Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys

Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys Erik Oscar A. Nilsson 06, Juli

Oscar Något smart och inspirerande citat Tillägnas Mina vänner

i Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell Analys []. Avsikten med denna manual är att er ska klara kursen, bli bättre på matematik och att jag får dela med mig av glädjen till ämnet. Jag hoppas att mina tankar och idéer kommer att hjälpa dig, få en djupare förståelse, ge dig en stabil grund att stå på och att få mindre ångest när du hör ordet matte. Hittar du fel eller om du har idéer på förbättringar, tveka inte att mejla mig. Du hjälper inte bara mig utan också kommande studenter. Jag vill också tacka alla mina vänner som har hjälpt mig med manualen och får mig till att vilja bli en bättre människa. Utan att ni har vetat om det så har ni givit mig mer än vad jag någonsin kan ge tillbaka till er, tack. Tillsist ett stort tack till mina två föräldrar för deras outtröttliga stöd i alla mina galna idéer jag har. Den senaste informationen för denna manualen. Erik Oscar A. Nilsson erik-oscar-nilsson@live.se Lunds Universitet, Lund Mars, 06

Introduktion till manualen - VIKTIGT! LÄS DETTA INNAN DU BÖRJAR ANVÄNDA PDF:en Tanken med manualen är att den kompletteras av två andra delar, en del som är en blogg och den andra som är en youtube kanal. Varför detta? Då alla inte lär sig på samma sätt och man kan behöva olika typer av hjälp vid olika tidpunkter eller områden ska de olika medierna ge dig just den hjälpen som du behöver. Manualen: den är till för att ge dig den direkta hjälpen när du har fastnat på ett steg eller inte kan komma på just det tricket som behövs. Det är också det hjälpmedlet som påminner mest om en räknestuga och som kan bidra med just det där extra tankarna som kan få dig att komma ihåg hur man skulle lösa problemet nästa gång. Jag har också ifrån gått några konventioner för du ska kunna se beräkningarna tydligare. Ett sådant exempel är multiplikation som markeras med en punkt tex a b, istället för ab) och jag försöker alltid att visa dig som läsare vad jag stryker eller liknande. En annan mycket viktig sak är att jag har lagt in hyperlänkar i hela pdf:en, vilket innebär att när du ser en röd liten sira över ett likhetstecken eller på något annat ställe, 8 ) x + xy + y x + y), kommer detta att skicka dig till en annan del av pdf:en som visar just den satsen, regeln, lagen eller det kapitlet du tryckte på. TESTA! Det är rätt coolt! Youtube: den kanalen jag har och de videos som jag kommer att lägga där är tänkta att hjälpa dig när du känner att du inte riktigt fattar, eller om du har kanske varit sjuk, eller på något sätt missat en föreläsning eller liknande. Okej.. men det nns ju en miljon andra videokanaler inte minst de som Jonas Månsson har gjort), hur tänkte du nu? Sant, det nns redan en miljon videos på youtube om just detta, dock tänker jag köra varianter på så kallat ipped classroom videos. Vilket är att jag involverar dig i föreläsningen och gör dialogen mer dynamisk. Det nns inga sådana videos på Youtube för just endimensionell analys, och alltså måste jag göra egna för att få de tre olika delarna att komplettera varandra. Dessutom kan jag lägga till mina egna tankar som student för att skräddarsy upplägget efter era behov och önskemål för just denna kursen. Jag kommer därför att göra så många videos som jag bara orkar med och har tid till, för att just du som student ska kunna hitta din typ av inlärningssätt och att fylla det där sista hålet av videor som inte nns. Alla länkarna till videorna kommer att nnas i pdf:en med en blå färg, precis som den här,de fungerar precis som länkarna som skickar runt dig i pdf:en men med den skilnaden att du hamnar på Youtube. De kommer att ha en annan färg och de kommer att vara tydligt markerade för att göra det så enkelt som möjligt för dig som student! Sjukt coolt! TESTA! Blogg: den delen där jag kommer att vara mindre formell. Tanken är att jag ska försöka vara väldigt noggrann och försöka hålla allt på en enklare nivå i manualen och mina videos. Däremot kommer det så klart att nnas små extra delar i manualen och videorna som vänder sig till dem som är mer intresserade. I bloggen kommer jag att länka till ännu er videor från många andra kanaler. Här kommer jag också gå igenom kapitlen mer generellt och också skriva lite längre texter om området och svårare. Dock så ber jag dig att gå in och skumläsa alla inlägg för här kan det nns många bra tankar som inte får plats på de andra två plattformarna. Precis som på mina videor så kommer det att nnas direktlänkar i pdf:en till blogginläggen de har fåttt en grönfärg precis som den här så att det ska vara enkelt för dig som läsare att hänga med! Coolt coolt coolt! Testa detta också! Slutligen! Du som student kommer att tycka att vissa saker är lätta och andra svårare, och det nns säkert en risk att du missar en föreläsning på grund av en taskig förkylning. Testa dig fram för att hitta vad som funkar för dig, men testa era gånger. Om du fastnar på något, testa alla delarna jag erbjuder och sätt ihop det med annat material, men det viktiga är att testa, testa, testa. Om du gör grovjobbet nu så slipper du få panik när det är tid för tentan och din möjlighet att uppnå ditt mål med kursen ökar. Med risk för att vara tjatig så kan du alltid kontakta mig med alla typ av frågor eller kommentarer! ii

