TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 8 jan 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln( ) + b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) + e sin( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 5 e d) (p) Derivera funktionen f ( ) ln( + + ) + + + Uppgift (p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten 0 för funktionen y arctan( ) Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) e + 5 8 d b) (p) ( + ) sin d + c ) (p) d +
Uppgift 5 (p) Vi betraktar en tunn metalltråd, som har den konstanta snittarean A cm och som ligger på -aeln mellan a cm och b cm Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ ρ() g/ cm Trådens massa kan beräknas med formeln b A m ρ ( ) d a Beräkna trådens massa om ρ 0 + e g/ cm, A0 cm, a 0 cm och b cm Uppgift 6 (p) Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation (i lämpliga enheter), med avseende på y(, m y ( + by ( + ky( F( Bestäm den allmänna lösningen för y( då m kg, b 7 Ns/m, k 0 N/m, F e N Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U 0 volt Dessutom gäller i ( 0) 0 och i ( 0) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen ( y( ) y ) + y ( ) / y z för att lösa följande differentialekvation Lycka till
FACIT: Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln( ) + b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) + e sin( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 5 e d) (p) Derivera funktionen f ( ) ln( + + ) + + a) Funktionen ln( är definierad för t >0 så vi behöver att > 0 Vi gör en teckentabell: -värden - - - 0 + - 0 + + + + Ej def - 0 + Vi kan alltså se att funktionen är definierad för < och för >: Alltså D (,) (, ) b) yy + ee + yy ee+ + ln( yy ) ln(yy ) så vi har alltså att ff () ln( ) c) Gränsvärdet är av typ 0 0 så vi använder L Hospitals regel och får sin( ) lim lim cos( ) cos(0) 6 6 d) 5 5 + 5e ( + ) e ( f ( ) ln( + + ) + + + + ( + ) + ) Rättningsmall: Rätt eller fel för varje del
+ Uppgift (p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf a) Funktionen är definierad om För att hitta stationära punkter nu så söker vi så att ff () 0 Vi har attff () ( )( ) ( +) ( ) ( ) ( ) ( ) så ff () 0 ( ) 0 vilket ger oss två stationära punkter i 0 och Teckentabell: -värden: 0 ff () + 0 Ej def 0 + ff() väer ma avtar Ej def avtar min väer Därmed är 0 en (lokal) maimipunkt medan är en (lokal) minimipunkt Funktionens värden i punkterna är f ( 0) (lokalt maimum) och f ( ) (lokalt minimum) b) Funktionen har en lodrät (vertikal) asymptot (nämnaren 0 medan täljaren 0 ) Polynomdivision ger + asymptot yy för ± Därmed ingen vågrät asymptot + och vi kan nu se att funktionen har en sned c) Vi använder a och b och ritar grafen:
Svar: a) Två stationära punkter: 0 är en (lokal) maimipunkt; är en (lokal) minimipunkt b) Funktionen har en lodrät (vertikal) asymptot och en sned asymptot yy för ± c) Se figuren Rättningsmall: a) p för korrekta två stationära punkter 0 och eller för en korrekt stationär punkt och punktens typ p om allt är korrekt b) rätt eller fel c) rätt eller fel Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten 0 för funktionen y arctan( ) Derivering ger yy +, yy Sökt polynom blir nu TT () yy(0) + yy (0) + yy (0)! Svar: TT () (+ ) och yy +6 Rättningsmall: p för korrekta derivator yy +, yy eller korrekt Taylors formel Allt korrektp (+ ) + yy (0) 0 + 0! 6 (+ ) +6 och yy ger p (+ )
Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) e + 5 8 d b) (p) ( + ) sin d + c ) (p) d + a) Substitutionen: + 5 v ger d dv eller d dv Detta substitueras i integralen e + 5 8 d och fås v 8 v 8 v 8 + 5 8 e dv e dv e + C e + C b) ( + ) sin d (partiellintegration: u + v' sin och därmed u ' v cos ( + )cos ( cos ) d ( + )cos + sin + C c) Först partialbråksuppdelning: + A B + (multiplicera med (+) ) ( + ) + + A( + ) + B (*) Detta ska vara sant för alla Om vi väljer, för enkelhetsskull, får vi från (*) 0 B och därmed B / Om vi nu väljer 0 får vi från (*) A och därmed A / + / / Vi beräknar d + d + + + C + ln ln + Svar: a) 8 e +5 + C b) ( + )cos + sin + C c) ln + ln + + C Rättningsmall: a) rätt eller fel b) rätt eller fel c) p för korrekt uppdelning i partialbråk Uppgift 5 (p) Vi betraktar en tunn metalltråd, som har den konstanta snittarean A cm och som ligger på -aeln mellan a cm och b cm Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ ρ() g/ cm Trådens massa kan beräknas med formeln b A m ρ ( ) d a
Beräkna trådens massa om ρ 0 + e g/ cm, A0 cm, a 0 cm och b cm m b A ρ ) d 0 (0 + a ( e ) d 0 Först beräknar vi obestämda integralen 0 (0 + e ) d Vi beräknar separat två integraler: 0d 0 + C, e d (part int u, e e d e e + C v e part int u, u, v e v e Därför + e 0 (0 ) d 0 (0 + e e ) + C Härav b m A ρ ( ) d 0 (0 + e ) d 0 [0 + e e ] 0 a 0 0 [0 + e e ] 0 [0 + 0 ] + 0e ( + e ) 5 5 Svar: + 0e ( eller + e ) 5 5 Rättningsmall: Korrekt beräkning av obestämda integralen till ger p Allt korrekt p Uppgift 6 (p) Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation (i lämpliga enheter), med avseende på y(, m y ( + by ( + ky( F( Bestäm den allmänna lösningen för y( då m kg, b 7 Ns/m, k 0 N/m, F e N Vi substituerar givna värden i ekvationen m y ( + by ( + ky( F( och får y t + 7y ( + 0y( e ( ) Homogena delen har karakteristiska ekvationen r + 7r + 0 0 som ger r och r 5
Därmed är Y h 5t + lösningen till den homogena delen Ce De Ansatsen y p Ae och därmed, y p Ae ger y p Ae Ae 7 Ae + 0Ae e Ae e A / Därmed y p e Den allmänna lösningen är y Y h + y p Ce + De 5t + e Svar: y Ce + De 5t + e Rättningsmall: Korrekt till ) y ( + 7y ( + 0y( t e ger p Korrekt homogena lösningen Allt korrekt p Y h 5t + ger totalt p Ce De Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U 0 volt Dessutom gäller i ( 0) 0 och i ( 0) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + Ri( + q( u( dt C dvs ( efter subst L, R och C)
i ( + 0i( + 00q( 0 Derivering ger: i ( + 0i ( + 00i( 0 (en homogen DE) 0t 0t Härav i( C e + C e För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) 0 och i ( 0) Från i ( 0) 0 får vi C + C 0 (*) 0t 0t Från i ( 0Ce 0Ce och i ( 0) hat vi 0C 0C (**) Från (*) och (**) har vi C /0, C / 0 0t 0t Slutligen i( e Ce 0 0 0t 0t Svar: i( e Ce 0 0 Rättningsmall: Korrekt till i ( + 0i ( + 00i( 0 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q ( ) ger p Korrekt till i( C e + C e 0t 0t ger totalt p Allt korrekt p Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen ( y( ) y ) + y ( ) / y z för att lösa följande differentialekvation / y z ger z z Substitutionen y Detta substitueras i ekvationen ( y( ) y ) + y ( och fås )
/ z z z + / z / Multiplikation med z ger en linjär DE z z + d Pd F ln En Integrerande faktor är e e e Vi betraktar ekvationen för >0 (På samma sätt löser vi ekvationen om <0, som i denna uppgift leder till samma lösning) Alltså F e ln Nu är z F ( C + F Qd) ( C + d) ( C + ) Från substitutionen / y z har vi / ) Svar: y ( C + Rättningsmall: z Korrekt till z + ger p Allt korrektp / ) y ( C + ( den allmänna lösningen)