MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga 10000 ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola 12 96 Göteborg Tel 031-772 25 00
Till dig som söer till högre tenis utbildning Som du vet förutsätter studier i tenisa ämnen goda unsaper i matemati n stor del av det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man då lucor i gymnasiematematien, an det bli rätt arbetsamt Om du inte är säer på att du redan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hur gör jag då? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter Kompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla [1] och [2]-uppgifterna (ompendiet rat igenom) Sedan alla [3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift (Uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentliga är att du ränar (mindre väsentligt är vad du ränar) Sulle du öra fast på några uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon (se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nöta in vissa formler, som du anse varit van att hitta i en formelsamling På tentamen vid de tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen Kunsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii
Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer (eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs Observera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarna A, B, och D, som bruar genomgås de två första åren på gymnasiet Däremot repeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas tt gott råd är dessutom att verligen försöa lägga undan miniränaren då Du ränar dig i igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii
Innehåll DIAGNOSTISKT PROV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal 7 12 Division av reella tal Bråräning 10 13 Lineära evationssystem 1 1 Absolutbelopp 15 15 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal 15 16 Ice-reella tal Komplexa tal 18 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom 19 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två 21 19 Oliheter 22 110 :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser 23 111 Logaritmer 25 2 Trigonometri 27 21 Vinelmätning 27 22 Rätvinliga trianglar 28 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar 31 2 Några enla trigonometrisa formler 3 25 Additions- och subtrationsformler 36 26 Formler för dubbla resp halva vineln 37 3 Plan analytis geometri 38 31 Avståndet mellan två punter 38 32 Räta linjen 39 33 ireln 1 3 llipsen, hyperbeln och parabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatans definition 5 iv
3 nla deriveringsregler De elementära funtionernas derivator 6 Sammansatta funtioner Kedjeregeln 8 5 Tangent och normal till en urva 51 6 Maximi- och minimiproblem 52 PROVRÄKNING (Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facit till det diagnostisa provet 69 Facit till provräningen (blandade exempel) 69 v
A DIAGNOSTISKT PROV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) / +-, )0 ' / ) + 0 [] Förorta (om möjligt) i uttrycet 1 2-3 5 [5] Dividera (med polynomdivision) så långt som möjligt 6 1 " -3 7 5 [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestäm exat >? : 9;: $ 9 $ 5@ A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] För vila gäller oliheten [10] Förenla H HN 3 %JILK A IMK 3 : IMK 1-3 ILK 3 =< %B [11] Angiv exata värdet av O-P K RQS3T5 UWVTK RQS3 : [12] Bestäm alla vinlar mellan Y och : F G D Y som satisfiera (samt förenla) H [Z]\ HN O^ O_P K 3 3 [13] [a] I en rätvinlig triangel är sinus för en vinel lia med 2/3 och den mot denna vinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b] Samma uppgift som ovan, om i stället tangens för vineln är 2/3 [1] Bestäm UNVTK exat, om UWV K` 3a [15] Angiv på formen = $`cb " en evation för räta linjen genom punterna edbf5 och d 6
