TSDT5 Signaler och System DATORUPPGIFTER VÅREN 03 OMGÅNG Mikael Olofsson, mikael@isy.liu.se Efter en förlaga av Lasse Alfredsson February, 03 Denna uppgiftsomgång behandlar faltning samt system- & signalanalys med z-transformen och fourier-transformen samt även inledande om frekvensselektiva filter. Uppgifterna påminner för all del mycket om förra årets uppgifter, men de är inte exakt likadana. Obligatoriska uppgifter. Låt x[n] = u[n+5] u[n ] vara insignal till ett kausalt tidsdiskret LTI-system med systemfunktion H[z] z z 0.6. Systemets utsignal är y[n]. Bestäm m.h.a. Kretslab(använd förslagsvis bl.a. firztr) utsignalens z-transform Y[z]. Bifoga en utskrift av pol-nollställediagrammet för Y[z] (genererat av pz). Ange ursprunget till de olika nollställena och polerna hos Y[z], dvs. var de härstammar från. Bifoga en utskrift av x[n], h[n] och y[n] för ett lämpligt n-intervall (vid signalritande används, subplot och signalmod). Förklara, utgående från ett faltningsresonemang, utsignalens utseende. Relatera till faltningssummans summationsgränser för olika n-intervall. Anm: Det exakta analytiska uttrycket för y[n] är av mindre vikt.. Systemfunktionen H[z] till ett amplitudnormerat kausalt tidsdiskret filter har nollställen i ±j och poler i 0.9e ±j3π/8 och i 0.9. Använd pzchange för att skapa systemfunktionen. Tips:ÄndragärnaCoordinatestillPolarimotsvarandemenyval såattaktuellpol/nollställe skrivs i polära koordinater. Anm: Se till att det är en z-transform och inte en laplacetransform ni justerar/skapar med pzchange (i z-planet är alltid enhetscirkeln utritad)! Notera att pzchange alltid låter konvergensområdet relativt varje pol z k = r k e ±jφ k i z-planet, vara z > r k. Välj Spectrum derived from pole and zero vectors i menyn Spectrum vectors och ändra reglaget för att se hur amplitud- och faskaraktäristiken beror på pol- och nollställevektorer. Relatera tydligt (och någorlunda kortfattat) amplitud- och faskaraktäristikens utseende till polernas och nollställenas lägen! Anm: 3D-plotten av H[z] innanför enhetscirkeln, som ges av menyvalet 3D-plot (figuren genereras av Kretslabfunktionen zplane) kan också vara till hjälp för att förstå varför amplitudkaraktäristiken ser ut som den gör. Bifoga en utskrift av pzchange-fönstret, med pol- & nollställevektorer, för något Ω 0. Anm: Pol- och nollställevektorerna tas bort genom det andra menyvalet under Spectrum vectors.
3. Generera systemfunktionerna H A [z] och H B [z] genom att (m.h.a. pzchange) placera ut poler och nollställen på lämpliga ställen i z-planet, så att de båda resulterande systemen utgör amplitudnormerade, tidsdiskreta, kausala och stabila LP-filter med normerad 3 dbgränsfrekvens θ 0 0.8. H A [z] får ha godtyckligt placerade poler medan H B [z] måste ha alla sina poler placerade i origo. I båda fallen skall/bör ni använda få poler och nollställen, så ni inte får onödigt komplexa och oöverskådliga system! Redovisa erhållna systemfunktioner H A [z] och H B [z] samt motivera tydligt placeringen av alla poler och nollställen! Jämför de två LP-filtrena med varandra, i termer av filterordning, dämpningsegenskaper, grupplöptid m.m. Redovisa kortfattat era slutsatser och eventuella för- och nackdelar. Bifoga även utskrifter från pzchange, för båda era LP-filter, där amplitudkaraktäristiken är ritad i db-skala i intervallet [-0, ] db. Anm: Huvudsyftet med denna deluppgift är att ni skall få en grundläggande förståelse och känsla för hur polerna och nollställena inverkar för att forma systemets frekvens- karaktäristik inte att hitta en optimal lösning (vad man i så fall menar med optimal i detta fall...)! 