TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa talplanet med två koordinater (a, b). En annan variant för att beskriva z är att istället ange ett avstånd r till origo och en vinkel; vi kallar detta för polär form. Im b r z = a + bi θ a Re Lite geometri visar att a = r cos θ och b = r sin θ, så z = a + bi = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ). Som bekant är r = z, men hur uttrycker vi θ? Definition. Argumentet arg z för ett komplext tal z definieras som alla vinklar ϕ så att z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Observera att arg z är en flervärd funktion! Lite bökigt att hantera ordentligt alltså. När vi säger argumentet för z menar vi oftast något värde på ϕ så att z = r(cos ϕ + i sin ϕ). johan.thim@liu.se
. Den komplexa exponentialfunktionen Tidigare har vi betraktat funktion exp för reella argument. Kan vi utvidga definitionen till komplexa tal? Följande definition visar att detta är möjligt. Definition. För alla ϕ R så definierar vi e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Vi observerar att e iϕ är ett tal på enhetscirkeln ty e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ = cos ϕ + sin ϕ = enligt trigonometriska ettan. Vi kan alltså betrakta e iϕ som en punkt på cirkeln z = : Im 0.8 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ 0.4 θ 0.4 0.8 Re Det visar sig att de flesta regler som gäller för den vanliga exponentialfunktionen fortfarande är sanna. (i) e iϕ = e iϕ ; (ii) e iϕ e iθ = e i(ϕ+θ) ; (iii) (e iϕ ) n = e inϕ för n Z (obs endast heltal); Punkt (iii) kallas de Moivres formel. Dessa likheter visas helt enkelt genom att använda definitionen av e iϕ. Vi kikar närmare på (i): e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ = cos ϕ i sin ϕ cos ϕ + sin ϕ = cos ϕ i sin ϕ = cos( ϕ) + i sin( ϕ) = e iϕ.
Exempel Använd den komplexa exponentialfunktionen för att visa additionsformlerna för sinus och cosinus. Lösning. Detta är ett ganska elegant sätt att ta fram additionsformlerna på. Vi betraktar följande samband mellan reella u och v: e i(u+v) = e iu e iv = (cos u + i sin u)(cos v + i sin v) = cos u cos v sin u sin v + i(sin u cos v + cos u sin v). Eftersom e i(u+v) = cos(u + v) + i sin(u + v) måste då cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v och sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v eftersom realdelen och imaginärdelen måste stämma överens. Observera att argumentet dock blir cirkulärt om man visat punkt (ii) ovan med hjälp av additionsformlerna. Ibland kan det underlätta att betrakta en så kallad komplex form av ett uttryck. Om vi har något som innehåller sin x eller cos x kan ju dessa betraktas som imaginär- eller realdel av e ix. Vi visar med ett exempel. Exempel sin 3x = Im ( e i3x) = Im ( (e ix ) 3) = Im ( (cos x + i sin x) 3) = Im ( cos 3 x + 3i cos x sin x + 3i cos x sin x + i 3 sin 3 x ) = 3 cos x sin x sin 3 x = 3 sin x 4 sin 3 x.. Eulers formler Om vi löser ut cos ϕ och sin ϕ ur de ekvationer vi får från definitionen av e iϕ och e iϕ så ser vi att { { e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ = e iϕ + e iϕ e iϕ = cos ϕ i sin ϕ i sin ϕ = e iϕ e iϕ Vi skriver ofta sambanden som cos ϕ = eiϕ + e iϕ och sin ϕ = eiϕ e iϕ. i Dessa brukar kallas för Eulers formler och är mycket användbara. Bara med hjälp av trigonometriska ettan och Eulers formler kan man ofta härleda de flesta trigonometriska samband vi stöter på, även om det inte alltid blir så enkla kalkyler. 3
