Övningsuppgifter och lösningsförslag till kursen Strukturmekanik grunder för V3. Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers

Relevanta dokument
3 Fackverk. Stabil Instabil Stabil. Figur 3.2 Jämviktskrav för ett fackverk

Konstruktionsuppgifter för kursen Strukturmekanik grunder för V3. Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers

Matrismetod för analys av stångbärverk

Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk. Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012

Stångbärverk. Laboration. Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg. 14 mars 2014

1.6 Castiglianos 2:a Sats och Minsta Arbetets Princip

Övning 1 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)

2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem Ledningar

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)

Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Rambärverk. Projektuppgift 2 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012

Lösning: B/a = 2,5 och r/a = 0,1 ger (enl diagram) K t = 2,8 (ca), vilket ger σ max = 2,8 (100/92) 100 = 304 MPa. a B. K t 3,2 3,0 2,8 2,6 2,5 2,25

Biomekanik, 5 poäng Jämviktslära

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar

2 november 2016 Byggnadsmekanik 2 2

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl 8-12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) LÖSNINGAR

Tentamen i Hållfasthetslära AK2 för M Torsdag , kl

Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor

TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA FÖR F (MHA081)

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA AUGUSTI 2014

Fö relä sning 2, Kö system 2015

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

Mekanik F, del 2 (FFM521)

8 Teknisk balkteori. 8.1 Snittstorheter. 8.2 Jämviktsekvationerna för en balk. Teknisk balkteori 12. En balk utsätts för transversella belastningar:

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

Lösningar, Chalmers Hållfasthetslära F Inst. för tillämpad mekanik

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA MAJ 2011

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA JUNI 2016

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

14. Minsta kvadratmetoden

Lösningsförslag, Inlämningsuppgift 2, PPU203 VT16.

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA JUNI 2014

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik

Lunds Tekniska Högskola, LTH

Bedömningsanvisningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2015

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

Laboration 1. Ekvationslösning

Program A2.06 Stabiliserande väggar

Lösningar Heureka 2 Kapitel 2 Kraftmoment och jämvikt

Lösning: ε= δ eller ε=du

Belastningsanalys, 5 poäng Balkteori Moment och tvärkrafter. Balkböjning Teknisk balkteori Stresses in Beams

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA FÖR F (MHA081)

Datorbaserade beräkningsmetoder

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

Övning 3 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen Balkproblem och Ramverk

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Lite Kommentarer om Gränsvärden

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

4.6 Stelkroppsrörelse i balk

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Lösningsförslag TATM

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

Kursprogram Strukturmekanik FME602

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

TENTAMEN i Hållfasthetslära; grundkurs, TMMI kl 08-12

Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0

Biomekanik Belastningsanalys

= 1 E {σ ν(σ +σ z x y. )} + α T. ε y. ε z. = τ yz G och γ = τ zx. = τ xy G. γ xy. γ yz

Teknisk modellering: Bärverksanalys VSM150

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl

MATEMATIK Datum: Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 6 Lösningar

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

Några satser ur talteorin

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Hållfasthetslära Sammanfattning

Repetition Mekanik, grundkurs

undanträngda luften vilket motsvarar Flyft kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd.

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,

Laboration 2. Laborationen löses i grupper om två och redovisas individuellt genom en lappskrivning den 3/10. x = 1±0.01, y = 2±0.05.

Tentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag

Material, form och kraft, F2

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

Övningar i ekvationer

Tillbakablick: Övning 1.2. Fordonsdynamik med reglering. Stillastående bil. Sidkrafter: Frågeställning 1. R r. R g

Teknisk modellering: Bärverksanalys VSMF05

Transkript:

Övningsuppgifter och lösningsförslag till kursen Strukturmekanik grunder för V3 Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers

