ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾
½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò Ø ÐÐ ØÒ ØØ ÔÐ Ò Ú Ò ÐÖØØ ÑÓØ Ò Ù¹ ÚÙ ÔÒÒ Ò σ σ τ τ τ τ σ σ τ τ ϕ τ(ϕ) π ϕ σ(ϕ) ϕ σ σ σ ϕ = σ cos ϕ + σ sin ϕ + τ sinϕcos ϕ τ ϕ = σ σ sinϕ + τ cos ϕ ÀÙÚÙ ÔÒÒ Ò Ö Ó ÙÚÙ ÔÒÒ Ò Ö ØÒ Ò Ö σ α α 1 σ 1 σ 1 σ } = σ + σ ± (σ σ ) + τ σ 1 σ tanα 1 = σ 1 σ τ tanα = σ σ τ σ 1 + σ = σ + σ Å Ü Ñ Ð ÙÚ ÔÒÒ Ò Ò ÔÐ Ò Ø Ö (τ Ñ Ü ) ÔÐ Ò Ø = σ 1 σ
¾ Å Ü Ñ Ð ÙÚ ÔÒÒ Ò Ò Ö ( σ1 σ τ Ñ Ü = Ñ Ü ; σ 1 ; σ ) ; Ì Ò Ò Ö ÆÓÖÑ ÐØ Ò Ò ε = Ö Ð Ø Ú ÐÒ Ò Ö Ò = L L o L o Ö L o ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÐÒ L ÒÝ ÐÒ Ë ÙÚØ Ò Ò γ = Ñ Ò Ò Ò Ú ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÖØ Ú Ò Ð ÓÖ Ú ÓÖÑ Ø ÓÒµ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ØÒ Ø ØØ ÔÐ Ò Ú Ò ÐÖØØ ÑÓØ Ò ÙÚÙ ÔÒÒ Ò Ö ØÒ Ò η ξ ϕ ε ξ = ε cos ϕ + ε sin ϕ + γ sinϕcos ϕ γ ξη = (ε ε ) sinϕ + γ cos ϕ Ö ε Ö Ø Ò Ò Ò Ú ØØ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ¹Ö ØÒ Ò Ò ε Ö Ø Ò Ò Ò Ú ØØ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ¹Ö ØÒ Ò Ò ε ξ Ö Ø Ò Ò Ò Ú ØØ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ξ¹ö ØÒ Ò Ò γ Ö ÙÚÒ Ò Ò Ú Ü Ð ÓÖ Ø Ú º Ñ Ò Ò Ò Ò Ú Ò ÖØ Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò ¹ Ó ¹Ö ØÒ Ò Ò γ ξη Ö ÙÚÒ Ò Ò Ú Ü Ð ÓÖ Ø ξη Ú º Ñ Ò Ò Ò Ò Ú Ò ÖØ Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò ξ¹ Ó η¹ö ØÒ Ò Ò
ÀÙÚÙ Ø Ò Ò Ö Ó ÙÚÙ Ø Ò Ò Ö ØÒ Ò Ö ε α α 1 ε 1 ε 1 ε } = ε + ε tanα 1 = (ε 1 ε ) γ tanα = (ε ε ) γ (ε ) ε ± + ( γ ) ε 1 + ε = ε + ε Å Ü Ñ Ð ÙÚÒ Ò Ò ÔÐ Ò Ø Ö (γ Ñ Ü ) ÔÐ Ò Ø = ε 1 ε Ë Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÒÒ Ò Ö Ó Ø Ò Ò Ö Ò ÜÐ Ð ØÒ Ò F A,E F σ = F A ε = σ E σ = σ = τ = τ = τ = 0 ε = ε = νε ; γ = γ = γ = 0 ÀÓÓ Ò Ö Ð Ö Ð ε = σ E ν E (σ + σ ) ε = σ E ν E (σ + σ ) ε = σ E ν E (σ + σ ) γ = τ G γ = τ G γ = τ G