Lycka till! iii

Innehållsförteckning Förord Introduktion till manualen - VIKTIGT! LÄS DETTA INNAN DU BÖRJAR ANVÄNDA PDF:en i ii Grundläggande begrepp & terminologi. Talsystem............................................... Mängder och intervall........................................ Implikationer och ekivalens.................................... 4 Kapitel : Algebra 0. Räkneoperationer för reella tal.................................. 0. Kvadratrötter och potenser.................................... 4. Polynom och rationella uttryck.................................. 40 Kapitel : Ekvationer och olikheter 60. Ekvationer.............................................. 60. Olikheter.............................................. 76 4 Kapitel 4: Summor och talföljder 8 4. Summatecken............................................ 8 4. Aretmetisk summa......................................... 84 4. Geometrisksumma......................................... 88 4.4 Binomialsatsen........................................... 96 4.5 Talföljder och induktion...................................... 0 A Formelsamling 04 A. Kapitel.............................................. 04 A. Kapitel.............................................. 04 A. Kapitel.............................................. 05 A.4 Kapitel 4.............................................. 05 B Referenser 06 B. Referensbok för kursen....................................... 06 Innehållsförteckning för formelsamlingen Lagarna för tecken......................................... 04 Kvot av kvoter........................................... 04 Gemensam kvot........................................... 04 4 Produkt av rötter.......................................... 04 5 Summa av exponenter....................................... 04 6 Exponent som en kvot....................................... 04 7 Exponent-produkt......................................... 04 8 Kvarderingsreglen, väl värd att komma ihåg! Tips från coachen.................. 04 9 Konjugatreglen........................................... 05 0 Exponent-kvot-uppner....................................... 05 Aritmetisksumma.......................................... 05 Geometrisk summa......................................... 05 Binomal koecienter........................................ 05 4 Binomial satsen........................................... 05

GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Grundläggande begrepp & terminologi I det första kapitlet kommer vi att gå igenom talsystemet lite enklare, sen mängder på min blogg så har jag skrivit lite mer om det) och till sist implikationer och ekvivalenser som är väldigt viktigt därför går jag igenom det i blogginlägget). Blogg och video hjälp: Blogg: Kap - Grundläggande begrepp och terminologi Blogg och video hjälp: Endiminsionell analys - kapitel - spellista. Talsystem Uppgift. Vi är givna följande tal: 6, 0,,, 0., 5, 5,, 0. 0., 0 5, π, Det är lättast att först förenkla och sen ställa dem i storleksordning. Vi börjar med att förenkla, 6, 0,,, 0. 0 ) 0 0, 5 0.6, 5.67,.4, 0. 0. 0 0 ) 0 0.5, 0 5 0, π.. Vi fortsätter med att ställa talen i storleksordning,, 0. 0..5, 0, 0 5 0, 5 0.6, 5.4,.67, 6,, π, 0. 0. Nu är det lättare att lösa uppgifterna a till d. Erik Oscar A. Nilsson

. Talsystem GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI a) Lösning. Naturliga tal är också kallade positiva heltal. Följande är positiva heltal 0, 0 5, 6,, 0.. Kommentar: Naturliga tal: här kan man tänka sig att man ska räkna kattungar. För det första, man vill inte ha negativit antal kattungar tänk dig att du ska ge bort en kattunge). För det andra, man vill heller inte ha en halv kattunge eller "roten ur" en kattunge. b) Lösning. Hela tal är alla naturliga tal och deras negativa motsvarighet. Följande är tal är så kallande hela:, 0, 0 5, 6,, 0.. Kommentar: Hela tal: detta kan man tänka sig att brukar att betala tillbaka i hela kronor när man är skyldig någon pengar. Nu kommer säkert någon med kommentaren att swish funkar med ören, dock så är det lite bittert att swisha ören.) c) Lösning. Rationella tal är alla heltal och alla tal som du kan skriva som ett bråk. Följande tal är rationella:, 0. 0., 0, 5, 0 5, 6,, 0.. Kommentar: Rationella tal: kan man tänka sig gäller livsviktiga frågor som "hur delar vi jämnt på ölen?" d) Lösning. Reella tal är alla rationella och irrationella tal, det vill säga alla tal som kan skrivas som bråk och samt de som inte kan det. 6, 0,,, 0., 5, 5,, 0. 0., 0 5, π. Kommentar: Reella tal, här kan man tänka sig att man ska dela en kaka med sina syskon för det är en irrationell tanke att få det jämnt. Uppgift. Lösning. Här gäller det att veta vad som menas med irrationella tal. Enkelt sagt är det ett tal som du inte kan skriva som ett bråk. Det frågan undrar är om vi kan skriva.44 och π.45965, som bråk. Vi vet att och π är irrationella. Vi antar nu att de kan skrivas som ett bråk. Detta är vad vi kallar inom matematiken bevis genom motsägelse, med andra ord så antar vi att påståendet är INTE sant och sen hoppas vi att få en motsägelse i våra uträkningar. Anta att det nu kan skrivas som ett bråk och vi får följande uträkning, Något som inte går att skriva som ett bråk }{{} aka Vi skriver nu om "bråken" som ett godtyckligt bråk, sådana att b, d 0. bråk }{{} bråk }{{} 45965 c 0000000 d "Inget bråk" a b c d Erik Oscar A. Nilsson

. Mängder och intervall GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI "Inget bråk" a b + c d "Inget bråk" a d + c b bd "Inget bråk" bråk. motsägelse. Därav är uttrycken inte rationella. Samma argument gäller för π.45965. Vi gör nu på samma sätt som i föregående beräkning. Något som inte går att skriva som ett bråk }{{} aka π Vi gör nu samma omskrivningar som innan och får följande, bråk }{{} bråk }{{} 44 c 0000 d "Inget bråk" a b c d "Inget bråk" a b + c d "Inget bråk" a d + c b bd "Inget bråk" bråk. motsägelse. Därav är inte heller. Mängder och intervall Att ha kunskapen inom mängder och intervall är viktigt att kunna skriva, läsa och ha en förståelse för matematik. Att skriva intervall eller mängder är viktigt för att beskriva var något funkar eller inte funkar. Att läsa och förstå mängder är viktigt då det är ett smidigt sätta att beskriva vissa objekts egenskaper. I slutet av detta avsnitt bör du känna till hur man vanligtvis betecknar intervall och mängder, samt hur de ska utläsas och förstås. Uppgift. Lösning. Vi börjar med att förtydliga de olika mängderna. Testa att "rita" M {x R; x } mängderna. M utläses som: mängden av objekt som tillhör de reella talen sådana att x, vilka här är ekvivalent med x eller x. M {x R; x } Erik Oscar A. Nilsson

. Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI M utläses som: mängden av obejekt som tillhör dem reella talen sådant att x 0. Vilket är ekvivalent med alla reella tal större än 0. M {x R; x } M utläses som; mängden av obejekt som tillhör dem reella talen sådant att x. Vilket är ekvivalent med, alla reella tal större än. M 4 {x R; x } M 4 utläses som; mängden av obejekt som tillhör dem reella talen sådant att x 0. Vilket är ekvivalent med alla reella tal som nns då alla reella tal i kvadrat är större än eller lika med noll. Nu ser vi följande mängd tillhörigheter, då M innehåller men M och M gör det inte. M M 4 och M M M 4,. Implikationer och ekivalens Då implikationer och ekvivalenser är väldigt krångliga och kan vara stökiga så har jag gjort två videos om detta gå in på min kanal och kolla! Kan inte nog understryka vikten av att förstå implikationer och ekvivalenser, så lägg ner mycket tid på att förstå detta. Uppgift.4 Lösning. Vi börjar med att förtydliga utsagorna, A : x < 6, detta är samma sak som 4 < x < 4. Följande två utsagor är lätta att följa B : x > 4 och C : 4 < x < 4. Nu ser vi att följande implikationer och ekvivalenser gäller. Till en början ser vi att A och C är ekvivalenta, A C. A medför B då alla tal i A nns med i B men det andra hållet gäller inte, till exempel elementet 0 nns med i mängden B men inte i A vilket leder till att den omvända implikationen inte gäller, A B. Då C och A är ekvivalent följer det att, C B, på samma sätt som ovan får vi inte den omvända implikationen. Uppgift.5 a) Lösning. Vi börjar med att förtydliga utsagorna. From the top detta betyder att a är lika med b. Påstående B, A : a b, B : a b. Här gäller det att observera följande exempel ), vilket ger oss att a behöver inte vara lika med b. Erik Oscar A. Nilsson 4

. Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Till sist, påstående C, C : ab b. Observera nu följande exempel a 0 0 0. Vi får nu följande implikationer, A B och A C. b) Lösning. I a) så gick vi redan igenom påstående a-c så vi undersöker nu bara D. Påstående D, D : a b. Observera nu att a måste vara lika med b då vi tar kvadraten på båda sidorna och inte "skadar" vår likhet då alla tal ska vara positiva. Vi har nu bivilkoret att alla tal ska både vara positiva och större än noll. I B får vi nu inte exemplet med och. I exempel C går det nu att dela med b på båda sidorna utan problem. Därav får vi nu att A, B och C är ekvivalenta. Då påstående D får vi att a b. Vi får nu följande ekvivalenser, Uppgift.6 A B C D. Lösning. Vi börjar med att förenkla, först ut är påstående vilket är ekvivalent med 0 < x. Påstående B, A : x > 0, B : x > 0, är enligt så får vi att absolutbeloppet är större eller lika med noll, med likhet om x 0. Detta ger oss att följande ekvivalens x 0. Vi ser nu att påståendet C, C : x 0, samanfaller med påstående B. Påstående D, D : x < 0, är ekvivalent med x > 0, vilket är samma sak som påstående A. Därav följande implikationer och ekvivalenser, A B, A C, A D, Här kan man också tänka på varför inte går implikationen på andra håller i A till B och A till C, försök att hitta ett exempel där detta inte funkar. B C, I B får vi ekvivalens med C och vi får nu lite tänka på vilka egenskaper som inte nns i de andra men som inte kommer sig av B. D B och D C. Precis som i a försök att hitta argmument för varför just det ena eller det andra funkar. Uppgift.7 Erik Oscar A. Nilsson 5

. Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Lösning. Vi börjar med att förtyliga alla påstående, A : x x + 0, genom följande beräkning x x + x ) + ) x x x x ) + ) + 9 4 ) + 8 4 9 4 ) 4 x ) ) 9) x + ) x ) x )x ). får vi att påståendet är ekvivalent med Genom att lösa olikheten i B, så får vi att detta är ekvivalent med x eller x. B : x, x eller x. Påstående C ger sig av sig själv, C : x. Genom att lösa ekvationen i D, D : lnx) + lnx ) 0, så får vi att detta är ekvivalent med att x. Genom följande beräkning, lnx) + lnx ) lnx x ) lnx 4 ) 4 lnx). Detta ger oss följande ekvation, 4 lnx) 0 x. Erik Oscar A. Nilsson 6

. Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Därav följande ekvivalenser, Uppgift.8 A C, B D, D A, D B och D C. Lösning. Vi börjar med att förtydliga alla påstående. Påstående A, A : x 0, är ekvivalent med alla tal större eller lika med noll. Påstående B, B : lnx) 0, är ekvivalent med Detta får vi genom följande beräkning, x. lnx) 0 e lnx) e 0 x. Det behövs egentligen en längre förklaring varför detta funkar dock så kommer det senare. Påstående C, C : e x 0, är ekvivalent med Påstående D, är ekvivalent med Detta får vi genom följande beräkning, < x <. D : x <, < x <. x < < x < <x <. Vi får då följande implikationer, A B, A C, D B och D C. Erik Oscar A. Nilsson 7

. Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Uppgift.9 Lösning. Börjar med att förtydliga alla påståenden. Vi börjar med påstående A, A : x > 0, detta påstående är ekvivalent med följande Påstående B, detta är ekvivalent med följande Påstående C, x 0. B : e x >, x > ln). C : cosx), detta är ekvivalent med följande, alla reella tal. Påstående D, D : ln + x ) > 0, detta är ekvivalent med alla reella tal utom noll. Därav följande implikationer och ekvivalenser, A D, A C Uppgift.0 och B A. Lösning. Vi börjar med att förtydliga alla påstående. Här kommer vi att beteckna pojkar med y och ickor med x. Det gäller också att komma ihåg att x + y 0. A: Precis 5 är ickor, detta är ekvivalent med att x 5 och y 5. B: Högst 4 är pojkar, nu får vi ha allt mellan inga till fyra pojkar vilket får som följd att det minst måste nnas 6 ickorna. Man kan tänka på det som en "spegling" då högst får som resultat att motsatsen måste vara minst. Det vill säga 0 y 4 och 6 x 0. C: Minst är pojkar, nu måste vi minst ha med tre, tänker spegling, så ickorna får nu vara högst 7. Det vill säga att y 0 och 0 x 7. D: Högst 5 är ickor, nu får vi ha högst 5 ickor vilket gör att pojkarna blir minst 5. Det vill säga att 5 y 0 och 0 x 5. E: Minst är ickor, ger oss ett högsta antal pojkar på 8. Det vill säga att 0 y 8 och x 0. Vi börjar med A och undersöker dess implikationer. Vi får då följande implikationer, A C, A D och A E. Genom att plugga in värdena i olikheterna så ser vi om implikation är möjlig. För att undersöka B så måste vi kolla om hela intervallet ligger i eller är samma intervall. Då får vi följande implikation B E. I de andra intervallen så skulle det hända att antigen en del eller hela intervallet utanför. För den sista implikationen så göra precis som innan. och D C. Erik Oscar A. Nilsson 8

. Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Kommentar: Vill du göra uppgiften lite svårare så kan du tänka på att alla inte ser sig som han eller hon. Räkna nu med hen också, detta ger dig ett lite intressantare problem genom att fundera på hur många olika sätt kan nu han, hon och hen vara fördelat. Efter det så kan du tänka på följande, om du sätter hattar på alla med tal ett till tio, hur många sätta kan du nu dela in dem så att summan är minst 6. Uppgift. Lösning. Vi börjar med att förenkla alla påstående. Tips! Rita gurerna. A: Figuren är ett parallelogram. Denition: Ett parallelogram är att två motsatta sidor är parallela. B: Figuren är en romb. Denition: En romb är att två motsatta sidor är parallela och att sidorna är lika långa. C: Figuren är en paralleltrapets. Denition: En paralleltrapets är att minst två sidor är parallela. D: Figuren är en rektangel. Denition: En rektangel är att två motasata sidor är paralella och att varje vinkel är räta. E: Figuren är en kvadrat. Denition: En kvadrat är att två motsatta sidor är paralella, lika långa och har bara räta vinklar. Därav följande implikationer, vi tar dem i olika steg och börjar med A sen B osv, Nu fortsätter vi med B, A C. B A och B C. Här kan man fundera på varför inte implikationen går på andra håller. Ledning, försöka rita en gur som motbevisar omvänd implikation. Påstående C ger oss inga implikationer då den är mest grundläggande av alla påstående. Med detta menar jag att den är en mer universiell mängd än den andra, se min text på bloggen. Vi går nu vidare med D, D A, D A och D C. Vi avslutar med E, E A, E B, E C och E D. Ifall du är mer intresserad eller inte riktigt hängde med på alla detaljerna så har jag samlat ihop lite videos och skrivit ner lite egna tankar. Då detta är en väldigt viktigt att kunna så hoppas jag att du lägger ner lite extra tid på detta. Blogg och video hjälp: Blogginlägg kapitel - kuriosa Erik Oscar A. Nilsson 9

KAPITEL : ALGEBRA Kapitel : Algebra Denna delen inehåller allt som man ar gått igenom på gymnasiet, därför är det av yttersta vikt att du efter detta kapitel har stenkoll på din algebra. Det skapar annars mer problem och kan lätt göra skillnad mellan medel betyg och ett högre betyg. Ett par räknefel här och där eller att missa något tecken straar sig bara i slutet och här nns det bara en sak att göra och det är att nöta, nöta och nöta. Det nns i sluten massa extra material som både är för de som vill ha lite rolig fakta eller för de som vill ha lite extra hjälp då man missat en föreläsning eller vill träna mer på någon del. Länken ger dig den senaste infon och tipsen till att klara detta kapitlet. Blogg och video hjälp: Blogginlägg - kapitel - algebra. Räkneoperationer för reella tal Uppgift. a) Lösning. Endiminsionell analys - kapitel - spellista x + )x ) x + ) 9) x ) x + ) 8) x 9 x + 6x + ) x 9 x 6x 9 x x 6x 9 9 6x 8. my- på Träna cket detta. b) Lösning. x + )x ) x ) 9) x ) x ) 8) x 9 x 6x + ) x 9 x + 6x 9 x x + 6x 9 9 6x 8. c) Lösning. x + 5) x 5) 9) x) + 5 x + 5 ) x 5) 9) 9x + 0x + 5) x) 0x + 5 ) 9x + 0x + 5) 9x 0x + 5) 9x + 0x + 5 9x + 0x 5 9x + 0x + 5 9x + 0x 5 0x + 0x Erik Oscar A. Nilsson 0

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA Uppgift. 60x. Lösning. Vi börjar med att multiplicera ihop paranteserna, a b) a b)a b)a b) a b)a a + a b) + b) a + b) b)) a b)a ab ab + b ) a b)a ab + b ) a a + a ab) + a b + b) a + b) ab) + b) b a a b + ab a b + ab b a a b + ab b. Vi ser nu att den ena faktorn minska med en hela tiden och att koecienterna framför faktorer är speglade. Uppgift. Lösning. För att visa likheten, a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b om b, a b Så måste vi antigen få V.LVänsterled) bli lika med H.LHögerled) eller vice versa. Jag kommer att lösa uppgiften genom att visa att H.L är lika med V.L. a b a b a6 b 6 a b 7) a6 ) b 6 ) a b 9) a6 b 6 )a 6 + b 6 ) a b 7) a8 b 8 )a 6 + b 6 ). a b Tricket med att använda konjugatreglen om och om igen i beviset. a 8 ) b 8 ) )a 6 + b 6 ) a b a8 b 8 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a4 b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a4 ) b 4 ) )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a4 b 4 )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b Erik Oscar A. Nilsson

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA a ) b ) )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b )a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b)a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b)a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ). Därav H.L V.L, V.S.Vvilket skulle visas). Uppgift.4 Lösning. Lite komplicerat att få tankar på papper men såhär är nog lättast att tänka. Vi börjar med att förenkla talen så långt som möjligt. Jag har valt att göra alla till en lista då jag tror att det förtydligar detta lite. Hissa eller a) dissa? 7, Fortsätter på b) c) 4 9. 4 4 7 7 7. samma sätt. d) 48 68 4 84 4 84 4 6 7 7. Erik Oscar A. Nilsson

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA e) 4 84 7. Se beräkning f) ovan 0.0000 0.000007 ) 00000 7 000000 00000 000000 7 00000 7 0 00000 70. Därav är följande lika, 7 4 4 48 68 4 84. Uppgift.5 a) Lösning. 5 7 4 + ) 5 7 4 + 7 ) 7 5 4 4 + 7 ) 4 4 ) 5 + 7 4 4 4 4 0 4 0 7 0 7. Erik Oscar A. Nilsson

