Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma punkt Anmärkning: Vi kan skriva satsen på kortare sätt: Sats { f är deriverbar i punkten x 0 } { f är kontinuerlig i punkten x 0 } Bevis: Vi ska bevisa att lim( ) = f ( x0) eller ekvivalen lim( ) f ( x0)) x x 0 Vi har f ( x0) lim( ) f ( x0)) = lim[ ( x x0)] x x0 x x0 x x0 f ( x0) = lim lim ( x x0) ( eftersom f är deriverbar i punkten x 0 ) x x0 x x x x0 0 x 0 ) 0 VSB Anmärkning Omvänt påstående gäller inte Funktionen kan vara kontinuerlig i en punkt utan att vara deriverbar i punken T ex yy = xx är kontinuerlig i punkten xx men saknar derivatan i denna punkt (vänsterderivatan är medan högerderivatan är ) x x ======================================== Sats Om funktionen f är deriverbar i punkten c och om f har ett lokalt extremum maximum eller minimum i c så är f ( Figur Anmärkning: Vi kan skriva satsen på kortare sätt: Sats f är deriverbar i punkten c f ( f har maximum eller minimum i c Bevis: f ( Antag att f har maximum i punkten c och att derivatan i c dvs lim x c x c existerar Eftersom f( är ett maximivärde är f ( 0 i en omgivning av punkten c Därför i denna omgivning gäller : 0 O c Sida av
a) x < c f ( f ( 0 f ( = lim 0 x c x c x c x > c f ( f ( 0 f ( = lim 0 x c x c x c Från a) och har vi f ( 0 och f ( 0 och därför f ( VSB Anmärkning: Kravet " f är deriverbar i punkten c " är viktigt eftersom det finns funktioner som har extrempunkter i vilka funktionen saknar derivatan Punkten c i nedanstående figur är en maximipunkt medan derivatan saknas i c f( O c Figur =============================================== Sats 3 (Rolles sats variant ) Om funktionen f är kontinuerlig i det slutna intervallet a x b deriverbar i det öppna intervallet a < x < b 3 och om f ( a) = f ( så finns (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f '( c O a b Geometrisk tolkning av Rolles sats: Om de tre villkoren i Rolles sats är uppfyllda då finns det minst en punkt ( c f ( ) på kurvan y = f ( sådan att tangenten i punkten är parallell med x-axeln Anmärkning: Antagandet " f är deriverbar i det öppna intervallet a < x < b " medför att f är kontinuerlig i det öppna intervallet a < x < b I krav kräver vi utöver detta att funktionen f är dessutom vänster kontinuerlig i a och höger kontinuerlig i b Om detta är inte uppfylld kan det hända att f '( 0 i hela ( a som exempelvis för följande funktion: 0 för x = /x för < x < 3 0 för x = 3 Sida av
Funktionen är deriverbar och kontinuerligt i intervallet < x < 3 men ej kontinuerlig i ändpunkter För denna funktion är f '( < 0 för alla x i intervallet < x < 3 Med andra ord det finns ingen c som satisfierar f '( ; ingen tangent till kurvan y=f( är parallell med x axeln ) Bevis av Rolles sats: Om funktionen f är konstant i intervallet [ab] dvs om för alla x i [ab] är satsen trivial för då är f ' ( för alla x i intervallet (a och därmed vilken som helst punkt c i intervallet ( a satisfierar f '( Om funktionen f inte är konstant i intervallet då antar f värden 0 Vi kan t ex anta att f antar värden större än 0 Eftersom funktionen är kontinuerlig i det slutna intervallet antar funktionen sitt största (och sitt minsta) värde i en punkt c Eftersom största värdet i vårt fall är > 0 måste punkten c ligga i det öppna intervallet ( a där funktionen är deriverbar Då gäller enligt Sats att f '( och därmed är Rolles sats bevisad Sats 4 (Rolles sats variant ): Om funktionen f är i) kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) deriverbar i det öppna intervallet a < x < b iii) och om f ( a) = f ( så finns (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f '( Sida 3 av