ÐÐ Ö Ð Ø Ñ Ú Ò Ô ÔÒÒ Ò ÖÒ Ö σ = E 1 + ν [(ε + ν 1 ν (ε + ε + ε )] σ = E 1 + ν [(ε + ν 1 ν (ε + ε + ε )] σ = E 1 + ν [(ε + ν 1 ν (ε + ε + ε )] τ = Gγ τ = Gγ τ = Gγ E Ö Ð Ø Ø Ø ÑÓ ÙÐ Ò G Ö ÙÚÑÓ ÙÐ Ò G = ν Ö ÈÓ ÓÒ Ø Ð E (1 + ν) ÀÓÓ Ð Ú ÔÐ ÒØ ÔÒÒ Ò Ø ÐÐ ØÒ Ò ÙÚÙ ÔÒÒ Ò Ö ÒÓÐк ÎÐ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø ØØ ÒÒ ÙÚÙ ÔÒ¹ Ò Ò Ö σ = 0º ÐÐ Ö Ó ØØ τ = τ = 0 ε = 1 E (σ νσ ) ε = 1 E (σ νσ ) γ = τ G ÐÐ Ö Ð Ø Ñ Ú Ò Ô ÔÒÒ Ò ÖÒ σ = E 1 ν (ε + νε ) σ = E 1 ν (ε + νε ) τ = Gγ ÐÝØ ÝÔÓØ Ö ÁÒ Ø Ö Ò Ú ÔÐ Ø Ø Ø Ö ÒÖ σ e = σ s Ö σ e Ö Ø Ú ÔÒÒ Ò Ò Ó σ s Ö ØÖ ÖÒ Òº
Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò ÝÔÓØ Ò ÌÖ ÝØ Ö Ø Ö Ùѵ σ e = Ñ Ü( σ 1 σ ; σ 1 σ 3 ; σ σ 3 ) Ú Ø ÓÒ Ö Ø ÝÔÓØ Ò ÚÓÒ Å ÝØ Ö Ø Ö Ùѵ σ e = 1 [(σ 1 σ ) + (σ σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) )] ØØ ÙØØÖÝ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ 1 [ σ e = (σ σ ) + (σ σ ) + (σ σ ) + 6(τ + τ + τ) ] ËÔ ÐÐØ Ú ÔÐ ÒØ ÔÒÒ Ò Ø ÐÐ ØÒ Ò ÝÔÓØ ÖÒ Ö Ú Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò ÝÔÓØ Ò σ e = Ñ Ü( σ 1 σ ; σ 1 ; σ ) Ú Ø ÓÒ Ö Ø ÝÔÓØ Ò σ e = σ + σ σ σ + 3τ Î Ö Ò ÙÚÒ Ò Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò ÝÔÓØ Ò Ú Ø ÓÒ Ö Ø ÝÔÓØ Ò σ e = τ σ e = 3 τ ÎÖ Ò Ò Ö Ò ÖÓØ Ö Ò Ü Ð ÐÐ Ö M v = P ω Ö M v Ö ÚÖ ÑÓÑ ÒØ Ø Ò Ü Ð ÓÑ Ú Ö Ö Ø Ò P Ú Ú Ò Ð Ø ¹ Ø Ò ω Ö Ñ Ü Ñ Ð ÚÖ ÙÚ ÔÒÒ Ò τ vñ Ü ÐÐ Ö τ vñ Ü = M v W v W v Ö ÚÖ ÑÓØ ØÒ Ø Ø Ðе Ö ÖÚÖ Ò Ò Ú Ò Ð ϕ Ñ ÐÐ Ò Ü ÐÒ Ò ÝØÓÖ ÐÐ Ö ϕ = M vl GK L Ö Ü ÐÐÒ Ò K Ö ÚÖ ØÝÚ Ø Ò ØÚÖ Ò ØØ ØÓÖ Ø Ðе
ÌÙÒÒÚ Ø Ö ÙÐÖØ ÐÙØ Ø ØÚÖ Ò ØØ Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ø Ó Ð t ÌÚÖ Ò ØØ W v K d πd t πd 3 t 4 Ì Ó Ú Ø Ö ÙÐÖØ ÐÙØ Ø ØÚÖ Ò ØØ π(d 4 d 4 i ) π(d 4 d 4 i ) d i d 16d 3 Å ÚØ Ö ÙÐÖØ ØÚÖ Ò ØØ d πd 3 16 πd 4 3 Å ÚØ Ð Ø ØÖ Ò ÙÐÖØ ØÚÖ Ò ØØ s s 3 0 3 80 s4 Å ÚØ Ö Ø Ò ÙÐÖØ ØÚÖ Ò ØØ h η hb η 3 hb 3 b η Ó η 3 ØÑ ÙÖ Ö Ñ ÔÔÒ ØÚÖ Ò ØØ Ñ¹ Ñ Ò ØØ Ú Ñ Ð Ö Ø Ò Ð Ö b 3 i h i 3b Ñ Ü b 3 i h i 3 ËÐÙØ Ø ØÙÒÒÚ Ø Ö ÖØÚÖ Ò ØØ Ú Ó ØÝ Ð ÓÖÑ Ñ Ú Ö Ð Ú Ø Ó Ð t(s) s s = 0 At Ñ Ò 4A ds t A Ö Ò Ú Ñ ÐÓÑ Ö Ø¹ Ò ÓÑ ÐÙØÒ Ö Ò ÔÔ Ø ØÙÒÒÚ Ø Ö ÖØÚÖ Ò ØØ Ú Ó ØÝ Ð ÓÖÑ Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ø Ó Ð t ct 3 ct 3 3 c Ö Ñ ÐÓÑ Ö Ø Ò ÐÒ
