Systemteknik/Processreglering F3

Relevanta dokument
Olinjära system (11, 12.1)

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Systemteknik/Processreglering F6

Föreläsning 8. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 27 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Systemteknik/Processreglering F2

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Reglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad

Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system

ERE103 Reglerteknik D Tentamen

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

y(0) = e + C e 1 = 1

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

1 Repetition - Övning 3.8

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13

Robust flervariabel reglering

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

Föreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

3. Matematisk modellering

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D

Flervariabel reglering av tanksystem

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10

Formalia. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 1. Varför modeller? Föreläsning 1: Modeller och modellbygge

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

dy dx = ex 2y 2x e y.

Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)

Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Reglerteknik. Datum: 20/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( ) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga, miniräknare.

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2

Exempel: DC-servo med styrsignalmättning DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI. DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3

TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel

Reglerteori. Föreläsning 8. Torkel Glad

6. Stabilitet. 6. Stabilitet

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)

Reglerteknik 3. Kapitel 7. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1 Diagonalisering av matriser

Den enkla standardkretsen. Föreläsning 2. Exempel: ugn. Av/på-reglering. PID-reglering Processmodeller. r e u y

6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner

Biokemi. SF1538 Projekt i simuleringsteknik. Skolan för teknikvetenskap. Introduction. Michael Hanke. Kemiska reaktioner

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Reglering av inverterad pendel

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet

TENTAMEN I TSRT91 REGLERTEKNIK

Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad

Analys av jämviktslägen till differentialekvationer

Reglerteknik AK, FRTF05

Tentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Reglerteknik. Kurskod: IE1304. Datum: 12/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( )

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

y z 3 = 0 z i )

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övningar i Reglerteknik

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Reglerteori. Föreläsning 10. Torkel Glad

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

= = i K = 0, K =

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Preliminärt lösningsförslag

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Transkript:

Systemteknik/Processreglering F3 Matematisk modellering Tillståndsmodeller Stabilitet Läsanvisning: Process Control: 3.1 3.4

Modellering av processer Dynamiken i våra processer beskrivs typiskt av en eller flera differentialekvationer. Två olika angreppssätt: 1. Matematisk modellering Använd fysikens lagar (balansekvationer mm) för att ställa upp en modell 2. Experiment Utför experiment (t.ex. stegsvarsexperiment) på processen och analysera in- och ut-data FRT041 Systemidentifiering I praktiken används ofta en kombination av båda sätten

Matematisk modellering Flödesbalanser Intensitetsbalanser Konstitutiva relationer

Flödesbalanser T.ex. volymflöde [m 3 /s] Ändring av upplagrad volym = [ Inflöde ] [ Utflöde ] per tidsenhet materialflöde [mol/s] Ändring av antalet upplagrade partiklar = per tidsenhet [ ] Inflöde av partiklar [ ] Utflöde av partiklar

Flödesbalanser energiflöde [W] Ändring av upplagrad energi = [ Effekt in ] [ Effekt ut ] per tidsenhet strömflöde [A] [ ] Summa ström in = till knutpunkt [ ] Summa ström ut från knutpunkt

Intensitetsbalanser T.ex. kraftbalans [N] Ändring av rörelsemängd = per tidsenhet [ ] Drivande krafter [ ] Bromsande krafter spänningsbalans [V] [ ] Summa spänning runt en krets = 0

Konstitutiva relationer T.ex. Ideala gaslagen p = nr V T Torricellis lag v = 2 h Energi i uppvärmd vätska W = C p ρvt Ohms lag u = Ri

Typiska balansekvationer för kemiprocesser Total massbalans: dρv dt = i=all inlets ρ i q i i=all outlets ρ i q i Massbalans för komponent j: dc j V dt = i=all inlets c j,i q i i=all outlets c j,i q i + r j V Total energibalans: de dt = ρ i V i H i ρ i V i H i + i=all i=all inlets outlets k=all phase boundaries Q k + W

Exempel: CSTR med exoterm reaktion q in, c A,in, T in q, c A, T T c Exoterm reaktion A B, r = k 0 e E/RT c A Kylslinga med temperatur T c Perfekt omrörning, konstant densitet ρ

Exempel: CSTR med exoterm reaktion Total massbalans: d(ρv ) dt = ρq in ρq Massbalans för komponent A: d(c A V ) dt = c A,in q in c A q rv Total energibalans: ρvc p dt dt = ρc pq in (T in T)+( Δ H r )rv + UA(T c T)

Exempel: CSTR med exoterm reaktion Efter förenklingar: dv dt = q in q dc A = q in V (c A,in c A ) k 0 e E/RT c A dt dt dt = q in V (T in T)+ ( Δ H r)k 0 e E/RT c A + UA (T c T) ρc p V ρc p Olinjär tredje ordningens modell Tillståndsvariabler: V, c A, T Möjliga insignaler: q in, q, c A,in, T in, T c Konstanta parametrar: ρ, C p, ( Δ H r ), k 0, E, R, U, A

