = 1 L i = ln (0/1) om y = 0 Maximum Likelihood (ML) estimation 6

7 För MLE gäller att: Signifikanstest baseras på den standardiserade normalfördelningen istället för på t-test. Vid test av H 0 ; att samtliga β i samtidigt är lika med noll, motsvaras den linjära regressionsmodellens F test av Likelihood Ratio (LR) testet. Under H 0 följer LR-testet χ 2 fördelningen med df = antal förklaringsvariabler (exkl intercepttermen) Betr mått på goodness of fit så ger R 2 inte längre särskilt meningsfull information Istället R 2 liknande värden; pseudo R 2, the McFadden R 2, R 2 McF, och count R 2 7

8 Tolkning av modellens parametrar (individuella data och ML estimation): Varje lutningskoefficient tolkas i partiella termer och mäter förändringen i the estimated logit (= den logaritmerade oddskvoten) för en enhets förändring i värdet på den aktuella regressorn. Alternativt görs en tolkning i termer av odds, den tolkning man får om man tar antiloggen av de olika lutningsparametrarna. Sannolikheten för att y i = 1 beror på nivån på x i. Genom att substituera in värden på x i i p i = 1/(1 + e Zi ) = e Zi /(1 + e Zi ), Z i = β 1 + β 2 x i och använda de gjorda skattningarna av β kan vi beräkna sannolikheten direkt från funktionen ovan. 8

9 Vi kan också beräkna förändringen hos sannolikheten för y i = 1 när x i varierar. Marginaleffekten för logitmodellen kan beräknas relativt enkelt m hj av de skattade parametrarna eftersom p i / x j = p i (1- p i )β j, och stickprovsmedelvärdet för y ger en grov skattning av p i. Vi kan vid beräkning av marginaleffekten alternativt också ta hänsyn till den nivå på sannolikheten från vilken förändringen beräknas, PP*, och som beror på det * värde på x i (x i ) för vilket sannolikheten beräknats initialt. β 2 (1-P * )P * där PP* = sannolikheten beräknad vid x * i, och β 2(1-P * )P * är den marginella förändringen av sannolikheten för y i = 1 vid en enhets ökning av x i från x * i Notera slutligen att den linjära sannolikhetsmodellen (korrigerad för den heteroskedasticitet) trots allt erbjuder en bra start när det gäller att få en första uppfattning om vilka variabler som är signifikanta, även om modellen uppvisar stora svagheter vid krav på mer precisa skattningar och tolkningar. 9

10 Probitmodellen Probitmodellen utgår, som tidigare konstaterats, från ett antagande om en bakomliggande standardiserad normalfördelning för p i. z G(z) = Φ(z) = φ(v)dv - där φ(z) är den standardiserade normala täthetsfunktionen φ(z) = (2π) -1/2 exp(- z 2 /2) För G gäller, såväl om funktionen antar formen av en logitformulering som om funktionen antar en probitformulering, att (G(z) 0 när z - och G(z) 1 när z. 10

11 Vilken model, logit- eller probitmodellen, är bäst? Probitmodellen är beräkningsmässigt svårare än logitmodellen. Vid beräkning av marginaleffekter för probitmodellen, p i / x ij = β j f(z i ) där f(z i ) är täthetsfunktionen för en standardiserade och normalfördelad variabel och Z i = β 1 + β 2 X 2i + + β k X ki, finns inga förenklingar motsvarande de som finns för logitmodellen annat än att p i / x ij < 0.4β j (mer om detta senare). I flertalet tillämpningar är modellerna till stora delar likvärdiga och den huvudsakliga skillnaden består i att den logistiska fördelningen har fetare svansar dvs den betingade sannolikheten för att y i = 1 närmar sig noll eller ett i en långsammare takt för logitmodellen. 11

