EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET En ung mans portföljval: deterministisk och osäker optimering av nytta under en livstid av Gustav Lindqvist 28 - No 16 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 1691 STOCKHOLM

En ung mans portföljval: deterministisk och osäker optimering av nytta under en livstid Gustav Lindqvist Examensarete i matematik 15 högskolepoäng, påyggnadskurs Handledare: Jan-Erik Björk 28

Sammanfattning Syftet med detta examensarete är att visa hur en ung man kan göra ett optimalt portföljval då det råder osäkerhet kring avkastningen på det finansiella instrumentet. Prolemet löses genom dynamisk optimering. Vidare kommer examensaretet att med hjälp av numeriska lösningar ytterligare idra till förståelsen av lösningen av prolemet. 1

2

Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 Prolem.............................. 5 1.2 Syfte................................ 5 1.3 Disposition............................ 5 2 Modell 6 2.1 Steg 1............................... 6 2.1.1 Tid............................. 6 2.1.2 Kapital.......................... 6 2.1.3 Konsumtion........................ 6 2.1.4 Samand mellan kapital och konsumtion........ 6 2.1.5 Nytta........................... 7 2.1.6 Prolemet i steg 1.................... 7 2.2 Steg 2............................... 7 2.2.1 Tid............................. 7 2.2.2 Samand mellan kapital och konsumtion........ 8 2.2.3 Nytta........................... 8 2.2.4 Prolemet i steg 2.................... 8 2.3 Steg 3............................... 8 2.3.1 Samand mellan kapital och konsumtion........ 8 2.3.2 Prolemet i steg 3.................... 8 3 Teori 9 3.1 Variationskalkyl.......................... 9 3.2 Dynamisk programmering.................... 1 3.3 Wiener-process.......................... 12 3.4 Itôs formel............................. 14 3.5 Stokastisk dynamisk programmering.............. 15 4 Lösning av prolemet 17 4.1 Lösning av steg 1 med variationskalkyl............. 17 4.2 Ytterligare tolkningar av lösningen............... 19 4.3 Explicit lösning med nyttofunktionen U(c) = c........ 2 4.4 Explicit lösning med nyttofunktionen U(c) = 1 e c..... 22 4.5 Jämförelse av de två explicita lösningarna........... 24 4.6 Lösning av steg 1, 2 och 3 med stokastisk dynamisk programmering............................... 24 4.6.1 Lösning av steg 1..................... 26 4.6.2 Lösning av steg 2..................... 27 4.6.3 Lösning av steg 3..................... 28 4.7 Numerisk lösning av den unge mannens prolem....... 29 4.7.1 Allokeringsprolemet................... 3 3

4.7.2 Vad har för inverkan på ω?.............. 32 4.7.3 Konsumtion över tiden.................. 33 5 Sammanfattning 35 6 Appendix 36 6.1 Data................................ 36 6.1.1 3-åriga amerikanska statsoligationer......... 36 6.1.2 S&P 5.......................... 36 Figurer 1 Nyttofunktioner.......................... 24 2 Nyttofunktionen c........................ 25 3 Skillnaden i avkastning mellan S&P5 och statsoligationer. 31 σ 4 () a r............................ 31 5 ω som en funktion av σ..................... 32 6 ω som en funktion av...................... 33 7 Lösning för c, =.25...................... 33 8 Lösning för c, =.5....................... 34 9 Lösning för c, =.75...................... 34 1 Historisk avkastning för statsoligationer............ 36 11 Historisk avkastning och volatilitet för S&P5........ 37 4

1 Introduktion 1.1 Prolem Vi tänker oss en ung (och lyckosam) man som har ärvt en stor summa pengar och därmed inte ehöver areta. Denne unge man får sin nytta, dvs. glädje, i livet från att konsumera. Denna konsumtion finansieras med den unge mannens ärvda pengar. Men den unge mannen är inte mer oförståndig än att han förstår att för att kunna konsumera som han vill under resten av livet så måste de ärvda pengarna förvaltas väl. Därför vänder sig den unge mannen till anken för att se hur de ärvda pengarna kan investeras på ästa sätt givet hans preferens för konsumtion. Banken erjuder två olika investeringar. Det första är en statsoligation som har en avkastning som är förutestämd och riskfri, dvs. en vanlig fast ränta. Det andra är en aktieoligation som har en avkastning som inte är förutestämd och riskfri, dvs. avkastningen kan variera över tiden. Den förväntade avkastningen på aktieoligationen är högre än den säkra räntan på statsoligationen. Men i och med att avkastingen på aktieoligationen är osäker kan den också vara lägre än den säkra räntan. Den unge mannens prolem är nu att välja hur många oligationer av varje slag han ska köpa för sina ärvda pengar. Lösningen är den landning som ger en förväntad avkastning som i sin tur kan användas för konsumtion som ger största möjliga nytta över tiden. 1.2 Syfte Prolemet som eskrivs i föregånde stycke är ett prolem som Roert C. Merton [3] löser i en klassisk artikel. Syftet med denna uppsats är att studera hur vi löser den unge mannens prolem. Vidare syftar denna uppsats till att med hjälp av numeriska lösningar av prolemet ytterligare idra till förståelsen av lösningen. Lösningen av prolemet delas in i tre steg: 1. Vi löser den unge mannens prolem då han enart kan investera i en statsoligation. 2. Vi löser den unge mannens prolem då han enart kan investera i en aktieoligation. 3. Slutligen löser vi prolemet då den unge mannen kan investera i åde stats- och aktieoligationer. 1.3 Disposition Denna uppsats disponeras enligt följande: I avsnitt 2 specificerar vi den unge mannens prolem i en modell som delas upp i tre steg i enlighet med de tre 5

stegen i föregående stycke. I avsnitt 3 går vi igenom den teori som ehövs för att lösa prolemet. Avsnitt 4 estår av två delar. Den första delen visar hur prolemet i steg 1 löses. Det visas även på vikten av vilken nyttofunktion som antages för prolemet samt vilka konsekvenser det kan få för lösningen. I den andra delen löser vi prolemet i samtliga steg. Vi jämför dessa lösningar och visar med hjälp av numerik vilken lösning givet förutsättningarna som är optimal för den unge mannen. Vi försöker även tydliggöra samandet mellan säker avkastning, förväntad avkastning, varians och tidsdiskonteringsfaktor. Slutligen sammanfattas uppsatsens resultat i avsnitt 5. 2 Modell 2.1 Steg 1 2.1.1 Tid Låt variaeln t mäta tid. Den tid som vi etraktar är kontinuerlig. Antag att den unga mannen får sitt arv vid t = och att han dör då t = T. Detta inneär att t [, T ]. 2.1.2 Kapital Låt W = W (t) mäta nivån på den unge mannens investerade pengar, dvs. hans kapital. Eftersom den unga mannen ara kan investera sina pengar i en statsoligation är avkastningen på kapitalet konstanten r. Vi antar att den unge mannen inte kan låna och ha en negativ förmögenhet, dvs. W (t) för alla t. Låt W vara mängden pengar som den unge mannen ärver, så W () = W. Vi antar att den unge mannen inte vill lämna något arv efter sig så W (T ) =. 2.1.3 Konsumtion Låt c = c(t) mäta nivån av konsumtion vid tiden t. Kostnaden för en enhet konsumtion är en enhet kapital. 2.1.4 Samand mellan kapital och konsumtion Eftersom konsumtion finansieras med kapital råder det ett samand mellan c(t) och W (t). Förändring av kapitalet är differensen mellan avkastningen på investerat kapital och konsumtion: dw dt = Ẇ = rw c (1) Förändringen av kapitalet under en kort tid, dt, uttrycks som: dw = rw (t)dt c(t)dt (2) 6