i [16] vationen gh$ medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij [18] Bestäm i j, om i ), 3 D [19] Bestäm på formen $ b den punt på urvan, där [20] Bestäm det största värde som i : betyder geometrist en cirel (i ett ortonormerat system) Bestäm (och förenla den), om 1 ) < D en evation för tangenten till urvan $ O_P Kl7 mzn\ O an anta för reella 1 i 7
1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %?f g Jd? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för dn qp r % osv s % ftbtbt- ^d dvs produten av stycen fatorer ty Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och zh &{, så gäller att y{ ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y{ 1 &{ 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl} b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %?= $ 1 $ ~ %?f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8
Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b " 6 T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- Omforma (genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2 g [1] n [2] 6<T 5 W [2] 7" ] 1 [3] 1W$ % $e-( % $ [3] " n6 []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: KVADRRINGSRGLRNA KUBRINGSRGLRNA KONJUGATRGLN ƒ ] ƒ ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FAKTORUPPDLNINGARNA 1 1 1 1 T g 1 T g 1 1 g 1 ]] ] &] nƒ g OBS dw g och g an ej fatoruppdelas med reella tal xempel Utvecla 6 7 ~ 1 Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregeln med och 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ 1 2 1 : ~ m < ~ ~ ~ BŒ xempel Fatoruppdela uttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b 5 1 1 b 2T b 1 ŽŠ alla gemensamma fatorer bryts ut T bl% ƒa T g 1 b b Œ ŽŠ an vadreringsregeln användas? T bl% ƒ g 1 % g 1 % bm 6 b Œ Œ Š vadreringsregeln T ˆbl% ƒ g 1 b Œ 9
i i p o xempel Fatoruppdela uttrycet 2 $1 Lösning: 2 $ 1 ŽŠ Kan fatoruppdelningen för 1 1 $ 1 $ ] M % $y 1 användas? $ Œ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; Kvadratomplettering Med ett polynom (i ) menas ett uttryc av formen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allas oefficienter för sedbtbtbt d o Om s säges vara av grad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom (jämför detta med lösning av andragradseationer [17]) Kvadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera %B % 1 1 " 1 7 Œ 1 J 10 7 1 2
b b 2 ftersom 1 š vilet inträffar då för alla, med lihet om och endast om 1 1, inser man att iœ Ÿž, Ö-11 Kvadratomplettera Ö-12 Kvadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Ä a [] $ $e [] m [5] m: $ $ " [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligt definitionen på brå har förstagradsevationen % (an ocså srivas 3T ) för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: OBS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % den entydiga lösningen v är ej lia med (Alltför vanligt fel att tro motsatsen) Om tex v, medan Potenser med negativa exponenter definieras som b, är 11
Definition s s 5u s varav följer u s s u xempel Förenla uttrycet: Lösning: ª «] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" som ett brå (på så enel form som möjligt), Lösning: 9 9 7" n 7 Š Fatoruppdela nämnarna Œ h%b Š Förläng de olia bråen, så att de nya bråen får samma nämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 % 9 %B 7 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12