2 Förord Detta kompendie är tänkt som ett komplement till eempelsammlingen av Ekevid, Kettil och Wendt) och ska förhoppningsvis) underlätta inlärningsprocessen. Varje kapitel behandlar ett problemområde i kursen och i början av varje kapitel presenteras ett eller flera eempel med lösningsförslag. Därefter följer övningsuppgifter och det är rekommenderat att fullfölja övningarna i detta häfte, till de områden det finns tillgängligt), innan man går över till eempelsammlingen. Det här kompendiet är i ett utvecklingsskede och det kan därmed förekomma vissa smärre typografiska fel och även räknefel. Det är därför varmt uppskattat med alla typer av feedback. Göteborg, Mars 2008 Jim Brouzoulis

Innehåll Diskreta fjädersystem. Diskreta fjädersystem.............................. 2 System av stänger 2. Stångsystem................................... 2.2 Övningsuppgifter................................ 4 3 otentiell energi 9 3. otentiell energi................................. 9 3.2 Övningsuppgifter................................ 23 4 Fackverk 25 4. Snittkrafter i statiskt bestämda plana fackverk................ 25 4.. Knutmetoden.............................. 25 4..2 Snittmedtoden............................. 27 4.2 Övningsuppgifter................................ 30 5 Facit 33 5. Fjädersystem.................................. 33 3

4 INNEHÅ 5.2 System av stänger................................ 36 5.3 otentiell energi................................. 42 5.4 Fackverk..................................... 44

Kapitel Diskreta fjädersystem. Diskreta fjädersystem Eempel Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. k k 2 k 3 k 4 p p 3 ösning Nedan visas två metoder för att etablera styvhetsmatrisen för problemet ovan. Den första metoden bygger på direkt tillämpning av arbetsformuleringen. Detta resulterar i att styvhetsmatrisen för hela strukturen kan etableras genom en summation av styvhetsbidrag från varje element. Metoden lämpar sig mer för datorberäkning som vi kommer se snart. Metod nummer 2 bygger på Clebsh sats och är smidigare att använda vid handberäkning. Metod : Förskjutningsmetoden baserat på arbetsformulering Arbetsprincipen ger oss att det inre arbetet är lika med det yttre d.v.s. V i = V y. nel V i = n t e N e = n t N + n t 2 N 2 + n t 3 N 3 + n t 4 N nno 4 V y = p t j j = p t e= j=

2 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Vi vill nu hitta relationerna mellan elementdeformationerna n e och nodförskjutningarna p. Detta samband uttrycker vi som ) ) p ne Ae A n e = A e p = e2 A e3 p n e2 A e2 A e22 A 2.) e23 p 3 p p 3 n ) n 2 n 2 n 22 n 3 n 32 n 4 n 42 ) För varje element: el : el 3: n n 2 n3 n 32 ) = ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ) p p 3 p p 3 el 2: el 4: n2 n 22 n4 n 42 ) = ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Observera att ekvationerna för n och n 42 är onödiga då de inte bidrar till arbetet! De kommer därför slopas i fortsättningen, vilket gör att vissa matriser reduceras). Med ekvation. kan nu det inre arbetet skrivas som V i = nel nel e= nt en e = p t e= At en e ), nel ) vilket tillsammans med det yttre arbetet ger oss p t e= At e N e = p t som måste vara uppfyllt för alla förskjutningar p och därför gäller 0 0 N 2 + 0 0 0 0 N2 N 22 nel e= ) + ) ) p p 3 p p 3 A t en e =.2) 0 0 0 0 N 2 + N 2 N 22 + N 3 N 32 + N 4 N3 N 32 = ) + Vi ser att detta motsvarar mot jämvikt mellan inre och yttre krafter. 2 3 0 0 N 4 = 2 3

.. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 3 Sen tidigare har vi etablerat styvhetssambandet på elementnivå som ) ) Ne ne N e = S e n e = k e N e n e ).3) Kombineras ekvation.2 med.3 och. erhålls nel A t es e n e ) = nel e= e= ) A t es e A e p = Sp = Styvhetsmatrisen bildas därmed genom en summation av bidrag från flera element: 0 0 0 0 0 0 k ) 0 0 ) + k 3 S = nel S = A t e S ea e.4) e= 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 k 2 ) + 0 0 k + k 2 k 2 0 k 2 k 2 + k 3 k 3 0 k 3 k 3 + k 4 Styvhetssambandet kan nu skrivas k + k 2 k 2 0 2 = k 2 k 2 + k 3 k 3 3 0 k 3 k 3 + k 4 Beräkningsgång ) 0 0 0 0 ) + k 4 ) 0 0 ) p p 3. Ställ upp kinematiska samband ekvation. 2. Etablera jämvikt för systemet t.e. genom arbetsprinciper) ekvation.2 3. Ta fram elementstyvheter ekvation.3 4. Kombinera jämvikt, materialsamband och kinematiska samband till styvhetsmatrisen ekvation.4

4 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Metod 2 Förskjutningsmetoden med Clebsh Sats Inre arbete = yttre arbete, V i = n t N = p t = V y Om vi etablerar jämvikt som och kombinerar med det yttre arbetet fås = A t N.5) n t N = p t A t N n = Ap Clebsh sats).6) Snittkraften i varje fjäder erhålls enkelt genom relationen N e = S e n e Ställs detta samband upp för alla element i systemet fås eller på matrisform N N 2 N 3 N 4 = N = S d n.7) k 0 0 0 0 k 2 0 0 0 0 k 3 0 0 0 0 k 4 Kombineras ekvation.5,.6 och.7, följer än en gång styvhetssambandet n n 2 n 3 n 4 = A t S d A ) p = Sp.8) Genom att ta fram transformationsmatrisen A kan styvhetsmatrisen enkelt beräknas enligt ovan. För vårt problem kan jämvikten tecknas som å matrisform kan vi skriva nod : N N 2 = nod 2: N 2 N 3 = 2 2 3 nod 3: N 3 N 4 = 3 = 0 0 0 0 0 0 } {{ } A t Styvhetsmatrisen kan nu enkelt beräknas k 0 0 0 0 0 S = 0 0 0 k 2 0 0 0 0 k 0 0 3 0 0 0 0 k 4 N N 2 N 3 N 4.9) 0 0 0 0 0 0 =... =

.. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 5 Beräkningsgång = k + k 2 k 2 0 k 2 k 2 + k 3 k 3 0 k 3 k 3 + k 4.0). Etablera transformationsmatrisen A t genom jämvikt ekvation.9 2. Ställ upp samband mellan normalkrafter N och stångdeformationer n ekvation.7 3. Beräkna strukturstyvhetsmatrisen S som S = A t S e A ekvation.0

6 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Övningsuppgifter Uppgift Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k 2 k 3 p Uppgift 2 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k 2 k 3 p

.. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 7 Uppgift 3 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k p k 2 k 2 k 3 k 3 p 3 p 4 Uppgift 4 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k 2 k k 4 p p 3 k 3

8 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Uppgift 5 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k 2 k 4 p 4 k 7 k 3 k 5 k 0 k 8 p k 6 p 6 p 7 k 9 p 3 p 5 Uppgift 6 Beräkna förskjutningarna p och rita fjäderkraftsfördelningen över systemet. k 3k 2k 2k k p

.. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 9 Uppgift 7 Beräkna förskjutningarna p och rita fjäderkraftsfördelningen över systemet. 2k 2k 2k p 3 k k p

0 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM

Kapitel 2 System av stänger 2. Stångsystem Eempel Betrakta stångsystemet nedan. Beräkna förkjutningarna och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, 2EA, EA, p ösning För att beräkna förskjutningarna etablerar vi först styvhetsrelationen Sp = och löser därefter ut förskjutningarna som p = S. När sedan alla förskjutningar är kända kan stängernas respektive normalkraft enkelt tas fram. N 2 N 2 N 22 N 3 n 2 n 2 n 22 n 3 Det inre arbetet är lika med det yttre, d.v.s. V i = V y