2.1.5 Nytta Den unge mannen får nytta av att konsumera. Låt funktionen U(c(t)) mäta nivån på denna nytta. Vi antar att den unge mannen får mer nytta desto mer han konsumerar. Men vi antar också att den extra nyttan av en enhet konsumtion avtar desto mer han konsumerar. 1 Dessa antaganden inneär att U (c(t)) > och U (c(t)) <. Detta inneär att nyttofunktionen måste tillhöra klassen av två gånger differentierara funktioner, U(c(t)) C 2. Vidare antar vi att den unge mannen får mer nytta av konsumtion idag än konsumtion imorgon. Det inneär att nyttan diskonteras med e βt. Den unge mannens totala nytta i livet är: 2.1.6 Prolemet i steg 1 T e βt U(c(t))dt (3) Den unge mannens prolem är att välja konsumtion över tiden sådan att nyttan lir så stor som möjligt. Det inneär att uttrycket 3 ska maximeras med avseende på c(t): max c(t) T e βt U(c(t))dt (4) Men konsumtion är egränsat av kapitalet och estäms av samandet i ekvation 1. Lös för c(t) och sustituera in i 4 och prolemet lir då: 2.2 Steg 2 max W (t) T e βt U(rW (t) Ẇ )dt under villkor W () = W och W (T ) = (5) I detta steg investerar den unge mannen sina pengar i aktieoligationer vars avkastning inte är säker. Detta inneär att vi ehöver ändra på en del av modellens antaganden. 2.2.1 Tid Vi etraktar en person som lever för evigt. 2 Detta inneär att t [, ]. 1 Ett klassiskt exempel på detta är konsumtion av äpplen. Om du har ätit ett äpple och äter ett till tycker du att det äpplet är gott. Men om du har ätit två stycken äpplen kommer du inte att tycka att det tredje äpplet är lika gott som det andra äpplet du åt. 2 Detta antagande görs på eräkningstekniska grunder. Det är annars mycket svårt att finna en analytisk lösning ens då vi etraktar en specifik nyttofunktion. Se Merton [3] för en mer ingående diskussion. 7

2.2.2 Samand mellan kapital och konsumtion Avkastning på aktieoligationen är osäker. Låt den förväntade avkastningen vara a. Låt sedan konstanten σ representera varationen i avkastningen. Förändringen av kapitalet under en kort tid, dt, är: dw = (aw c)dt + σw dz (6) Termen dz är den infinitesimala förändringen i en stokastisk process Z. Denna process är en Wiener-process som eskrivs i avsnitt 3.3 på sidan 12. 2.2.3 Nytta Eftersom tidshorisonten är oändlig är den unge mannens totala nytta: 2.2.4 Prolemet i steg 2 Prolemet som ska lösas i detta steg är: { } E e βt U(c(t))dt max c(t) e βt U(c(t))dt (7) under villkor W () = W och dw = (aw c)dt + σw dz (8) Oservera att eftersom avkastningen är stokastisk är det den förväntade livstidsnyttan som vi ska maximera. 2.3 Steg 3 Detta steg ygger på samma antaganden som steg 2. Nu introducerar vi möjligheten för den unge mannen att investera sina pengar i åde stats- och aktieoligationer. Låt ω representera andelen aktieoligationer. Det följer då att (1 ω) är andelen statsoligationer. 2.3.1 Samand mellan kapital och konsumtion Förändringen av kapitalet under en kort tid, dt, skrivs som: 2.3.2 Prolemet i steg 3 dw = [(1 ω)rw + ωaw c)]dt + ωσw dz (9) Prolemet som ska lösas i detta steg är: { } E e βt U(c(t))dt max c(t) under villkor W () = W och dw = [(1 ω)rw + ωaw c)dt + ωσw dz (1) 8

3 Teori Det prolem som vi ska lösa i denna uppsats är ett dynamiskt optimeringsprolem. Det inneär att en mängd ska maximeras genom val av en funktion som eror av tiden. Vi vet inget om denna funktion förutom dess startvärde. Vidare vet vi att funktionen ska lyda under vissa etingelser som sammanfattas i en differentialekvation. Denna typ av prolem studerades redan av de gamla grekerna. Den första kompletta teorin för att lösa denna typ av prolem är variationskalkylen som utvecklades av Euler under mitten av 17-talet. Under 19-talet utvecklades denna teori vidare i två riktningar, optimal kontroll 3 och dynamisk programmering 4. Variationskalkylen lämpar sig väl för att lösa vårt prolem i steg 1. På grund av den stokastiska komponenten i vårt prolem i steg 2 och 3 räcker variationskalkylen däremot inte till för att finna en lösning. Den dynamiska programmeringen komineras med Itô-kalkylen i det som kallas stokastisk dynamisk programmering. Denna teori lämpar sig väl för att finna en lösning till vårt prolem. 3.1 Variationskalkyl Betrakta ett prolem av typen: t1 max eller min F (t, x, x )dt + G(t 1, x 1 ) t under villkor x(t ) = x (11) Mängden som ges av integralen av funktionen F mellan t och t 1 ska maximeras eller minimeras genom att välja funktionen x(t) på ett lämpligt sätt. Det finns ett startvillkor, x(t ) = x som ska gälla för funktionen x(t). I kapitel 11 i Kamien och Schwartz [2] sammanfattas och härleds de nödvändiga villkoren för lösningen av denna typ av prolem. 1. Eulerekvationen: F x = df x /dt, t t t 1. 2. Legendrevillkoret: (max) F x x, t t t 1. (min) F x x, t t t 1. 3. Gränsvärden: (a) x(t ) = x. 3 Ett tungt namn är Lev Pontryagin (198-88) som var en rysk matematiker som ägnade den senare delen av sitt liv åt att utveckla teorin för optimal kontroll. 4 Mannen akom den dynamiska programmeringen hette Richard Bellman (192-84) som var aktiv i USA. 9

() Om x(t 1 ) är fix så är x(t 1 ) = x 1 känd. (c) Om t 1 är fix så är t 1 känd. (d) Om t 1 och x 1 måste satisfiera R(t 1 ) = x 1 så är den ekvationen ett villkor. 4. Transversalitetsvillkor: (a) Om x(t 1 ) är fri så är F x + G x = vid t 1. () Om t 1 är fri så är F x F x + G t = vid t 1. (c) Om t 1 och x 1 måste satisfiera R(t 1 ) = x 1 så är F F x (R x ) + G x R + G t = vid t 1. 3.2 Dynamisk programmering Vi etraktar återigen ett dynamiskt optimeringsprolem men väljer att uttrycka det lite annorlunda än tidigare: max T f(t, x, u)dt + φ(t, x(t )) under villkor x = g(t, x, u) och x() = x (12) Variaeln t är som tidigare tid. x(t) kallas för lägesvariael och u(t) för kontrolvariael. Förändringen i lägesvariaeln styrs via differentialekvationen i villkoret. Implicit eror lägesvariaeln på kontrolvarialen. Det är därför kontrolvariaeln som vi ska estämma för att lösa prolemet. Vi ska nu skissera, i enlighet med kapitel 21 i Kamien och Schwartz [2], hur vi löser detta prolem med hjälp av dynamisk programmering. Låt funktionen J(t, x ) mäta det optimala värdet av 12 som kan uppnås givet t och x. Funktionen är definierad för t T och för alla tänkara x. Vi har då att: Särskilt gäller att: T J(t, x ) = max f(t, x, u)dt + φ(t, x(t )) u t under villkor x = g(t, x, u) och x(t ) = x (13) J(T, x(t )) = φ(t, x(t )) (14) Optimalitetsprincipen inom dynamisk programmering säger att en optimal ana har följande egenskap: oavsett villkoren och kontrollvärdena för någon initial period så måste kontrolvariaeln för den återstående perioden vara optimal för det återstående prolemet med det läge som resulterades av det 1