Bevis: Vi bildar en hjälpfunktion ϕ ( = som uppfyller alla tre villkor i ii och iii för Sats 3 (Rolles sats variant ) och dessutom ϕ '( x ) = f '( Därmed finns minst en punkt c i intervallet ( a sådan att ϕ '( dvs f '( ========================================================== MEDELVÄRDESSATS FÖR DERIVATOR Följande viktiga sats ( ) kallas i många kursboken Differentialkalkylens medelvärdessats ( eller enbart medelvärdessatsen) Sats 5 Differentialkalkylens medelvärdessats ( ): Om funktionen f är i) kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) deriverbar i det öppna intervallet a < x < b så finns (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f ( (*) Geometrisk tolkning: Om f uppfyller villkoren i så finns det en punkt c i intervallet ( a sådan att tangenten i punkten ( c f ( ) är parallell med kordan mellan punkterna ( a f ( a)) och ( b f ( ) Anmärkning: Likheten (*) kan skrivas f ( = f ( a) + f ( ( ) Bevis för Differentialkalkylens medelvärdessats ( ): f ( Vi bildar en hjälpfunktion ϕ ( = [ f ( a) + ( x a) ] som uppfyller alla tre villkor i ii och iii för Sats (Rolles sats variant ) i) ϕ( är kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) ϕ( är deriverbar i det öppna intervallet a < x < b och iii) ϕ ( a) = ϕ( Därför ( enligt Rolles sats) finns minst en punkt c i intervallet ( Sida 4 av a sådan att ϕ '(
Eftersom f ( ϕ '( = f '( f ( ϕ '( = f '( = för minst en punkt c i intervallet ( får vi 0 och därför ( ) Anmärkning: Notera att hjälpfunktionen ) linjen genom punkterna ( f ( a)) b f a f ( = f c vad skulle bevisas ϕ (x är differensen mellan funktionen ( a och ( ( ) f och räta =========================================================== Nedanstående sats (Cauchys medelvärdessats):är inte obligatorisk i kursen ( men vi använder satsen i beviset av L Hospitals regel) Sats 6 (Cauchys medelvärdessats): Om f och g är definierade på [ab] och uppfyller följande villkor i) f och g är kontinuerliga över slutna intervallet a x b ii) f och g är deriverbara i det öppna intervallet a < x < b iii) g' ( 0 i intervallet (aa b så finns (minst) en punkt i intervallet (aa b sådan att f ( f ( = a) g'( Bevis av Cauchys medelvärdessats: Vi bildar en hjälp funktion ϕ ( = ( f ( )( a)) ( a))( ) som uppfyller alla tre villkor i ii och iii för Sats 3 (Rolles sats variant ) i) ϕ( är kontinuerlig i det slutna intervallet a x b ii) ϕ ( är deriverbar i det öppna intervallet a < x < b och iii) ϕ ( a) = f ( a) = ϕ( Därför ( enligt Rolles sats) finns minst en punkt c i intervallet ( a sådan att ϕ '( Eftersom ϕ '( = [ f ( har vi f ( a)] g'( [ a)] f '( ϕ '( = [ f ( ] g'( [ a)] f '( [ f ( ] g'( = [ a)] f '( c eller ) g' ( i intervallet ( a som medför att a) g = enligt Rolles sats har vi en punkt där '( Enligt antagandet gäller 0 ( annars om ( a) antagandet) Alltså kan vi dela föregående ekvation med '( [ a)] Vi får f ( f ( = a) g'( vad skulle bevisas g g som strider mot ============================================================ Sida 5 av
