Något om Integraler och Mathematica

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic Något om Integrler och Mthemtic Bertil Nilsson 7-8-5 tn 6 tn 6 4 6 3 tn 3 3 tn 4 6 3 3 tn 4 6 3 4 6 3 tn 3 4 3 log 6 4 3 log 6 log log 4 3 log 6 4 3 log 6

Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Förord På följnde sidor presenters en elementär "streetwise guide" till integrler med flitig nvändning v Mthemtic. Frmställningen är fåordig, fri från pednteri men i någon mening fullständig. Det mn väsentligen ehöver vet om egrepp, terminologi, eteckningr och teori för tt modeller och lös prolem i frmtid kurser och rkesliv som ingenjör, nturvetre eller lärre klrläggs och tpisk eempel ges. Primitiv funktion Om F ' f för ll i ett intervll I, säger vi tt F är en primitiv funktion till f i intervllet I. Eempelvis hr funktionen den primitiv funktionen. En nnn är 7 eller mer llmänt C, där C etecknr en godtcklig konstnt. Dett inses genom tt deriver "klänges", därför klls på engelsk den primitiv funktionen för "the ntiderivtive of f ". Så om vi hr hittt en primitiv funktion F till f så skiljer sig ll ndr primitiv funktioner från denn enrt med en konstnt. Om F är en primitiv funktion till f i intervllet I, så gäller tt F ' f och vrje nnn primitiv funktion till f kn skrivs FC, där C etecknr en godtcklig konstnt. Uttrcket FC klls den oestämd integrlen till f och eteckns f. Alltså f FC klls integrltecken. f klls integrnden. klls integrtionsvriel. där klls måttet. F klls primitiv funktionen, sådn tt F ' f. C klls integrtionskonstnten. Eempel: Genom tt snegl på tellen för stndrdderivtor hr vi eempelvis tt 3 3 C, C och sin cosc. Om f är en kontinuerlig funktion hr vi speciellt följnde tt vil oss mot. Oserver tt dett r tlr om eistensen, inget om hur den fktiskt ser ut eller hur mn sk "räkn ut den". Huvudstsen för primitiv funktioner. Om f är kontinuerlig i intervllet I, så hr f primitiv funktioner i dett intervll. Om F är en v dem, så kn vrje nnn primitiv funktion skrivs FC, där C är en godtcklig konstnt. Bestämd integrl Främst rgumentet för integrlens införnde är tt få ett sätt tt mät ren A v en pln figur. Vi tänker oss tt denn pln figur är innesluten melln kurvn f, eln och linjern och, det vill säg vi hr situtionen enligt figuren till höger. f Antg tt en f är kontinuerlig i intervllet I och tt och är punkter inne i dett intervll. Strtegin är nu tt del in intervllet, i mindre delområden, en så klld prtition, n, se nedn. Melln två på vrndr följnde tl hr vi intervllet k k, k. I dess intervll estämmer vi sedn funktionens etremvärde, m k min f respektive M k m f. k k

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 3 f M k m k n n n k k k n M k m k I vrje delområde estämmer vi nu en undertäcknde rektngel med ren U k m k k, där k är längden v intervllet k, och en övertäcknde rektngel med ren Ö k M k k. Om vi kllr den sökt ren för A n hr vi följnde nturlig olikhet n n n n U k U k k m k k A n k M k k k Ö k Ö k k k n Om vi nu gör en förfining v prtitionen så tt n Ö U, m k så hr vi genom gränsövergång vid instängning tt A n A U Ö och säger tt ren A är mätr och tt f är integrerr i iemnns mening Bernhrd iemnn 86 866. n n Över- respektive undersumm i ändlig form ovn, eempelvis U k U k k m k k, kllr vi för iemnnsumm. Denn kommer till flitig nvändning vid modellering. Med den estämd integrlen v f från till, etecknd f mens då tlet A. Mn säger oft tt dett är "ren under f melln och " istället för det lite mer omständig, "ren v det område som egränss v kurvn f, -eln och linjern och ". Str får vi ntt v Integrlklklens medelvärdessts. Om f är kontinuerlig i intervllet, så finns en punkt Ξ, så tt f f Ξ. Den geometrisk inneörden v denn sts är tt ren v rektngeln f Ξ är lik stor som f, eller " f Ξ är det djup vi får när stormen lgt sig och nkdmmen ligger spegellnk". Låt m min, f och M m, f så hr vi M f Ξ m f Ξ m f M m f M Självklr olikhet Divider med m f M Låt tlet K f m K M Men f är kontinuerlig och ntr därför enligt stsen om mellnliggnde värden ll värden i m, M och speciellt då K. Alltså finns ett Ξ, så tt f Ξ K f, vilket är stsens inneörd

4 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Kopplingen melln estämd integrl och primitiv funktion till integrnden utreds i Anlsens huvudsts. Om f är kontinuerlig i intervllet så är F f tt en primitiv funktion till f, det vill säg F ' f. Geometrisk etder F ren under f i,. Vi får F f FhF h FhF h FhF h h F ' f h h f tt f tt Differenskvoten h h f tt Medelvärdesstsen, Ξ, h f Ξ h f Ξ Låt nu h F ' och Ξ Färdig t Därmed hr vi f FF. För skillnden FF nvänds smolen F, klld insättningstecken. Vi smmnfttr Den estämd integrlen v f från till f F FF där klls integrltecken. klls integrtionsvriel. klls undre integrtionsgränsen. klls måttet. klls övre integrtionsgränsen. F klls insättningstecken. f klls integrnden. Oserver tt FF inte eror på vilken primitiv funktion vi väljer. Är nämligen F och F åd primitiv funktioner till f så är F FC och Noter Den oestämd integrlen f är en funktion. F F FCFCFF Den estämd integrlen f är ett tl helt estämt v integrnden f och integrtionsgränsern. I iemnnsummn får vi en konkret ild v integrlens eståndsdelr lim n n m k k f Av iemnsummn inser vi tt m k k sk uppftts som en produkt, vrför k f. f oft skrivs kompktre som f. Vägen till den estämd integrlen går vi den oestämd, t f f F FF. Den estämd integrlen är helt oeroende v nmnet på integrtionsvrieln f f f öö f. Vi smmnfttr den estämd integrlens välkänd geometrisk inneörd. Om f och f är kontinuerlig i intervllet,, så är f lik med ren v det område som egränss v kurvn f, -eln och linjern och. Dett kn generlisers till ett te v -eln mot en funktion g f i,.

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 5 f f f f g g Lik välkänt ör det vr tt f eräknr ren med tecken. Positiv om f och negtiv om f. Så skilj nog på f och den målde ren som kn ehövs inför en res till färghndeln! f Inte så sälln hr mn ntt v tt deriver en estämd integrl med vseende på integrtionsvrieln. Å inte nog med det, även integrtionsgränsern ehgr ilnd också vr funktioner v smm vriel. Då är det onödigt tt först estämm den primitiv funktionen, det knske inte ens är möjligt, utn vi utnttjr r eistensen v en sådn om integrnden är kontinuerlig. Vi får h g f F h g Fh Fg F ' hh' F ' gg ' f hh' f gg ' Ilnd hr mn ntt v följnde om kontinuerlig funktioner Generliserde medelvärdesstsen. Om g i, finns ett tl Ξ, så tt f g f Ξ g. Tringelolikheten för integrler. f f. Enkl integrtionsregler och stndrdintegrler Liksom vid derivering nvänds metoden med tt "söndr och härsk". Strtegin som sk följs är tt sstemtiskt tillämp integrtionsregler som återför integrlern till viss stndrdintegrler (SI). Vi smmnfttr dess. Integrtionssregler, k konstnt, f och g integrerr i I,,, c I kfk f kfk f f g f g f g f g f c f c f f f k k Stndrdintegrler SI f f C Α Α Α, Α sin cos ln cos sin rctn Eempel: så vi får nledning tt titt på tellern med regler och (SI) igen