tidigare eslutet som nytt initialt villkor. Vi låter t vara en liten enhet tid och använder optimalitetsprincipen: 5 ( t + t J(t, x ) = max fdt + u t J(t, x ) = max T t + t [ t + t u,t t (t + t) [ t + t J(t, x ) = max u,t t t + t t ) fdt + φ ( T )] fdt + max fdt + φ t u,(t + t) t T t + t ] fdt + J(t + t, x + x) (15) En tolkning av 15 är att det optimala värdet för tiden t t T är summan av det optimala värdet från tiden t t t + t och värdet från att fortsätta optimalt från positionen (t + t, x + x). Både det direkta och framtida värdet eror på kontrollvariaeln u, t t t + t som väljs optimalt. Vi ska nu finna ett mer användart uttryck för 15. Först gör vi två antaganden: 1. Vi approximerar den första integralen i 15 med f(t, x, u) t, som är höjden av kurvan vid den lägre integreringsnivån gånger längden på intervallet. Eftersom t är litet så kan vi anta att kontrovariaeln u är konstant för det intervallet. 2. Vi antar att J C 2 så att vi kan expandera J med Taylor-utveckling: J(t + t, x + x) = J(t, x ) + J t (t, x ) t Detta ger oss följande uttryck för 15: 6 + J x (t, x ) x + h.o.t (16) J = max u (f t + J + J t t + J x x + h.o.t) (17) Sutrahera J från ägge sidor, dividera med t och låt t : ( = max f + Jt + J x x ) (18) u Sustituera in villkoret x = g(t, x, u): 7 J t = max u (f + J xg) (19) Detta är Hamilton-Jacoi-Bellman-ekvationen. Det är en partiell differentialekvation som funktionen J(t, x) måste uppfylla tillsammans med villkoret 5 Notera att u = u(t) och f = f(t, x, u). 6 Vi utelämnar nu suindex. 7 Notera att g = g(t, x, u). 11

J(T, x(t )) = φ(t, x(t)). Dessa två villkor garanterar en optimal lösning av prolemet 13. Låt oss etrakta ett prolem som är autonomt och inte eror av tiden t. Det underlättar då att göra följande omskrivning av prolemet: max e µt f(x, u)dt under villkor x = g(x, u) och x() = x (2) Vi inför som tidigare funktionen J: J(t, x ) = max u t J(t, x ) = e µt max u e µt f(x, u)dt t e µ(t t ) f(x, u)dt (21) Integranden i högerledet eror precis som tidigare på det initiala läget x. Men istället för den initiala tiden t eror den nu på den tid som har förflutit, t t. Vi definierar funktionen V (x ) som: V (x ) = max u Vilken tillsammans med 21 ger oss: t e µ(t t ) f(x, u)dt J(t, x ) = e µt V (x ) J t (t, x ) = µe µt V (x ) (22) J x (t, x ) = e µt V (x ) (23) Sustituera in 23 i Hamilton-Jacoi-Bellman-ekvationen 19: µe µt ( V (x) = max e µt f(x, u) + e µt V (x)g(x, u) ) (24) u Multiplicera ovanstående ekvation med e µt : ( µv (x) = max f(x, u) + V (x)g(x, u) ) (25) u Detta är den autonoma Hamilton-Jacoi-Bellman-ekvationen. Märk väl att detta är en ordinär istället för partiell differentialekvation vilket är anledningen till varför det är önskvärt att skriva den på denna form. 3.3 Wiener-process En välkänd och välanvänd modell för att modellera stokastiska processer 8 är Wiener-processer. Vi definierar Wiener-processer enligt den definition som Björk [1] presenterar i kapitel 4 i sin ok. 8 En stokastisk variael är en storhet som antar ett värde som en följd av ett slumpmässigt utfall som följer en viss sannolikhetsfördelning. En stokastisk process är en samling stokastiska varialer som alla har samma sannolikhetsfördelning. 12

Betrakta en stokastisk process X(t). Vi antar att dess förändring över ett kort tidsintervall [t, t + t] kan approximeras med: 9 X(t + t) X(t) = µ(t, X(t)) t + σ(t, X(t))Z(t) (26) Funktionerna µ(t, X(t)) och σ(t, X(t)) är deterministiska. Variaeln Z(t) är däremot en stokastisk variael som är normalfördelad. Förändringen av X(t) drivs av två stycken faktorer. Den första är µ som det inte råder någon osäkerhet kring, dvs. den är deterministisk. Den andra är den stokastiska störningstermen Z(t) som förstärks av den deterministiska faktorn σ. För att kunna eskriva störningstermen använder vi en Wiener-process. Låt W (t) eteckna Wiener-processen. Denna process har fyra stycken egenskaper: 1. Den första är att W () =. 2. Den andra är att processens förändringar är oeroende av varandra. Låt t 1 < t 2 < t 3, då är W (t 2 ) W (t 1 ) och W (t 3 ) W (t 2 ) två oeroende stokastiska varialer. 3. Den tredje egenskapen är att [W (t n+1 ) W (t n )] N (, t n+1 t n ), dvs. förändringen är en stokastisk variael som är normalfördelad med väntevärde och varians t n+1 t n. 4. Den fjärde och sista egenskapen är att W (t) är kontinuerlig för alla t. 1 Sustituera in W (t) = W (t + t) W (t) för Z(t) i ekvation 26: X(t + t) X(t) = µ(t, X(t)) t + σ(t, X(t)) W (t) (27) För att göra ovanstående ekvation mer användar låter vi t. Vi får då den stokastiska differentialen: dx(t) = µ(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW (t) (28) som lyder under villkoret X() = a. Ovanstående ekvation och villkoret kan ses som en förenkling av följande ekvation för den stokastiska processen X(t): X(t) = a + t µ(s, X(s))ds + t σ(s, X(s))dW (s) (29) Den första integralen i ovanstående ekvation är en Riemann-integral. Men den andra integralen är inte en Riemann-integral 11 och kan inte lösas med klassisk integralkalkyl. Denna typ av integral kallas för en Itô-integral. För att eräkna denna typ av integral använder vi oss av Itôs formel som presenteras i nästa stycke. 9 Detta skulle t.ex. kunna avkastningen för en aktieoligation. 1 Märk väl att vi inte antar att W (t) är deriverar. 11 Bland annat är den inte kontinuerligt deriverar. Se antagande 4 för Wiener-processen. 13