¼º ¼º ¼ ¼º¾ η,η 3 η η 3 ¼º¾¼ ¼º½ Ð Ò Ò ¼º½¼ ½ ¾ ½¼ h/b ÈÓ Ø Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ð ØÒ Ò ÒØ Ò Ø Ø ØÚÖ Ö Ø Ó Ò ÑÓÑ Òغ q w T M b Ö Ð Ò ØÓØ Ð Ð ØÒ Ò Q ÔÓ Ø Ú Ö Ø ÙÔÔØ ÐÐ Ö Q = L 0 qd ÂÑÚ Ø Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ð Ò Ú dt d = q dm b d = T
ÔÒÒ Ò Ö Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ö Øµ ÃÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ð Ö ÒØ ØØ ¹ Ü ÐÒ Ö ÒÓÑ ØÚÖ Ò ØØ Ø ØÝÒ ¹ e σ Ñ ÐÐ Ò M b ρ Ò ÙØÖ ÐÔÐ Ò Ò Ò Ü Ð ØÔ ÔÙÒ Øº σ = E ρ σ = M b I ρ Ö Ò ÙØÖ ÐÔÐ Ò Ø Ö Ò Ò Ö º I Ö ÝØØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò ¹ Ü ÐÒº Ö Ñ Ü Ñ Ð ÔÒÒ Ò σ b ØØ Ò ØØ ÐÐ Ö σ b = M b W b W b Ö ÑÓØ ØÒ Ø Ö W b ÐÐ Ö W b = I e e = Ñ Ü Ö Ø Ö Ø Ú ØÒ Ø ÖÒ Ò ÙØÖ ÐÔÐ Ò Ø Ø ÐÐ ÝØØ Ö Ø ÖÒ ÐÐÑÒØ ÓÑ ÝØØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ ØÔ ØØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò ¹ Ü Ð I = da ØØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò ¹ Ü Ð I = da Ú Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò Ü Ð ÓÖ Ø D = da
ËØ Ò Ö Ø Ö ÝØØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø I 1 Ö Ò Ò Ü Ð Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ò Ü Ð ÒÓÑ ØÝÒ ÔÙÒ Ø Ò ÐÐ Ö a ØÔ 1 I 1 = I + a A A Ö ØÚÖ Ò ØØ Ö Ò a Ö Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÜÐ ÖÒ º Ö ØÖ Ø Ö Ò i ÐÐ Ö I i = A Ð Ø Ð Ò Ò Ö Ò ÙØÖ ÐÔÐ Ò Ø Ö Ò Ò Ö ÐÐ Ö M b ρ M b 1 ρ = M b EI Ö I Ö ØÚÖ Ò ØØÝØ Ò ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ö Ò ¹ Ò Ò Ü ÐÒº Ð Ø Ð Ò Ò Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö EI d w d = M b Ë ÑÑ Ò ØØ Ð ØÒ Ò N M b M b N σ = N A σ = Mb I σ = N A + Mb I Ð ÙØ ØØ Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ó ÒÓÖÑ Ð Ö Ø σ = M b I + N A