6 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN t t t t t C 4 3 t3 C 4 3 t t C cos cos sinc t t t t t t 3 t 3 t3 5 5 5 5 5 ln 5 ln5lnln5 c c 3 3 c c 3 c3 c c 3 c3 Jämfört med tt deriver, som är rätt frm med givn regler och stndrdderivtor, juder integrtion väsentligt mer motstånd och hr oft krktären v knep och knåp. En nödvändighet när mn integrerr för hnd är tt mn måste h derivert så mcket tt mn känner igen strukturer och stndrdderivtor "klänges", smt hr ett rejält uppslgsverk med stndrdintegrler och diverse tricks till hnds. Dess stndrdverk med tusentls stndrdintegrler och en uppsjö v retskrävnde trick hr plågt genertioner v ingenjörer. Titt gärn i en gmml lärook (eller n för den delen också, eempelvis PB!). Men nu är det n tider Att lär en dtor tt deriver är förhållndevis mcket enkelt, medn integrtionslgoritmer ständigt kräver resultt från den senste forskningen inom mtemtik. Mthemtic ligger i solut topp lnd CAS (computer lger sstems) och klrr i princip v tt estämm en primitiv funktion om det är möjligt. Det hel är mcket lättnvänt, ntingen direkt vi plette, eller på funktionsform Integrte[f,] och Integrte[f,{,,}], vilk nturligtvis döljer sig kom de mer smkfull grfisk vrintern. Funktionsformern hr dock fördelen tt mn i vnlig ordning kn lägg till Options om mn ehöver skedmt med hjälpnde informtion om integrnd och gränser som inte går tt list ut från formuleringen. End tillägget mn ehöver gör själv vid oestämd integrl är tt lägg till C (om mn nu i prktiken är intresserd v dett). Eempel: 3 3 3 3 3 3. Mthemtic vill h () om integrnden är f g. 3 3 Som sgt, C får mn lägg till själv om så önsks 3 3 Vi hr tidigre lärt oss tt smmnsättningen v två kontinuerlig funktioner är en n kontinuerlig funktion och för sådn eisterr en primitiv funktion. Prolemet är tt det är r en mcket liten mängd v ll sådn som kn skrivs ned med hjälp v vår elementär funktioner. När det går r rukr mn kll integrlen elementär nnrs icke elementär. Nturligtvis finns det gott om tillämpningr där icke elementär estämd integrler dker upp, då får mn nöj sig med en numerisk lösning, eempelvis hr vi som är mcket vnlig i sttistik. I Mthemtic finns NIntegrte[f,{,,}] för numerisk integrtion. I princip nvänds en iemnnsumm, där prtitionen förfins på ett fiffigt sätt tills önskd noggrnnhet uppnåtts. Eempel: Vid konstruktion v kmerlinser drs mn v Fresnels integrler Cis s cost t och Sis s sint t. Integrndern är som snes en smmnsättning v de snäll kontinuerlig funktionern g och f cos respektive f sin, men den kontinuerlig smmnsättningen f g resulterr i en icke elementär integrl. En nnn tillämpning är voch påfrtsrmper till motorvägr. Om s är den körd sträckn så kommer, Cis, Sis tt vr positionen på rmpen. Denn lussekttsformde kurv (v vilken mn nvänder sig v den inlednde iten ;-) rukr v väg- och vtteningenjörer klls för en klotoid. Eftersom dess integrler är så vnlig finns de definierde i Mthemtic på ett ur dtorsnpunkt effektivt sätt. Så här hr vi en normliserd vfrtsrmp och vr vi efinner oss på krtn efter tt h kört.75 längdenheter längs vägen....3.4.5.6.7..4.6.8 s.75 För sådn här integrler måste vi i det llmänn fllet gör en numerisk integrtion, även om Mthemtic är duktig nog tt härled mång vnligt förekommnde fll till lite mer rffinerde stndrdintegrler.

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 7 Sint t N Π S Π.368 NIntegrteSint, t,,.368 Eempel: Låt f vr den stckvis konstnt funktionen 4 i figuren och eräkn 4 f 3. f 4 3 4 3 3 4 3 Lösningsförslg: Integrtion v stckvis konstnt funktion. Del upp intervllet i lämplig itr så vi hr k k i vrje intervll. Så med lite integrtionsregler och stndrdintegrler 4 4 f 3 4 4 f 3 4 4 f 3 4 4 f 3 4 4 4 f 4 34 3 3 4 4 4 4984 4 4 3 3 3 4 4 Eempel: Bestäm Π cos och den målde ren som innesluts melln kurvn cos, -eln och de två linjern och Π. Lösningsförslg: Situtionen återges i figuren cos 3 4 5 6 Vi får den estämd integrlen Π cos sin Π sinπ sin. Π Cos Den målde ren lir däremot Π cos. Det finns ingen direkt metod tt integrer soluteloppsfunktionen, utn denn måste z om z löss ut med hjälp v sin definition z. Om vi då hr teckenväling i integrtionsintervllet måste dett stcks upp z om z på motsvrnde sätt. Så är fllet här, cos ter tecken åde vid Π 3Π och enligt figur ovn, vrför Π cos Π 3Π cos Π cos 3Π cos Π 3Π Π sin sinπ sin3π 4. Nturligtvis tr Mthemtic hnd om situtionen på ett korrekt sätt

8 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Π AsCos 4 Eempel: Sök den målde ren som innesluts melln kurvorn, och linjen i först kvdrnten. Lösningsförslg: Vi hr situtionen Plot,,,,, Filling, FillingStle Green, AesLel "", "", Epilog Tet" ",.8,.8, Tet"",.8,.3..8.6.4...4.6.8. Kurvorn skär vrndr vid, så den målde ren lir 4 3 3 As 8 3 3 4 6 4 3 4 4 6 8. Återigen, rit figur så prolemställningen lir tdlig. En direkt förväling med integrl ger ett v de två felktig svren,, Prtiell integrtion Enligt regeln för derivering v en produkt hr vi f g f ' g f g ' Integrer nu åd sidor med vseende på f g f ' g f g ' I vänsterledet kn vi "förkort ort" måttet och kvr lir f g C f gc så f gc f ' g f g ' Om vi kr in integrtionskonstnten C i någon v de två integrtionskonstntern som generers v de oestämd integrlern på högersidn och stuvr om termer så hr vi prtiell integrtion. f g ' f g f ' g f g ' f g f ' g Prtiell integrtion. Oestämd form. Prtiell integrtion. Bestämd form. Det hndlr lltså om ett litet trick när integrnden är en produkt. Genom tt fltt "sprven" från g till f så är önskemålet tt integrlen på högersidn sk li enklre än den på vänstersidn. Vi tr det tpisk eemplet

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 9 Eempel: Bestäm ln. Lösningsförslg: Prtiell integrtion (vd nnrs?). Det gäller r tt välj rätt g och f! Om vi tcker tt integrlen lir svårre kn mn ju lltid prov tvärtom, eller så är det inte prtiell integrtion som är medicinen ln Vi provr med tt deriver ihjäl ln, så välj g ' och f ln ln ln ln 4 C g f g Nturligtvis känner Mthemtic till prtiell integrtion f ' Log log 4 Eempel: Bestäm Π sin. Lösningsförslg: Prtiell integrtion... Π sin Välj f och g ' sin Π cos Π cos Π cos Π cos å igen med f, g ' cos Π cos sin Π Π sin Π cos sin Π cos Π Π cossin Π cosπ ΠsinΠ cossin Π Π 4 Eller med lite mindre möd Sin sin cos Π Sin Π 4 Vrielsustitution Om vi drr oss till minnes kedjeregeln vid derivering och kör dett klänges får vi integrtion genom vrielsustitution f gg ' f uu med u g. Om nämligen F är en primitiv funktion till f hr vi Fg F ' gg ' f gg ' Med u g f gg ' Fg C FuC f uu Vi smmnfttr i en f gg '. Välj sustitution u g Kokok för vrielsustitution. Bt mått, deriver sustitutionen implicit; u g u g ' u g 3. Om estämd integrl, så t gränser u g u u f uu Eempel: Bestäm Π4 cos. Lösningsförslg: Vrielsustitution (vd nnrs?). Vi tr frm kokoken. Π4 cos. Välj sustitution u g. Bt mått, u u g u u g Π 4 3. Om estämd integrl, så t gränser Π u g Π cosu u sinu Π

Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Med Mthemtic är det r tt skedmt som vnligt Π4 Cos Eempel: Bestäm rctn. g ' g Lösningsförslg: Först prtiell integrtion, f rctn f ' rctnrctn. I sist integrlen får vi t till vrielsustitution. Frm mé kokoken Vrv slutligen. Välj sustitution u g. Bt mått, u u u g u g 3. Om estämd integrl, så t gränser u g u u u u lnu ln rctnrctn ArcTn Π log4 4 Π 4 ln Π 4 4 ln Π 4 4 ln Π ln4 4 Eempel: Bestäm 4. Lösningsförslg: Visst, vrielsustitution. Vd skulle vi gör utn kokoken 4. Välj sustitution u g u. Bt mått, u u g uu 3. Om estämd integrl, så t gränser u g4 3 u g 3 u u rctnu 3 Π 3 Π 4 Π 6 3 u u u u 4 Π 6 Eempel: Bestäm ren v en cirkel med rdien. Lösningsförslg: På grund v duel smmetri räcker det tt studer en fjärdedel v tårtn och förväntr oss lltså svret 4 Π.

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic Åkll cirkelns ekvtion. Vi väljer nturligtvis tt plcer dess centrum i origo, så. Låt nu licken svep från vänster till höger över figurern, det vill säg pproimer kvrtscirkelns re underifrån med mång sml rektnglr och studer sedn en i mängden vid. Denn hr ren A höjds. Divider åd sidor med, A och låt så hr vi A A. Sedn är det r tt lägg smmn ll de små reorn A A A. Nu väntr vrielsustitution!. Välj sustitution sinθ. Bt mått, cosθ Θ sinθ Θ 3. Bt gränser sinθ Θ Π Π sin Θ cosθ Θ Trig. ettn Π cosθ cosθ Θ Θ, Π cosθ Π cos Θ Θ Dul vinkeln, cosθ cos Θ sin Θ Trig. ettncos Θ cos Θ cosθ cos Θ cos Θ cosθ Π cosθ Θ Θ sinθ Π Π 4 Π PowerEpnd Med lite mindre möd Π 4 Duel- och trippelintegrl Vi hr tidigre stiftt eknskp med funktioner som hr fler oeroende vriler och en eroende vriel. På smm sätt som vid nls i en vriel är mn även i dess fll intresserd v hur funktionen eter sig i närheten v en punkt. Därför introducerdes egreppet prtiell derivt. Om mn vill kn mn se derivt som en lokl opertion och integrl som en glol opertion, det vill säg eräkning v eempelvis re, volm och mss för ett område. Följktligen vill mn utvidg integrlegreppet för en enkelintegrl, f, till tt gäll för funktioner med fler oeroende vriler och en eroende vriel. Antg tt vi hr en funktion z f, : och vill ge mening åt duelintegrlen f,. esn följer i llt väsentligt den för frmtgning v estämd enkelintegrl, repeter gärn denn och se figurern nedn. Vi örjr med tt täck över integrtionsområdet med ett rektngulärt rutnät och låter prtitionen vr de små tstcken med ren A som generers v rutnätet. Om vi finner tt n st v dess rutor ligger i så kommer rut nr k tt innehåll punkten k, k och h den lill rektngulär ren A k k k. Tillsmmns med funktionsvärdet f k, k definiers så en sml pelre med volmen f k, k A k. Om vi utgår från tt f är snäll kn vi gör proceduren kort med hjälp v en iemnnsumm. Gör en llt finre rutnät och se till tt den störst rutns re går mot noll så hr vi tt Duelintegrlen f, lim n ma k n f k, k A k kn tolks som volmen under funktionstn f, k då, genomlöper. Speciellt hr vi med f, tt ren v.

Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN På grund v denn konstruktion är det inte så märkligt tt de enkl integrtionsreglern vi känner sedn tidigre ärvs över. Integrtionssregler, kf, k f, k konstnt f, g, f, g, f, f, f, k k ren För tt h "en chns" tt eräkn f, nltiskt krävs tt integrtionsområdet är vänligt sinnt i den meningen tt dess utseende gör tt vi kn eräkn f, som två enkelintegrler. Vi väljer tt ehndl två sådn utseenden under seprt ruriker. Men först en kort notis om tt duelintegrlen utvidgs nturligt till polär koordinter, se de två figurern till vänster, smt till trippelintegrl i den högr figuren. Duelintegrl i polär koordinter Trippelintegrl Β r Θ Α r f r, Θ r rθ Θ där lill ren A åglängdrdieökning r Θ r r rθ del v nnsring A Θ Πr Π r r Θrr r ArΘr r f,, z där lill volmen V z ektngulärt integrtionsområde Med dett menr vi ett rektngulärt område prllellt med -lrn, c, d, se figurern nedn. Med skivformeln hr vi tt volmen enligt den vänstr figuren är V enligt den högr figuren V f, A d c f,. f, c d A c d f, men också Så vi kn tdligen vid rektngulärt reducer eräkningen v duelintegrlen till eräkning v två enkelintegrler. Mn rukr tl om den ttre och den inre integrlen. Vid eräkning v den inre integrlen etrktr mn den ttre integrlens integrtionsvriel som konstnt (jämför prtiell derivering). Slutligen noterr vi tt det är oeroende i vilken ordning vi ehndlr integrlern

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 3 d f, c f, d c f, vid rektngulärt, c, d. I Mthemtic är det r tt strt med tt trck på integrtionspketet i plettenå en gång till med mrkören ställd i integrndrutn. Eempel: Bestäm ren v den rektngel som hr sidorn och. Lösningsförslg: Mek in rektngeln i först kvdrnten så tt dess sidor lir prllell med -eln respektive -eln. Efter en liten klkl hr vi den välkänd ren. Förtdlig gärn gränsern vid insättningstecknet med vilken vriel det fktiskt är som mn sk gör insättningen i, eempelvis. Denn enkl okhållning eliminerr mång "trckfel" vid hndräkning! A Eempel: Bestäm 3. Lösningsförslg: Vi söker tdligen volmen under z f,,, 3,. Vi örjr väl med en liten ild Plot3D,,,,, 3,, AesLel "", "", "z" Håll ordning på vilken integrtionsvriel "som gäller" för tillfället så får vi följnde lill klkl. V 3 3 3 3 6 3 3 6 3 6 33 3 95 6 Undrr ängsligt om det lir smm svr om vi ter ordning på integrlern V 3 3 3 3 3 3 3 33 3 35 3 35 6 35 6 35 6 95 6 Vá r, nu återstår r tt låt Mthemtic få sist ordet 3 95 6, 95 6, 3 Eempel: Bestäm volmen under den flgnde mttn z f, cossin,, Π, Π. Lösningsförslg: Vi örjr väl som vnligt med en liten ild Plot3DCosSin,,, Π,,, Π, AesLel "", "", "z"

4 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Håll ordning på vilken integrtionsvriel "som gäller" för tillfället så får vi följnde lill klkl. V Π Π Π cossin sinsin Π sinπ Πsin sinsin Π Π Π sinπcos ΠcosΠ cos Undrr vd Mthemtic säger i ärendet Π Π CosSin Icke-rektngulärt integrtionsområde Med dett menr vi tt vi "släpper i väg" en v integrtionsriktningrn till tt få h funktioner som undre och övre integrtionsgränser, se figurern nedn. I fllet med de två vänstr figurern hr vi g f, g f, och nlogt med ett enligt den högr figuren. d h f, c h f, Noter i dess fll tt den inre integrlen måste eräkns först eftersom dess gränser är funktioner v den ttre integrlens integrtionsvriel! Eempel: Bestäm ren v den tringel som egränss v -eln och linjern och 6. Lösningsförslg: Vi örjr väl med en liten ild. Plot,,, 6, Filling Ais, FillingStle Ornge, AesLel "", "" 3..5..5..5 3 4 5 6 Eftersom vi söker ren är f,. Vidre hr vi funktioner som integrtionsgränser i -riktningen, så nu är det r tt välj rätt formel ovn. Håll slutligen ordning på vilken integrtionsvriel "som gäller" för tillfället så får vi följnde lill klkl. g A 6 6 6 g f, 4 6 4 6 9 Ser ju r ut, eftersom vi vet tt A shöjd 63 9. Men Mthemtic då 6 9