3.4 Itôs formel Detta avsnitt ygger på Björks [1] framställning av ämnet i fråga och ska inte ses som ett formellt evis utan snarare en intuition. Betrakta ekvationerna 28 och 29 i föregående avsnitt. Vi antar att ekvation 29 gäller. Då gäller att den stokastiska processen X har en stokastisk differential som ges av ekvation 28 tillsammans med egynnelsevillkoret X() = a. Vi etraktar nu en ny stokastisk process Z(t) = f(t, x) där x = X(t) från 29, dvs. en stokastisk process som ygger på en stokastisk process. Vidare antar vi att f C 2. Det gäller då att även Z(t) = f(t, X(t)) har en stokastisk differential dz = df. För att finna denna Taylor-utvecklar vi f: 12 df = f f dt + t X dx + 1 2 f 2 t 2 (dt)2 + 1 2 2 f X 2 (dx)2 + 2 f dtdx (3) f X Vi sustituerar 28 och kvadraten av 28 i 3: df = f f dt + t X (µdt + σdw ) + 1 2 f 2 t 2 (dt)2 + 1 2 f ( µ 2 2 X 2 (dt) 2 + µσdtdw + σ 2 (dw ) 2) + 2 f dt (µdt + σdw ) (31) f X Betrakta nu följande multiplikationstaell: 13 (dt) 2 = dtdw = (dw ) 2 = dt Detta reducerar 31 till: df = f f f dt + µ dt + σ t X X dw + 1 2 σ2 2 f X 2 dt ( f df = t + µ f X + 1 ) 2 σ2 2 f X 2 dt + σ f dw (32) X Detta är Itôs formel som är grundulten i den stokastiska differentialkalkylen. 14. 32 eror av t och W (t), den vanliga Wiener-processen. Vi kan använda oss av 28 och multiplikationstaellen ovan för att uttrycka Itôs formel eroende av t och X(t): df = f f dt + t X dx + 1 2 f 2 X 2 (dx)2 df = f f dt + t X dx + 1 2 σ2 2 f dt (33) X2 12 Notera att f = f(t, X(t)), µ = µ(t, X(t)), och σ = σ(t, X(t)). 13 Beviset är svårt. Se kapitel 4.5 i Björk [1] och kapitel 5 i Wilmott [4] för en intuition för detta resultat. 14 Som tidigare nämt ar detta inget formellt evis. Se kapitel 4.5 i Björk [1] för en skiss till eviset. 14

Hur använder vi då denna formel? Betrakta Z = f(t, X(t)), där X(t) är en stokastisk process som eror av en Wiener-process. Det inneär i sin tur att Z också är en stokastisk process som eror av en Wiener-process. Antag att vi ar intresserade av den lokala dynamiken hos Z, dvs. vi är intresserade av hur Z förändras under korta tidsintervall. Itôs formel ger oss den differentialekvation som Z uppfyller och därmed kan vi analysera den lokala dynamiken. Vi illustrerar med ett exempel. Betrakta f = X 2 (t) och dx = adt + dw. Då gäller att: Itôs formel ger oss: f t =, f X = 2X, 2 f X 2 = 2 (34) df = dt + 2XdX + 1 2 2 2dt df = 2X (adt + dw ) + 1 2 2 2dt df = ( 2 + 2aX ) dt + 2XdW (35) Integralen för den vänstra sidan av 35 är: t Detta ger oss: df = f(t) f() = X 2 (t) X 2 () = X 2 (t) = f(x(t)) (36) f(x(t)) = 2 t + 2a t X(s)ds + 2 t X(s)dW (s) (37) Längre än så här kommer vi inte med det här exemplet utan att lösa det med hjälp av numerik. Men vi kan tolka det som att funktionens värde vid tiden t ar en linjär funktion av tiden plus värdet av en stokastisk process X plus värdet av en Wiener-process. Notera att det förväntade värdet av Wiener-processen är. 3.5 Stokastisk dynamisk programmering Vi etraktar nu ett optimal kontroll-prolem som är stokastiskt: { T } max E f(t, x, u)dt + φ(t, x, u) under villkor x() = x och dx = g(t, x, u)dt + σ(t, x, u)dz (38) Vi ska nu finna de nödvändiga villkoren för en optimal lösning genom att använda metoden för dynamisk optimering. Detta görs i enlighet med kapitel 22 i Kamien och Schwartz [2]. 15

Låt J(t, x ) vara det största värdet som går att uppnå för 38 givet t och x. Tillsammans med optimalitetsprincipen ger det oss: 15 J(t, x ) = max u E {f t + J(t + t, x + x)} (39) Vi antar att J C 2 och Taylor-utvecklar den andra termen i högerledet: J(t + t, x + x) = J(t, x )+J t (t, x ) t+j x (t, x ) x+ 1 2 J xx(t, x )( x) 2 +h.o.t. Betrakta nu villkoret dx = g(t, x, u)dt + σ(t, x, u)dz. Vi har: 16 x = g t + σ Z ( x) 2 = (g t + σ Z) 2 ( x) 2 = g 2 ( t) 2 + 2gσ x Z + σ 2 ( Z) 2 (4) ( x) 2 = σ 2 t + h.o.t. (41) Sustituera in detta resultat i 4: J(t + t, x + x) = J(t, x )+J t (t, x ) t+j x (t, x ) x+ 1 2 J xx(t, x )σ 2 t+h.o.t. Sustituera in detta resultat i ekvation 39: 17 J = max E u { f t + J + J t t + J x x + 1 2 J xxσ 2 t + h.o.t. Betrakta villkoret i 38, x = g t + σ Z: J = max E u { f t + J + J t t + J x g t + J x σ Z + 1 2 J xxσ 2 t + h.o.t. } (42) (43) (44) Ta nu förväntat värde, sutrahera J från ägge sidor, dividera med t och låt t : J t = max (f + J x g + 12 ) u σ2 J xx (45) Detta är det nödvändiga villkoret för det stokastiska optimal kontroll-prolemet 38 och mostvarigheten till Hamilton-Jacoi-Bellman-ekvationen 19. Det har slutvillkoret J(T, x(t )) = φ(t, x(t )). I analogi med det autonoma prolemet 2 i avsnitt 3.2 har vi: max under villkor e µt f(x, u)dt x() = x och dx = g(t, x, u)dt + σ(t, x, u)dz (46) 15 Notera att f = f(t, x, u). 16 Detta är inte ett exakt resultat, se kapitel 4 i Björk [1] för en mer ingående diskussion. Notera också att g = g(t, x, u) och σ = σ(t, x, u). 17 Notera att J = J(t, x) och f = f(t, x, u). } 16

Vi har nu att: { } V (x ) = max E e r(t t) f(x, u)dt J(t, x) = e rt V (x) (47) Sustituera in J(t, x) = e µt V (x) i 45: µv (x) = max u ( f(x, u) + V (x)g(x, u) + 1 2 σ2 (x, u)v (x) ) (48) Detta resultat är det nödvändiga villkoret för det autonoma stokastiska optimal kontroll-prolemet 46. 4 Lösning av prolemet Eftersom det inte råder någon osäkerhet kring avkastningen på statsoligationen är prolemet i steg 1 deterministiskt. Prolemen i steg 2 och 3 är däremot stokastiska på grund av den osäkra avkastningen på aktieoliationen. Vi delar därför upp lösningen av prolemet i två delar. I den första löser vi prolemet i steg 1 med hjälp av variationskalkyl. I den andra delen använder vi stokastisk dynamisk programmering för att lösa prolemen i steg 2 och 3. Vad menar vi egentligen med en lösning? Det vi söker är en funktion för konsumtion över tiden, c(t). Denna optimala konsumtion och dess funktion kommer i sin tur att maximera den unge mannens nytta, vilket är det prolem som vi ska lösa. 4.1 Lösning av steg 1 med variationskalkyl Vi örjar med att lösa prolemet i steg 1 för en generell nyttofunktion. Detta enkla prolem lämpar sig väl för att se hur själva nyttofunktionen påverkar lösningen till prolemet. Därför löser vi även prolemet explicit med två olika nyttofunktioner. Denna lösning är starkt influerad av Kamien och Schwartz [2]. Betrakta prolemet i steg 1, 5. Vi har att: F (t, W (t), W (t)) = e βt U(rW W ) (49) Derivera ekvation 49 med avseende på W och W. 18 F W = re βt U (5) F W = e βt U (51) 18 Från och med nu använder vi eteckningarna W och W för W (t) och W (t) samt U för U(rW W ). 17