Exempel Undersök vilka x som uppfyller 4 sin x sin 4x 8 sin x sin x cos 3x = genom att skriva om vänsterledet som en summa av sin / cos-termer och lösa ekvationen som uppstår. Lösning. Vi använder Eulers formler och finner att sin x sin x cos 3x = ( e ix e ix) ( e ix e ix) ( e 3ix + e 3ix) 8 = ( e 6ix + + e 6ix e ix e ix e 4ix e 4ix) 8 = ( + cos 6x cos x cos 4x) 4 samt sin x sin 4x = ( e 6ix + e 6ix e ix e ix) 4 = (cos 6x cos x). Med dessa samband kan vi skriva om ekvationen i fråga enligt cos 6x + cos x + + cos 6x cos x cos 4x = cos 4x =, så 4x = ±π/3 + πn x = ±π/ + πn/, där n Z. Svar: x = π + πn, n Z. Binomiska ekvationer Uttrycket binom innebär ett polynom med två termer, så vi betraktar uttryck av typen z n w, där z, w C, n Z, samt w och n är kända storheter. Hur löser vi ut z ur en ekvation av typen z n = w? Tanken är att vi arbetar med det hela på polär form, så: (i) Skriv z och w på polär form: z = re iϕ och w = ρe iθ. Här kommer ρ och θ att vara kända, ρ och r > 0, samt ϕ, θ R. (ii) Eftersom z = re iϕ så är z n = r n e inϕ och vi försöker alltså lösa ekvationen r n e inϕ = ρe iθ. (iii) Isolera absolutbeloppet och argumentet i ekvationen. Vi löser Absolutbeloppet: r n e inϕ = ρe iθ. r n e inϕ = ρe iθ r n = ρ r = ρ /n, där vi endast har en lösning (den positiva) r = ρ /n som är definierad ty ρ > 0. Argumentet: arg(r n e inϕ ) = arg(ρe iθ ) nϕ = θ + πk ϕ = θ + πk, k Z, n där vi erhåller flera möjligheter eftersom arg z är en flervärd funktion. 4
(iv) Lista upp vilka lösningar vi erhåller. Observera att det räcker med n stycken eftersom det bara finns n rötter till ekvationen! Vilka? Bara vi tar en följd med n värden, till exempel k = 0,,,..., n, så får vi med allt. Skissa in lösningarna i en cirkel. När vi tagit n stycken i följd kommer vi tillbaka till den punkten vi startade i. Exempel Finn alla komplexa lösningar till z 6 + 79 = 0. Ange eventuella lösningar på formen z = a + ib, a, b R. Lösning. Vi börjar med att skriva 79 på polär form: 79 = 79e iπ = 3 6 e iπ. Låt z = re iϕ, där r > 0. Då måste z 6 = r 6 e 6iϕ = 3 6 e iπ, så r 6 = 3 6 och 6ϕ = π + πn där n är heltal (absolutbeloppet och argumenten måste stämma överens). Detta ger att r = 3 och att ϕ = π/6 + nπ/3. Våra lösningar blir nu z = 3e i(π/6+nπ/3) = 3e i(+n)π/6, n = 0,,, 3, 4, 5. Om vi förenklar dessa får vi lösningarna z = ±3i, z = ± 3 ( 3 + i), z = ± 3 ( 3 i). Svar: z = ±3i, ± 3 ( 3 + i), ± 3 ( 3 i). Uttryck i stil med w /n (med Im w 0) har ingen mening i denna kurs. Om n = till exempel skulle det innebära att vi tar kvadratroten ur ett komplex tal. Hur skulle det definieras? Vi lämnar sådana övningar till en kurs i komplex analys. 3 Addition av arcus-funktioner: komplex hjälpmetod Förenkla arctan + arctan 3. Exempel Lösning: Låt z = + i och z = + 3i. Låt v vara vinkeln som z bildar mot positiva real-axeln, och v vinkeln z bildar mot positiva real-axeln. Det följer att tan v = = och tan v = 3 = 3. En lösning till respektive ekvation fås genom v = arctan och v = arctan 3. Dessa vinklar ligger i första kvadranten och är de vi söker. Om vi nu skriver z och z på polär form, z = 5e i arctan och z = 0e i arctan 3, ser vi att z z = 50e i(arctan +arctan 3). Det följer alltså att arg(z z ) = arctan + arctan 3 + πm, m Z. () Men, vi vet också att z z = ( + i)( + 3i) = 5 + 5i. Vi har följande illustration: 5
Im z z 5 4 3 z z α v v 5 4 3 3 4 Re Vi ser att tan α = 5/5 =, så α = arctan = π/4. Alltså blir v 3 = π arctan = 3π/4 vinkeln mellan z z och (positiva) real-axeln, där z z = 50e iv 3. Observera att vi inte kan skriva arctan( ) eftersom den vinkeln ligger i 4:e kvadranten (= π/4). Detta medför att arg(z z ) = 3π 4 + πk, k Z. () Ekvationerna () och () implicerar att arctan + arctan 3 = 3π 4 + πn, n Z. (3) Heltalet n kommer från n = k m, som kan anta vilket heltal som helst. För att kunna välja det n som är nödvändigt (det finns bara ett korrekt svar) så måste vi uppskatta hur stort talet arctan + arctan 3 är. Funktionen arctan x är strängt växande, så π 4 = arctan < arctan < arctan 3 < π. Vi kan alltså se att π/4 + π/4 < arctan + arctan 3 < π, eller Alltså måste vi välja n = 0 i (3). π < arctan + arctan 3 < π. Svar: arctan + arctan 3 = 3π 4. OBS: Ett svar! 6