Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y + 4y = 0 e. y + y = 0 f. y + 2y + 5y = 0 g. 4y + 5y + 6y = 0 h. y + 3y = 0 i. y + 5y + 6y = 0 j. y 2y + 6y = 0 k. y + 6y + 9y = 0 402. (A) Funktionen y(x) är en lösning till differentialekvationen y 4y + 20y = 0, sådan att y(0) = 1. Beräkna y(π/2). 403. (A) Differentialekvationen y + ay + by = 0 har en lösning y = (2x 3)e 5x. Bestäm konstanterna a och b. 404. (B) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 12y 16y = 0 b. y 3y + 3y y = 0 c. y 8y + 22y 20y = 0 d. y (4) + 2y +y = 0 e. y 27y = 0 f. y 6y + 12y 8y = 0 g. y 6y + y 6y = 0 h. y + 6y + 12y + 8y = 0 i. y + 5y + 19y 25y = 0 j. y 2y y + 2y = 0 k. y (4) 16y = 0 l. y + 8y = 0 m. y y = 0 n. y (4) y = 0 405. (B) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y (4) + 4y = 0 som uppfyller villkoren y(0) = 1 och lim y(x) = 0. x 406. (B) År 1650 hade jorden uppskattningsvis 545 millioner invånare. År 1984 hade detta antal ökat till 4625 millioner. Om det förutsättes att jordens folkökning dy dt är proportionell mot invånarantalet y(t) vid tiden t, när är då jordens landyta fylld med folk? Anta därvid att det får rum 4 människor per m 2 av landytan, som är ca. 150 10 6 km 2. 1
407. (B) En vattenreservoir av volymen 1000 m 2 har blivit förorenad av ett visst ämne så att dettas koncentration är 0.02 viktsprocent. Den dagliga förbrukningen av vatten är 20 m 2 och det ersätts kontinuerligt med rent vatten. Det är också ständigt i rörelse, så man kan anta att koncentrationen är i stort sett konstant inom hela reservoiren vid samma tidpunkt. Efter hur många dagar har koncentrationen sjunkit till 10 5 %? 408. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 3x 2 + x 4 b. y 2y = x c. y + 2y + 10y = 2x 2 + 3x d. y + 3y + 2y = 2x 2 + x + 1 e. y + 3y = 2x 2 + x + 1 f. 2y 2y + 3y = e x g. y + y + y = x + 1 h. y + 2y + y = xe x i. y 2y 3y = xe x j. y 6y + 9y = e 3x k. y 4y + 4y = 4 cosh 2x l. y 36y = e 6x m. y + 4y + 4y = 2e 2x + 3x n. y + 3y + 2y = 4xe 2x o. y (4) y = x 4 p. y + 2y = x 2 + 1 q. y + y = e x r. y + 3y 4y = 2 4x 2 s. y (4) y 2y = e x t. y y y + y = e x u. y (4) 4y + 4y = x 4 v. y 2y 4y = 50xe x w. y y + y y = e x x. y + y 5 y + 3 y = xe 3x 409. (A) Lös följande differentialekvationer: a. y 2y + 2y = e x då y (0) = 1, y (π/2) = 0 b. y 5y + 6y = e x då y(0) = y (0) = 1/2 c. y 4y + 20y = 48e 2x då y(0) = 0, y (0) = 12 410. (A) Verifiera att funktionen y = x sin x + cos x ln cos x satisfierar differentialekvationen y + y = 1 och bestäm den lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoren y(0) = y (0) = cos x 1. 411. (B) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 2y 3y = e 2x cos x b. y + y = sinx c. y 3y + 2y = e x sin x d. y + 4y + 5y = 8 cos x e. y + 3y + 2y = sin x f. y + 9y = e x sin 2x g. y 6 y + 10y = cos x h. y + 4y = e x sin 2x i. y + 2y + 2y = e x x cos x j. y + 6y + 13y = sin x 2
411. k. y + y = 4 cos x l. y + y = 2 sin x m. y + 4y = cos 2 x sin 2 x n. y + 4y = sin x cos x o. y + 2y + 5y = xe x cos 2x p. y + 2y + 5y = xe x sin 2x 412. (B) Lös följande differentialekvationer: a. y + y = 4x cos x, då y(0) = y (0) = 0 b. y y = x + cos x, då y(0) = 1/2, y (0) = 0 c. y 6y + 25y = e 3x cos 4x, då y(π/2) = 0, y (0) = 1 d. y + 625y = sin 25x, då y(0) = 5, y (0) = 25 e. y + 4y = e x sin 2x, då y(0) = y (0) = 0 f. y + 2y + y = 4e x + 25 cos 2x, då y(0) = y (0) = 1 413. (B) Bestäm y(2π) y(0) då y är lösning till differentialekvationen y + y = sin x. 414. (B) Lös differentialekvationen xy + 2y xy = xe x t.ex. med hjälp av substitutionen z(x) = xy(x). 415. (B) Bestäm för alla reella konstanter a den allmänna lösningen till differentialekvationen 9y 6y + y = e ax. 416. (B) Lös följande differentialekvationer: a. y (4) + 2y + y = x, då y(0) = y (0) = y (0) = y (0) = 0 b. y y + y y = 2e x, då y(0) = y (0) = y (0) = 1 417. (B) Bestäm den lösning till differentialekvationen y 3y + 2y = e x för vilken y(0) = 0 och lim y(x) = 0. x 3