Derivera nu ekvation 51 med avseende på t. Kedjeregeln ger oss: df W dt = F W t + F W W W + F W W W = βe βt U re βt U W + e βt U W (52) Eulerekvationen i avsnitt 3.1 och ekvationerna 5 och 52 ger oss: re βt U = βe βt U re βt U W + e βt U W ru = βu ru W + U W (r β)u = (W rw )U (W rw )U U = (r β) (53) Lös nu ekvation 1 för c(t) och derivera den: Sustituera ekvation 54 i ekvation 53: ċ = rw W (54) ċu U = (r β) (55) En tolkning av ekvation 55 är att i vänsterledet har vi förändringen av konsumtion multiplicerat med förändringen av marginalnyttan i relation till marginalnyttan. I högerledet har vi differensen mellan räntan och tidspreferensen. Det inneär att för den optimala lösningen c kommer den unge mannen att konsumera på ett sådant sätt att den proportionella förändringstakten av marginalnyttan är lika stor som differensen mellan räntan och tidspreferensen i varje tidsögonlick. Vi återvänder nu till våra antaganden om nyttofunktionen U. Eftersom U > och U < så kommer U /U > alltid att gälla. Detta inneär att den optimala lösningen för konsumtion, c, kommer att karakteriseras av något av tre följande fall: 1. ċ >, om och endast om r > β. Konsumtionen växer över tiden om räntan är större än tidspreferensen. 2. ċ <, om och endast om r < β. Konsumtionen avtar över tiden om räntan är mindre än tidspreferensen. 3. ċ =, om och endast om r = β. Konsumtionen är konstant över tiden om räntan är lika med tidspreferensen. Vi ska nu härleda ett annat uttryck för lösningen av Eulerekvationen. Utgå från ekvation 55: ċu U = (r β) 18

dc U dt U = (r β) U dc U = (β r)dt log U = (β r)t + A U = Be (β r)t (56) Där B > för alla t eftersom e A > för alla A. Det sista uttrycket i 56 löser Eulerekvationen och ger oss därmed en kandidat för en extremal. Denna extremal kommer alltid att lösa den unge mannens prolem eftersom Legendrevillkoret ger oss att F W W > för alla t. 4.2 Ytterligare tolkningar av lösningen Betrakta återigen Eulerekvationen 3.1 och ekvationerna 5 och 51: re βt U = d( e βt U ) dt (57) Integrera 57 över ett litet tidsintervall, [t, t + t]: t+ t t t+ t t re βs U (s)ds = t+ t t d( e βs U (s)) ds dt re βs U (s)ds = ( e β(t+ t) U (t + t)) ( e βt U (t)) e βt U (t) = t+ t t re βs U (s)ds + e β(t+ t) U (t + t) (58) I vänsterledet har vi ett uttryck för den tidspreferens-diskonterade marginalnyttan av konsumtion vid tiden t. I högerledet har vi den tidspreferensdiskonterade marginalnyttan av konsumtion vid tiden t + t. Om konsumtion skjuts upp från t till t så tjänar varje enhet kapital in ränta som kan användas för konsumtion vid ett senare tillfälle. Detta motsvarar den första termen i högerledet. Den andra termen motsvarar den faktiska extra nyttan av konsumtionen vid detta senare tillfälle. Med andra ord, om den unge mannen sparar en krona idag kan han konsumera för den kronan i morgon plus att han kan konsumera för den avkastning som den kronan har gett upphov till. Det ovanstående ekvation säger oss är att den optimala lösningen karaktäriseras av att vid varje tidpunkt måste nyttan en extra enhet konsumtion vara lika stor som nyttan av en extra enhet konsumtion i nästa tidsperiod. Slutligen ska vi härleda ett uttryck för det optimala kapitalet. Vi kommer ihåg att kapital och konsumtion har ett samand via ekvation 1. Detta är 19

en ordinär differentialekvation i W. Om vi finner lösningen till denna har vi även ett uttryck för det optimala kapitalet: W rw = c e rt W re rt W = e rt c d(e rt W ) dt = e rt c e rt W = t W (t) = e rt (B e rs c(s)ds + B t e rs c(s)ds) (59) Med hjälp av egynnelsevillkoret W () = W kan vi estämma den okända konstanten B: W () = W W = e r (B Slutvillkoret W (T ) = ger oss: e rs c(s)ds) B = W (6) W (T ) = = e rt (W W = T T e rs c(s)ds) e rs c(s)ds (61) Denna ekvation har en intressant tolkning. Den säger oss att dagens värde av all framtida konsumtion måste vara lika med storleken på det initiala kapitalet, dvs. arvet. Detta har en intuitiv förklaring. Eftersom den unge mannen inte kan låna pengar kan han även inte konsumera mer än arvet plus den erhållna räntan. 4.3 Explicit lösning med nyttofunktionen U(c) = c Den första nyttofunktionen som vi ska etrakta är U(c) = c, < 1. För denna nyttofunktion gäller: U (c) = c () U (c) = ( 1)c ( 2) (62) Denna nyttofunktion uppfyller de krav som vi i avsnitt 2.1.5 har ställt på nyttofunktionen. Från ekvation 56 och ovanstående har vi att: U(c) = Be (β r)t c () = Be (β r)t c(t) = B ( 1 2 (β r)t ) e (63)

Nu återstår två prolem. Först ska vi estämma konstanten B som eror av W. Sedan ska vi eräkna den faktiska nyttan. Vi örjar att estämma B = B(W ) genom samandet mellan konsumtion och kapital i ekvation 1: Ẇ = rw c(t) Ẇ = rw B ( 1 (β r)t ) e (64) Vi inför nu hjälpfunktionen φ(t) och ansätter: Sustituera 65 i 64: Använd nu 65 igen: W (t) = φ(t)e rt Ẇ = φe rt + rφ(t)e rt (65) Ẇ = rw B ( 1 φe rt + rφ(t)e rt = rφ(t)e rt B ( 1 φe rt = B ( 1 φ = B ( 1 φ = B ( 1 φ(t) = B( 1 W (t) = B( 1 (β r)t ) e (β r)t ) e (β r)t ) e (β r)t ) e e rt (β r)t ) e (β r)t ) e ( r β (β r)t ) e ( r β ) + C (66) ) + Ce rt (67) Vi har nu en ekvation med två oestämda konstanter B och C. Om vi låter t ser vi att ovanstående ekvation också går mot oändligheten. Det inneär att den unge mannens kapital skulle li oändligt stort med tiden, vilket är orealistiskt. Därför kan vi estämma C =. Vi använder nu egynnelsevillkoret W () = W för att estämma B: B ( ) 1 ) ( r β W = B( 1 = ( r β 1 ) ) W (68) Använd nu ekvation 63 tillsammans med ovanstående uttryck för B ( 1 ( ) r β (β r)t c(t) = W e 1 21 ) : (69)

Ovanstående räkningar har gett oss en lösning c(t) som vi kan använda för att eräkna den unge mannens optimala nytta: T e βt U(c(t))dt = = = = = T e βt T [( r β [( r β [( r β ( r β [ ( ) r β W e (β r)t ) ] (β r)t W e ) ] (β r)t W e ( ) β r ) W ] e (β r)t ( ) β r ) ( (β r)t e ( β r ) T ] dt ) 1 dt [( r β ( β r ) W ] ) W (7) 4.4 Explicit lösning med nyttofunktionen U(c) = 1 e c Den andra nyttofunktionen är U(c) = 1 e c. För denna gäller: U (c) = e c U (c) = e c (71) Denna nyttofunktion uppfyller de krav som vi i avsnitt 2.1.5 har ställt på nyttofunktionen. Från ekvation 56 och ovanstående har vi att: U(c) = Be (β r)t e c = Be (β r)t log(e c ) = log(be (β r)t ) c = log B + (β r)t c = B 1 + (r β)t, där B 1 = log B (72) Nu återstår två stycken prolem. Först ska vi estämma konstanten B som eror av W. Sedan ska vi eräkna den faktiska nyttan. Vi örjar att estämma B = B(W ) genom samandet mellan konsumtion och kapital 1: Ẇ = rw c(t) Ẇ = rw B 1 (r β)t (73) 22