½¼ Î ØÓÖ Ö Î ØÓÖ ê ê ê v =v ê + v ê + v ê (ê,ê,ê ) = Ú ØÓÖ Ö (v,v,v ) = ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ËØÓÖÐ Ò v = v Ú Ú ØÓÖÒ v Ö v = v = v + v + v Ò Ø Ú ØÓÖÒ ˆv v Ö ØÒ Ò Ú ˆv = v v Ë ÐÖÔÖÓ Ù Ø b θ ā ā b = abcos θ ÐÐ Ö ā = a b + a b + a b Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø ā b b θ ā ā b Ö Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ ÔÐ Ò Ø ÓÑ Ú ā Ó b Ö¹ Ò Ý Ø Ñ ā, b,ā bµº ā b = (a b a b,a b a b,a b a b ) Ó ØÓÖÐ Ò Ú ā b Ú ā b = absinθ }{{} Ö Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐÓ Ö ÑÑ Ø ÓÑ ÔÒÒ ÙÔÔ Ú ā Ó b ÅÓÑ ÒØ M P r F ÃÖ Ø Ò F Ö ØØ ÑÓÑ ÒØ Ö Ò P ÒÐ Ø M = r F º
½½ ÀÝ ÖÓ Ø Ø ÌÖÝ Ø Ø Ò ρ Ú Ø ÓÐÙØ ØÖÝ Ø Ô ÙÔ Ø h Ò ÚØ Ñ Ò¹ p = p 0 + ρgh Ö p 0 Ö ØÑÓ Ö ØÖÝ Ø ÓÚ Ò Ö ÚØ ÝØ Ò Ó ρgh Ú ÖØÖÝ Ø Ô ÙÔ Ø hº ÄÝ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÐØ Ö Ò ÐÝ Ø Ö Ø Ò F Ô Ò ÖÓÔÔ ÐØ ÐÐ Ö ÐÚ Ò Ò Ø Ò ÚØ Ñ Ò Ø Ø Ò ρ Ú F = ρv g Ö V Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ø ÐÐ Ö Ò ÙÒ ÒØÖÒ ÚØ Ò ÚÓÐÝѺ
½¾ Ã Ò Ñ Ø Ö ÔÙÒ ØÑ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö v ā { v = ẋ v = ẏ { a = ẍ a = ÿ ÆÓÖÑ Ð¹Ø Ò ÒØ ÓÓÖ Ò Ø Ö ê n ê t v ā ρ ω ÈÓÐÖ ÓÓÖ Ò Ø Ö { vt = v = ρω v n = 0 a t = v a n = v ρ = ρω ê r v { vr = ṙ { ar = r r θ ê θ ā v θ = r θ a θ = ṙ θ + r θ r θ Ò Ö ÔÖ Ò Ô Ò 1 d s m mg h h 1 1 mv 1 + mgh 1 + 1 F u d s = 1 mv + mgh Ö F u Ö Ö ÙÐØ ÒØ Ò Ø ÐÐ ÑØÐ Ö Ø Ö ÓÑ Ú Ö Ö Ô Ô ÖØ ÐÒ Ü ÐÙ Ú ØÝÒ ¹ Ö Ø Ò ÓÑ Ö Ò Ö Ø Ø ÖÑ Ò mg(h h 1 )µº
½ Ð Ø Ò Ö Ò Ö Ò Ð Ø Ò Ö Ò V e ÓÑ Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ú ÓÑ V e = 1 kδ Ö k Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ó δ ÖÒ ÓÖÑ Ø ÓÒº ÁÑÔÐÙ Ð Ò t t 1 Fdt = 1 d(m v) m v Ö Ö Ö Ð ÑÒ Ò Ö Ý Ø Ñ Ø Ó F Ö Ö ØÖ ÙÐØ ÒØ Ò ÓÑ Ú Ö Ö Ô Ý Ø Ñ Øº Ê ÒØÖ Ð Ø Ø ÁÑÔÙÐ Ð Ò Ö F = 0µ ØØ Ö Ö Ð ÑÒ Ò Ö Ø Ø Ö Ö Ð ÑÒ Ò Ø Ö Ø Øº Ø Ø Ñ Ú Ð Ò ÖÓÔÔ ÖÒ ÚÐ Ò Ö ÖÒ Ú Ö Ò Ö ØÙ Ó ÒØ = Ø Ø Ñ Ú Ð Ò ÖÓÔÔ ÖÒ ÒÖÑ Ö Ú Ö Ò Ö ËØ Ð ÖÓÔÔ ÔÐ Ò Ö Ö Ð Ê Ö Ð ÑÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò Ò ÔÙÒ Ø P Ú H p = r vdm ÊÓØ Ø ÓÒ Ö Ò Ü Ü Ð ÖÒ Ö Ö Ð ÑÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò Ü Ü Ð ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò P M p = dh p dt Ö M p Ö ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò Ü ÐÒ ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò P Ó H p Ö Ö Ö Ð ¹ ÑÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò Ü ÐÒ ÒÓÑ ÔÙÒ Ø Ò P º Î Ö H p = J p ω
½ Ö ω Ö Ú Ò Ð Ø Ø Ò Ó Ö Ñ ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ú J p = R dm ØÝÔ Ñ ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ú Ø ÐÐ Ò Ö µ ÐÐÑÒ ÔÐ Ò Ö Ö Ð F = mā TP M TP = dh TP dt Ö M TP Ö ÑÓÑ ÒØ Ø Ö Ò ØÝÒ ÔÙÒ Ø Ò Ìȵ Ó H TP Ö Ö Ö Ð ÑÒ ÑÓ¹ Ñ ÒØ Ø Ö Ò ÌȺ Î Ö H TP = J TP ω Ö J TP Ö Ñ ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ó ω Ú Ò Ð Ø Ø Òº ÌÝÔ Ñ ØÖ ¹ Ø ÑÓÑ ÒØ Ú Ø ÐÐ Ò Ö º ËÚÒ Ò Ò Ö ¹ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ö Ø Ö c u m P(t) Ö F e = ku ÑÔ Ö F d = c uº Î Ö k mü + c u + ku = P(t) ÓÑ Ö ÚÒ Ò Ö ü + ξω o u + ω ou = P(t) m Ö k ω o = m ξ = c mω o Ö Ð Ø Ú ÑÔÒ Ò Ò
½ Ç ÑÔ Ø Ý Ø Ñ ü + ω ou = P(t) m ω o = k = ÒÚ Ò Ð Ö Ú Ò Ö» m ÇÑ ÝØØÖ Ö Ø P(t) = 0 T = π ω o = Ô Ö Ó Ø Ö Ð ÚÒ Ò Ò f = 1 = Ò Ö Ú Ò Ý Ð Ö» À ÖØÞ T
½ Å ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ñ Ú Ò Ô ØÝÒ ÔÙÒ Ø ÌÚÖ Ò ØØ J TP ÌÙÒÒÚ Ø Ö Ö L/ L/ r J = J = 1 mr + 1 1 ml J = mr ÀÓÑÓ Ò ÝÐ Ò Ö L/ L/ r J = J = 1 4 mr + 1 1 ml J = 1 mr ÊØÚ Ò Ð Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ô L/ L/ a J = 1 1 m(a + L ) J = 1 1 m(b + L ) J = 1 1 m(a + b ) b ÂÑÒØ Ó Ñ Ð ØÒ L/ L/ J = J = 1 1 ml J 0 À ÐÚ ÐÓØ r 3r/8 J = J = 83 30 mr J = 5 mr
½ Å ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ñ Ú Ò Ô ØÝÒ ÔÙÒ Ø ÀÓÑÓ ÒØ ÐÓØ J = J = J = 5 mr ÌÙÒÒÚ Ø Ö Ø Ð J = J = J = 3 mr ÃÓÒ Ø Ð h/3 h/3 r J = J = 1 4 mr + 1 18 mh J = 1 mr ÊØ Ö ÙÐÖ ÓÒ 3h/4 h/4 r J = J = 3 0 mr + 3 80 mh J = 3 10 mr