2 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER V i = 3 e= n t en e = n t N + n t 2N 2 + n t 3N 3 = n 2 N 2 + ) ) N n 2 n 2 22 + n N 3 N 3 22 Kinematiska samband mellan ändförskjutningar och nodförskjutningar: ) ) n2 p n 2 = p, =, n 3 = 2.) n 22 V i = p N 2 + ) ) N p 2 + p N 2 N 3 = ) ) N p + N 2 2 22 N 22 + N 3 Det yttre arbetet kan på samma sätt skrivas 2 V y = p t j j = p + 0 = p j= ) ) 0 Eftersom det inre arbetet är lika med det yttre fås jämviktsekvationerna ) ) N2 + N 2 = N 22 + N 3 0 2.2) I många fall kan dessa ställas upp direkt vilket förenklar beräkningarna något. Elementstyvhetssamband N 2 = EA n 2, 2EA ) ) n2, N n 3 = EA 22 n 3 2.3) Kombinera nu ekvation 2.2, 2.3 och 2. EA p ) ) + 2EA p = ) ) 2EA p + p EAp 2 = 0 2 EA 3 2 2 3 ) ) p = ) 0 eller Sp = Förskjutningarna fås nu som p = S

2.. STÅNGSYSTEM 3 p ) = 5EA 3 2 2 3 ) ) 0 = 5EA ) 3 2 2.4) Normalkrafterna kan beräknas ur ekvation 2.3 nu när förskjutningarna är kända. N 2 = EA n 2 = EA p = EA 3 5EA = 3 5 dragen) N2 N 22 ) = 2EA ) ) p = 2EA ) 5EA ) 3 = 2 2 5 ) tryckt) N 3 = EA = EA 2 5EA = 2 5 tryckt) N [ 5 ] 3 2 Figur 2.: Normalkraftsfördelning Observera att hoppet i normalkraft vid = precis motsvarar den pålagda lasten.

4 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER 2.2 Övningsuppgifter Uppgift Beräkna förskjutningen p för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, EA, 2 p Uppgift 2 Beräkna förskjutningen för det upphängda bjälklaget nedan och rita upp normalkraftsfördelningen i stängerna. Bjälklaget kan antas helt styvt. EA, EA, EA, p

2.2. ÖVNINGSUGIFTER 5 Uppgift 3 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, 2EA, 2 3EA, p Komplementärlösning utbredd last Uppgift 4 Beräkna förskjutningen p för den massiva pelaren utsatt för sin egenvikt q = mg. Rita även upp normalkraftsfördelningen i pelaren. p mg EA, Uppgift 5 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. q = EA, EA, EA, p

6 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER Uppgift 6 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, /2 2EA, p q = Uppgift 7 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. För enkelhetens skull sätt mg = 2. p EA, q = mg 2 2EA, q 2 = 2mg p 3 3 3EA, q 3 = 3mg

2.2. ÖVNINGSUGIFTER 7 Komplementärlösning temperaturlast Uppgift 8 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA,, α T p Uppgift 9 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA,, α EA, T p Uppgift 0 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA,, α EA, T T 2 p

8 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER Uppgift Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. 4EA,, α 4EA,, α 4EA,, α T 2 T 3 T EA p EA

Kapitel 3 otentiell energi 3. otentiell energi Eempel Etablera styvhetssambandet Sp = för systemet nedan genom att minimera potentiella energin Π. k 3 2k 2 k p p 3 ösning Den potentiella energin kan delas upp i två delar: en inre del Π i som är den upplagrade deformationsenergin och en yttre del Π y som är energin av de yttre lasterna. Π = Π i Π y 3.) Π = nel i= 2 n2 i N ndof i j= p j j 3.2) Där n i är elementdeformationerna och p j är förskjutningarna i varje frihetsgrad. För vårt problem fås: 9