Vi inför nu samma hjälpfunktion φ(t) som 65 i avsnitt 4.3: Ẇ = rw B 1 (r β)t φe rt + rφ(t)e rt = rφ(t)e rt B 1 (r β)t φe rt = B 1 (r β)t φ = B 1 e rt (r β)te rt ( ) B1 (r β)(rt + 1) φ(t) = + r r 2 e rt + C (74) Detta ger oss: W (t) = ( B1 r ) (r β)(rt + 1) + r 2 + Ce rt (75) Med samma argumentation som i avsnitt 4.3 estämmer vi C =. Vi använder nu egynnelsevillkoret W () = W för att estämma B 1 : W = B 1 r + (r β) r 2 B 1 = W r r β r Använd nu ekvation 72 tillsammans med ovanstående uttryck för B 1 : (76) c(t) = W r (r β) r + (r β)t (77) Ovanstående räkningar har nu gett oss ett uttryck för c(t) som vi kan använda för att eräkna den unge mannens optimala nytta: T e βt U(c(t))dt = = = = T T ( ) e βt 1 e (W r (r β) +(r β)t) r dt (e ) βt e W r+ (r β) +(2β r)t r dt ] T [ e βt β [ e βt β [e W r+ (r β) r ( 1 )] β [e W r+ (r β) +(2β r)t r = 1 e βt β (2β r) (2β r) ] T +(2β r)t e W r+ (r β) r (2β r) + e (r β) r W r ( e (2β r)t 1 ) (2β r) ] (78) 23

4.5 Jämförelse av de två explicita lösningarna För ägge nyttofunktionerna erhöll vi lösningar som var funktioner av det initiala kapitalet W. Låt oss först titta närmare på skillnaderna mellan de ägge nyttofunktionerna. 16 14 12 1 8 Nytta, u 6 4 2 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Konsumption, c Figur 1: Nyttofunktionerna c.5.5 (tjock linje) och 1 e c (tunn linje). Vi tänker oss två unga män, Lev och Richard, vars respektive nyttofunktioner U(c) är c och 1 e c. I figur 1 har vi plottat Levs och Richards nytta för olika mängder konsumtion c. Som vi kan se får Lev mer nytta än Richard för varje mängd konsumtion. Detta gäller oavsett värde på < 1. Ett annat intressant resultat är vad som händer då mängden konsumtion går mot oändligheten. Figur 1 indikerar att Levs nytta går mot oändligheten medan Richards nytta konvergerar mot 1. Detta ekräftas av: c och 1 e c 1 då c (79) Låt oss studera Levs nyttofunktion närmare. I figur 2 ser vi hur nyttan varierar med c och. Hur ska vi tolka? En förklaring är att är ett mått på hur snat Lev lir mätt av konsumtion. Figur 2 ger oss inget entydigt svar men antyder att för lägre värden på avtar marginalnyttan snaare. En intressant oservation är att för ett givet c ger låga värden på högre nytta än för värden på upp till ungefär.5. Sammanfattningsvis kan konstatera att val av nyttofunktion samt val av värde på eventuella parametrar kommer att ha en signifikant etydelse för lösningen av prolemet. 4.6 Lösning av steg 1, 2 och 3 med stokastisk dynamisk programmering För prolemet i steg 1 använde vi variationskalkyl för att finna en lösning för en generell nyttofunktion. Att finna en sådan generell lösning för prolemet 24

.85.6.35.1 5 4 3 2 1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 konsumtion, c Nytta Figur 2: Nyttofunktionen c ritad för varialerna c och. i steg 2 och 3 är förvisso möjligt men det är omständigt och resultat ger oss ingen intuition överhuvudtaget. 19 Därför väljer vi att gå direkt på de explicita lösningarna. Vi kommer enart att etrakta nyttofunktionen U(c) = c, < 1. Det är uppenart att lösningen till den unge mannens prolem kan vara av tre olika slag: investera enart i statsoligationer, investera enart i aktieoligationen eller investera i en mix av stats- och aktieoligationer. De två första lösningarna motsvaras av prolemen i steg 1 och 2 medan den tredje lösningen motsvaras av prolemet i steg 3. För att se vilken av de tre lösningarna som den unge mannen väljer löser vi först de tre delprolemen var för sig. Sedan ställer vi dessa lösningar mot varandra. 2 Notera att då tidshorisonten är oändlig inneär det att vårt prolem är autonomt. Därför kommer vi att använda oss av den autonoma (åde deterministiska och stokastiska) versionen av Hamilton-Jacoi-Bellmanekvationen. Funktionen J(t, W (t)) är den maximala nyttan. W (t) är lägesvariael och c(t) är kontrollvariael. Vi gör prolemet autonomt genom att ansätta J(t, W (t)) = e βt V (W (t)). Utifrån detta och teorin i avsnitt 3.2 och 3.5 löser vi nu i tur och ordning prolemen i steg 1, 2 och 3. 19 Merton [3] presenterar en sådan generell lösning och konstaterar att den inte ger något resultat som går att tolka. 2 Detta är anledningen till att vi löser prolemet i steg 1 igen fast denna gång med hjälp av dynamisk programmering. Det underlättar jämförelsen av lösningarna. 25

4.6.1 Lösning av steg 1 Den autonoma Hamilton-Jacoi-Bellman-ekvationen ger oss att: [ βv (W (t)) = max f(c, W ) + V (W )g(c, W ) ] c [ ] c βv = max c + V (rw c) (8) Vi finner nu ett uttryck för c genom att maximera högerledet i ovanstående ekvation med avseende på c: c () V = c = V ( ) 1 (81) Sustituera in ovanstående i föregående ekvation: βv = V ( ) βv = (1 )V ( ) + rw V V ( ) + rw V (82) Vi väljer en ansats till en lösning för V på formen V = AW och V = AW. Detta ger insatt i ovanstående: βaw = (1 ) ( AW ()) ( ) A ( ) A A ( ) 1 = [(1 ) (A) ( ) + rw AW () ] + ra βa W = (1 ) ( 1 ) A ( ) + (r β) A = = A = A = A = β r (1 ) ( ) 1 β r ) (1 ) ( 1 [ ] () β r (1 ) ( ) 1 [ ] β r () 1 [ ] r β () (83) 1 26

Betrakta nu ekvation 81 ovan: c = V 1 c = (AW ()) ( 1 c = W (A) ( 1 ) ) (84) Detta uttryck för c är lösningen på prolemet. A ges av ekvation 83 ovan. 4.6.2 Lösning av steg 2 Den stokastiska varianten av den autonoma Hamilton-Jacoi-Bellman-ekvationen ger oss att: [ βv (W ) = max f(c, W ) + V (W )g(c, W ) + 1 ] c 2 σ2 (c, W )V (W ) [ c βv = max c + V (aw c) + 1 ] 2 σ2 W 2 V (85) Vi ska nu finna ett uttryck för c genom att maximera högerledet med avseende på c. c V = c = (V ) 1 (86) Sustituera in ovanstående resultat i föregående ekvation: βv = (V ) βv = (1 )V + V [aw (V ) 1 ] + 1 2 σ2 W 2 V + aw V + 1 2 σ2 W 2 V (87) Vi gör en ansats till en lösning med V = AW, där V = AW och V = ( 1)AW 2. Insatt i ovanstående ekvation ger detta: βaw = (1 )(AW ) + aw AW + 1 2 σ2 W 2 ( 1)AW 2 = (1 )(A) W + aaw + 1 2 σ2 ( 1)AW βaw = (1 ) 1 1 A + (a + 2 σ2 ( 1) β)a A A = (β a 1 2 σ2 ( 1)) (1 ) 1 A 1 = (β a 1 2 σ2 ( 1)) (1 ) 1 27