ÖVNINGAR: Uppgift Låt f ( vara kontinuerlig på ett intervall I =[ab] och deriverbar på (a Antag att ekvationen har i intervallet I a) fyra olika lösningar n olika lösningar Visa att ekvationen f ( har a) minst tre olika lösningar minst (n-) olika lösningar Lösning: a) Låt x x x3 x4 beteckna de fyra lösningar till som ligger i intervallet I Eftersom funktionen är deriverbar ( och därmed kontinuerlig) på I och dessutom f ( x ) finns det enligt Rolles sats minst en punkt c som ligger i ( x sådan att f ( c ) Med samma resonemang inser vi att det finns minst en punkt c i ( x x 3) sådan att f ( c ) och minst en punkt c 3 i ( x x 3 4) sådan att f ( c ) 3 Därmed har ekvationen f ( minst 3 lösningar i intervallet I På samma sätt som i a) inser vi att ekvationen f ( har minst en lösning c som ligger i ( x minst en lösning c i ( x x3) minst en lösning c n i ( xn xn ) Därmed har ekvationen f ( minst (n-) lösningar i intervallet I Uppgift Fäljande funktioner definierade på intervallet [ab] har inte någon tangent som är parallell med den räta linjen genom punkterna (af(a)) och (bf(): a) = x x (Intervallet [ab] =[-] )) 0 för x = /x för < x < 3 (Intervallet [ab] =[3] ) för x = 3 Vilken av de två antaganden i medelvärdessatsen som inte är uppfyllt? Sida 6 av
Svar a) Antagandet att funktionen är deriverbar på det öppna intervallet a < x < b är inte uppfyllt( Saknas derivatan i punkten 0) Svar Antagandet att funktionen är kontinuerlig på hela slutna intervallet[ 3] är inte uppfyllt ( Funktionen är diskontinuerlig i ändpunkter) Uppgift 3 Låt = x 3 + Bestäm en punkt c i intervallet ( a sådan att tangenten i punkten ( c f ( ) är parallell med linjen genom punkterna ( a f ( a)) och ( b f ( ) där a och b = Lösning: Enligt medelvärdessatsen finns det (minst) en punkt c i intervallet ( a sådan att f ( f () f (0) = 3c 0 0 Härav c = och c = ± Endast c = ligger i intervallet (0) 3 3 3 3 Svar: c = 3 = = 3 3 Uppgift 4 Bevisa följande sats: Antag att f är en funktion som är kontinuerlig på ett intervall I deriverbar i alla intervallets inre punkter och dessutom att f ( för alla intervallets inre punkter Då är f en konstant på I Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats" Lösning: Låt x och x vara två godtyckligt valda punkter x och x i intervallet I Vi ska visa att = Eftersom f är kontinuerlig på [ x x] och deriverbar på ( x kan vi tillämpa medelvärdessatsen på intervallet [ x x ] Enligt medelvärdessatsen har vi för en punkt c i intervallet ( ) x x x x eller ( x Eftersom enligt antagande f ( har vi f ( x ) eller = för två godtyckliga punkter i intervallet I Därmed har vi bevisat att f ( är konstant på intervallet I Växande och avtagande funktioner: Antag att funktionen f ( är definierad på ett interval I och att x och x var två punkter i intervallet Vi definierar växande och avtagande funktioner enligt följande: Vi säger att a) f är växande om för alla punkter i intervallet I gäller x > x > Sida 7 av
f är avtagande om x > x < f är icke-avtagande om x > x d) f är icke- växande om x > x Uppgift 5 Antag att f( är kontinuerlig på ett interval I ( slutet öppet eller halvöppet; ändligt eller oändligt) och deriverbar på J där J är det öppna intervall som består av alla I:s inre punkter ( T ex om I= ( a I= [ a I= ( a b] eller I= [ a b] så är J= ( a ) Bevisa följande: Om f ( > 0 för alla x i J så är f växande Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats" Lösning: Låt x och x var två punkter i intervallet I Villkoren för användning av medelvärdessatsen i intervallet [ x x ] i) f kontinuerlig i det slutna intervallet x x x ii) f deriverbar i det öppna intervallet x < x < x är uppfyllda Enligt medelvärdessatsen har vi för en punkt c i intervallet ( ) x x x x eller ( x Alltså för x > x och f ( > 0 gäller > dvs f är växande Komentar: Enligt ovanstående sats gäller fölande: Om funktionen y = f ( är deriverbar i det öppna intervallet (a och f ( > 0 i detta intervall så är funktionen växande i (a Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och så är f växande i [a ( eller i (a b] eller i [a b] Uppgift 6 Bestäm a) det största öppna intervallet det största intervallet ( oavsett öppet slutet eller halvöppet) där funktionen = arctan( x + 6 är växande Lösning: x + 6 a) f ( = + ( x + 6 x + 6 f ( > 0 > 0 ( eftersom nämnaren är >0) + ( x + 6 x + 6 > 0 x > 3 Alltså är funktionen växande på det öppna intervallet ( 3 ) Svar a) ( 3 ) är det största öppna intervallet där funktionen är växande Sida 8 av
Funktionen är kontinuerlig från höger i ändpunkten x = 3 (sammansatt av kontinuerliga funktioner) och därmed är funktionen kontinuerlig på intervallet [ 3 ) Eftersom funktionen kontinuerlig på intervallet [ 3 ) och f ( > 0 på ( 3 ) är funktionen växande på intervallet [ 3 ) Svar [ 3 ) är det största öppna intervall där funktionen är växande Uppgift 7 Antag att f( är kontinuerlig på ett interval I ( slutet öppet eller halvöppet) och deriverbar på J där J är det öppna intervall som består av alla I:s inre punkter ( T ex om I= ( a I= [ a I= ( a b] eller I= [ a b] så är J= ( a ) Bevisa följande: a) Om f ( < 0 för alla x i J så är f avtagande Om f ( 0 för alla x i J så är f icke- avtagande Om f ( 0 för alla x i J så är f icke-växande Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats" Lösning: Låt x och x var två punkter i intervallet I Enligt medelvärdessatsen har vi för en punkt c i intervallet ( ) x x x x eller ( x från x > x och f ( < 0 { f ( 0 eller f ( 0} har vi < { eller } dvs f är avtagande { icke-avtagande eller icke-växande} Uppgift 8 Bestäm det största intervall där funktionen = xln x är växande respektive avtagande Lösning: Definitionsmängden är D= ( 0 ) Derivatan : f ( = ln x + f ( x = e f ( > 0 x > e f ( < 0 0 < x < e Notera att = xln x är kontinuerlig i punkten Därför inkluderar vi ändpunkten x = e men ej definierad i x x = e i intervall där funktionen växer / avtar Svar: [ e ) är det största intervall där funktionen är växande (0 e ] är det största intervall där funktionen är avtagande Grafen till = xln x Sida 9 av
Uppgift 9 Använd differentialkalkylens medelvärdessats för att bevisa olikheten tan( x ) > x för (0 < x < ) Tips Betrakta intervallet [0 x] Lösning: Låt x vara ett tall i intervallet (0 ) Då är funktionen f ( t) = tan( t) kontinuerlig i det slutna intervallet [0 x] och deriverbar i det öppna intervallet (0 Alltså kan vi använda medelvärdessatsen på [0 x] med a och b=x Med andra ord det finns ett tal c i interavallet (0 sådant att f (0) tan( tan(0) = x 0 x 0 cos Alltså tan x = x (*) cos c tan( ) = c x cos tan x = c cos för ett tal c i intervallet (0 ) Eftersom ( 0 < cosc < ) i detta intervall har vi (0 < cos c < ) och därmed > cos c Från (*) har vi slutligen att tan x > x Eftersom x var ett godtyckligt tal från (0 ) har vi bevisat att tan x > x för alla x i (0 ) Anmärkning Man kan visa olikheten tan( x ) > x för 0 < x < på enklare sätt genom att visa att funktionen y = tan( x är växande i intervallet 0 < x < Först tan( x ) > x tan( x > 0 cos x y = = > 0 för 0 < x < (notera att för 0 < cos x < i detta intervall) cos x cos x Alltså är y = tan( x växande i intervallet 0 < x < och dessutom y ( 0) = tan(0) 0 Därför tan( x ) x > 0 dvs tan( x ) > x i intervallet 0 < x < Grafen till y = tan( x x c Sida 0 av
Sida av