Exempel: mekaniskt system k m F d 0 z Massa m med position z Yttre kraft: F Fjäderkraft: F k = kz Dämparkraft: F d = dż

Exempel: mekaniskt system Kraftbalans: m z = F kz dż Inför v = ż v = d m v k m z + 1 m F ż = v Linjär andra ordningens modell Tillståndsvariabler v, z Insignal: F Konstanta parametrar: m, k, d

Tillståndsformen x u System y Generellt är x, u och y vektorer: x 1 x n u 1 u m x =. u =. y =. y 1 y p n = antal tillståndsvariabler = systemets ordningstal m = antal insignaler, p = antal utsignaler

Tillståndsformen x kallas systemets tillstånd (state) och innehåller värdet av alla ackumulerade storheter i systemet (systemets minne ) Systemets dynamik beskrivs av n första ordningens ordinära differentialekvationer: dx 1 dt = f 1 (x 1,..., x n, u 1,..., u m ) dx n dt. = f n (x 1,..., x n, u 1,..., u m )

Tillståndsformen Utsignalerna ges av p algebraiska ekvationer (anges inte alltid): y 1 = 1 (x 1,..., x n, u 1,..., u m ). y p = p (x 1,..., x n, u 1,..., u m ) Systemet kan skrivas på vektorform som dx = f (x, u) dt (tillståndsekvation) y = (x, u) (mätekvation) f och kan vara olinjära funktioner

Tillståndsformen för linjära system dx 1 dt = a 11x 1 +...+ a 1n x n + b 11 u 1 +...+ b 1m u m. dx n dt = a n1 x 1 +...+ a nn x n + b n1 u 1 +...+ b nm u m y 1 = c 11 x 1 +...+ c 1n x n + d 11 u 1 +...+ d 1m u m. y p = c p1 x 1 +...+ c pn x n + d p1 u 1 +...+ d pm u m

Tillståndsformen för linjära system På matrisform: dx = Ax + Bu dt (tillståndsekvation) y = Cx + Du (mätekvation) x och u anger avvikelser från en jämviktspunkt (x, u) =(0, 0) är alltid en jämviktslösning D kallas systemets direktterm och är ofta 0 för verkliga processer Miniproblem: Vilka dimensioner har matriserna A, B, C och D?

Exempel: mekaniska systemet Tillståndsvektor: x = v z Vi styr u = F och mäter y = z Modellen skriven på tillståndsform med matriser blir dx dt = k m d m 1 0 }{{} A y = 0 1 } {{ } C x + x + 1 m 0 }{{} B 0 u }{{} D u

Exempel: compartmentmodeller Erik Widmark modellerade spridningen av alkohol i kroppen, 1922 Torsten Teorell myntade begreppet compartment model, 1936 Compartmentmodeller krävs av FDA för att godkänna nya läkemedel

Exempel: compartmentmodell Systemet består av förbundna avdelningar (compartments) En tillståndsvariabel för varje avdelning representerar massan eller koncentrationen av det studerade ämnet Transporthastigheterna är proportionella mot koncentrationsskillnaderna Exempel med två avdelningar: u k 12 1 2 k 0

Exempel: compartmentmodell Inför tillståndsvariablerna c 1 = koncentrationen i avdelning 1 c 2 = koncentrationen i avdelning 2 Dynamiken ges då av dc 1 V 1 dt = k 12(c 2 c 1 ) k 0 c 1 + u dc 2 V 2 dt = k 12(c 1 c 2 )

Exempel: compartmentmodell Antag V 1 = V 2 = k 12 = k 0 = 1 och att systemet är i vila, c 1 (0) =c 2 (0) =0. Svar vid injektion av enhetsvolym vid tiden 0 ( impulssvar ): 1 0.8 c1, c2 0.6 0.4 c 1 0.2 c 2 0 0 1 2 3 4 5 t

Inlämningsuppgift 1 Compartmentsystem med tre avdelningar: u k 12 k 23 1 2 3 k 0 MATLAB med Control System Toolbox

Lösning av den linjära tillståndsekvationen x u System y dx = Ax + Bu dt y = Cx + Du Hur svarar tillståndet x (och utsignalen y) på insignalen u och initialtillståndet x(0)?

Lösning av tillståndsekvationen skalära fallet System med en tillståndsvariabel och en insignal: dx(t) dt = ax(t)+bu(t) Lösning: t x(t) =e at x(0)+ e a(t τ ) bu(τ ) dτ 0 Exempel: Konstant insignal u(t) =u 0 och a = 0: x(t) begränsad om a < 0 x(t) =e at x(0)+ b a (eat 1)u 0

Simulering med u(t) =1 och x(0) =0 2 1 x(t) för a = 1, b = 0.5, 1, 2 b = 2 b = 1 b = 0.5 0 0 5 10 Tid x(t) för a = 0.5, 1, 2, omb/a = 1 1 a = 2 a = 1 a = 0.5 0 0 5 10 Tid

Lösning av tillståndsekvationen allmänna fallet t x(t) =e At x(0)+ e A(t τ ) Bu(τ ) dτ 0 där e At är matrisexponentialfunktionen, definierad som e At = I + At + (At)2 2! + (At)3 3! +