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. 5 6 4 + ) ) 5 ) + 4 6 4 5 6 ) 0 0 4 4. Uppgift.6 Det lättaste sättet att lösa dessa uppgifter är genom att faktoruppdela nämnare så att vi kan hitta en största gemensamma delare. a) Lösning. 60 + 08 7 5 + 08 7 Nu kan vi se att den största gemensamma delare är 5 + 7 5 + 5 080. Vi sätter nu alla på ett gemensamt bråkstreck genom att multiplicera nämnarna med det som saknas. 5 5 + 8 } 5 {{ } 5 } {{ } 5 } {{ } 080 + 0 080 5 080 60 08 7 8 + 0 5 080 080. Erik Oscar A. Nilsson 4

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. 4 5 6 + 9 5 +. Vi kan nu se att den största gemensamma delaren är 6. Vi fortsätter med att sätta alla på ett gemensamt bråkstreck. }{{} 4 5 }{{} 6 + 7 }{{} 6 0 6 + 4 6 9 7 0 + 4 6 6. c) Lösning. 5 5 + 6 45 7 5 5 5 + 7 5 7 7 Vi ser nu att den största gemensamma delaren är, 5 5 7 7 05. Vi fortsätter med att sätta alla på ett gemensamt bråkstreck. 5 7 5 5 + 7 5 7 7 5 7 7 7 5 5 7 5 + 5 7 }{{} 5 7 7 7 }{{} 5 5 5 5 7 } {{ 7 } 5 5 } {{ 7 7 } 5 5 6 45 5 7 7 7 + 5 5 7 5 5 5 7 7 5 5 7 7 5 44 5 5 7 7 + 75 45 5 5 7 7 6 5 5 7 7 + 0 5 5 7 7 6 + 0 5 5 7 7 4 5 5 7 7 4 05. Erik Oscar A. Nilsson 5

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA Uppgift.7 a) Lösning. a a 4 ) a 4 a a 4 a 4. b) Lösning. a 4 a ) a a 4 a 8. c) Lösning. 4a a + ) 4a 6a + 7 a + 7 6a + 4a 6a + ) a + ) 7 4a 6 a + ) a + ) 7 4a 6 a + ) a + ) 7 4a 6 7 7 a 6 7 7 a 6 7 a 6 a. Erik Oscar A. Nilsson 6

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA d) Lösning. a a + a + a a a + a + a ) a a + a + a Uppgift.8 a a + ) a + a) a a + ) a a + ) a a + ) a a + ) a + ). a) Lösning. 5x x 5 x ) 5 x 5x 5x 5 x x 5 x 5x 5x 5 x x 5 x x) 5 x 5 x x 9) 5 x x) 5 x 5 x x x 5x x x + x) x) 5x x x Erik Oscar A. Nilsson 7

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA ) + x) x) x 5x x + x) x) x 5x x) + x) x) x 5 x x) + x) x 5x + x) x x 5 + x). 5 b) Lösning. x + + x ) x + + x x + x + x x + x + x ) x + x x + x + ) x x + ) x + ) x x + ) x x. c) Lösning. x y x y xy) ) y x xy x y xy) Erik Oscar A. Nilsson 8

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA 9) y x xy x y)x + y) xy) Uppgift.9 ) y x xy xy) x y)x + y) x y) xy)xy) xy x y)x + y) x y) xy) xy) xy x y)x + y) xy x + y. a) Lösning. x y y x ) x y + y x x x y y x y x x + y y x y x x y y x y x x + y y x y xy xy x y xy x + y xy xy 9) x + y)x y) xy x + y xy xy 8) x + y)x y) xy x y) xy ) x + y)x y) xy xy x y) x + y)x y) xy) xy x y)x y) Erik Oscar A. Nilsson 9

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. x + y) x y) xy) xy) x y) x y) x + y x y. 6x 4 8 y4 x + y 6x 4 8 y4 8 8 x + y 6x 4 8y 4 8 x + y x ) y ) 8 x + y x y ) 4x + 9y ) 8 x + y x) y) ) 4x + 9y ) 9) 8 x + y x y)x + y) 4x + 9y ) 8 x + y ) x y)x + y)4x + 9y ) 8 x + y x y)x + y) 4x + 9y ) 9 9 x + y) x y) x + y) 4x + 9y ) 9 x + y) x y) 4x + 9y ). 7 Erik Oscar A. Nilsson 0

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. x + + x x x + ) x ) + x + ) x + )x ) x + ) x ) x + )x ) x ) + x + ) x + )x ) x + ) x ) x + )x ) x + x + x + )x ) x + x + x + )x ) x x + )x ) x + )x ) ) x x + )x ) x + )x ) x x ) x + ) x + ) x ) x x. Uppgift.0 a) Lösning. Då vi har parallelkopplade resistorer så får vi följande uttryck, R R + R + R. Vi kan nu genomföra beräkningen för resistorerna på, och 4 ohm. Vilket ger oss följande beräkning, Detta ger oss en gemensamdelare av, R + + 4 + +. Vi ställer nu H.L på ett gemensammt bråkstreck.. + + + + Erik Oscar A. Nilsson

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA + + 6 + 4 +. Nu gäller det att komma ihåg att resistansen ges av följande, Vilket ger oss att resultatet är R. R R R Ω. Vilket ger oss en resulterande resistans av Ω. b) Lösning. Nu vet vi följande, att den totala resistansen i slutet ska vara ohm dvs R Ω och att vi har två andra resistorer som ska här bli detta. Där vi också vet att en av dem är 5 ohm, och en okänd vilket ger oss följande uttryck, Vi löser nu för R. R R + R 5 + R. 5 + R 5 R ) 5 5 R 5 R R 5. Därav får vi att den andra resitans ska vara på 5 Ω. Uppgift. Lösning. Linsformelen lyder följande, Givet a600 och f00, så får vi följande ekvation, a + b f, Vi fortsätter med att lösa för a, a + 600 00. a + 600 00 a 00 600 Erik Oscar A. Nilsson

. Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA ) 600 00 a 00 600 a a 600 00 00 600 5 00 00 600 a 5 60 0 a 5 600 a a 0 a 0. 5 5 60 Därav a 0 mm. Uppgift. Lösning. Vi förenklar, + + + + + + + 5 5 ) 5 5. Erik Oscar A. Nilsson

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA. Kvadratrötter och potenser Uppgift. Lösning. Här gäller det att komma ihåg att konjugatreglen. + 5 + 5 + 5 + 5) 5) + 5) 5) 5 + 5) + 5 + 5 5) 4 5 6 5 + 5 5 5 4 5 6 5 5 4 5 Uppgift.4 6 5 5 5) 5. a) Lösning. + + ) + ) ) + ) + + + ) + + 6 + 4 9 b) Lösning. 7 + 7 7 7 + ) 7 +. + + ) ) Erik Oscar A. Nilsson 4

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA. c) Lösning. x + + x x + x ) x + + x ) x + x ) x + x ) x + ) + x ) x + x ) x + x ) x + x ) x + x + x + x ) x + x ) x + x. Uppgift.5 a) Lösning. 4 4). b) Lösning. 4 6 6 7 6 Erik Oscar A. Nilsson 5

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA 6 7 6 4) 6 7 6 6 7 6 7. c) Lösning. 4) 6 6 6 6 6. d) Lösning. 8 + 8 + 5 5 + 5 + 4) 5 + 5 5 5 5 5. e) Lösning. + 4 4 9 + 6 7 5 7 5 5 7 5 7 5 7 Erik Oscar A. Nilsson 6

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA f) Lösning.. 5 + 5 + 44 69. Uppgift.6 a) Lösning. 6 + 98 8 + 49 50 + 5 + 9 + 7 5 + 9 + 7 4) 5 + b) Lösning. ) 9 + 7 5 + 6 6 8 8. 4) 4 4 4 4 4. c) Lösning. ) 8) ) + ) ) + Erik Oscar A. Nilsson 7

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA + 4) + + + d) Lösning. 8 + 8 + 4 + 5. x + y) + x + y) x + y) x + y) 9) x + y) x + y) x + y) x + y) 8) x + x y + y ) x y Uppgift.7 Lösning. Vi börjar med att analysera de olika svaren, x + x y + y) x y x y 4) xy. 6 9 4) Erik Oscar A. Nilsson 8

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA 4). vi forsätter med nästa 08 9 4) 4). och till sist 4). Därav ser vi nu att de tre talen är bara omskrivningar av samma tal Uppgift.8 a) Lösning. 6 08. 4 5) 4+ 6. Erik Oscar A. Nilsson 9

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. c) Lösning. d) Lösning. e) Lösning. f) Lösning. Uppgift.9 7 5) 7+ ) 4. 4 4 5 4 5) 4 + 5) 4 4 4 5) 4 + 4. 7 6) 7 5) 7+ ) 4. 4 5 4 9 6) 4 5 4 9 5) 4 5+ 9) 4 4. 7 5 6) 7 5 5) 7+ 5). a) Lösning. 5 0 5 0 5 0 5 0 5) 5+ ) 0 5 0 Erik Oscar A. Nilsson 0

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. c) Lösning. 5) 0 5+ 0 8. 8 5 6 6 5 5 6) 8 5 6 6 5 5 8 6 5 6 5 5 5) 8+ 6) 5 6+ 5) 5 0. 4 0 4 0 5 6) 4 0 4 0 5 4 0 4 0 5 5) 4+ ) 0 4+ 5) 0 0) 5) 5 5) + ) 5 5 Uppgift.0 4 5. a) Lösning. b 0. b.7.5 5) b b 0.+.7 b.5 b.5 b.5 5) b.5+.5) b. Erik Oscar A. Nilsson

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. a ) 0.5 a 5 0. 7) ) a 0.5) a 5 ) 0. a.5 a 5 ) 0. 7) a.5 a 5 0.) a.5 a.5 5) a.5+.5 c) Lösning. a 0. a a.7 a 0.5 6) a a.7) a 0.5 a a.7 a 0.5 d) Lösning. 5) a +.7 a 0.5 a 4.7 a 0.5 5) a 4.7+ 0.5) a 4.. x x.6 x 0. x.4 6) x x.6 x 0. x.4) 5) x +.6) x 0. x.4 x 0.6 x 0. x.4 5) x 0.6+0. x.4 x 0.4 x.4 5) x 0.4+.4 x.0 x. Erik Oscar A. Nilsson

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA Uppgift. a) Lösning. 4 6 4 ) 4 6) 4 4 5) + ) 4 4 5) 4+ ). b) Lösning. ) / / 4 4 / 4 / 6) 4 /) 4 / 4. c) Lösning. 64) / 64 / ) / 64 64 / Erik Oscar A. Nilsson

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA 6 ) / 6/ d) Lösning. 4. ) e) Lösning. f) Lösning. Uppgift. 6) ). ) 8 56. ) 7) 6 64. a) Lösning. 5) 4 5 / ) 4 5 / 4) 5 4 5 5. Erik Oscar A. Nilsson 4

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. ) / 4 0) 4/ 9 9 / 4 9 c) Lösning.. ) / 0) / 9 9 / 9 / ) / ) ) ) 7) 7. d) Lösning. 6 /4 4 ) /4 ) ) /4 4 ) /4 4 4. Erik Oscar A. Nilsson 5

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA e) Lösning. 8) / ) / ) / ) / / ) / f) Lösning.. ) 4/ 7 6) 8 7 8 7 4/ 8 4/ ) 4/ 84/ 7 4/ ) 4/ ) 4/ 4 4 4 4 4 4 6 9 9 6 8. Uppgift. a) Lösning. a. a. a 0.8 a.+.) a 0.8 Erik Oscar A. Nilsson 6

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA a. a 0.8 b) Lösning. a. a 0.8 a.+ 0.8) a 0.4. a a a a a a / a/ a / a / a / 5) a + ) a a 5/6. c) Lösning. 6 x x x ) / x ) / 6 x x ) / x /) / 6 x x ) / x /) / x /6 x ) /6 x ) / x x /6 x /6 x4/ x/6 x /6 x /6 x 4/ x /6+ /6) x 4/ x 0 x 4/ x 4/ x 4/. Erik Oscar A. Nilsson 7