Anmärning: Man an ocså (i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [1] $ -3 $ o [2] T253T [2] T 1 ;: g -3 g [3] 2T ˆ3 1 [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta (om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] z e 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ 3 3 3 $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] 3 53 3 2 [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 " [2] 7 3 7 _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2 Sriv som ett brå (på så enel form som möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13
Rationella uttryc, Polynomdivision tt rationellt uttryc (i ) an srivas på formen, där och är polynom och p, dvs ej identist noll Om nu gradtalet för är större än eller lia med gradtalet för an divideras med, så att gradtalet för restpolynomet ± Man får ± r², där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm (se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning: Sriv upp täljaren och nämnaren stolen ):, blir mindre än gradtalet för så långt som möjligt med trappan (eller liggande, Multiplicera se- Fortsätt med att di-, dvs bilda Multiplicera och subtrahera som ovan 7-7" 1 ³² - 1 A " n ± _ Metod: Dividera högstagradstermen 1 i med högstagradstermen i dvs bilda 1 3, som blir första termen i voten ² dan hela nämnaren med och subtrahera från videra högstagradstermen i resten med högstagradstermen i 3, som blir nästa term i ² är strängt mindre än gradtalet för Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ± Svar: 1 7 7" n 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g-3 1 5 1
: < µ : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation, som innehåller endast en obeant Man an använda sig av en av två metoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel: (Tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1 [Substitutionsmetoden] ƒ < $ _3, som man sätter in i den andra Då erhålles Den första evationen ger ^ƒ < $ _3 $ B$ Alltså är ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ =< _3 Lösning: Metod 2 [Additionsmetoden] µ = < $ $ µ y=2 f, och man får ett Multiplicera (för att eliminera ) båda leden i de givna evationerna med 3 resp och addera dem: : 7 < $ : $ B$ OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning: Den lineära evationen f $ b betyder geometrist en rät linje tt system av sådana evationer har alltså a) en b) ingen eller c) oändligt många lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella (och olia) c) sammanfallande Härav fås y=2, som insatt i en av de givna evationerna ger Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet [1] 8 [2] 8 [3] 8 9 $ 9 < $ $ 7 $ 7 $ < $ [1] 8 [2] 8 Ḩ¹ [3] 7 $ : 7 $ $ : $ 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : µ = 15
< < 1 Absolutbelopp DFINITION om 8 qš om Alltså är éš för alla och om så är avståndet mellan punterna och på tallinjen Geometrist an º uppfattas som xempel nligt definitionen är &?=, ty xempel xvationen an srivas, varför rötterna är och = xempel Oliheten an även srivas =< 7, dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31 Angiv utan absolutbelopp de, som satisfiera: Ö-32 Sriv i är: [1] 9¼ [1] [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e : 7 <et»< 3T utan absolutbelopp, om i 15 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom š DFINITION ¾%œ;š för alla reella tal har evationen Med @, där š vadrat är Alltså är @ ] reella lösningar endast om, menas det ice-negativa, reella tal vars för š 16
OBS @ för f xempelvis är @ B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Av definitionen på @ följer vissa räneregler: och inte @ 1 % @ @ och @ e3 @ 3T > för och = @ 2 för alla reella, varför @ % á% @ för š, alla 3 3 @ @ n3 för = 3 @ @ ] @ @ ]_3 8 3 @ @ @ @ ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc (se exempel nedan) OBS I allmänhet är @ p @ @ xempel Förenla > xempel?= Lösning: nligt räneregel 2 ovan, är > n alternativ lösningsmetod är > 1 eá?=?= Sriv med heltalsnämnare Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: ;@ < @ < Â@ < nƒ @ < @ @ < " @ <T @ < Ä < @ < xempel Förenla Á ) ) och ange definitionsmängd Lösning: @ är definierat för qš¼, men 3 @ endast för För är: Svar: För @ är ) Á ) & @ @ @ @ @ 17
