MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den om den är konvergen.. (a) Beräkna 8x + 5 9x + x dx Avgör om konvergerar. Beräkna i så fall dess värde. dx x x 3. Beräkna cos x + cos x dx. 4. Avgör om den generaliserade inegralen är konvergen eller divergen. Besäm dess värde om den är konvergen. 5. Avgör om den generaliserade inegralen ln 3 d d är konvergen eller divergen. Besäm dess värde om den är konvergen. 6. Avgör om den generaliserade inegralen dx + x + x är konvergen eller divergen. Besäm dess värde om den är konvergen. 7. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen 8. Beräkna ln( + ) 3 d. + d är konvergen eller divergen. Beräkna den om den är konvergen.
(a) 9. Beräkna (a) d d 8 3 + + + + d x ln(x + ) dx.. Beräkna x x dx om den konvergerar. Visa annars a den divergerar.. När kurvan y = + x, x roerar kring y-axeln uppsår en kropp. Beräkna volymen av denna.. När kurvan y = + x, x roerar kring x-axeln avgränsas en kropp i rumme. Beräkna volymen av denna kropp. 3. När område i plane som ligger över x-axeln, men under kurvan y = x x roerar run y-axeln uppsår en kropp i rumme. Beräkna volymen av den. 4. (a) Kurvan y = e x, x, roerar run x-axeln. Besäm arean av den ya som då uppsår. Kurvan y = ln( x ), x /, roerar run y-axeln så a en ya uppsår. Beräkna arean av den. 5. En parikel rör sig i plane enlig den parameriserade kurvan (x(), y()), där { x() = e 4 cos y() = e 4 sin. Hur lång färdas parikeln mellan iden = och =? 6. En skålformad behållare beskrivs av a man låer kurvan y = x, x 4 (4 meer) roera run y-axeln. Den är fylld ill höjden m av en oljeblandning som skika sig så a densieen på höjden h är 8 h kg/m 3. Vilke arbee krävs för a pumpa upp alla olja ill behållarens kan? 7. Vid en olycka på en oljeplaform sker e usläpp av olja. Vid en viss idpunk finns på avsånde x km från plaformen, där x, e x / ( + e x / ) on olja per kvadrakilomeer. På mer än kilomeers avsånd är oljemängden försumbar. Hur mycke olja har oal släpps u vid idpunken? 8. Man ska gräva e m lång dike med e värsni av formen y = x. De ska vara 9 m djup och 6 m bre (som bredas). m 6 m 9 m Man räknar med a jorden som ska grävas upp har en densie av formen ρ(d) = c + kd kg/m 3 där d är djupe under markyan och c sam k konsaner. Besäm e uryck för de (minsa) arbee som krävs för a gräva gropen. (Tyngdacceleraionen beecknas g och enheen är joule.)
9. Vid e bygge lyfs en behållare på marken med kg cemen från en sällning m ovan mark, genom a dra i e rep som väger / kg per meer. Vilke arbee uförs om behållaren lyfs ill en punk 5 m ovan mark?. Den 5 april 999 van Maria Grosso den sörsa loerivinsen som diills förekommi. Hon fick välja mellan a få oal 97 miljoner $ ubeal koninuerlig under 6 år eller a direk få en klumpsummma på 4 miljoner $. (Uppgifen kräver räknedosa!) (a) Vad var bäs a välja om man räknar med 6% koninuerlig räna? Om man räknar med 5%? Vinnaren valde klumpsumman. Vad rodde hon om ränan? Differenialekvaioner. Lös ekvaionen y y + y = e 3 + e.. Lös följande differenialekvaioner när x >. (a) xy = y(y ), xy + ( x)y = x. 3. Lös differenialekvaionen x y(x)y (x) = ( + y(x) ) cos(/x), x >, y(/π) =. 4. Lös följande differenialekvaioner (a) y x y = x, y() = x y xy = x 3, när x >. 5. Lös differenialekvaionen y + ( + x)y = e x, y() =. 6. Lös differenialekvaion y y = x, y () = y() =. 7. Besäm alla reella lösningar ill differenialekvaionen y () + y () + 5y() = e cos 3. 8. Lå f() =, då < och f() =, då. Lös differenialekvaionen y + y = f(), y() =, y () =, när. 9. Besäm med hjälp av Laplaceransformering den lösning ill y + y = 5e sin, för, som uppfyller y() = y () =. 3