4. Ett tidsdiskret kausalt LTI-system H beskrivs av differensekvationen y[n]+y[n ]+ 3 y[n ] y[n 3] = x[n]+x[n ]. a) Tag, med hjälp av Kretslab fram systemfunktionens pol-nollställediagram och argumentera tydligt utifrån detta och den givna informationen varför systemet är instabilt. b) Genom att återkoppladet givna systemet H med ett LTI-system H, som har impulssvar h [n] = K δ[n ], kan man erhålla ett totalt återkopplat stabilt system med systemfunktion H[z]. Undersök hur polernas lägen hos H[z] ändras då ni ändrar K. Använd här Kretslabfunktionen feedb på lämpligt sätt se funktionens hjälptext! Tips: Generera gärna en rotort! I Kretslab ritar ni i så fall först ett pol-nollställediagram med funktionen pz, följt av hold on. Rita sedan överlagrade pol-nollställediagram genom att upprepade gånger anropa pzmod med en justerad systemfunktion (nytt K). För vilka K-värden erhålls ett stabilt system? Bifoga en utskrift av pol-nollställediagrammet till H[z], för ett K-värde som ger ett stabilt återkopplat system. Rita antingen för hand in den rotort som erhålls då K varieras (dvs. markera den kurva/väg längs vilken polerna flyttas) eller så kan ni, utöver det efterfrågade polnollställediagrammet, även bifoga en utskrift av ett pol-nollställediagram med den rotort som erhålls då ni gör enligt Tips:... ovan! OBS: Det får i det senare fallet inte vara för glest mellan de poler som hamnar nära eller innanför enhetscirkeln rotorten måste framgå tydligt!
5. I figuren nedan visas amplitudspektrumen Ha [θ] och Hb [θ] för två kaskadkopplade tidsdiskreta kausala LTI-system H a respektive H b. Magnitud Magnitud.5 0.5 Amplitudspektrum Ha [θ] 0 0 /6 /3 / Normaliserad frekvens Amplitudspektrum Hb [θ] 5 4.5 4 3.5 3.5.5 0.5 0 0 /6 /3 / Normaliserad frekvens a) Tag med hjälp av pzchange fram systemfunktionerna H a [z] resp. H b [z] genom att placera ut poler och nollställen på lämpliga ställen i z-planet. Alla eventuella poler hos H a [z] och alla eventuella nollställen hos H b [z] är placerade i origo. Bifoga en utskrift av pzchangefönstret för å ena sidan H a [z] och å andra sidan H b [z]. Motivera tydligt ert placeringsval av både poler och nollställen för de båda systemen! Tips: När man justerar/skapar en transform med pzchange, finns transformen hela tiden tillgänglig i kommandofönstret som den globala variabeln TRFM. Skriv global TRFM för att få tillgång till variabeln och för att t.ex. spara en kopia av transformen utan att avsluta pzchange. b) Bilda nu det totala kaskadkopplade systemets systemfunktion H[z] = H a [z]h b [z] (antingen m.h.a. Kretslabfunktionen output eller direkt i pzchange utgående från ert resultat i deluppgift a). Rita upp pol-nällställediagrammet för H[z] och systemets amplitud- & faskaraktäristik m.h.a. pzchange. Bifoga en utskrift av pzchange-fönstret. Betrakta amplitudkaraktäristiken H[θ] och beskriv filtrets funktion. Ange speciellt vilken (speciell) typ av frekvensselektivt filter detta är! 3
Frivilliga Uppgifter 6. Systemet med systemfunktionen H[z] i uppgift kaskadkopplasmed ett system med systemfunktion z N. Ni skall nu studera hur några olika egenskaper hos det totala kaskadkopplade systemet ändras då nollställe-multipliciteten stegvis ökar från N = 0 (dvs. inget nollställe i origo) till N = 3 (dvs. 3 nollställen i origo): a) Hur ändras det totala systemets impulssvar h tot [n], amplitudkaraktäristik Htot [θ] och faskaraktäristik arg { H tot [θ] }? Förklara sambanden tydligt! Anm: Impulssvaret kan i pzchange erhållas från menyvalet Signal plot. b) Hur ändras systemet kausalitets- och stabilitetsegenskaper? Förklara, dels utifrån egenskaper för systemfunktionen H tot [z] och dels utifrån egenskaper för impulssvaret h tot [n]. Anm: Olika värden på N resulterar i olika system, som kan ha olika egenskaper. 