20 KAITE 3. OTENTIE ENERGI Π i = 2 k n 2) 2 + 2 2k n 22 n 2 ) 2 + 2 k n 32 n 3 ) 2 3.3) Π y = p 3 + p 2 + p 3.4) p p 3 n 2 n 2 n 22 n 3 n 32 Med de kinematiska sambanden n 2 = n 2 = p, n 22 = n 3 =, n 32 = p 3 kan den inre potentiella energin skrivas Π i = 2 k p2 + k p ) 2 + 2 k p 3 ) 2 Den totala potentiella energin blir då Π = 2 k p2 + k p ) 2 + 2 k p 3 ) 2 p 3 2 p 3 Jämvikten karaktäriseras av de, i det här fallet), tre ekvationerna Π p = 0, Π = 0, Π p 3 = 0 Π p = 2 k 2p + k 2 p ) ) 3 = 3k p 2k 3 = 0 Π = k 2 p )) + 2 k 2p 3 ) ) 2 = 2k p + 3k k p 3 2 = 0 Π p 3 = 2 k 2p 3 )) = k + k p 3 = 0

3.. OTENTIE ENERGI 2 Dessa ekvationer kan sammanfattas på matrisform, vilket är det sökta uttrycket. 3k 2k 0 p 3 2k 3k k = 2 0 k k p 3 Determinanten av styvhetsmatrisen, dets), kan beräknas för att undersöka om strukturen är stabil dets) = 3k 3k k d.v.s. strukturen är geometriskt stabil! k k 2k) 2k 0 k k + 0 2k 0 3k k = 2k3 > 0 Eempel Etablera styvhetssambandet Sp = för stångsystemet nedan genom att minimera potentiella energin Π. 2EA, 2 EA, p För ett stångbärverk kan den potentiella energin tecknas I detta fallet erhålls Π = nel e= 2 nt e S en e p t Π i = 2 n 2EA 2 n 2 + ) EA n2 n 22 2 ) ) n2 Och om vi betraktar de kinematiska villkoren kan vi skriva den inre potentiella energin som Π i = EA p2 + ) ) ) EA p p = 2... = EA p2 + EA 2 [p p ) + p )] n 22

22 KAITE 3. OTENTIE ENERGI p n 2 n 2 n 22 Den yttre potentiella energin ges som Π y = p Nu kan den totala potentiella energin skrivas ) ) 2 = p 2 + Π = EA p2 + EA 2 [p p ) + p )] p 2 Ekvationerna som motsvarar jämvikt för systemet ges av Π p = 0, Π = 0 Π = 2 EA p p + EA 2 [p ) + p ] 2 = 3EA p EA 2 Π = EA 2 [ p + + p )] = EA p + EA Eller på matrisform EA 3 ) ) p = ) 2

3.2. ÖVNINGSUGIFTER 23 3.2 Övningsuppgifter Uppgift Ställ upp fjädersystemets potentiella energin och visa att systemet är instabilt genom att beräkna determinanten av styvhetsmatrisen. Hur kan systemet göras stabilt? 2k 2k p p 3 Uppgift 2 Ställ upp fjädersystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. k 2k 3k p Uppgift 3 Ställ upp stångsystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. 2 2k k k k p p 3

24 KAITE 3. OTENTIE ENERGI Uppgift 4 Ställ upp stångsystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. 2EA, 2 2EA, p Uppgift 5 Ställ upp stångsystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. 2EA, 2EA, 2EA, EA EA p

Kapitel 4 Fackverk 4. Snittkrafter i statiskt bestämda plana fackverk Det finns 2 klassiska metoder för att analysera statiskt bestämda fackverk: knutmetoden ochsnittmetoden. Dessa kommer nu att presenteras. 4.. Knutmetoden Metoden bygger på att varje knut i fackverket friläggs och jämvikt ställs upp för knuten. Två projektionsekvationer kan ställas upp, momentekvationen ger ingen ytterligare information då stångkrafterna har sin verkningslinje genom knuten vilket gör att hävarmen blir noll. Eempel Beräkna stångkrafterna i fackverket nedan m.h.a. knutmetoden. ösning Studera varje knut var för sig. Ställ upp jämvikt för den aktuella knuten,vertikal och horisontell), och lös ut de obekanta stångkrafterna. Global jämvikt ger till att börja med reaktionskrafterna: R AV = R BV = 2 R AH = 0 4.) 25