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA d) Lösning. 4 a a /a 8 4 a a) / 8 a 4 a +/ /8 a /8 a 7/ ) /4 a /8 7 a 4 a /8 a7/8 a /8 a 7/8 a /8) a 7/8+/8 a 8/8 a a. e) Lösning. 4 x y 5 xy 4 x y 5 ) / xy) / 4 x y 5 x / y / x y 5/ ) /4 x / y / x /4 y 5/ /4 x / y / x/ y 5/8 x / y / x / y 5/8 x / y / x / x / y 5/8 y / x /+ /) y 5/8+ /) Erik Oscar A. Nilsson 8

. Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA x /+ /) y 5/8+ /) x 0 y 5 4 8 y /8 y /8. f) Lösning. ) a ab 4 b a ab 4 b bb) / a ab 4 b / ) a ab 4 b / ) / ab 4 a b /4 ab 4 ) a b /4 ab a b /4 ) /4) ) ab a /4 b /6 ) a a /4 b b /6) a +/4 b + /6)) a 7/4 b /6)) a 7/4 b /6 a 7/ b /8. Uppgift.4 Lösning. För att kunna bestämma x så börjar vi med att förenkla högerleder, 6 5 5 ) 4 5 ) 4 8 5 7 6 ) 5 5 ) 8 4 ) 4 5 ) 4 5 7 Erik Oscar A. Nilsson 9

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA 6 5 5 8 4 4 5 4 5 7 8 5 5 8 6 5 8+7 8 5 5 8 6 5 5 8 5 5 8 6 5 5 8 8 6 5 5 5 5 8+8 6 5 5+ 5) 6 6 5 0 6+ 6) 0 Om vi förenklar V.L så får vi följande Nu får vi följande likhet, 0 ) 0 4 0. 4 x ) 5 4 x 5 4 5x. 4 5x 4 0. Vi behöver nu bara kolla på exponenten och vi får följande ekvation. Polynom och rationella uttryck Uppgift.5 5x 0 x. a) Lösning. För att få en faktoriering så hittar vi gemensamma delar till uttrycken. x x 9) x + )x ). b) Lösning. x + x + x + ) + ) Erik Oscar A. Nilsson 40

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. Nu kollar vi bara på faktorn x 4. Nu ger det oss följande faktor uppdelning, x + ) + x + ). x 4x 0 xx 4) 0 x 4 x x + )x ) xx + )x ). d) Lösning. x x + x ) + ) Vi får då följande faktorisering, e) Lösning. x ) + x + ). x 4 + x x x + ) då x + inte går att förenkla mer så får vi följande faktor updelning, x x + ). g) Lösning. Nu kollar vi bara på a b 0. a ab aa b ) Vi får nu följande faktorupdelning, a b 9) a + b)a b). aa + b)a b). Erik Oscar A. Nilsson 4

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA h) Lösning. Nu kollar vi bara på a + ab + b. a b + ab + b ba + ab + b ) a + ab + b a + b ) + b ) b a + b) + b 4b 4 a + b). Vi får nu följande faktorisering, ba + b). i) Lösning. a b a b + ab aba ab + b ) Nu kollar vi bara på a ab + b. a ab + b a b ) + b a b) + b 4b 4. a b). ) b Vi får nu följande fatorisering, aba b). Uppgift.6 a) Lösning. xx + ) 4x + ) x x + ) 4 x + ) Nu substituerar vi b x + ) och forsätter med beräkningen, x b 4 b x 4) b Nu bytar vi tillbaka substitionen och får, x 4)x + ). b) Lösning. Nu substituerar du a x 9. x x 9) + x 9 x x 9) + x 9) x a + a Erik Oscar A. Nilsson 4

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Nu bytar vi tillbaka substitionen a. c) Lösning. d) Lösning. Nu substituera vi x a b). Nu bytar vi tillbaka vår substition. e) Lösning. x + ) a x + )x 9) x + )x ) 9) x + )x + )x ). x 4 6 x ) 4 9) x 4)x + 4) x )x + 4) 9) x )x + )x + 4). a + b)a b) + a ab a + b)a b) + a a b) a + b) x + a x a + b + a) x a + b) x a + b)a b). a b) 4 a b) Vi substituera nu x a b). Nu bytar vi tillbaka vår substition. x 9) x + )x ) a b) + )a b) ) a b + )a b ). Erik Oscar A. Nilsson 4

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA f) Lösning. a 4 a b + b 4 a b ) + b 4 b ) a b ) + b 4 4b4 4 a b ) + b 4 4 b 4 a b ) 4 9) a + b)a b)) a + b) a b). Uppgift.7 a) Lösning. x 7x + xy 7y xx 7) + yx 7) Nu substituerar vi b x 7). x b + y b x + y) b Nu bytar vi tillbaka vår substition. x + y)x 7). b) Lösning. Nu substituerar vi x a ). a 6 a 4 + a a 4 a ) + a ) a 4 x + x a 4 + ) x Nu bytar vi tillbaka våran substition x a ). a 4 + )a ) a 4 + )a ) 9) a 4 + )a + )a ). Erik Oscar A. Nilsson 44

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. d) Lösning. Nu bryr vi oss bara om x 4 + y 4 x y. Detta ger oss följande faktorisering, e) Lösning. Vi substituera nu x b + c). Nu bytar vi tillbaka våran substition. f) Lösning. x y + x y x y + ) y + ) x )y + ) x )y + ) 9) x + )x )y + ). 7x 5 + 7xy 4 4x y 7xx 4 + y 4 x y ) x 4 x y + y 4 x y ) + y 4 x y ) + y 4 4y4 4 x y ) 9) x + y)x y)) x + y) x y). y 7xx + y) x y). a b + c) a x 9) a + x)a x). a + b + c))a b + c)) a + b + c)a b c). x + y ) xy) Vi börjar med att substituera v xy) och u x + y ). u v ) Erik Oscar A. Nilsson 45

