2. Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace

Relevanta dokument
1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations

1. Find an equation for the line λ which is orthogonal to the plane

1. Find for each real value of a, the dimension of and a basis for the subspace

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

2. Let the linear space which is spanned by the functions p 1, p 2, p 3, where p k (x) = x k, be equipped with the inner product p q = 1

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

for M, the matrix of the linear transformation F : R 3 M defined as x1 + x F ((x 1, x 2, x 3 )) = 2 + x 3 2x 1 + x 2 + 3x 3

1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

f(x) =, x 1 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. cos(x) sin 3 (x) e sin2 (x) dx,

f(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.

For which values of α is the dimension of the subspace U V not equal to zero? Find, for these values of α, a basis for U V.

, m 3 = 3. Determine for each real α and for each real β 0 the geometric meaning of the equation x 2 + 2y 2 + αz 2 + 2xz 4yz = β.

Find an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.

is introduced. Determine the coefficients a ij in the expression for, knowing that the vectors (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1) constitute an ON-basis.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

(4x 12) n n. is convergent. Are there any of those x for which the series is not absolutely convergent, i.e. is (only) conditionally convergent?

sin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = , och ange motsvarande

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.

1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?

2 4xy. and classify each of them with respect to the corresponding linearized system. x 2 dy + 2xy = y2

the standard scalar product, i.e. L E 4. Find the orthogonal projection of the vector w = (2, 1, 2, 1) on the orthogonal complement L of L (where

1 Find the area of the triangle with vertices A = (0,0,1), B = (1,1,0) and C = (2,2,2). (6p)

1. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation. dy/dt 4xy + 10y + 6y 2,

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

2. For which values of the parameters α and β has the linear system. dy/dt x + y

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

2. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = 3 x 2 and y = x + x.

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

and u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet

1. Beräkna determinanten

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16

2. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, 1) and which otherwise is given by the linear system 1 = 2

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Find to the differential equation 2y + (y ) 2 = 0 the solution whose graph at the point with the coordinates (1, 0) has the tangent line x + y = 1.

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7

och v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.

Isometries of the plane

7 n + 8 n 3 2n. converges or not. Irrespective whether the answer is yes or no, give an explanation

1 x 1 x 2 1 x x 2 x 2 2 x 3 2 A = 1 x 3 x 2 3 x x 4 x 2 4 x 3 4

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?

Module 1: Functions, Limits, Continuity

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik

x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna

1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)

Kursplan MD2022. Matematik III 30 högskolepoäng, Grundnivå 2

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

KTH, Matematik. Del I. (totalt 15 poäng, inklusive bonuspoäng). (1) Betrakta följande mängder i R 3 :

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Kursinformation. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 10:e upplagan. Wiley 2011 (betecknas A nedan).

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Kursinformation. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

2. Skissa minst en period av funktionskurvan y 1 = 2 sin(4x/3). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

Tentamen MMG610 Diskret Matematik, GU

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik. SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI265 Inlämningsuppgift 1 (av 2), Task 1 (out of 2)

SF1624 Algebra och geometri

Transkript:

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA50 Vector Algebra, TEN Date: 08-0- Write time: hours Aid: Writing materials, ruler This examination is intended for the examination part TEN. The examination consists of five randomly ordered problems each of which is worth at maximum 5 points. The pass-marks, 4 and 5 require a minimum of, 6 and points respectively. The minimum points for the ECTS-marks E, D, C, B and A are,, 6, 0 and 4 respectively. If the obtained sum of points is denoted S, and that obtained at examination TEN S, the marks for a completed course are determined according to S, S and S + S 47 S, S and S + S 8 E S, S and 48 S + S 6 4 S, S and 9 S + S 47 D 6 S + S 5 S, S and 48 S + S 59 C S, S and 60 S + S 7 B 7 S + S A Solutions are supposed to include rigorous justifications and clear answers. All sheets of solutions must be sorted in the order the problems are given in.. The linear transformations F : E E and G : E E are such that F rotates vectors one eighth turn counterclockwise, while G by the factors and / rescales the first and the second of the coordinates respectively of vectors. Find the standard matrices of the compositions F G and G F. (E is the vector space R equipped with the standard inner product.). Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace M β = span{( 7, 5, 8), (6, 9, 4), (, β, 6)} of R. Also, find all values of β for which the vector v = (5, 6, 0) belongs to the subspace, and state for these β the coordinates of v relative to the chosen bases respectively.. The linear operator F : R R has the matrix A = 0 0 relative to the standard basis. Find a basis for each eigenspace of F, and conclude whether F is diagonalizable or not. 4. Find the orthogonal projection of the vector (5,, ) on the vector space M defined according to M = {(x, x, x ) E : x + x + x = 0}, where E is the vector space R equipped with the standard inner product. 5. Solve the equation z 4 + 8 = 8 i and give in the complex plane an illustration of the solution set. Om du föredrar uppgifterna formulerade på svenska, var god vänd på bladet.

MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA50 Vektoralgebra, TEN Datum: 08-0- Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Skrivdon, linjal Denna tentamen är avsedd för examinationsmomentet TEN. Provet består av fem stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. För godkänd-betygen, 4 och 5 krävs erhållna poängsummor om minst, 6 respektive poäng. Om den erhållna poängen benämns S, och den vid tentamen TEN erhållna S, bestäms graden av ett sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S, S och S + S 47 S, S och 48 S + S 6 4 6 S + S 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. De linjära avbildningarna F : E E och G : E E är sådana att F roterar vektorer en åttondels varv moturs, medan G med faktorerna och / skalar om den första respektive den andra av koordinaterna för vektorer. Bestäm standardmatriserna för sammansättningarna F G och G F. (E är vektorrummet R utrustat med standardskalärprodukten.). Bestäm, för varje reellt värde på β, dimensionen av och en bas för delrummet M β = span{( 7, 5, 8), (6, 9, 4), (, β, 6)} till R. Bestäm även alla värden på β för vilka vektorn v = (5, 6, 0) tillhör delrummet, och ange för dessa β koordinaterna för v relativt respektive av de valda baserna.. Den linjära operatorn F : R R har matrisen A = 0 0 relativt standardbasen. Bestäm en bas för varje egenrum till F, och avgör huruvida F är diagonaliserbar eller inte. 4. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn (5,, ) på vektorrummet M definierat enligt M = {(x, x, x ) E : x + x + x = 0}, där E är vektorrummet R utrustat med standardskalärprodukten. 5. Lös ekvationen z 4 + 8 = 8 i och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. If you prefer the problems formulated in English, please turn the page.

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson Final examination TEN 08-0-. The standard matrix of FF GG is and that of GG FF is EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA50 Vector algebra EVALUATION PRINCIPLES with POINT RANGES Academic year: 07/8 Maximum points for subparts of the problems in the final examination p: Correctly found the standard matrix of FF p: Correctly found the standard matrix of GG p: Correctly found the standard matrix of FF GG p: Correctly found the standard matrix of GG FF if ββ = 9. dim(mm ββ ) = if ββ 9 A basis for MM ββ is e.g. uu, uu if ββ = 9 and uu, uu, uu if ββ 9, where the vectors are those listed in the spandefinition of MM ββ.the coordinates of vv relative to the chosen bases are, if ββ = 9,, 0 if ββ 9 p: Correctly found the dimension of MM ββ for each value of ββ p: Correctly found a basis for MM ββ for each value of ββ p: Correctly found that vv MM ββ for every value of ββ p: Correctly found the coordinates of vv relative the chosen basis as ββ = 9 p: Correctly found the coordinates of vv relative the chosen basis as ββ 9. Bases for the eigenspaces of FF are e.g. (,0,0), (0,, ) corresponding to the eigenvalue, and e.g. (,,) corresponding to the eigenvalue 4. FF is diagonalizable since the geometric multiplicities of the eigenvalues equals their algebraic multiplicies respectively p: Correctly found the eigenvalues of FF p: Correctly found a basis for the eigenspace corresponding to the eigenvalue p: Correctly found a basis for the eigenspace corresponding to the eigenvalue 4 p: Correctly concluded that FF is diagonalizable 4. proj MM (5,,) = (, 4,) p: Correctly found a basis for MM p: Correctly orthogonalized the chosen basis for MM as a proper preparation for finding of the orthogonal projection of the vector (5,,) on MM p: Correctly found the orthogonal projection asked for 5. The roots of the equation are zz nn = ee ii ππ 6 +nn ππ, nn = 0,,, p: Correctly reformulated the equation as zz 4 = 6ee ππππ p: Correctly substituted zz by rree iiii for solving the equation by the use of polar coordinates, and correctly found (by taking the absolute values of the LH and the RH sides of the equation) that rr = p: Correctly from the remaining equation ee 4iiii = ee ππππ concluded that 4θθ = ππ + nnππ, where nn is an integer p: Correctly summarized the four roots (irrespective of form) p: Correctly illustrated the solution set ()

2024 © DocPlayer.se Sekretesspolicy | Användarvillkor | Kontakta oss