12 Men, eftersom modellerna ger olika värden på skattningarna för β måste man vara uppmärksam på detta vid jämförelse av resultat av modellskattningar. Båda de bakomliggande (standardiserade) fördelningarna har μ = 0, men för normalfördelningen är σ 2 = 1 och för den logistiska fördelningen är σ 2 = π 2 /3 där π 3.14 β logit = 1.81β probit eller, omvänt, (1/1.81)β logit = β probit, (π / ) Amemiya förslår istället multiplikation med 1.6 (resp 1/1.6), ett alternativ man ofta kan se i olika studier, och har visat att dessa jämförelser fungerar bra om 0.1 < p < 0.9. Att modellerna ger olika skattningar av β är i sig inget problem utan beror alltså på att man använder olika formler för de bakomliggande sannolikhetsfördelningarna 12

13 Det meningsfulla är dessutom egentligen jämförelsen av skattade marginaleffekter för de olika modellerna; för logitmodellen är p/ x j < 0.25β j för probitmodellen är p/ x j < 0.4β j och för den linjära sannolikhetsmodellen (LPM) är p/ x j = β j. Detta ger tumregeln ; β Logit 4β OLS β Probit 2.5β OLS β Logit 1.6β Probit (enl Amemiya s förslag) 13

14 Latenta variabler En latent variabel är en variabel som vi inte kan observera fullt ut. Denna typ av variabler kan introduceras i modellerna för diskreta val på två olika sätt; - i form av ett index - som skillnaden i upplevd nytta om en händelse ifråga inträffar jämfört med om den inte gör det Av det andra fallet framgår att det blir centralt att skilja mellan regressorer som skiljer sig åt mellan olika alternativ (pris, restid etc) och regressorer som inte påverkas av vilket alternativ som väljs (socioekonomiska faktorer som utbildning etc) 14

15 Indexmodeller Funktionsformulering i termer av ett index syftar till att förklara en bakomliggande, men icke observerbar, kontinuerlig variabel, y*, när det enda vi egentligen kan observera är en binär variabel som antar värdet 1 eller 0 beroende på om y* passerar ett visst tröskelvärde eller ej. Antag att y* är en latent variabel i en modell där vi ska förklara varför en individ önskar förvärvsarbeta. Den naturliga regressionsmodellen blir här; y* = x β + u Vi kan egentligen inte observera och mäta önskan att förvärvsarbeta men vi kan observera om individen faktiskt förvärvsarbetar eller ej vilket ger att; y = 1 if y* > 0 = 0 if y* < 0 15

16 där P[y = 1 x] = P[y* > 0] = P[x β + u > 0] = P[- u < x β ] = F(x β) och där F är den kumulativa fördelningsfunktionen för u vilken, givet en fördelning som är symmetrisk runt 0, motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för u. Modellen kan därför formuleras på det sätt som vi tidigare formulerat en binär valmodell, vi har egentligen bara gett modellen en teoretisk förankring; p i P[y i = 1 x] = F(x i β) Notera att tröskelvärdet för indexmodellen inte behöver vara noll. Mer generell kan antas att om y = 1 när y* > z δ så är P[y = 1 x] = F(x β z δ) där δ bara kan identifieras om samtliga komponenter i z och x skiljer sig åt. 16

17 Random Utility Models I denna typ av modeller antas en individ välja mellan alternativ 0 och alternativ 1 baserat på vilket av alternativen som erbjuder den högsta nyttan (största tillfredsställelsen). Givet en additiv modell kan modellen specificeras: U 0 = V 0 + ε 0 U 1 = V 1 + ε 1 V 0 och V 1 motsvarar modellens deterministiska del och ε 0 och ε 1 är de slumpmässiga inslagen P[y = 1] = P[U 1 > U 0 ] = P[V 1 + ε 1 > V 0 + ε 0 ] = P[ε 0 ε 1 < V 1 V 0 ] = F(V 1 V 0 ) där F är den kumulativa fördelningsfunktionen för (ε 0 ε 1 ) 17