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 5 Eempel: En tunn stenpltt i form en prllelltrpets med hörnen i,, 4,, 5, 3 och, 3 hr msseläggningen Ρ, kgm. Bestäm stenplttns mss. Lösningsförslg: Vi örjr väl som vnligt med en liten ild över integrtionsområdet sten,, 4,, 5, 3,, 3; GrphicsLighterBlue, Polgonsten, ed, Tet,, Bckground White & sten, Plotnge, 6,, 4, Aes True, AesLel "", "" 4 3, 3 5, 3, 4, 3 4 5 6 Vi hr funktioner, rät linjer, som integrtionsgränser i -riktningen men konstnter i -riktningen, så det gäller först tt vsk frm de rät linjern h och h. Med två känd stödpunkter pplicert på k m får vi lätt ekvtionssstemen k m k 3 m k, m 5 vrv h 5 och 4 k m 5 k 3 m k, m 5 vrv h 7 Nu är det r tt integrer frm mssn. Håll slutligen ordning på vilken integrtionsvriel "som gäller" för tillfället!! h m 3 7 3 h Ρ, 5 7 5 3 7 7 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 kg Å så här mcket tcker Mthemtic tt stenplttn väger 3 3 7 5 ottionsvolm kring -eln Vi är intresserde v tt estämm den volm som uppstår då området som är innesluten melln kurvn f, -eln och linjern och sveper ett vrv kring -eln. Vi gör en prtition v, och pproimerr den uppkomn volmen underifrån med en mängd små clindrr. Situtionen åskådliggörs nedn. f f z Vi studerr nu en v de små clindrrn i mängden. Den generers genom tt låt en liten rektngel svep ett vrv runt -eln, se figur nedn. Volmen för denn lill clinder lir V st höjd Π eller som det ser ut i figuren V Π. Det spelr ingen roll, sk vi se, vilken vi väljer. Spektklet sk ju helst funger oeroende v kurvns lutning vid.

6 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN f f z V Π V Π V Π V Π V V V Π Färdig Divider åd sidor med. Gå i gräns, det vill säg låt. Definition v derivt i VL. Multiplicer åd sidor med måttet. Lägg nu smmn ll dropprn med stöd v iemnn När en ingenjör retr rukr denne lit på gränsövergången och "t genvägen" från figuren direkt till de två sist leden. Likrtde sekvenser återkommer i tid och otid vid modellering. Idén är tt rt ned ett ojekt i små enkl väldefinierde tomer; rät linjestcken, rektnglr, clindrr, rörstumpr, prllellepipeder... som sedn läggs smmn med stöd v iemnn. Lär dig metoden, inte den färdig formeln! ottionsvolm kring -eln V Π Eempel: Bestäm den rottionsvolm som uppstår då området som är innesluten melln kurvn, -eln och linjern och sveper ett vrv kring -eln. Lösningsförslg: epeter retsgången ovn! Sedn hr vi direkt V Π Π Vrielsustitution u Π u u Π u Π Π z Π Π Det llmänn fllet då mn känner tvärsnittsren A rukr klls skivformeln. Då lir i nlogi med ovn volmen för en tunn V skiv vid, V A, och slutligen kroppens volm V V A.

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 7 ottionsvolm kring -eln Vi är intresserde v tt estämm den volm som uppstår då området som är innesluten melln kurvn f, -eln och linjern och sveper ett vrv kring -eln. Vi gör en prtition v, och pproimerr den uppkomn volmen underifrån med en mängd tunnväggig rör, som stundom klls "lökringr". Situtionen åskådliggörs nedn. f f z Vi studerr nu en v de tunnväggig rören i mängden. Den generers genom tt låt en liten rektngel svep ett vrv runt -eln, se figur nedn. Volmen för denn lökring lir V omkretstjocklekhöjd Π. f f z V Π V Π V Π V Π V V V Π Färdig Divider åd sidor med. Gå i gräns, det vill säg låt. Definition v derivt i VL. Multiplicer åd sidor med måttet. Lägg nu smmn ll dropprn med stöd v iemnn ottionsvolm kring -eln V Π Smm resultt lir det om mn delr upp vrvet i n st tändstickor med rektngulär s, V nst höjdn Π Π n eller om mn etrktr hel ottentn som en nnsskiv V Π Π Π Π V Hel tiden iemnnsumm v små geometrisk tomer Lär dig metoden, inte formeln! Π. Gå i gräns! Eempel: Bestäm den rottionsvolm som uppstår då området som är innesluten melln kurvn, -eln och linjern och sveper ett vrv kring -eln. Lösningsförslg: epeter retsgången ovn! Sedn hr vi direkt V Π Π Π 3 Π 4 4 Π 3Π 4 z

8 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Π 3 Π Båglängd Vi är intresserde v tt estämm längden S v en kurv som är eskriven på prmeterform t t, t, t t, t. Som snes väljer vi tt ret i två dimensioner, men en utvidgning till rmdkurv sker odrmtiskt genom tt "lägg till" en tredje koordintfunktion zt. Se smmnfttning nedn. Strtegin lir som tidigre tt gör en prtition v t, t i prmeterrummet och pproimer kurvn med små rät linjestcken, enligt den vänstr figuren. t,t tt tt,t t,t s t t tt Vi väljer ett litet linjestcke i mängden som går melln punktern t, t och t t, t t. Situtionen återges i den högr figuren och vi nvänder oss nturligtvis v Ptgors sts för tt estämm längden s v det lill linjestcket s s Dett lir nu sen för tt estämm åglängder när vi hr en funktionen eskriven på lite olik former. Men först vslutr vi prmeterformen där vi får s t t t t t t s t t t t s ' t ' t s ' t ' t t t Nu är det r tt lägg smmn ll små stumpr S S s t t ' t ' t t Den eplicit formen f,, lir nu en enkel tillämpning på det vi redn gjort. f f s Eftersom vi lätt kn klä den eplicit formen i prmeterskrud med som prmeter,,,,, hr vi direkt med resulttet ovn S S s ' Till sist hr vi den polär formen rθ, ΘΘ, Θ.

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 9 rθsinθ rθ rθ Θ Θ rθcosθ Med stöd v figuren ovn till höger kn även denn lätt skrivs om till prmeterform med Θ som prmeter, nämligen ΘΘ, Θ rθcosθ, rθsinθ, ΘΘ, Θ. Nu är det r tt räkn på ' Θ rθcosθ r' ΘcosΘ rθsinθ Θ ' Θ rθsinθ r' ΘsinΘ rθcosθ Θ ' Θ r' Θ cos Θ rθ r' ΘcosΘsinΘ rθ sin Θ ' Θ r' Θ sin Θ rθ r' ΘcosΘsinΘ rθ cos Θ s ' Θ ' Θ Θ rθ cos Θ sin Θ r' Θ cos Θ sin Θ Θ rθ r' Θ Θ Så till slut S S s Θ Θ rθ r' Θ Θ Vi smmnfttr Båglängd Prmeterform t t, t, zt, t t, t : S S s t t Eplicit form f,, : S S s ' t ' t z' t t ' Polär form rθ, ΘΘ, Θ : S S s Θ Θ rθ r' Θ Θ Dess integrler juder vnligtvis upp till mcket hårt motstånd, då kommer numerisk integrtion väl till pss. Eempel: Bestäm längden v digonlen i enhetskvdrten! Lösningsförslg: Om vi plcerr in digonlen i vårt koordintsstem kommer den eempelvis tt löp från, till, och eskrivs v,,. Nu är det r tt välj den eplicit vrinten ovn S. Eempel: Bestäm längden v helien Θ5cosΘ, 5sinΘ, Θ, Θ, 4Π. Lösningsförslg: Eftersom vi hr en prmeterfrmställning v en rmdkurv, väljer vi nturligtvis S 4Π 5sinΘ 5cosΘ Θ 6 Θ 4Π 4Π 6 4 Π D5 CosΘ, Θ D5 SinΘ, Θ DΘ, Θ Θ 4 6 Π PrmetricPlot3D5 CosΘ, 5 SinΘ, Θ, Θ,,4Π, PlotStle Thickness.3, ColorFunction Function,, z, Huez

Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN ottionsre kring -eln Vi är intresserde v tt estämm ren v det skl eller såphinn som uppstår då kurvn f,, sveper ett vrv kring - eln. Vi gör en prtition v, och pproimerr den uppkomn ren med ren v en mängd sml nd. Situtionen åskådliggörs nedn. f f z Vi studerr nu en v de tunn nden i mängden. Den generers genom tt låt ett ågelement s svep ett vrv runt -eln, se figur nedn. f f s z För tt estämm ren v ett sådnt nd klipper vi upp längs s och rullr ut det på ordet. Vi får då en del v en öppen cirkelring med innerrdien och sektorns medelpunktsvinkel Θ smt de "ärvd" måtten Π och s inritde. Aren A v ndet är tdligen skillnden melln två cirkelsektorer. A Θ Π s A Θ Π Π s Θ Π Π A Θs s A Π s s A s A Π s A Π s Skriv om Men ΘΠenligt fig Divider med s s Π Låt s. Multiplicer åd sidor med måttet s Färdig Med åglängd i färskt minne s ' är det nu r tt lägg smmn ll små reor ottionsre kring -eln A Π ' Även dess integrler juder vnligtvis upp till mcket hårt motstånd, då kommer numerisk integrtion väl till pss. Eempel: Härled ren v mnteltn A ΠS Π H för en rk cirkulär kon. Lösningsförslg: Plcer spetsen i origo och rottionseln längs -eln, se figur. Genertrisen eskrivs då v funktionen som ges v likformig tringlr H. Nu är det r tt räkn på! H H z

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic A Π ' H Π H H Π H H H Π H Eller direkt i Mthemtic H Π H D H, Π H H ottionsre kring -eln Vi är intresserde v tt estämm ren v det skl eller såphinn som uppstår då kurvn f,, sveper ett vrv kring - eln. Vi gör en prtition v, och pproimerr den uppkomn ren med ren v en mängd sml nd. Situtionen åskådliggörs nedn. f f z Vi studerr nu en v de tunn nden i mängden. Den generers genom tt låt ett ågelement s svep ett vrv runt -eln, se figur nedn. f s f z För tt estämm ren v ett sådnt nd klipper vi upp längs s och rullr ut det på ordet. Vi får då en del v en öppen cirkelring med innerrdien och sektorns medelpunktsvinkel Θ smt de "ärvd" måtten Π och s inritde. Aren A v ndet är tdligen skillnden melln två cirkelsektorer. Π Θ A s A Θ Π Π s Θ Π Π A Θs s A Πs s A s Skriv om Men ΘΠ enligt fig Divider med s s Π Låt s. A Π s A Π s Multiplicer åd sidor med måttet s Färdig Med åglängd i färskt minne s ' är det nu r tt lägg smmn ll små reor ottionsre kring -eln A Π ' Även dess integrler juder vnligtvis upp till mcket hårt motstånd, då kommer numerisk integrtion väl till pss.

Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Eempel: Härled ännu en gång ren v mnteltn A ΠS Π H för en rk cirkulär kon. Lösningsförslg: Dett lir mnteltn till den "dul" konen till den i föregående eempel med rottion kring -eln. Plcer spetsen i origo och rottionseln längs -eln, se figur. Genertrisen eskrivs då v funktionen som ges v likformig tringlr H H. Nu är det r tt räkn på H z Eller direkt i Mthemtic A Π ' Π H Π H Π H Π D H, Π H Generliserde integrler Vid definitionen v estämd integrl f FF, där F är en primitiv funktion till f, förutstte vi tt integrnden f vr kontinuerlig överllt i intervllet, smt tt dett vr egränst. Dess förutsättningr gör tt vi får prolem med eempelvis sin,,, och. I de tre först är integrnden inte definierd i hel intervllet och i de två sist är intervllet oegränst. Vi sk gör en generlisering i två etpper. Först ntr vi tt integrnden är kontinuerlig i det inre v intervllet, det vill säg, och definierr f lim F lim F Om åd gränsvärden eisterr ändligt säger vi tt f är en konvergent generliserd integrl nnrs divergent. Vi hr med ndr ord överfört prolemet till tt estämm egentlig och oegentlig gränsvärden. Eempel: Bestäm Lösningsförslg: Smolen får mn inte räkn med utn måste ersätts med en vriel smt gränsövergång. Sålund är en konvergent generliserd integrl. lim lim rctn lim rctnrctn Π Π Eempel: Bestäm Lösningsförslg: I dett eempel är integrnden inte definierd för. Alltså hr vi en divergent generliserd integrl. lim lim ln lim lnln lim ln I ndr etppen tillåter vi tt f är diskontinuerlig i ett ändligt ntl punkter,,, n i det inre v intervllet, det vill säg n, och överför prolemet till integrler under etpp ett genom tt utnttj välkänd regel för uppdelning v integrtionsintervllet

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 3 f f f n f n f n Om nu smtlig integrler i högerledet är konvergent enligt ovn säges f vr konvergent, nnrs divergent. Speciellt hr vi de viktig resultten är konvergent om Α, nnrs divergent. Α är konvergent om Α, nnrs divergent. Α Jämförelse f g : g konvergent f konvergent. f divergent g divergent. Till slut en liten tröst. I Mthemtic ehöver vi inte gör något speciellt, uttrck v tpen som eemplifiers ovn ehndls korrekt. Vi vslutr med eemplet frmför ndr, därefter en repris på eemplen ovn, sedn någr till. Eempel: Bestäm ren och volmen v den kropp som uppstår då kurvn,, sveper ett vrv kring eln. Lösningsförslg: Med tnke på dess utseende och minst sgt lite mstisk egenskper rukr denn kropp klls för Griels horn. Innn vi ger oss i kst med uppgiften piggr vi upp oss med en liten ild där spetsen på hornet är vhuggen. Volm och re för Griels horn får vi genom tt tillämp välkänd "formler" och nvunnen kunskp om generliserde integrler. Först volmen Sedn ren V Π lim Π Πlim Πlim Π Π A Π ' lim Π Denn integrl är inte enkel tt estämm för hnd, men för tt vgör konvergens räcker det med tt gör en uppskttning v integrnden och nvänd jämförelseresulttet ovn Π,Π ' 8 6 4 3 4 5 A lim Π lim Π Π lim lnln Så A enligt jämförelse. Vi hr lltså en konvergent respektive en divergent generliserd integrl. Griels horn går med ndr ord tt fll med färg, Π volmsenheter, men det finns inte färg "i världen" tt mål dess vägg!!! Det mstisk uppträder i oändligheten, för ändligt stor horn hr vi ändlig mått på såväl volm som re. Eempelvis hornet i figuren ovn 5 V Π 4 Π 5

4 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN 5 A Π ' Π 66 5 sinh sinh 5 Numeriskt... NV, A.537,.8...och den lite knepig primitiv funktionen vid reeräkningen Simplif Π ', Π sinh 4 Eempel: Bestäm. Lösningsförslg: Vid divergens kn Mthemtic ilnd ehöv lite hjälp med omskrivning till ett gränsvärde enligt ovn. Plot,,,, PlotStle ed, AesLel "", "" 8 6 4..4.6.8. Limit,, Direction Eempel: Bestäm ln och. Lösningsförslg: Dett är konvergent generliserde integrler, trots tt den ndr är diskontinuerlig mitt i integrtionsintervllet. Log, 5..5.5. 5 Log, As 4, 4