26 KAITE 4. FACKVERK Knut 2 Knut N 5 N 5 N 3 N N Knut 3 R H = 0 N 4 N 2 R A = 2 N 3 R B = 2 Knut 4 N 4 N 2 Knut : : 2 + N 2 5 = 0 N 5 = 2 2 : R AH + N 4 + N 5 2 = 0 N 4 = N 5 2 R AH = 2 Knut 2: : N 5 2 + N 2 = 0 N = N 5 = 2 2

4.. SNITTKRAFTER I STATISKT BESTÄMDA ANA FACKVERK 27 : N 3 + N 5 2 N 2 = 0 N 3 = 2 2 2 2 + 2 ) = 0 Knut 3: : N 2 N 4 = 0 N 2 = 2 Alla snittkrafter har nu beräknats för fackverket men det är lämpligt att även undersöka knut 4 för att kontrollera att de normalkrafter vi beräkknat uppfyller jämvikt. Knut 4: : N 2 + 2 = 2 2 2 + 2 = 0 OK! : N 2 + N 2 = 2 2 2 2 = 0 OK! Vi sammanfattar: N = 2 2 N 2 = 2 N 3 = 0 N 4 = 2 N 5 = 2 2 R AV = 2 R BV = 2 R AH = 0 Beräkningarna kan i många fall förenklas om man i förväg identifierar s.k. nollstänger. Nollstänger är som namnet antyder stänger där normalkraften är noll, e. stång nummer 3). Även symmetrin på strukturen och lasten hade varit lämpligt att ta hänsyn till från början. 4..2 Snittmedtoden Den här metoden utnyttjar global jämvikt. Vi väljer ett snitt genom strukturen så vi maimalt erhåller 3 obekanta, vilket är det maimala antalet globala jämviktsekvationer vi kan ställa upp, i det plana fallet). Dessa ekvationer ger då de tre obekanta. Eempel Beräkna normalkrafterna N, N 2 och N 3 tillhörande stångerna markerade 3 i fackverket nedan m.h.a. snittmetoden.

28 KAITE 4. FACKVERK 2 3 ösning Vi betraktar sektionen till höger om snittet i figuren nedan. Global jämvikt för den snittade delen ger de obekanta normalkrafterna N, N 2 och N 3. 2 3 N N2 N 3 : N 2 + = 0 N 2 =

4.. SNITTKRAFTER I STATISKT BESTÄMDA ANA FACKVERK 29 N 3 : N + N 2 = 2 N = 3 : N 3 + N = 0 N 3 = N = 3 Observera att vi lika gärna hade kunnat välja sektionen till vänster om snittet men då hade vi varit tvungna att beräkna stödreaktionerna först! Kommentarer Metoden är bra att använda då man enbart är intresserad av ett fåtal snittkrafter och inte vill räkna sig fram till rätt stång med knutmetoden I båda metoderna, knutmetoden och snittmetoden), är det lätt att göra slarvfel och gör man ett fel blir allt fel. Därför är det etra viktigt att kontrollera att jämvikten är uppfylld.

30 KAITE 4. FACKVERK 4.2 Övningsuppgifter Uppgift Beräkna normalkrafterna i strukturen nedan. Uppgift 2 Beräkna normalkrafterna i strukturen nedan. 2

4.2. ÖVNINGSUGIFTER 3 Uppgift 3 Beräkna normalkrafterna i fackverket nedan. Uppgift 4 Beräkna normalkrafterna i fackverket nedan. 60 60 30 60

32 KAITE 4. FACKVERK

Kapitel 5 Facit 5. Fjädersystem Uppgift k + k 2 + k 3 ) p = Uppgift 2 ) ) k + k 2 + k 3 k 3 p = k 3 k 3 ) 0 Uppgift 3 2k 0 0 k 0 2k 2 0 k 2 0 0 2k 3 k 3 k k 2 k 3 k + k 2 + k 3 p p 3 p 4 0 = 0 0 Uppgift 4 k k 0 p k k + k 2 + k 3 k 2 k 3 = 0 0 k 2 k 3 k 2 + k 3 + k 4 p 3 0 33