A = A = [ ] (β a 1 2 σ2 ( 1)) (1 ) 1 [ ] (β a 1 2 σ2 ( 1)) (88) (1 ) Betrakta nu c från ekvation 86: c = (V ) 1 c = (AW ) 1 c = W (A) 1 (89) Där A ges av ekvation 88. Detta c är alltså den sökta lösningen. 4.6.3 Lösning av steg 3 Den stokastiska varianten av den autonoma Hamilton-Jacoi-Bellman-ekvationen ger oss att: [ βv (W ) = max f(c, W ) + V (W )g(c, W, ω) + 1 ] c,ω 2 σ2 (c, W, ω)v (W ) [ c βv = max c,ω + V ([1 ω]rw + ωaw c) + 1 ] 2 σ2 W 2 V (9) Vi ska nu finna ett uttryck för c och ω genom att maximera högerledet med avseende på c och sedan ω. c V = c = (V ) 1 (91) V ( rw + aw ) + ωw 2 σ 2 V = ω = (r a)w V W 2 σ 2 V ω = (r a)v W 2 σ 2 V (92) Sustituera in ovanstående resultat i föregående ekvation: βv = [V (W )] + V ([ 1 + 1 [ (r a)v 2 W 2 σ 2 V σ 2 W V ( 1 βv = ] ) (r a)v a(r a)v σ2w V σ 2 W V W V 1 ] 2 ) V + rw V (a r)2 V 2 2σ 2 V (93) 28

Vi gör en ansats till en lösning med V (W ) = AW, där V (W ) = AW och V (W ) = ( 1)AW 2. Insatt i ovanstående ekvation ger detta: ( ) 1 βaw = (AW ) + rw (AW ) (a r)2 (AW ) 2 2σ 2 ( 1)AW 2 ( ) 1 = (A) W + raw (a r)2 A 2σ 2 ( 1) W βaw ( = (1 ) 1 A + r (a ) r)2 2σ 2 ( 1) β A ( ) β r (r a)2 2σ 2 (1 ) A A = A 1 = A = A = (1 ) 1 ( ) β r (r a)2 2σ 2 (1 ) (1 ) 1 ( ) β r (r a)2 2σ 2 (1 ) (1 ) 1 ( β r (r a)2 2σ 2 (1 ) (1 ) Betrakta nu c från ekvation 91: och ω från ekvation 92: ) () () c = V 1 c = [AW ] 1 c = W (A) 1 (95) ω = V (r a) σ 2 W V ω = AW () (r a) σ 2 W ( 1)AW 2 ω = r a σ 2 ( 1) ω = a r σ 2 (1 ) Där A ges av ekvation 94. Dessa c och ω är alltså de sökta lösningarna. 4.7 Numerisk lösning av den unge mannens prolem (94) (96) I föregående stycke visade vi att, för samtliga tre delprolem och den specifika nyttofunktionen c, kommer konsumtionen c att vara en konstant fraktion av förmögenheten W. 29

Vi ehöver ara lösa prolemet i steg 3 eftersom 96 kommer att ge oss svaret på den unge mannens allokeringsprolem mellan aktie- och statsoligationer. Om det är optimalt att enart investera i aktieoligationer gäller att ω = 1 och losningen i steg 3, 94 är lika med lösningen i steg 2, 88. Samma förhållande gäller om det är optimalt att enart investera i statsoligationer, ω = och lösningarna i steg 1 och 3, 83 och 94, är lika. Den eftersökta lösningen c(t) får vi genom Monte Carlo-simulering. Vi etraktar 2 korta tidsintervall, dt =.5. Vi antar att konsumtionen under ett tidsintervall estäms i örjan av intervallet. Det innear att konsumtionen ar en fraktion av förmögenheten från föregående intervall. c(t i ) = W (t i 1 )(A) 1 () (97) Vi gör sedan 5 simuleringar och låter den sökta lösningen c vara det aritmetiska genomsnittet av dessa simuleringar. För att kunna utföra simuleringarna använder vi som data för statsoch aktieoligationen den historiska avkastningen för 3 åriga amerikanska statsoligationer och S&P5 indexet. 21 Vi använder 3 år av data, från juli 1978 till juli 28, se figur 1 och 11 i Appendixet. Den genomsnittliga avkastningen per år på statsoligationer har under denna period varit 7.75 procent medan den genomsnittliga avkastningen per år för S&P5 har varit 1.36 procent. Volatiliteten för den genomsnittliga avkastningen per år för S&P5 har varit 14.71 procent. 4.7.1 Allokeringsprolemet Låt oss örja med att tolka ekvation 96 eftersom den ger oss lösningen på allokeringsprolemet. För att lösningen ska vara att enart investera i statsoligationer, ω =, måste a r, dvs den förväntade avkastningen på aktieoligationen är lika med eller mindre än räntan på statsoligationen. Historiskt sett har detta skett 34 av de 7931 dagar som ingår i datan vilket vi kan se i figur 3. Notera dock att den genomsnittliga avkastningen för S&P5 varit 2.6 procent högre än avkastningen för statsoligationen. För att lösningen ska vara att enart investera i aktieoligationer, ω = 1, r, dvs relationen mellan den kvadrerade volatiliten multiplicerat med mättnadsfaktorn minus ett och den förväntade avkastningen på aktieoligationen är lika med eller mindre än räntan på statsoligationen. I figur 4 visar vi historisk data för denna relation då =.5. Antalet dagar da detta villkor är uppfyllt är 646 av 7931 totalt. Figur 5 visar vikten för aktieoligationer ω, 96, som en funktion av volatilitet. 22 Vi låter r = 7.8 och =.5. Kurvorna är plottade för fem olika måste σ2 () a 21 Detta index estår av 5 amerikanska företag som är utvalda för att representera den reda ekonomin så väl som möjligt. 22 Den högsta annualiserade volatiliten var 34.7 procent den 29 Juli 1988 och den lägsta var 7.3 procent den 1 Decemer 1995 enligt Bloomerg. 3

6% 4% 2% % -2% -4% -6% 1978 198 1982 1984 1986 1988 199 1992 1994 1996 1998 2 22 24 26 28 Figur 3: Skillnaden i årlig avkastning mellan S&P5 och amerikanska statsoligationer med 3-årig löptid. 1..5. -.5-1. 1978 198 1982 1984 1986 1988 199 1992 1994 1996 1998 2 22 24 26 28 Figur 4: r σ2 () a för åren 1978 till 28. Där a är årlig avkastning för S&P5, σ är tolv månaders släpande volatilitet för a, r är årlig avkasting för 3-åriga statsoligationer och =.5. 31