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 5 Blndde tillämpningr för resten Som vi hr sett ovn vid estämning v volm, re och åglängd så är det tpisk ngreppssättet tt söndr och härsk. Strtegin är tt del upp modellen i små välkänd delr (söndr) f ; linjestcken, rektnglr, tringlr, cirklr, lådor, clindrr, rör och sedn lägg smm dess med en integrtion (härsk) för tt återskp helheten, jämför Lego f Oft hndlr det om tt integrer något strkt egrepp som mss, rete eller energi som inte direkt ser ut tt kunn integrers. Då kommer någon fsiklisk princip som kopplr egreppet till geometri väl till pss. En oft nvänd sådn är tt mss är densitet gånger volm m ΡV med enheten kgm 3 på densiteten. Inte sälln nvänds lämplig enhet på densiteten eroende på situtionen. Eempelvis en tråd m ΡL med kgm som enhet på Ρ och m ΡA på ett ppper med Ρ i enheten kgm. För tt pss den lill infinitesiml formen uppträder de sedn som m ΡV och så vidre. För tt vr stringent "medlem i kennelkluen" krävs tt mn modellerr med differenser, eempelvis, ildr iemnnsumm och går i gräns för tt komm över till en integrl likt härledningrn för rottionsvolmer. En ingenjör rukr hopp över dett led och gå direkt till differentilen. I det följnde kommer vi tt se en lnding v dess ngreppssätt. Eempel: Bestäm tngdpunkten (msscentrum) för en tringel med sen och höjden h. Lösningsförslg: Se figur nedn där ett ntl diskret mssor m i är plcerde vid i på -eln och formuler frågeställningen vid tngdpunktseräkning som "Vr sk stödet plcers på gungrädn så tt vi hr jämvikt?". Låt stödet vr plcert vid G (center of Grvit). De mssor som sitter till vänster om G vrider moturs med ett krftmoment i G m i g, eftersom i G, och de till höger medurs, eftersom i G där. Vid jämvikt sk dess idrg t ut vrnn, det vill säg n i i G m i g. Denn ekvtion estämmer tngdpunktens läge G. Om vi sedn ersätter ll m i med en kontinuerlig msseläggning Ρ kgm på -eln och går i gräns får vi så åd formern v tngdpunktsestämning. Givetvis är det helt nlogt i - och z-riktningrn vid estämning v tngdpunkten för en modell i D eller 3D. Om kroppen hr en smmetrilinje ligger tngdpunkten på denn, så vid fler sådn ligger den i skärningen melln dem. Smm gäller nturligtvis för smmetripln. Diskret form n i i G m i Ρ kgm mρ Kontinuerlig form m G m G Ρ m m Oft ser mn en uppdelning i två integrler G m G m m m G m m m m G m m m, där m m är mssn för hel kroppen. Tpiskt läroöcker i Meknik skrivn för tröttnde hndräkning. Vi lägger oss givetvis när definitionen! Nu över till vår tringel som vi ntr hr tdensiteten Ρ kgm. Plcer den enligt figuren och striml den i led. En sådn striml rektngel vid hr redden och höjden och sålund ren A och mssn m ΡA. Slutligen ges kopplingen melln och v likformig tringlr h. Så nu är det r tt h mek ihop det hel och lös ut G. Skriv G med nnn font i Mthemtic så tt den inte krockr med integrtionsvrieln, eempelvis G vilket skrivs dsg, eller helt enkelt G. h Solve h G Ρ h h, G G h 3

6 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Eempel: En mur sk ggs längs trädgårdsgränsen sin Π,, 5 och i vrje punkt, 5 längs gränsen h höjden. Beräkn murens re. 5 3 4 5 Lösningsförslg: Tips, sätt lite sml rädor på muren. Aren v en sådn sml räd lir A shöjd s ',så : Sin Π 5 da ' 4 5 Π cos Π Π 4 sin 5 5 Integrlen lämns med vrm hnd över till Mthemtic 5 A da 4 Π 45 sinh Π 5 Π 5 4 Π E 54 Π Π 5 5 3 4 som till snes gärn tr hjälp v diverse "eotisk funktioner". Här rcussinushperolicus och en fullständig elliptisk integrl. Om mn tänkt sig tt mål muren och vill gör ett estående intrck på färghndlrn är det r tt klipp ut och vis frm. När munterheten klingt v kn det vr lämpligt tt ättr på med NA 54.943 Eempel: Beräkn ren v det område, som egränss v eln och en åge v ckloiden tt sint, t cost. A Lösningsförslg: Vi får A A Π t Vrielsustitution tt sint Π tπ t t t t Π cost t Π costcost t Dul vinkeln, costcos tsin ttrig. ettn cos tcos t cos t cost Π cost costt 3 t sint 4 sint Π 3 Π 3Π A A Π Cost t A 3 Π

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 7 Eempel: Beräkn ren v det område som egränss v lemnisktn r cosθ, Θ, Π. Lösningsförslg: Först lite tterligre teori för den polär formen. Vi söker den re A som innestängs v kurvn och de två strålrn rθ och rθ Θ. Se figur. Vi går tillväg på motsvrnde sätt som när vi örjde med estämd integrl. Studer nu intervllet I Θ, Θ Θ. Med Ξ m, Ξ M, kn vi då i I finn r min min rθ Ξ m Θ och Ξ m r m m rθ Ξ M Θ. Ξ M rθθ A rθ Vår re A innestängs tdligen melln två cirkelsektorer med smm medelpunktsvinkel Θ, så Θ ΘΘ Θ Π min A Θ Π m Divider med Θ och för in r min och r m rθ Ξ mθ A Θ rθ Ξ M Θ Nu är det r tt gå i gräns, Θ. rθ A Θ rθ Instängning färdig A rθ Θ Θ A Θ rθ Θ Lägg smmn ll idrg Att eercer är ldrig fel! Vi tr en metod till. Approimer A med den grön tringeln i figuren. A shöjd rθrθ ΘsinΘ A sinθ rθrθ Θ Θ Θ A Θ A Θ sinθ rθrθ Θ A rθ Θ Nu är det äntligen d tt tillämp dett på ursprungsprolemet A Π A AsCos Θ Θ A Divider med Θ Nu är det r tt gå i gräns, Θ. Känt gränsvärde i högerledetfärdig Eempel: Bestäm med hjälp v integrl volmen v en rk cirkulär clinder med srdien och höjden H. Genomför klklen åde med små clindrr och små lökringr Lösningsförslg: Först små clindrr. Lägg den ned och låt, H svep runt -eln. Vi får då direkt med formel V Π V H V Π V H Π Sedn stående clinder med små lökringr runt -eln där H,. Vi får då direkt med formel V Π V V Π H V H Π

8 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Eempel: Bestäm med hjälp v integrl volmen v ett klot med rdien. Genomför klklen åde med små clindrr och små lökringr Sök slutligen dess re Lösningsförslg: Först små clindrr som vid hr rdien vilken ges v. Så med formel V Π V V V 4 Π 3 3 V Π V Π PowerEpnd V 4 Π 3 3 Sist integrlen juder helt klrt mest motstånd. Gör vrielsustitutionen u u som pssr som hnd i hndsken! Slutligen med u u och u ö får vi stndrdintegrlen V Π u u Π u 3 4Π3. 3 3 Avslutningsvis klotets re som vi väljer tt etrkt som en rottionst kring -eln. Integrnden ser värre ut än vd den är, t Π ' Π Π Π A Simplif A A 4 Π Π D,, Eempel: Bestäm med hjälp v integrl volmen v en rk cirkulär kon med srdien och höjden H. Genomför klklen åde med små clindrr och små lökringr Lösningsförslg: Först små clindrr. Lägg konen ned så tt spetsen hmnr i origo och -eln längs dess rottionsel. Vid hr den lill clindern en rdie som ges v likformig tringlr (rit!) H. Så med formel V Π V V HΠ H V 3 H Π Ställ sedn konen med spetsen uppåt. Vid hr den lill lökringen höjden som ges v likformig tringlr (rit!) formel V Π V V Π H H. Så med V 3 H Π