Ledningar till uppgifterna 401 417. 401. Jämför exemplen 1 3 på sid 218. 402. Bestäm först den allmänna lösningen till differentialekvationen. Använd sedan villkoret y(0) = 1 för att bestämma en av konstanterna. 403. Den karakteristiska ekvationen r 2 + ar + b = 0 måste i detta fall ha en dubbelrot 5, dvs. r 2 + ar + b = (r + 5) 2. Alternativt kan man sätta in y = (2x 3)e 5x i differentialekvationen. Man får efter förenkling ett polynom vars koefficienter måste vara 0. 404. Jämför exemplen 5 och 6 på sid 1012. 405. Bestäm först den allmänna lösningen till differentialekvationen. Använd sedan extravillkoren. 406. Lösning: Det gäller alltså att dy dt = λy, där λ är en konstant. Lösningen till denna linjära och homogena differentialekvation är y(t) = Ae λt, där A = y(0). Om man väljer tidsskalan så att t = 0 infaller år 1650, sätter t 1 = 1984 1650 = 334, y(0) = y 0, y(t 1 ) = y 1, Y den "maximala" folkmängden och T det antal åt efter 1650 som denna uppnås, så gäller: Logaritmering ger: y 1 = y o e λt 1 Y = y o e λt ln y 1 = ln y 0 + λ t 1 ln Y = ln y 0 + λ T Elimination av konstanten λ ger T ln y 1 t 1 ln Y = (T t 1 ) ln y 0 dvs T = t 1 ln (Y/y 0 ) ln (y 1 /y 0 ). Insättes i detta y 0 = 545 10 6, y 1 = 4625 10 6, Y = 4 150 10 12 samt t 1 = 334, får man T = 2173. Maximal folktäthet uppnås alltså enligt detta 2173 år efter 1650, dvs. år 3823. (Anmärkning: Den namnkunnige siaren Nostradamus (1403 1566) författade en, låt vara något dunkel men enligt egen utsago sammanhängande, profetia angående mänsklighetens öden fram till år 3797 nästan fram till 3823 alltså! Jmfr också Georg Ljungström: Den världsberömde siaren 4
Nostradamus profetior om världens öden från år 1558 till 3797. Litteraturförlaget, Stockholm 1922, sid 31 och 32.) 407. Låt y(t) vara koncentrationen av ämnet vid tiden t mätt i dygn. Verifiera först att om M är minskningen av ämnet i reservoiren under (det korta) tidsintervallet t och y är koncentrationsändringen under samma tid, så är M 1000 y 20 y t, vilket leder till differentialekvationen dy dt = 1 50 y. Lös denna och använd sedan villkoren y(0) = 2 10 4 och y(t) = 10 7 för att bestämma tidpunkten T, vid vilken koncentrationen av föroreningen är 10 5 %. 408. Se exemplen 1 och 2 på sid 1016. 409. Bestäm först den allmänna lösningen till differentialekvationen. Beräkna sedan konstanternas värden med hjälp av bivillkoren. 410. Se föregående uppgift. Några "mellanresultat": y (x ) = x cos x sin x ln cos x y (x) = x sin x cos x ln cos x + 1/cos x 411. Se exemplen 1 och 2 på sid 1016. 412. Bestäm först den allmänna lösningen till differentialekvationen. Beräkna sedan konstanternas värden med hjälp av bivillkoren. 413. Bestäm först den allmänna lösningen till differentialekvationen. Beräkna sedan y(2π) y(0). 414. Man får efter substitution och förenkling: z z = xe x. 415. Två fall: a = 1/3 (en rot till den karakteristiska ekvationen) och övriga a-värden. 416-7. Bestäm först den allmänna lösningen till differentialekvationen. Beräkna sedan konstanternas värden med hjälp av bivillkoren. 5