18 Ett givet val av fördelningsfunktion för slumptermerna är normalfördelningen. Om ε 0 and ε 1 är normalfördelade gäller detta även för (ε 0 ε 1 ) (linjära kombinationer av normalfördelade variabler är också normalfördelade). Variansen för (ε 0 ε 1 ) antas vara lika med 1och eftersom F( ) antar formen av en standardiserad normalfördelning får vi en probitmodell. Notera också att eftersom U 1 > U 2 så måste också gälla att au 1 > au 2. Även detta hanteras genom antagandet om normalfördelning. 18

19 Test av multipla hypoteser Det finns tre olika sätt att testa restriktioner som innebär exkludering av parametrar; - Lagrange multiplier testet (score testet) som bara kräver skattning av modellen under H 0, dvs av modellen med restriktioner - Wald testet som enbart kräver att man skattar modellen utan restriktioner. Testet tillåter test av exkludering av vissa parametrar efter det att modellen utan restriktioner skattats. Wald-testet har en asymptotisk χ 2 -fördelning med df = antal restriktioner. - Om både modellen med, och modellen utan, restriktioner är enkla att skatta - vilket ju oftast är fallet om det handlar om exkludering av variabler är Likelihood Ratio testet mycket användbart. Testet baseras på samma principer som F-testet för den linjära regressionen. F-testet baseras skillnader mellan RSS R och RSS UR medan LR-testet baseras på skillnader mellan log-likelihood-funktionerna för modellen med och modellen utan restriktioner 19

20 LR =2(Lur Lr ) Där Lur är värdet på log-likelihood funktionen för modellen utan restriktioner och Lr är värdet på loglikelihood funktionen för modellen med restriktioner. Eftersom Lur > Lr, är LR positivt men vid beräkning av LR statistikan för binära valmodeller antar loglikelihood funktionen alltid ett negativt värde. Det faktum att båda log-likelihood funktionerna antar negative värden påverkar dock inte hur vi beräknar LR värdet, vi behåller helt enkelt minustecknet i formeln. Multiplikationen med två krävs för att LR testet ska vara approximativt χ 2 fördelat under H 0. Om vi använder testet för att testa för exkludering av variabler är LR ~ χ 2 q. 20

21 Dessutom : Även logit- och probitmodeller kan förstås innehålla endogena regressorer. Möjligt att använda logit- och probitmodeller även på poolade tvärsnittsdata och/eller data där observationerna identiskt fördelade. Förekomst av s k choice-based samples inte helt ovanligt i samband med logit- och probitmodeller man översamplar vissa grupper. För konsistens hos β krävs viktad MLE. Grupperade och aggregerade data I vissa fall kan, trots att individdata saknas och grupperade och/eller aggregerade data är de enda tillgängliga datamängderna, modeller för diskreta val fortfarande vara den lämpligaste modellformuleringen. Spelar dock roll hur gruppering och/eller aggregering ser ut. 21

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))

För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z)) Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt

Läs mer

Poissonregression. E(y x1, x2,.xn) = exp( 0 + 1x1 +.+ kxk)

Poissonregression. E(y x1, x2,.xn) = exp( 0 + 1x1 +.+ kxk) Poissonregression En lämplig utgångspunkt om vi har en beroende variabel som är en count variable, en variabel som antar icke-negativa heltalsvärden med ganska liten variation E(y x1, x2,.xn) = exp( 0

Läs mer

Vid formulering av den linjära regressionsmodellen utgår man ifrån att; Sambandet mellan Y-variabel och X-variabel är linjärt m a p parametrar

Vid formulering av den linjära regressionsmodellen utgår man ifrån att; Sambandet mellan Y-variabel och X-variabel är linjärt m a p parametrar ICKE-LINJÄRA MODELLER Vid formulering av den linjära regressionsmodellen utgår man ifrån att; Y i = 1 + 2 X 2i + u i Sambandet mellan Y-variabel och X-variabel är linjärt m a p parametrar cov(x i,u i )

Läs mer

Modeller för fler än två valmöjligheter. Förekommer både som logit- och som probitmodeller.