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 9 Eempel: Till helgen kn det knske vr lämpligt tt jud på en chokldprlin formd som en stmpd cirkulär kon med rdiern och smt höjden. Sök dess volm. Lösningsförslg: Enklst är det tt posioner prlinen så tt dess rottionsel smmnfller med -eln och etrkt den som en rottionsvolmen kring -eln Π. Det end ekmret vi hr innn vi kn integrer är tt estämm rdien, som uppenrligen är linjär k m. Vi känner den i två punkter så k m,,,, k m k m k m kåm Solve k m, k m, k, m First k, m vrv k m. kåm Nu är det r tt integrer ntingen direkt Π Π 3 3 Π 3 3 3 Π 3 3 8 3 4Π3 3 eller med vrielsustitution för tt slipp krångel med inre derivtn. Sustitutionen u u. Måttet u u 3. Gränsern u Π u u Π 3 u3 Π 3 3 8 3 4Π3 3 eller med Mthemtic. V V Π 4 Π 3 V 3 Eempel: Bestäm den rottionsvolm som uppstår då området som är innesluten melln kurvn, -eln och linjern och sveper ett vrv kring linjen. Lösningsförslg: epeter retsgången ovn och lssn inte på lockropen från en färdig formel! Vi hr följnde ilder som stöd, ett -snitt och en 3D-v. ottionsel. 3..8.6.4. f z

3 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN En liten lökring vid hr rdien r, tjockleken och höjden, så dess lill volm lir V Π. Nu är det r tt lägg smmn ll de små idrgen V V Π V 7 Π 6 Eempel: Itliensk ingenjörer projekterr en hängro över Messinsundet melln Sicilien och fstlndet. Bron kommer tt h ett spnn på 8 km och pilonern lir 38 m hög. Antg tt den längst vjern hr formen v en prelåge. Sök längden på denn? 4 3 4 6 8 Lösningsförslg: Plcer ett koordintsstem med origo i 4, och estäm prelågen k utgående från givn dt,, 4, 3838 k 4, så : 38 4 Nu är det r tt tillämp färdig formel för tt eräkn längden på vjern S S N 4 ' S 36 9 S 847.88 sinh 9 Eempel: Beräkn åglängden v spirlen, som i polär koordinter är definierd genom ekvtionen rθ 8 Θ,Θ4Π. 4 3 4 Lösningsförslg: Direkt tillämpning på åglängd, S S s Θ Θ rθ r' Θ Θ rθ : Θ8 S S 4 Π rθ r'θ Θ S 65 Π Eempel: Vid lstning v en m hög clindrisk silo med rdien 4 m räknr mn med tt mterilet pcks i silon påföljnde sätt. Om silon är flld till höjden H m så ges densiteten h m över otten v Ρhln5 H h kgm 3, h H. Beräkn mssn i en full silo. Lösningsförslg: Skiv upp silon i små clindrr med höjden h och vriernde rdie r. Mssn för den lill clindern på höjden h ges sedn v m ΡV ΡΠr h ln5 H hπ4 h. Nu är det r tt lägg smmn ll de små idrgen till en full silo M m Log5 h Π4 h M 8 Π4 log5 5 log5

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 3 Eempel: På ett reningsverk finns en ssäng för smutsigt vtten. Denn hr höjden 4 m och cirkulärt tvärsnitt med rdien r h m, h 4. Den är helt flld med smutsigt vtten som eroende på prtiklr hr densiteten Ρ 8 kgm 3, där är djupet under tn. Bestäm vttnets totl mss. Lösningsförslg: Skiv upp ssängen i små clindrr med höjden h och vriernde rdie r. Den lill clinderns mss ges sedn v m ΡV ΡΠr h 4h 8 Πh h. Nu är det r tt lägg smmn ll de små idrgen M m 4 4 h 8 76 Π M 3 Π h h Eempel: Bestäm tngdpunkten för en tunn tråd som är öjd till en hlvcirkel med rdien och medelpunktsvinkel Α. Tngdpunktens läge G ges v ekvtionen m G m. Α Lösningsförslg: Eftersom tngdpunkten ligger på en smmetrilinje ligger den uppenrligen på eln. Använd polär koordinter. Låt mssn för en liten it s vid cosθ lir då m Ρs ΡΘ, där Ρ är trådens konstnt densitet kgm. Så nu är det r tt lägg smmn ll små idrg och slutligen estämm tngdpunktens läge. s Θ ΘΘ Α Solve Α Α G sinα Α CosΘ G Ρ Θ, G Eempel: Bestäm tngdpunkten för en tunn homogen cirkelsektor med rdien och medelpunktsvinkeln Α. Tngdpunktens läge G ges v ekvtionen m G m. Α Lösningsförslg: Eftersom tngdpunkten ligger på en smmetrilinje ligger den uppenrligen på -eln. Vi drr ntt v förr eemplet och etrktr vrje liten lökringsit som en tunn tråd. Vid rdien r hr denn tngdpunkten rsinα och mssn ΡrΑr. Så Α nu är det r tt lägg smmn ll små itr och eräkn G. Solve r SinΑ G Α Ρ rαr, G G sinα 3 Α Vi kn också utnttj sml tringlr, där vi känner till från tidigre eempel tt tngdpunkten ligger på v höjden från toppen. Så 3 del upp cirkelsektorn i sml tårtitr, tringlr (rit figur ;-) med höjden och sen sin Θ vid ΘΑ, Α. Tringlens mss lir m ΡA Ρ höjdensen Ρ Θ sin sin då Ρ Θ. Sätt nu ihop tårtn igen.

3 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN Α Solve Α 3 CosΘ G Ρ Θ, G G sinα 3 Α Om vi däremot inte hr någr eempel i färskt minne kn vi för tt slipp uppdelning v integrtionsintervllet välj tt integrer i led istället. De små idrgen kommer då från sml rädor med dimensionen och mssn m Ρ. Dess hr nturligtvis tngdpunkten i mitten som i vårt koordintsstem är plcert i. Nu är det r tt sätt igång Tvärr lir integrnden lite kinkig, så vi får låt Assumtions hjälp till med lite informtion om ingående vriler. Θ Α Å SolveTnΑ,,, First tnα, tnα dm Ρ d d Ρ SolveIntegrte G dm d. Å,,, SinΑ, Assumptions, Π Α, G G sinα 3 Α Lite enklre integrl lir det om vi går över till polär koordinter, sinθ. Glöm inte tt fi måttet d dθ i dm ovn. Θ ÅÅ SolveTnΑ, CosΘ, SinΘ,,, First sinθ tnα sinθ tnα cosθ,, sinθ tnα dm Ρ D. ÅÅ, Θ dθ dθ Ρ cosθ Α Solve G dm dθ. ÅÅ Θ, G G sinα 3 Α Eempel: I en sml rk stång med längden L m är densiteten Ρ kgm proportionell mot vståndet i kvdrt till stångens en ändpunkt. Bestäm tngdpunkten G ur ekvtionen m G m. L Lösningsförslg: Låt vr koordint i stången räknt från "en" ändpunkten. Mssn för en liten it vid lir då m Ρ k och slutligen tngdpunktens läge. L Solve G k, G G 3 L 4