7. Gör som i uppgift 3, men tag nu i stället fram två motsvarande HP-filter med normerad gränsfrekvens θ 0 0.8. Redovisa erhållna systemfunktioner (namnge dem H C [z] respektive H D [z]) samt motivera tydligt placeringen av alla poler och nollställen! Anm: För generella motiveringar av samma typ som uppgift 3, så hänvisar ni på lämpligt sätt till uppgift 3 i stället för att återupprepa dem här! Hur bra blir de två filtertyperna, jämfört med de två motsvarande LP-filtertyperna? Bifoga samma typ av utskrifter som i uppgift 3! 8. I datafilen dator3.m finns en tidsdiskret signal s[n] i form av matlabvariabeln s. Ur signalens frekvensspektrum S[θ] kan man lätt se att signalen består av tre sinussignaler och ett bredbandigt brus. Signaler representeras av Kretslab som vektorer med 6 = 65536 signalvärden, symmetriskt runt n = 0 (t = 0 i det tidskontinuerliga fallet). I många fall ger detta tillräckligt bra approximationer av signaler med stor tidsutbredning. Av olika skäl måste man vid signalanalys ibland nöja sig med ett betydligt färre antal signalvärden. Man får då analysera en fönstrad signal, i det här fallet signalen s w [n] = s[n]w[n] ( w =window), med en relativt liten tidsutbredning. Läs mer om fönstring i kursboken! a) Studera tids- och frekvensegenskaperna för olika standard-fönsterfunktioner med hjälp av Kretslab-demonstrationen Fönsterfunktioner (klicka på Fönsterfunktioner i kretsdemo)! Fönstertyp väljs i en av menyerna. Fundera gärna på hur fouriertransformen W[θ] till en ideal fönsterfunktion ser ut (dvs. då man använder en fönsterfunktion w[n] som resulterar i sambandet S w [θ] = S[θ]). Vilka egenskaper önskar vi att amplitudspektrumet till en praktiskt användbar fönsterfunktion skall ha (dvs. vilket typutseende vill vi att den gärna skall ha)? b) Skapa, med hjälp av Kretslabfunktionen window, fönstrade versioner av s[n] då w[n] utgör ett rektangulärt fönster respektive ett Kaiser-Besselfönster! Två fönstrade signaler skall genereras för varje fönsterfunktion den ena då fönsterlängden är L = 56 och den andra då fönsterlängden är L = 5. Totalt skall alltså fyra fönstrade signaler genereras: s w, [n] = s[n] w Rekt,L=56 [n], s w, [n] = s[n] w Rekt,L=5 [n], s w,3 [n] = s[n] w K B,L=56 [n] och s w,4 [n] = s[n] w K B,L=5 [n]. Bifoga en utskrift av de två fönstrade signalernas amplitudspektrum och(då fönsterlängden är L = 56) samt en utskrift av de två motsvarande amplitudspektrumen och (då L = 5). Zooma gärna in lite, för tydligare spektrum, t.ex. till intervallet. Tips: figure(), spect(s,s3), subplot(,,), set(gca, xlim,[0. 0.5]), subplot(,,), set(gca, xlim,[0. 0.5]), osv...(spectmod är dessvärre inte anpassad för transformer till tidsdiskreta signaler) 4
Kommentera resultaten av fönstringen i de olika fallen. Jämför då först Sw, [θ] och Sw,3 [θ] med S[θ] och sedan Sw, [θ] och Sw,4 [θ] med S[θ]. Kommentera speciellt vilka för- och nackdelar de två använda fönsterfunktionerna har och hur dessa för- och nackdelar återspeglas i de olika amplitudspektrumens utseende. 9. Bifoga en utskrift av impulssvaren h a [n], h b [n] och h[n] i uppgift 5 (använd subplot och signalmod). Signalerna ritas i ett lämpligt tidsintervall(skriv t.ex. set(gca, xlim,[-5 50]) efter varje signalmod(...) ). a) Förklara kort utseendet på h[n], baserat på ett faltningsresonemang. b) De två kausala LTI-system H a och H b hör till två olika filterklasser, som vi kommer att studera närmare längre fram i kursen. Vilka är dessa filterklasser? Förklara utgående från impulssvaren h a [n] och h b [n] samt utgående från systemfunktionerna H a [z] och H b [z]. 5