Modeller för fler än två valmöjligheter. Förekommer både som logit- och som probitmodeller. Multinominella modeller Modeller för fler än två valmöjligheter. Förekommer både som logit- och som probitmodeller. Möjligt att, genom olika modellformuleringar, beakta att vissa regressorer varierar mellan

Läs mer

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013 Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 12, 2013 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Kategoriska data November 12, 2013

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 28, 2012 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Kategoriska data November 28, 2012

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 18, 2016 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Kategoriska data November 18, 2016

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Till ampad statistik (A5) Förläsning 13: Logistisk regression

Till ampad statistik (A5) Förläsning 13: Logistisk regression Till ampad statistik (A5) Förläsning 13: Logistisk regression Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2016-03-08 Exempel 1: NTU2015 Exempel 2: En jobbannons Exempel 3 1 1 Klofstad, C.

Läs mer

Kapitel 18: LINJÄRA SANNOLIKHETSMODELLER, LOGIT OCH PROBIT

Kapitel 18: LINJÄRA SANNOLIKHETSMODELLER, LOGIT OCH PROBIT Kapitel 18: LINJÄRA SANNOLIKHETSMODELLER, LOGIT OCH PROBIT Regressionsanalys handlar om att estimera hur medelvärdet för en variabel (y) varierar med en eller flera oberoende variabler (x). Exempel: Hur

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data, ht 2017 Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, IDA, LiU) Kategoriska data 1 / 28 Översikt kategoriska data Kategoriska

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Poolade data över tiden och över tvärsnittet. Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter.

Poolade data över tiden och över tvärsnittet. Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter. PANELDATA Poolade data över tiden och över tvärsnittet Alternativ 1: Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter. Oberoende stickprov dragna från stora populationer vid olika tidpunkter.

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

Innehåll: 3.4 Parametriskt eller ej 3.5 Life Table 3.6 Kaplan Meier 4. Cox Regression 4.1 Hazard Function 4.2 Estimering (PL)

Innehåll: 3.4 Parametriskt eller ej 3.5 Life Table 3.6 Kaplan Meier 4. Cox Regression 4.1 Hazard Function 4.2 Estimering (PL) Innehåll: 1. Risk & Odds 1.1 Risk Ratio 1.2 Odds Ratio 2. Logistisk Regression 2.1 Ln Odds 2.2 SPSS Output 2.3 Estimering (ML) 2.4 Multipel 3. Survival Analys 3.1 vs. Logistisk 3.2 Censurerade data 3.3

Läs mer

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Data på individ/hushålls/företags/organisationsnivå. Idag större datamänger än tidigare

Data på individ/hushålls/företags/organisationsnivå. Idag större datamänger än tidigare MIKROEKONOMETRI Data på individ/hushålls/företags/organisationsnivå Tvärsnittsdata och/eller longitudinella data o paneldata Idag större datamänger än tidigare Tekniska framsteg erbjuder möjligheter till

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Regressionsanalys med SPSS Kimmo Sorjonen (2010)

Regressionsanalys med SPSS Kimmo Sorjonen (2010) 1 Regressionsanalys med SPSS Kimmo Sorjonen (2010) 1. Multipel regression 1.1. Variabler I det aktuella exemplet ingår följande variabler: (1) life.sat, anger i vilket utsträckning man är nöjd med livet;

Läs mer

F23 forts Logistisk regression + Envägs-ANOVA

F23 forts Logistisk regression + Envägs-ANOVA F23 forts Logistisk regression + Envägs-ANOVA Repetition Detta går inteattbeskriva på någotrimligtsättmed en linjär funktion PY Xx) β 0 +β x Den skattade linjen går utanför intervallet0, ): Y ärenbinärvariabel0-,dikotom)manvillmodellera,

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING III

PROGRAMFÖRKLARING III Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING III Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p./22 Statistik

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F10: Intensiteter och Poissonmodeller Frågeställningar Konstant V.v.=Var Cyklister Poissonmodeller för frekvensdata Vi gör oberoende observationer av de (absoluta) frekvenserna n 1, n 2,..., n k från den