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 33 Eempel: En pppskiv som egränss v kurvn,,, 4, med konstnt tdensitet Ρ, är uppriggd enligt figur. Bestäm tngdpunkten G, G om vi vet tt denn estäms v ekvtionen m G m, och nlogt i riktningen. 3..5..5..5 3 4 Lösningsförslg: Mssn för en liten striml vid lir m Ρ. Tngdpunkten för en sådn striml är, r tt prllellt räkn ut tngdpunktens läge i - och -riktningen. ; 4 NSolve, G, G Ρ, G, G G.857, G.49. Nu är det Eempel: Bestäm tngdpunkten för en homogen cirkulär kon med ottenrdien och höjden H. Lösningsförslg: Först små clindrr. Lägg konen ned så tt spetsen hmnr i origo och -eln längs dess rottionsel. Vid hr den lill clindern en rdie som ges v likformig tringlr (rit!) H. Med konstnt densitetet Ρ kgm3 hr vi så Solve H G ΡΠ H, G G 3 H 4 Eempel: Bestäm msströghetsmomentet J m r m för en tunn rektngel med redden, höjden och mssn m, med vseende på en el längs knten. Lösningsförslg: Först hr vi tdensiteten Ρ m. Klipp sedn upp rektngeln i sml rektngulär strimlor. Bidrget till tröghetsmomentet från en sådn är J m Ρ. Nu är det r tt lägg smmn. J m J J m 3 Eempel: En tunn pppskiv i form v en rätvinklig tringel med mssn m är uppriggd enligt figur. Sök msströghetsmomentet m r m då den roterr kring eln. Lösningsförslg: Först hr vi tdensiteten Ρ m och hpotenusns ekvtion. Klipp sedn upp tringeln i sml rektngulär strimlor. Bidrget till tröghetsmomentet från en sådn är J m Ρ. Nu är det r tt lägg smmn.

34 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN J m J J m 6 Eempel: En tunn tråd med densiteten Ρ öjs till en spirl med rdien rθ kθ,θ4π. Bestäm spirlens msströghetsmoment kring origo. I figuren till höger är spirlen uppritd med k.5. k.5 Lösningsförslg: Klipp upp spirlen i små itr s rθ. Det lill tröghetsmomentet ges sedn v J r m r Ρs r ΡrΘ. Sedn är det r tt lägg smmn ll de små idrgen J 4 Π J Ρ k Θ 3 Θ J Π k Ρ 3 k Eempel: Vilket rete krävs för tt dr ut en fjäder m om mn vet tt krften 4 N drr ut den 3 m? Lösningsförslg: Låt fjädern vr utdrgen m. Det lill retet tt dr ut den tterligre ett litet stcke lir då A F k 4 3 och slutligen A A A 4 A 3 A 5 3 Eempel: En rottionssmmetrisk tnk 9,8som är helt flld v en vätsk med densiteten Ρ sk tömms med hjälp v en pump på tket. Vilket rete kommer pumpen tt uträtt? Lösningsförslg: Vi väljer tt integrer i riktningen. På höjden över "mrken" sk vi lft en liten vätskeclinder sträckn 8 A upp till tket, så hel det uträttde retet lir A A m g8 m V g8 ΡV 8 g8 ΡΠ 9 49 8 g8 ΡΠ49 som vi med nöje överlämnr till Mthemtic A 8 A g 8 Ρ Π 49 A 43 Π g Ρ 3 Eempel: Under en retsdg med grävskopn producers en konformd grushög med srdie är m och höjd H m. Vilket rete hr grävskopn uträttt då sist sndkornet plcerts på toppen v konen? Ledning: Att lft mssn m höjden h kräver retet mgh. Betrkt sedn det uträttde retet som tt lft mång tunn cirkulär skivor på plts. Lösningsförslg: Följ tipset. Om h är höjden som en liten clinder sk lfts får vi hel retet som grävskopn uträttr till A A A m ghm V ghρv H ghρπr h it likformig Hh H r r H H h H ghρπ H H h h som vi med nöje överlämnr till Mthemtic

HH/ITE/BN Integrler och Mthemtic 35 A A Hg hρπ H H h h A Π gh Ρ Eempel: En tringulär dmmluck enligt figur sk är trcket från vttnet som vrierr enligt pρg Nm, där är djupet undervttentn. Söktotltrckkrften på luckn. Lösningsförslg: Låt luckns redd vr vid djupet. Likformig tringlr ger då 4 vrv. Test: och 4, Ok På djupet hr vi så på den lill rektngeln A den lill trckkrften F pa Ρg Ρg. Sedn är det r tt lägg smmn ll de små idrgen F F F 8 g Ρ 3 Ρ g Eempel: En tringulär dmmluck är lgrd kring en el i luckns pln vid vttentn enligt figur. Antg tt vttentrcket är pρg Nm vid djupet och sök sedn det vridmoment i eln som vttentrcket orskr. Lösningsförslg: Låt luckns spets vr på djupet H och dess redd vid djupet. Likformig tringlr ger då tt H H vrv. Test: och H, Ok På djupet hr vi på den lill rektngeln A den lill krften H F pa orsknde det lill momentet M F på eln. Slutligen ges H v Ptgors sts, H. Nu är det r tt härm i Mthemtic ÅH Solve H H,H,H,, H First 5 3, H 5 3 5 3 M H.ÅH M Ρ g. ÅH M 65 3 g Ρ Eempel: En tringulär dmmluck är lgrd kring en el i luckns pln vid vttentn enligt figur. För tt kunn genomför en dnmisk nls krävs kännedom om msströghetsmomentet J M r m kring eln. Sök denn om luckns mss är M. Lösningsförslg: Låt luckns spets vr på djupet H och dess redd vid djupet r. Likformig tringlr ger då tt Hr H vrv r. Test: r och r H, Ok På djupet r hr vi på den lill rektngeln A r den lill mssn H m ΡA Ρr Ρ r H r och idrget J r m. Slutligen ges H v P:s sts, H och M ΡA Ρ H. Nu är det r tt mek ihop det hel från örjn igen med Mthemtic HÅdm Solve H r H,dmΡdr, H 3,MΡ M 3 r 5,dm 5 3 drm dr Mr, H 5 3,Ρ 75 5 3 H,, dm, H, Ρ Lst

36 Integrler och Mthemtic HH/ITE/BN J H.HÅdm J J 5 M r dm dr. HÅdm r Eempel: Specifik värmet för järn vid temperturen T C nts vr ct 6T 45 J. Bestäm den värmemängd som åtgår för kg C tt värm 5 kg järn från C till 3 C. Lösningsförslg: T hjälp v dimensionsnls, så ser vi tt den värmemängd J som åtgår för tt höj temperturen på m kg järn från T C till T T C är J mctt. Nu är det r tt gör hel vrm resn J 3 5 J 466 J 5 45 6T T Eempel: Studer ren v den pltt tut som innestängs melln två spirler på polär form rθ Θ. En sådn spirl rukr klls Arkimeds spirl. Bestäm speciellt det fll som åskådliggörs i figuren med r i Θ Θ och r Θ Θ då Θ, Π. Lösningsförslg: Vi sk t hjälp v duelintegrl och ehöver då ldd upp med lite teori ngående polär form. Vi äddr för den lill ren A genom tt gör två rdiell snitt med medelpunktsvinkeln Θ genom en "nnsring" indikerd v de två streckde cirkelågrn i figuren nedn. Inneringen hr llmänt rdien rθ och tterringen rdien rθ r. Vi förstår tt den lill ren A upptr ndelen Θ v hel nnsringens re, som i sin tur är skillnden melln två cirkelreor. Så Π r i Θ A rθ r r Θ A Θ Π ΠrΘ r rθ ndelttre cirkelre inre cirkelre Kvdreringsregel och förenkl A Θ r rr r Gå i gräns, Θ, r. A rrθ Färdig Θ A r Θ Θ ri rrθ Θ Lägg smmn ll idrg i r och Θ led rθ Θ r Θ Θ ri f r, ΘrrΘ Θ Allmänt om något vrierr över tn, eempelvis volmen under ett tk. Θ Θ Θ ΘΘ Nu är det r för oss tt integrer frm den re som söks i prolemteten. A Θ r Θ Π ri rrθ Θ Θ Π Θ rrθ r rθ rθ Θ Π Θ Θ Θ 3Θ Θ Θ3 ΘΠ Θ Π3 3 4Π 3 Å så här mcket tcker Mthemtic tt tutren är A Π A A 4 Π 3 Θ Θ r r Θ