värden på a. 2 1 5% 1% 15% 2% 25% 3% 35% 4% 45% 5% volatilitet a=8.4% a=9.4% a=1.4% a=11.4% a=12.4% Figur 5: Portföljvikten ω som en funktion av volatiliteten σ, plottad för fem olika värden på den förväntade avkastningen på aktieoligationen, a. Som väntat minskar ω då σ ökar. Ett annat väntat resultat är att ω ökar då a ökar givet σ. Notera att den högsta volatiliteten i vår data är 34.7 procent och genomsnittet är 14.7 procent. Med dessa nivåer på volatilitet krävs relativt låga nivåer på a för en lösning som inte enart ska estå av aktieoligationer, dvs. ω 1. Hur ska vi tolka resultatet ω 1? En vikt för aktieoligationer över ett inneär att den unge mannen är eredd att låna pengar till den riskfria räntan r och köpa aktieoligationer för dessa. Realismen i detta kan diskuteras men vi låter detta vara en mölighet. Omvänt låter vi den unge mannen också ha möjligheten att sälja kort aktieoligationer för att kunna köpa statsoligationer. 4.7.2 Vad har för inverkan på ω? I stycke 4.5 gav vi en kort tolkning av parametern som återfinns i ω. Vi sa där att är en mättnadsfaktor och att marginalnyttan avtar snaare för låga värden på. I figur 6 nedan ser vi hur ω förändras med. Detta samand ger oss att desto högre mättnadsfaktor, dvs. lägre, desto lägre andel riskfylld aktieoligation är optimalt. Ovanstående relation är intuitiv. En ung mans vars marginella nytta vid en enhets extra konsumtion avtar vid redan låga nivåer gör äst i att investera sina pengar i säkra tillgångar. Eftersom han får relativt lite nytta av den extra konsumtion som den extra avkastningen från den riskfyllda aktieoligationen ger honom finns det ingen anledningen att investera pengar i denna. 32

3 2 1.5.2.35.5.65.8.95 Figur 6: Portföljvikten ω som en funktion av mättnadsfaktorn, plottad för a = 1.4, σ = 14.7 och r = 7.8. 4.7.3 Konsumtion över tiden I figurena 7 till 9 nedan visar vi resultatet av våra Monte Carlo-simuleringar, dvs. lösningen c(t) av den unge mannens prolem givet val av parametrarna och β samt historisk genomsnittlig data för a, σ och r. Vi noterar, vilket även kan ses i figur 6, att för =.25, =.5 och =.75 är ω = 1.6, ω = 2.4 och ω = 4.8 respektive. Resultatet av detta är tydligt i figurerna då konsumtionen för varje givet β är lägre vid varje tidpunkt då är lägre. Ett annat väntat resultat är att konsumtionen avtar mer drastiskt över tiden desto högre tidsdiskonteringsfaktorn β är. Lägre värden på β ger mer plana lösningar, dvs. nivån på konsumtionen är mer eller mindre konstant över tiden. Effekten av β är mer tydlig då är större, vilket kan ses genom att jämföra figur 7 och 9. 1.5 1. c.5 ß=1 ß=.75 ß=.5 ß=.25. tid Figur 7: Lösning för c, =.25 33

1.5 1. c.5. tid ß=1 ß=.75 ß=.5 ß=.25 Figur 8: Lösning för c, =.5 1.5 1. c.5. tid ß=1 ß=.75 ß=.5 ß=.25 Figur 9: Lösning för c, =.75 34

5 Sammanfattning I denna uppsats har vi visat hur en ung man kommer att välja att konstruera sin portfölj då det råder osäkerhet kring avkastningen på en av två möjliga investeringar. I lösningen av detta prolem erhåller vi även en konsumtionsmönster för den unge mannens liv. Vi delade upp prolemet i tre steg och löste dem var och ett. Prolemet i det första steget löstes för de två fall då den unge mannens livslängd var ändlig och oändlig. I det första fallet löstes prolemet med variationskalkyl och lösningen är att konsumtion är en konstant multiplicerat med ett diskonterat värde av den initiala förmögenheten. I det andra fallet löstes prolemet med dynamisk programmering och lösningen är att konsumtion är en konstant, samma som i den första, multiplicerat med nivån på förmögenheten i varje givet tillfälle. Prolemet i det andra och tredje steget löstes med hjälp av stokastisk dynamisk programmering. Precis som i steg ett är lösningen en konstant linjär funktion av nivån på förmögenheten. Till skillnad från steg ett då vi kunde lösa prolemet analytiskt är vi nu tvungna att göra en Monte Carlo-simulering för att erhålla lösningen av konsumtionsmönstret, eftersom förmögenheten är en stokastisk variael. Vi erhöll lösningar genom att genomföra simuleringar för olika parametrar för tidpreferensen och mättnadsfaktorn samt historisk data för avkastningen och volatiliteten hos stats- och aktieoligationen. Lösningen var att den unge mannen valde att inte ara investera hela sitt arv i aktieoligationer utan även låna pengar för att kunna köpa ännu fler aktieoligationer. Resultat av våra simuleringar ställer realismen och användarheten i vår modell på ända då detta knappast är ett eteende som har oserverats i verkligheten. Då vi löste prolemet i steg ett explicit för två olika nyttofunktioner erhöll vi en antydan om att lösningen till detta prolem är mycket känslig för egenskaper hos den specifika nyttofunktionen. 35

6 Appendix 6.1 Data 6.1.1 3-åriga amerikanska statsoligationer Den data som vi använder för att eräkna avkastningen på statsoligationen r är hämtad från den amerikanska centralanken Federal Reserves hemsida. 23 Det mått som vi använder kallas för yield to maturity och är den årliga avkastningen du erhåller om du köper statsoligationen och ehåller den tills den löper ut 3 år senare. Notera att det saknas data mellan 2 juli 24 och 9 feruari 26. För den perioden har vi antagit en linjär funktion som har det sista datumet med riktig data som startvärde och nästa datum med data som slutvärde. Den högsta avkastningen var 15.21 procent den 26 oktoer 1981 och den lägsta var 4.17 procent den 2 mars 28. 2% 15% 1% 5% % 1978 198 1982 1984 1986 1988 199 1992 1994 1996 1998 2 22 24 26 28 Figur 1: Årlig avkastning (yield to maturity) för amerikanska statsoligationer med 3-årig löptid under åren 1978 till 28. 6.1.2 S&P 5 Den data som vi använder för att eräkna avkastningen på aktieoligationen a är hämtad från Bloomerg. 24. Volatiliteten för den årliga avkastningen eräknas som standardavvikelsen för den dagliga avkastningen för ett år tillaka multiplicerat med kvadratroten av 252. 25 Den dagliga avkastningen eräknas som den naturliga logaritmen av kvoten mellan nivån på indexet och nivån dagen innan. För mer detaljer kring dessa eräkningar se kapitel 3 i Wilmott [4]. Den högsta årliga avkastningen, 59.8 procent, oserverades 21 juni 1983 och den lägsta, -33.35 procent, oserverades 21 septemer 21. Den högsta volatiliteten, 34.7 procent, oserverades 29 juli 1988 och den lägsta, 7.32 procent, oserverades 1 decemer 1995. 23 http://www.federalreserve.gov/releases/h15/data.htm 24 http://www.loomerg.com/ 25 Antalet handlardagar under ett år 36

6% 5% 4% 3% 2% 1% % -1% -2% -3% -4% 1978 198 1982 1984 1986 1988 199 1992 1994 1996 1998 2 22 24 26 28 4% 35% 3% 25% 2% 15% 1% 5% % Figur 11: Årlig avkastning (tjock linje, vänster Y-axel) och 12-månaders släpande volatilitet (tunn linje, höger Y-axel) för S&P5 under åren 1978 till 28. 37

Referenser [1] Björk, T. (24), Aritrage Theory in Continuous Time. Oxford: Oxford University Press. [2] Kamien, M.I. och Schwartz, N.L. (2), Dynamic Optimization. The Calculus of Varitaions and Optimal Control in Economics and Management. Amsterdam: Elsevier Science. [3] Merton, R.C. (1969), Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty: The Continous-Time Case. I Merton, R.C. (red.), Continous-Time Finance. Camridge: Blackwell Pulishers. [4] Wilmott, P. (27), Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance. Chippenham: John Wiley and sons. 38