8 Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla [1] @ A [1] @ t J: [2] @ [2] @ : <?f5 T [3] @ 2 % @ 2 [3] > Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: [1] @ 2T3 @ A : [1] 3 @ [2] @ @ 2 [2] 3 @ @ [3] @ < @ 5] @ < @ 5 [3] 3 @ : [] @ @ @ 52 @ < ƒ @ <-3 = @ < [] [5] 3 @ @ [6] 3 @ @ @ : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc (och angiv definitionsmängd): [1] @ %, om h och = [1] 7 _3 @ 9 [2] @ %, om och = [2] 6< _3 @ < [3] % 3T >, om h och = [3] _3 @ [] % 3T >, om och [] _3 @ 1 [5] _3 @ 1 [6] 3 @ 9 [7] 6-3 7 @ vationen OBS har för = två olia reella rötter @ œd ÄÃ Å @ för š µ @ Ã Ã @ men @ Man sriver xempel vationen A xempel vationen @ D, dvs D, dvs @ 3 A har rötterna Å @ T3T sanar lösning, ty @ Àš 18
Æ Æ Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] [1] @ " [2] @ 7" " [3] @ 7 D [] @ " [5] @ [6] @ A @ 16 Ice-reella tal Komplexa tal vationen sanar reella rötter om b rötter: @ b d @ "Æ b, där Æ Man an nu (något oegentligt) sriva: b à Š@ b @ baç b Æ Däremot har den ice-reella (imaginära) xempel vationen r, dvs @ @ = har rötterna Å ræ @ = Æ @, dvs tt omplext tal an srivs på formen È Æ, där È och är reella tal och Æ är den imaginära enheten, som satisfierar evationen Æ xempel ]6 Š Konjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen È [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19
¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom n adragradsevation cb r an, då Àp r, srivas på normalform: * ¼É " n andragradsevation på normalform, h fà ", an lösas genom vadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltså gäller att: vationen m 9 D har rötterna Å ŽÍ Ì Dessa rötter och är [1] Reella och olia, om 3 [2] Reella och lia, om 3 r [3] Ice-reella och olia, om 3 OBS Om D, har evationen Î D en rot r, samt roten xempel Beräna rötterna till evationen < Lösning: vationen an srivas på normalform: 1 ", och har rötterna Å Alltså är rötterna Ï <9 ŽÍ xempel vationen : " Å <*Ì < < Ê < < <*Ì D har rötterna @ A < Í @ T< OBS Kontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen < < <9 < 20
Ñ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätt här [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning (av andragradspolynom) Om evationen Ð = r har rötterna och, så an polynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: Om 3T, så är och ice-reella och i så fall an 9 ej fatoruppdelas med reella tal (Därmot an ¾ c alltid fatoruppdelas med omplexa tal) ~ ) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Rötterna är alltså 8 Alltså är Å 3 Lös därför först evationen ŽÍ n J: Ê 7 *Ì n, varför ]6 &r r Man 21
d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela (med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1] 1 och = [2] : º [2] @ och ;@ [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] : 9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen Om är ett polynom i och Ò, dvs om är en rot till polynomevationen Ó, så är en fator i, dvs %J där är ett polynom av en enhet lägre grad än xempel Lös evationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning (av tex d edbtbtbt ) finner man att är en rot, ty T }T 5< Ë nligt fatorsatsen är alltså polynomet 1 Tn T h 5< delbart med? " Division (av polynom, se 12) ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonens övriga rötter fås ur evationen 5< alltså Å 1 : @ : 5< :, dvs och 1 Svar: vationen har fötterna, och 1 Tillägg: Vi har alltså fatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn OBS n tredjegradsevation har alltid tre rötter (lia eller olia) D Man får D n 22
) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela (med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $ :T$ 19 Oliheter xempel För vila är 1 n 5<? Lösning: Oliheten an srivas 1 n T h 5< (Ha alltid för vana att flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: Oliheten gäller för xempel För vila är 7" š Lösning: Oliheten an srivas )? och för < 7" Õ, där 7 ] I Õ har vi endast fatoruppdelat täljaren Tecenstudium av ger nu: Svar: Oliheten gäller för = ½Ö och för qš¼ OBS Den givna oliheten ( i senaste exemplet) får ej srivas 9" š, dvs oliheten får ej 23
Ú Ú > 8 µ µ Ú multipliceras med, ty an vara negativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51 För vila gäller följande oliheter? Ö-52 För vila gäller följande oliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < 91 110 Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Ù @ Û menas den reella (och positiva, om s Alltså är Ù Ú s, dvs @ Ú ] s För den vanliga vadratroten gäller alltså att @ @, Ü för š potensuttrycet Wu Ü s (med rationell exponent ƒû¾3 ) genom u Ü s u Ü s satisfierar (de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) jämnt heltal) roten till evationen definieras Man an visa att Om @ u Anmärning: Den andra lagen ger speciellt 3TN+ +, om D xempel Förenal Ý Lösning: g@ Þ Ý @ 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à à @ 2
) ) ) ~ > Þ > Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1] 2 Ü @ à A [1] [2] á [2] Ù @, 2 [3] @ T Ü 1 [3] ß @ < [] A Ü % A o á à [] > @ «A [5] 5T á ˆ3 á [5] ß @ : Man an allmänt definiera uttrycet ) för 9 och alla reella, så att ) satisfierar potenslagarna ovan ) allas for en potens av, där allas bas och exponent Av speciellt intresse är den (naturliga) exponentialfuntionen ) edˆ med basen 25T2ÄtBtBt För allmänt ) gäller bla att [1] ) [2] Wo [3] i för alla för alla ) är växande (för växande ) om avtagande (för växande ) om, och OBS Man siljer på a) potensfuntionen i och b) exponentialfuntionen i ) xempel Lös evationen ) % ) v xempel Lösning: vationen ) % ) v an srivas ) % % 5, dvs ) % eller ), varför Lös evationen ) ) D Lösning: Sätt ~ Då erhålles andragradsevationen ~T ~ " med rötterna ~ och ~ f Man får nu två fall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) för alla reella tal Svar: D 25
) ) ) ) 1 ) @ : t ) Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [1] ) ) D (Sätt [2] ) v ) : [2] ) ) " D [3] A ) 3T [3] ) % ) 2 D [] % ) v ) @ [] ) v A % ) r [5] ) v % ) etâ< ~ ) 111 Logaritmer För tio-logaritmen IMã$ och naturliga logaritmen ILKÄ$ gäller IMã$ µ $ ), för $ IMKÄ$ µ $ ) r, för $ OBS För att ILãT$ resp IMKÄ$ sall vara definierat rävs alltså att $ IMã d ILã D ty tex $ d IMK Y d IMK " ) µ IMã d ILã5$ Speciellt är r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och ILK för alla reella äÿåœæ= xempel xempel xempel xempel $ ž + och nä IMã ILã^ T IMã t ILã IMK @ ILK Ü = Lös evationerna [1] %JILKw [2] % $ för alla $ 3 Lösning: [1] %JILKw [2] % µ IMKw µ t»< tâ< µ µ á ILK Dtâ<ç Dtè 26
t µ ) @ ä 1 ) Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] ILK [2] ILã [2] ILK ß [3] 1 á äÿå [3] ILK 3 @ [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILKw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Ur potenslagarna an man härleda följande logaritmlagar (för $ och ~ Sats Av lag 2 följer speciellt att OBS ILK $ ~ [1] ILK $&% ~ ILKÄ$ ILK ~ [2] ILK +é ILKÄ$ IMK ~ [3] ILKÄ$aê Ô%BILKÄ$ Logaritmlagarna Motsvarande lagar gäller ocså för tio-logaritmen, ILã ILK ~ ILK ~ är inte lia med IMKÄ$ ILK ~ (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) : D ): xempel Lös evationen %JIMãm %BIMã Lösning: För att IMãT sall vara definierat rävs att gäller enligt logaritmlagarna, att %JIMãT %JIMã 2 µ µ ILã ILã 1 < µ För @ < µ ILã Ê 5@ < < ty 2 Ì µ Svar: @ <3T< 27
Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] ILK 52 : %JILK %BILK [3] ILã 2 : %JILã @ [] ILK 3TA ILK @ [5] ILK IMK < ILK Ä ILK T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILKw7 %BIMK ILK < [2] IMãy IMã [3] ILK " IMKw 1 : IMK [] ILK IMKl IMK [5] ILK " ILK ILK [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i (delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie (Rita en figur) Sambanden mellan de olia enheterna är: varv QS3 2 Y radianer och 1 radian= 2 3aQqç¼< etë Y (Ofta sriver man inte ut enheten radian, utan sriver tex A Y : Yz œq radianer Härav fås: QS3 ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv (Rita figur) Ö-65 Omvandla till radianer Ö-66 Omvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] T Qì3 [] Y [] =<aq 28
í O Q 22 Rätvinliga trianglar I en rätvinlig triangel är en vinel A Qì3 Y den tredje vineln QS3, eftersom vinelsumman i en triangel är 2 YÄ (radianer) Om en av de övriga vinlarna är, blir Vineln QS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: Sats Pythagoras sats QS3T De trigonometrisa funtionerna definieras (för ): DFINITION O-P K ƒ e3 b motstånende atet _3 hypotenusa Zn\ 3 O^ b närliggande atet -3 hypotenusa UWVTK 3T motstående atet _3 närliggande atet Zn\ U 3T närliggande atet _3 motstående atet Härur fås: bl% O_P K dw %BUWVTK dw UWVTK Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ O^ % Zn\ U, samt att ð ñóò ï För omplementvinlen ( Qì3 O-P K QS3T UWVTK QS3 Man erhåller ocså: Zn\ dnz]\ RQS3 Z]\ O^ U dnzn\ U RQS3 ) gäller: O-P K UWV K Trigonometrisa ettan b Sats O_P K Zn\ O OBS O-P K O_P K (Fås diret ur Pythagoras sats) O_P K % O_P K Ç O-P K är ej lia med O-P K 29
Y b A Y b Y ç 3 < xempel Solvera en rätvinlig traingel med sidor och vinlar som inte är givna Lösning: Vinlen õ Y ô : < Y Nu är O-P K ô t O-P K ô O-P K < (O-P K < Vidare är UWV K e3 ô, varför e3 UNVTK ô Svar: õ : < d b ç¼ et, och wç : të t och ô T< 3 b, varför sidan t ç et të5t Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) ç³ t (längdenheter) tè :: ç Y (se figur), dvs bestäm de : tè xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om UWVTK Lösning: 53< och Rita en rätvinlig triangel med ateterna nligt Pythagoras sats är hypotenusan då @ < @ T varför O-P K QS3T och @ dnz]\ O^ Då är UNVTK < @ T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar (betecningar enligt figur ovan): [1] b [2] [3] [] [5] [6] t : och ô t och t och t»< õ och et»< õ och et» b och ô QS3T Ö-68 Bestäm (för av: Y [1] Z]\ O och UNVTK, om O-P K 3T Rita en rätvinlig triangel med och t b [2] O-P K och UWVTK, om Zn\ 3T 5< O Y [3] O-P K och Zn\ O^, om UWVTK <3 Y [] O-P K och Zn\ O^, om Zn\ U të t»< D ) exata värdet (Ledning: ) 30
: O O O Q Q Q Q Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden för g< d : Y Y och TY (Om man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och g< QS3 Y, samt hypotenusan b är den rätvinliga triangeln (figur 1 ovan) en halv vadrat Då är ateterna @ @, varför: O_P K g< Y Z]\ g< Y UNVTK g< Y Z]\ U g< Y O_P K Z]\ UNVTK Z]\ U Q Q @ @ QS3 För Y an den rätvinliga triangeln uppfattas som en halv lisidig triangel (figur 2 ovan) (I en lisidig triangel är alla vinlarna lia med : Y, varför vinlarna i en halv lisidig triangel är : dwa Y Y och Y ) Alltså är hypotenusan b T och Pythagoras sats ger @ n@, varför: O_P K`: Y Z]\ O : Y UNVTK`: Y Z]\ U: Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U Q Q @ @ @ För Y Qì3 : erhålles under betratande av samma figur som för : Y : 31