Svar till uppgifterna 401 417. 401. a. y = Ae 3x b. y = Ae 3x + Be x c. y = Ae 2x + B d. y = (Ax + B)e 2x e. y = Acos x+ Bsin x f. y = e x (Acos 2x+ Bsin 2x) g. y = e (5x/8) Acos 71 71 8 8 h. y = A+ Be 3x i. y = Ae 2x + Be 3x j. y = e x (A cos 5x+ B sin 5x) k. y = (Ax + B)e 3x 402. e π 403. a = 10, b = 25 404. a. y = Ae 4x + (Bx + C)e 2x b. y = (Ax 2 + Bx + C)e x c. y = Ae 2x + e 3x (B cos x + C sin x) d. y = (Ax + B)cos x + (Cx + E)sin x e. y = Ae 3x + e (3x/2) B cos 3 3 2 x + C sin 3 3 2 x f. y = (Ax 2 + Bx + C)e 2x g. y = Ae 6x + B cos x + C sin x h. y = (Ax 2 + Bx + C)e 2x i. y = Ae x + e 3x (B cos 4x + C sin 4x) j. y = Ae 2x + Be x + Ce x k. y = Ae 2x + Be 2x + C cos 2x + E sin 2x l. y = Ae 2x + e x (B cos 3x + C sin 3x) m. y = A + Be x + Ce x n. y = Ae x + Be x + C cos x + E sin x 6
405. y(x) = e x (cos x + A sin x), där A är en godtycklig konstant. 406. År 3823 nås befolkningsmaximum. 407. Efter ca 380 dagar. (Beräkningarna ger 50 ln 2000 dagar) 408. a. y = 1 x x 2 + Ae 3x b. y = 1 4 x2 1 4 x + Ae2x + B c. y = 1 5 x2 + 11 50 x 21 250 + e x (A cos 3x + Bsin 3x ) d. y = x 2 5 2 x + 13 4 + Ae x + Be 2x e. y = 2 9 x3 1 18 x2 + 10 27 x + A + Be 3x f. y = 1 3 ex + e x/2 A cos g. y = x + e x/2 A cos 5 2 x + Bsin 5 2 x 3 2 x + Bsin 3 2 x h. y = 1 4 x 1 4 ex + (A x +B)e x i. y = Ae 3x + B 1 16 x 1 8 x2 e x j. y = 1 2 x2 + Ax + B e 3x k. y = 1 8 e 2x + (x 2 + Ax + B ) e 2x l. y = 1 12 x + A e6x +Be 6x m. y = 3 4 x 3 4 + (x2 + Ax + B ) e 2x n. y = Ae x + ( 2x 2 4x + B ) e 2x o. y = x 4 24 + A e x + Be x + Ccos x + Esin x p. y = 1 6 x3 + A +Bcos 2x + Csin 2x q. y = 1 2 ex + A e x + e x/2 3 Bcos 2 x + Csin 3 2 x r. y = x 2 + 1 +Ae x + (Bx + C ) e 2x s. y = 1 2 ex +Ae 2x + Be 2x + C cos x + E sin x 7
408. t. y = 1 4 x2 +Ax + B e x + C e x u. y = 1 4 x4 + 3x 2 + 9 2 + (Ax + B)e 2x + (Cx + E)e 2x v. y = ( 10x 2) e x + A e 2x + e x (Bcos x + Csin x) w. y = 1 4 e x +Ae x + B cos x + C sin x x. y = 1 32 x2 + 1 32 x + A e 3x + (Bx + C) e x 409. a. y = 1 5 e x + 1 10 ex [(6 e π ) cos x + (6 + e π ) sin x ] b. y = 1 2 ex c. y = 3e 2x (1 cos 4x + sin 4x ) 410. y = x sin x + cos x ln cos x + cos x + sin x 411. a. y = 1 10 e2x (sin x 2 cos x) + A e 3x + B e x b. y = 1 2 sin x 1 2 cos x + A e x c. y = 1 10 (sin x + cos x) e x + A e x + B e 2X d. y = cos x + sin x + e 2x (A cos x + B sin x) e. y = 3 10 cos x + 1 10 sin x + A e x + Be 2x f. y = 1 52 e x (4 cos 2x + 6 sin 2x ) + A cos 3x +B sin 3x g. y = 1 13 cos x 2 39 sin x + e3x (A cos x + B sin x) h. y = 1 17 e x (4 cos 2x + sin 2x ) + A cos 2x +B sin 2x i. y = 1 5 ex 1 2 x + 1 2 1 5 cos x 2 5 sin x + e x (A cos x + Bsin x ) j. y = 1 30 cos x 1 15 sin x + e 3x (A cos 2x + Bsin 2x ) k. y = A cos x + (2x +B) sin x l. y = (A x) cos x + B sin x m. y = A cos 2x + 1 x + B 4 sin 2x 8
411. n. y = A 1 x 8 cos 2x + B sin 2x o. y = e x A + 1 16 x cos 2x + B + 1 8 x2 sin 2x p. y = e x A 1 8 x2 cos 2x + B + 1 x 16 sin 2x 412. a. y = x cos x + (x 2 1) sin x b. y = e x x 1 2 cos x c. y = 1 8 x + 1 4 e3x sin 4x d. y = 1 x + 5 50 1251 cos 25x + 1250 sin 25x e. y = 4 17 (e x 1) cos 2x + 1 17 (e x + 1) sin 2x f. y = (3 5x) e x + e x 3 cos 2x + 4 sin 2x 413. π 414. y = 1 4 (x 1)ex + A ex x + B e x x 415. y = 1 (3a 1) 2 eax + (A x + B) e x/3 om a 1 3, y = 1 18 x2 + Ax + B e x/3 om a = 1 3 416. a. y = x + 1 2 x cos x 3 sin x, 2 b. y = x e x + cos x 417. y = 1 4 (e x e 2x ) 9