Strukturdynamiska simuleringar och PDE Staffan Häglund 4 november 2014 Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 1 / 16
Struktur Struktur Om FS Dynamics Exempel, vad kan man göra med FEM Skillnad mellan skola och arbetsliv/industri Kort om matematiken bakom FEM Expempel på annan matematikanvändning Frågor Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 2 / 16
FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 3 / 16
FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 3 / 16
FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 3 / 16
FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 3 / 16
FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 3 / 16
FS Dynamics FS Dynamics Grundat 2004 Ett av nordens ledande företag inom strukturdynamiska beräkningar och CFD. Tre fokusområden: FEM - strukturdynamik CFD - fluiddynamik NE - kärnkraft Kontor: Göteborg, Stockholm, Helsingborg, Västerås, Ålborg, Tammerfors 150 medarbetare Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 3 / 16
FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik Datorsimuleringar med applicerade krafter, temperaturer, accelerationer etc. Ger: deformationer, spänningar, temperaturer, translationer etc. Exempel: Bilindustrin - krock Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 4 / 16
FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik Datorsimuleringar med applicerade krafter, temperaturer, accelerationer etc. Ger: deformationer, spänningar, temperaturer, translationer etc. Exempel: Bilindustrin - krock Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 4 / 16
FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik Kompositmaterial - optimering av ortos Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 5 / 16
FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik FSI - hälla mjölk ur mjölkförpackning, få bort kluckandet Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 6 / 16
FSD FEM - Strukturdynamik FSD FEM - Strukturdynamik MBD Demo - Racerbil på Imolabanan (optimering av fjädringsinställningar) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 7 / 16
Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 8 / 16
Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Skola: löses analytiskt 2 u x 2 = f (x) } {{ } enkel Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 8 / 16
Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Skola: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses analytiskt över enkla geometrier eller numeriskt med enkla Matlabprogram i 2D. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 8 / 16
Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 8 / 16
Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 8 / 16
Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 8 / 16
Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skillnaden mellan skola och arbetsliv Skola: mer analytiskt, Arbetsliv: mer numeriskt Arbetsliv: 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = f (x,y,z) u = f (x,y,z) } {{ 2 } komplicerad löses numeriskt över godtyckliga geometrier med specialiserad programvara. Matematikkunskaperna gör fysiken "enkel"(viktigaste: analytisk). Viktigt med förståelse för bakomliggande matematik. Gör om geometriberoende PDE till gometrioberoende ODE. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 8 / 16
Vad är FEM? Vad är FEM? Finita elementmetoden: Delar upp en geometri i små delar (mesh). Ekvationer beskriver hur delarna och omgivningen interagerar med varandra. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 9 / 16
Vad är FEM? Vad är FEM? Finita elementmetoden: Delar upp en geometri i små delar (mesh). Ekvationer beskriver hur delarna och omgivningen interagerar med varandra. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 9 / 16
Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 10 / 16
Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 10 / 16
Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 10 / 16
Matematiken bakom FEM Matematiken bakom FEM Ekvationen u = f i Ω, u Ω = 0 (PDE) skall lösas. Gör om den till en matrisekvation Aξ = F med A R m,n, ξ, F R n,1. Ω u vdx = Ω f vdx med v = Ψ j V h H 1 0, u = ξ i Ψ i [ ] Ψ i Ψ j dx ξ i = f Ψ j dx i } Ω {{ } Ω } {{ } A j,i F j Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 10 / 16
Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 11 / 16
Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 11 / 16
Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 11 / 16
Matematiken bakom FEM cnt d Matematiken bakom FEM cnt d Mer generellt ges ODEerna: M 2 U + C U t 2 t + KU = F (generell dynamik) D T t AT = F (värmeledning) M, C, K, F är konstanta matriser = Enkel ekvation att lösa Så PDE (svår, geometriberoende) = ODE (lätt, geometrioberoende) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 11 / 16
Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 12 / 16
Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 12 / 16
Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 12 / 16
Viktigaste frågan Viktigaste frågan Är resultat verkligheten? Meshstorleken: noggrannhet vs tidsåtgång. Hur noggrant beskrivs det verkliga förloppet? Matematisk- och fysikalisk förståelse viktig. Ofta: kvalificerade förenklingar av modellen. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 12 / 16
Exempel: modellförenkling Exempel: modellförenkling En fläkt med 8 blad, bladen är jobbiga att mesha. Idé: byter ut bladen mot massor och tröghetsmoment. Mäter upp tyngdpunkten p 0 och tröghetsmoment (egenvärden) I 1, I 2, I 3 och egenvektorer v 1, v 2, v 3 för ett blad. Även tyngdpunkten för fläkten p fan. Använder transformationer för att skapa resten. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 13 / 16
Exempel: modellförenkling Exempel: modellförenkling En fläkt med 8 blad, bladen är jobbiga att mesha. Idé: byter ut bladen mot massor och tröghetsmoment. Mäter upp tyngdpunkten p 0 och tröghetsmoment (egenvärden) I 1, I 2, I 3 och egenvektorer v 1, v 2, v 3 för ett blad. Även tyngdpunkten för fläkten p fan. Använder transformationer för att skapa resten. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 13 / 16
Exempel: modellförenkling Exempel: modellförenkling En fläkt med 8 blad, bladen är jobbiga att mesha. Idé: byter ut bladen mot massor och tröghetsmoment. Mäter upp tyngdpunkten p 0 och tröghetsmoment (egenvärden) I 1, I 2, I 3 och egenvektorer v 1, v 2, v 3 för ett blad. Även tyngdpunkten för fläkten p fan. Använder transformationer för att skapa resten. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 13 / 16
Exempel: modellförenkling forts. Exempel: modellförenkling forts. cos(θ) 0 sin(θ) T rot (θ) = 0 1 0 sin(θ) 0 cos(θ) Det i-te bladet har (p i p fan ) = T rot ( πi)(p 4 0 p fan ) och I (θ) = (T rot P)D(T rot P) T där,... P = v 1 v 2 v 3... D = 3 i=1 I ie i e i = diag(i 1, I 2, I 3 ) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 14 / 16
Exempel: modellförenkling forts. Exempel: modellförenkling forts. cos(θ) 0 sin(θ) T rot (θ) = 0 1 0 sin(θ) 0 cos(θ) Det i-te bladet har (p i p fan ) = T rot ( πi)(p 4 0 p fan ) och I (θ) = (T rot P)D(T rot P) T där,... P = v 1 v 2 v 3... D = 3 i=1 I ie i e i = diag(i 1, I 2, I 3 ) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 14 / 16
Exempel: modellförenkling forts. Exempel: modellförenkling forts. cos(θ) 0 sin(θ) T rot (θ) = 0 1 0 sin(θ) 0 cos(θ) Det i-te bladet har (p i p fan ) = T rot ( πi)(p 4 0 p fan ) och I (θ) = (T rot P)D(T rot P) T där,... P = v 1 v 2 v 3... D = 3 i=1 I ie i e i = diag(i 1, I 2, I 3 ) Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 14 / 16
Avslutande kommentarer Avslutande kommentarer Strukturdynamik - viktigt med matematikkunniga personer. Stor arbetsmarknad och efterfrågan. Som konsult: omväxlande med möjlighet att arbeta med olika projekt. Intressant att beskriva verkligheten med beräkningar. Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 15 / 16
Frågor? Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 16 / 16