Exempel: Mekaniska systemet dx dt = d m 1 0 k m 1 x + m u 0 Antag: Ingen dämpning (d = 0), ingen yttre kraft (F = u = 0), initialvillkor x(0) =[v(0) z(0)] T =[01] T, m = k = 1: dx dt = 0 1 x 1 0 }{{} A Exponentialmatris: e At = cos t sin t sin t cos t Ger lösningen x(t) =e At x(0) = cos t sin t 0 = sin t sin t cos t 1 cos t

Simulering av mekaniska systemet 1 0.5 z v x 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10 12 t

Egenvärden A:s egenvärden ges av de n rötterna till den karakteristiska ekvationen det(λ I A) =0 det(λ I A) =P(λ) kallas karakteristiskt polynom Egenvärdena kan vara komplexa (komplexkonjugerade) Multiplicitet av egenvärde = antal egenvärden med samma värde

Egenvärden Antag diagonal A-matris med egenvärden λ 1,...,λ n : λ 1 0 0... 0 0 λ 2 0... 0 A =..... 0 0 0... λ n Då e λ 1t 0 0... 0 0 e λ 2t 0... 0 e At =..... 0 0 0... e λ nt Varje egenvärde λ i ger en term e λ it i lösningen

Egenvärden För en generell A-matris ger varje egenvärde en term P mi 1(t)e λ it i e At där P mi 1(t) är ett polynom i t av högst gradtal m i 1 m i är egenvärdets multiplicitet Exempel: Egenvärden: Exponentialmatris: A = 1 1 0 1 λ 1 = λ 2 = 1 (m = 2) e At = e t te t 0 e t

Stabilitet för linjära system Stabilitet är en inneboende systemegenskap beror ej på hur insignalen ser ut Vi kan studera det fria systemet dx dt = Ax Lösning: x(t) =e At x(0)

Stabilitetsbegrepp Asymptotisk stabilitet: x(t) 0 då t för alla initialvärden Stabilitet: x(t) begränsad då t för alla initialvärden Instabilitet: x(t) obegränsad då t för något initialvärde (Stabila men ej asymptotiskt stabila system kallas marginellt stabila)

Exempel Asymptotiskt stabila system: Vattentank med hål i botten Temperaturen i en ugn Hastigheten i en bil Stabila system: Vattentank utan hål i botten Massa fjäder-system utan dämpning Tillryggalagd sträcka i en bil Instabila system: Pendel i inverterat läge Segway

Stabilitet i det skalära fallet dx(t) = ax(t) dt x(t) =e at x(0) 2 a < 0 a = 0 a > 0 2 2 x 1 x 1 x 1 0 0 0.5 1 t 0 0 0.5 1 t 0 0 0.5 1 t asymptotiskt stabilt om a < 0 stabilt om a 0 instabilt om a > 0

Stabilitet i det allmänna fallet Egenvärdena λ i till A-matrisen avgör stabiliteten. Ett linjärt system är: Asymptotiskt stabilt om alla Re(λ i )<0 Instabilt om något Re(λ i )>0 Stabilt om alla Re(λ i ) 0och eventuella egenvärden på imaginära axeln har multiplicitet 1

Routh Hurwitz stabilitetskriterum 2:a ordningens karakteristiskt polynom (för 2 2-matris A): det(λ I A) =P(λ) =λ 2 + p 1 λ + p 2 Alla rötter ligger i vänster halvplan (alltså alla Re(λ i )<0) omoch endast om p 1 > 0 och p 2 > 0 3:e ordningens karakteristiskt polynom (för 3 3-matris A): det(λ I A) =P(λ) =λ 3 + p 1 λ 2 + p 2 λ + p 3 Alla rötter ligger i vänster halvplan (alltså alla Re(λ i )<0) omoch endast om p 1 > 0, p 2 > 0, p 3 > 0 och p 1 p 2 > p 3.

Exempel: mekaniska systemet dx dt = d m y = 0 k m 1 0 1 x 1 x + m u 0 Karakteristisk ekvation: det(λ I A) = λ + d m 1 k m λ = λ2 + d m λ + k m = 0 Antag m, k, d > 0: Asymptotiskt stabilt Antag m, k > 0, d = 0: Vi får egenvärden k λ 1,2 =±i m Alltså är systemet stabilt (men ej asymptotiskt stabilt)

Simulering av mekaniska systemet 1 0.5 m = k = d = 1: z v 1 0.5 m = k = 1, d = 0: z v x 0 x 0 0.5 0.5 1 0 2 4 6 8 10 12 t 1 0 2 4 6 8 10 12 t

Linjära system på tillståndsform i MATLAB % Definiera systemmatriser A = [1 2; 3 4]; B = [0; 1]; C = [1 0]; D = 0; % Skapa tillståndsmodell sys = ss(a,b,c,d); % Beräkna egenvärden till A-matrisen eig(a) % Simulera systemet utan insignal från ett % visst initialvärde initial(sys,x0)