34 KAITE 5. FACIT Uppgift 5 k + k 2 + k 3 k 2 k 3 0 0 0 0 k 2 k 2 + k 4 0 k 4 0 0 0 k 3 0 k 3 + k 5 + k 6 k 5 k 6 0 0 S = 0 k 4 k 5 k 4 + k 5 + k 7 0 k 7 0 0 0 k 6 0 k 6 + k 8 + k 9 k 8 0 0 0 0 k 7 k 8 k 7 + k 8 + k 0 k 0 0 0 0 0 0 k 0 k 0 0 0 = 0 0 0 Uppgift 6 7k 2k 2k 4k ) ) p = ) 0 p ) = 45k ) 2 7 5.) N [ 45 ] +6 +0 +4 Uppgift 7 5k 2k 0 p 2k 5k 2k = 0 2k 2k p 3

5.. FJÄDERSYSTEM 35 p = 4 24 5.2) 22k p 3 35 N [ 22 ] +28 +20 +22 4 24

36 KAITE 5. FACIT 5.2 System av stänger Uppgift 3EA 2 p = N [ 3 ] 2 Uppgift 2 3EA p = [ 3 ] N Uppgift 3 EA 3 2 2 5 ) ) p = ) 2

5.2. SYSTEM AV STÄNGER 37 N [ ] 9 2 24 Uppgift 4 EA p = [ mg 2 ] N k N p N k + N p N N N 2 Uppgift 5 EA 2 2 ) ) p = ) 0 + 0 2 ) p ) = 6EA )

38 KAITE 5. FACIT [ 2 ] N N p N k N k + N p Uppgift 6 2EA 2 ) ) p + 2 ) = ) 0 p ) = 4EA ) 0 [ 2 ] N p N N k N k + N p

5.2. SYSTEM AV STÄNGER 39 Uppgift 7 EA 0 p 3 2 mg 3 = 2 2 0 2 5 p 3 5 3 p = 2 7 2EA p 3 0 [] N k N p N k + N p N N 2 N 5 2 3 7 2 3 2 9 5 3 8

40 KAITE 5. FACIT Uppgift 8 EA p = EAα T p = α T EA [ ] N k EAα T N p EAα T N k + N p Uppgift 9 2EA p = EAα T p = α T 2 [ EAα T 2 ] N k N p E2 N k + N p

5.2. SYSTEM AV STÄNGER 4 Uppgift 0 2EA p = EAα T T 2 ) p = 2EA + α T T 2 ) 2 2 + EA 2 α T T 2 ) [ ] N k N p 2 EA 2 α T T 2 ) N k + N p EAα T EAα T 2 2 EA 2 α T 2 EA α T 2 2 Uppgift EA 9 4 4 9 ) ) p + EAα T ) + 2 = 2 + 3 ) 0 0 p ) = α T 5 )

42 KAITE 5. FACIT [ EAα T ] 5 N k N 5 [EAα T] N p 5 2 3 N k + N p 0 5.3 otentiell energi Uppgift dets = 0 instabilt Π = k 2 ) + k 3 2) p 3 0 p 0 2k 2 = 0 0 p 3 Uppgift 2 Π = 3k p 6k p = Uppgift 3 Π = 2 p2 k + 2 p 3 p ) 2 2k + 2 p ) 2 k + 2 p 3 ) 2 k 2p p 3 4 2 p 2 k 2 = 0 2 3

5.3. OTENTIE ENERGI 43 Uppgift 4 Π = EA ) 2p 2 2p + 2 2p EA 2 ) ) p = ) 2 Uppgift 5 Π = EA ) 5p 2 2 + 5p2 2 2 2p + p EA 5 2 2 5 ) ) p = )

44 KAITE 5. FACIT 5.4 Fackverk Uppgift ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt. 2 Uppgift 2 ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt. 4 4 3 3 2 2 4

5.4. FACKVERK 45 Uppgift 3 ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt. /2 /2 / 2 /2 / 2 / 2 /2 / 2 0 /2 /2 /2 /2 Uppgift 4 ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt. 2/3 2/3 0 3/3 2/3 /3 /3 3/3 3/3 3/3 /2 /2