3. Beraka differenialekvaionen y () + y() = f(),, där y() = y () = och f() är den periodiska funkion vars graf är f() 3 Besäm laplaceransformen ỹ(s) av lösningen y(). (De är allså ine själva y() som skall besämmas.) 3. Lå f() vara definierad för och ha Laplaceransformen f(s) = Besäm den lösning y() ill differenialekvaionen som uppfyller y() =. 3. Funkionen f() är definierad för och f() + (s + )e πs s. + y () + y() = f(),, f(ξ) sin( ξ) dξ = cos. Besäm funkionen f() och dess Laplaceransform f(s). Serier, poensserier och Taylorpolynom 33. För vilka x konvergerar x k+ k k? 34. (a) Besäm konvergensradien ill poensserien Avgör om serien konvergerar. Besäm i så fall dess värde. 35. För vilka x konvergerar k= (k!) 3 x k+ (3k)!3 k+. ( ) k (k + )3 k ( ) k x k k? 36. För vilka x konvergerar serien x 3k+ k k? 37. (a) Besäm konvergensradien ill poensserien (k!) x 4k+ k (k + )!. 4
Avgör om serien konvergerar. Besäm i så fall dess värde. ( ) k k(k )9 k 38. Besäm Taylorpolynome av ordning 6 kring x = ill funkionen x ( + x ). 39. Besäm Taylorpolynome av ordning 4 ill cos(x) kring x =. 4. (a) Besäm Tayloruvecklingen av ln x kring x = 3. Besäm Tayloruvecklingen av cos x kring x = π/3. 4. Besäm Taylorpolynome av ordning 9 kring x = ill funkionen /( x 3 ). 4. Beräkna gränsvärde av när x. 43. Beräkna gränsvärde av när. arcan(x ) x cos(x 3, ) ln( + 3 ) e sin(), Förslag ill svar. (a) ln()/4 Konvergen med värde π. (a) 9 ln 3x + 7 ln x + 8 8 Konvergen med värde π. 3. arcsin(sin(x)/ ) + C. 4. Konvergen med värde /4. 5. Konvergen med värde 4/3. 6. Konvergen med värde π/4 7. (a) 5 ln(5)/8 + ln() Divergen 8. (a) + ln ţ + ű + C, där C är en godycklig konsan. arcan( ) + C, där C är en godycklig konsan. 9. (a) ln(4/3) (x ) ln(x + ) x / + x + C. Konvergen med värde. π( )/3. 6π/5 3. 8π/3 (volymenheer) 4. (a) (4π/3)(( + e ) 3/ 3/ ) ln() / 5. 7(e 4 )/4 6. 3.45 5 πg joule 7. π( ( + e) ) 73 on. 8. g R 9 y(c + k(9 y))(9 y) dy 9. 475g/4 joule 5
. (a) Om ränan är 5% var de bäre a välja koninuerlig ubealning. Om ränan var 6% var de bäre a välja klumpsumman.c A ränan snarare skulle bli 6% än 5%.. y = (A + B + /)e + e 3 /4, där A och B är godyckliga konsaner. (a) y =, y = ( + ce x ), där c är en godycklig konsan y = (x + + /x) + ce x x, där c är en godycklig konsan 3. y = ±(e ( sin(/x)) ) / 4. (a) y = an(x 3 /3 + π/4) y = x 4 /5 + Cx, där C är en godycklig konsan. 5. y = e x 6. y = e x + e x x 7. y = e (A cos() + B sin() cos(3)/5), där A och B är godyckliga konsaner 8. y() = ( u( ))( + sin ) 9. y() = (e ) cos + (e + ) sin 3. s + e s s (s + )( e s ) 3. e u( π) sin 3. f() = cos( ) och f(s) = s/(s + ) 33. < x < 34. (a) 9 Konvergen med summan 3π/6 35. < x 36. 4 /3 x 4 /3 37. (a) 8 /4 Konvergen med summan arcan(/3)/3 + ln( /3) 38. x 4x 3 + 6x 5 39. x + x 4 /3 4. (a) ln 3 + P n= xn /(n 3 n ) X ţ (n)! (x π 3 3 )n (n + )! (x π ű 3 )n+. n= 4. + x 3 + x 6 + x 9 4. /3 43. 6/5 6