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet 1/31 REGRESSIONSANALYS F1 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/31 Kap 4: Introduktion till regressionsanalys. Introduktion Regressionsanalys är en statistisk teknik för att

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

F11. Kvantitativa prognostekniker

F11. Kvantitativa prognostekniker F11 Kvantitativa prognostekniker samt repetition av kursen Kvantitativa prognostekniker Vi har gjort flera prognoser under kursen Prognoser baseras på antagandet att historien upprepar sig Trenden följer

Läs mer

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare 1 Egenskaper hos punktskattare En skattare är en funktion av stickprovet och således en slumpvariabel. En bedömning av kvaliteten

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Användning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå

Användning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Användning Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet Kärt barn har många namn: (1) Random coefficient models; () Mixed effect models; (3)

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

Dekomponering av löneskillnader

Dekomponering av löneskillnader Lönebildningsrapporten 2013 133 FÖRDJUPNING Dekomponering av löneskillnader Den här fördjupningen ger en detaljerad beskrivning av dekomponeringen av skillnader i genomsnittlig lön. Först beskrivs metoden

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Riskbedömning och abonnemangstandvård

Riskbedömning och abonnemangstandvård Anders Jonsson Riskbedömning och abonnemangstandvård Risk assessment and contract dental care Statistik C-uppsats Datum/Termin: Juni 008/VT 08 Handledare: Christian Tallberg Examinator: Abdullah Almasri

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, VT2014 2014-05-26 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Korrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION

Korrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION Prediktion att estimera "poäng" på en variabel (Y), kriteriet, på basis av kunskap om "poäng" på en annan variabel (X), prediktorn. Prediktion heter med ett annat

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Funktioner av s.v:er, Flera stokastiska variabler. Marginell sannolikhetsfunktion och -täthetsfunktion. Oberoende sv:er, Maximum och minimum av oberoende

Läs mer

Facit till Extra övningsuppgifter

Facit till Extra övningsuppgifter LINKÖPINGS UNIVERSITET Institutionen för datavetenskap Statistik, ANd 732G71 STATISTIK B, 8hp Civilekonomprogrammet, t3, Ht 09 Extra övningsuppgifter Facit till Extra övningsuppgifter 1. Modellen är en

Läs mer

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3 Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8

Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8 1 Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8 Dessa instuderingsfrågor är främst tänkta att stämma överens med innehållet i föreläsningarna,

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

3 Maximum Likelihoodestimering

3 Maximum Likelihoodestimering Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA HIERARKISKA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 25 November Wänström (Linköpings universitet) HIERARKISKA DATA 25 November 1 / 53 Regressionsmodell för icke-hierarkiska

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

Sänkningen av parasitnivåerna i blodet

Sänkningen av parasitnivåerna i blodet 4.1 Oberoende (x-axeln) Kön Kön Längd Ålder Dos Dos C max Parasitnivå i blodet Beroende (y-axeln) Längd Vikt Vikt Vikt C max Sänkningen av parasitnivåerna i blodet Sänkningen av parasitnivåerna i blodet

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005 Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig

Läs mer

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts.

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts. Spridningsdiagram (scatterplot) En scatterplot som visar par av observationer: reklamkostnader på -aeln and försäljning på -aeln ScatterplotofAdvertising Ependitures ()andsales () 4 Fler eempel Notera:

Läs mer

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

GMM och Estimationsfunktioner

GMM och Estimationsfunktioner Lunds Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 GMM och Estimationsfunktioner I laborationen möter du två besläktade metoder för att estimera

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

Analys av anbud med logistisk regressionsanalys

Analys av anbud med logistisk regressionsanalys Analys av anbud med logistisk regressionsanalys Erik Castillo CMIEL erikcas@kth.se SA106X Examenarbete inom matematik, grundnivå Institutionen för Matematik, inriktning Matematisk Statistik Kungliga Tekniska

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A0 och STA A3 (9 poäng) 6 januari 004, kl. 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogade formel-

Läs mer