O Y O Q Q í O_P K Y Z]\ Y UNVTK Y Z]\ U Y O-P K Z]\ UNVTK Z]\ U : : Q :º Q : @ @ @ ty O-P K TY =(motsående atet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ O UWV K Y Y [2] ƒz]\ O Y O-P K _3ƒZ]\ Y O : Y [3] UNVTK(: Zn\ Y O _3 UNVTK g< Y O-P K : TY O-P K TY [1] ð ñ Ü í ëö %B Ÿž Ü»ö 1 (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü ëö %B ð ñ Ü í ëö [3] Ÿž Ü í»ö v ð ñ Ü í ëö 1 3 òø ž Ü ëö v ð ñóò Ü»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat från positiva -axeln Antag, att d $ är en punt på enhetscireln, vars evation är ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32
d 8 8 O $ O Q d O O p p 3 O DFINITION O-P K Zn\ O UWVTK Zn\ O $ 3 för p dó 3 $ r för $ p dù D dvs dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvs för d $ (Rita figur) ftersom O-P K $, är O_P K positivt för vinlar i första och andra vadraten och negativt i tredje och fjärde Linande regler för Z]\ d O UNVTK dnz]\ U : Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVTK O_P K 3mZn\ O^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ O O_P K 3 UWV K [2] ½ O-P K ½¼ och ½ Z]\ O^ ½¼ Š för alla vinlar Œ [3] O_P K D O_P K QS3T d O_P K Q r O_P K Qì3 d O-P K aq D [] Z]\ O dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] O_P K O-P K F% aqs och Zn\ Z]\ O^ F% aqì [6] O_P K Zn\ O [Trigonometrisa ettan], för varje heltal 33
O 8 O 3 3 O Q Q xempel Bestäm exat: Z]\ ƒ5 aqs3 O : ) Lösning: Z]\ ƒ5 aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm O-P K och Zn\ O, om Zn\ U Lösning: Med hälp av formeln Zn\ U Zn\ O^ O_P K samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ O( O-P K Zn\ O O_P K Zn\ RQS3 : och QS3 @ 3T med lösningar 8 ftersom ligger i andra vadranten, där Zn\ O^ och O_P K Z]\ =3 @ < Svar: O^ och O_P K 3 @ < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q O [2] Y [2] O-P K aqs3 [3] < QS3 [3] O-P K T QS3 g [] aqs3 : [] Zn\?=T QS3 5 O [5] Y [5] UWV K?fA QS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ O O-P K ³ú T3 @ < 3g@ <, fås Ö-73 Visa att Ö-7 Visa (för godtycliga heltal ) att [1] 3mZn\ O [2] 3 O-P K UNVTK [1] O-P K` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? O s [3] O-P K 6Ô QS3Ta [] Zn\ O MÔ" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] O_P K och UNVTK, om Zn\ 53 aq O [2] Z]\ O^ och UWVTK, om O_P K û andra vadranten [3] O-P K och Zn\ O^, om QS3T UWVTK [] O-P K och UWVTK, om Zn\ O^ och QS3 të och är i, och Q 3 [1] O-P K Zn\ O^, om QS3T UWVTK [2] O_P K Zn\ O^, om Zn\ U [3] UWVTK Zn\ U, om O_P K Qì3 œq g3t och =3 och QS3T fa53 @ g<, och 3
8 8 O O O O 8 8 8 2 Några enla trigonometrisa formler Sats 8 O_P K O_P K Z]\ Zn\ O^ O_P K Q¾ O-P K Z]\ O_P K RQS3= Zn\ Z]\ RQS3 O^ O-P K O_P K QS O_P K Z]\ Qì ÀZn\ O( UNVTK? UNVTK Z]\ U ÀZ]\ U Q¾ qzn\ O UWVTK QS3 Z]\ U Zn\ U QS3= UNVTK UWVTK QS UWV K Zn\ U QS Z]\ U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling (se lärobo från gymnasiet) 35
O xempel 6<aQS3 : Bestäm Zn\ O Lösning: <œqs3 : ligger i andra vadranten Använd formeln Zn\ O Z]\ O Ê <aq : Ì ÀZ]\ O Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ O Ê ÀZn\ Q : Ì Q @ Vi får alltså xempel O_P K Ê 5<aQ Ì O-P K Ê : % aq¾ Q Ì O_P K Ê Q Ì O_P K Ê Q Ì @ Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] O-P K?`QS3 g [1] O-P K Y [2] O-P K 6<aQì3 : [2] Zn\ O Y [3] UWVTK?`QS3T5 [3] O-P K? < TY [] Zn\ 6<aQì3 g O [] UWV K Y [5] Zn\?= aqs3 O : [6] UWVTK 6aQS3 5 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa (utgående från formlerna ovan) att [1] O-P K œqs3t5 [2] UWVTK 6 <aqì3 g [3] Zn\ 6< QS3T5 O [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV K Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan (i detta och föregående avsnitt) erhålles: K K È È È È Q È Sats (1) O_P O-P Èhµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ Z]\ O^ O^Èhµ Ð% aq Ð% aq (3) UNVTK UNVTK Èhµ Ð% eller eller UNVTK ÀZ]\ U I samtliga formler ovan är ett godtycligt heltal 36