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Nu bytar vi tillbaka våra substition. g) Lösning. 9) u v)u + v). x + y ) xy)x + y ) + xy) x xy + y )x + xy + y ) x y ) ) y + y x + y ) + y x y) + y 4y 4 x y) x + y). ) Vi substituera nu v x + y z och u xy. x + y) + y 4y 4 x + y z ) 4x y v u 9) v u)v + u) ) ) y Nu bytar vi tillbaka våra substition. x + y z ) xy)x + y z ) + xy) x + y xy z )x + y + xy z ) x xy + y ) z )x + xy + y ) z ) 8) x y) z )x + y) z ) Vi substituera nu v x y) och u x + y). v z )u z ) ) ) 9) v z)v + z) u z)u + z) Nu bytar vi tillbaka vår substition. Uppgift.8 ) ) ) ) ) ) x y) z x y) + z x + y) z x + y) + z x y z)x y + z)x + y z)x + y + z). Erik Oscar A. Nilsson 46

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA a) Lösning. x + 6x + 7 x + 6 ) + 7 ) 6 x + ) + 7 ) x + ). b) Lösning. x 7x + x 7 ) + x 7 x 7 ) + 7 ) 7 ) + 49 4 x 7 x 7 ) + 4 ) + x 7 ) + 4. 4 5 49 4 49 4 c) Lösning. x + 8x + 8 x + 8 ) + 8 ) 8 x + 9) + 8 9) x + 9) + 8 8 x + 9). d) Lösning. x + 5x x + 5 ) x + 5 ) 5 ) 5 Erik Oscar A. Nilsson 47

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA e) Lösning. x + 5 ) 5 4. x + 7 Den är redan på rätt form och därför redan kvadratkompleterad. Uppgift.9 Lösning. Då vi har, x + ax x + b) + c. Så kan vi genom att använda referens) att följande måste vara lika Uppgift.0 a b och c b. a) Lösning. b) Lösning. 4x 4 x + x )x + ) x + ) x ) x + ) x + ) x x. x 9) x + )x ) x x + x x + x + )x ) x ) x + )x ) x )x ) x + ) x ) x ) x ) x + x. Erik Oscar A. Nilsson 48

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. x y + x y ) xy) y x x y + x y x y y x + x y x y Uppgift. y x + x y x y 0 x y 0. a) Lösning. x + 9 + x x 9 x 6 x + ) + x x + )x ) x ) x ) x + ) x ) + x x + )x ) x + ) x ) x + ) 4x ) 6x + )x + ) + 6x 6x + )x ) x + ) 6x )x + ) 4x ) + 6x x + ) 6x + )x ) 4x + 6x x 9 6x + )x ) 7x 6x + )x ) 7x ) 6x + )x ) 7 x ) 6x + ) x ) 7 6x + ). b) Lösning. 5 x + 8 x + x + 7 x 5 x + 8 x + x + 7 x + )x ) 5 x + ) 8 x ) + x ) x + ) x + )x ) x + 7 x + )x ) Erik Oscar A. Nilsson 49

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Uppgift. 5x + ) + 8x ) + x + 7 x + )x ) 5x + 5 + 8x 8 x 7 x + )x ) 0x 0 x + )x ) 0x ) x + )x ) 0 x ) x + ) x ) 0 x +. a) Lösning. x y x xy + y x y y x y) x y x y) x y y x y) x y x y) x y) x y) x y) y x y) x y x y) y x y) x y x + y y x y) x y x y) x y) x y) x y) x y). b) Lösning. a a + 4ab + 4b + b a 4b a a + b) + b a 4b a a + b)a + b) + b a b)a + b) a a b) a + b)a + b) a b) + b a + b) a b)a + b) a + b) Erik Oscar A. Nilsson 50

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA aa b) + ba + b) a b)a + b)a + b) a ba + ba + 4b a b)a + b)a + b) a + 4b a b)a + b)a + b). Kommentar: När jag gör den liggande stolen så ser det inte supersnyggt ut men jag ska lösa det sen men om du inte förstår så rekommenderar jag att du kollar på följande videos. Blogg och video hjälp: Uppgift. a) Lösning. x )x ) + x )x ) + x )x ) x ) x )x ) x ) + x ) x )x ) x ) + x ) x )x ) x ) x + x + x x )x )x ) x 6 x )x )x ) x ) x )x )x ) x ) x ) x )x ) x )x ). b) Lösning. Detta skriver vi om till liggande stolen 4x 4 x + x Erik Oscar A. Nilsson 5

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA 4x 4 x + ) x 4 x x 4 x + ) x 4) 0. 4x 4 x + x. Uppgift.4 a) Lösning. Detta skriver vi om x 5 + x 4 x + x x + x + x x 5 + x 4 x + x x + x + ) x 5 + x + x ) x 4 x x + x x + x x 4 x x + x x + x + ) x 4 + x + x) x 4x x x + x x 4x x x + x + ) x x ) 4x + x +. Erik Oscar A. Nilsson 5

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Detta ger oss, x 5 + x 4 x + x x + x + x + x + 4x + x + x + x + b) Lösning. Detta skriver vi om, x 6 x x 5 x 6 x ) x 6 x 5 ) x 5 x 5 + x 4 x 5 x ) x 5 x 4 ) x 4 x 5 + x 4 + x x 4 x ) x 4 x ) x x 5 + x 4 + x + x x x ) x x ) x x 5 + x 4 + x + x + x Erik Oscar A. Nilsson 5

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA x x ) x ) x x 5 + x 4 + x + x + x + x x ) x ) 0. Därav c) Lösning. Detta skriver vi om x 6 x x5 + x 4 + x + x + x +. x 4 + x + 5 x + 4x + 5 x x 4 + x + 5 x + 4x + 5) x 4 + 4x + 5x ) x 5x + 5 x x x 5x + 5 x + 4x + 5) x 8x 0x) x + 0x + 5 x x + Därav x + 0x + 5 x + 4x + 5) x + x + 5) x + 0. x 4 + x + 5 x + 4x + 5 x + 0 x x + + x + 4x + 5. Erik Oscar A. Nilsson 54

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Uppgift.5 a) Lösning. x 4 x 9 x + )x ). b) Lösning. x + x + x + ) + ) x + ) + x + ). c) Lösning. x x xx ) Nu räcker det att kolla på x. x x 9) x + )x ). Därav, xx + )x ). d) Lösning. x x + x ) + x ) + ) x ) + 9 4 x ) + 8 4 9 4 x ) + 8 9 4 Erik Oscar A. Nilsson 55

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA e) Lösning. x ) 4 x ) ) 9) x ) ) x ) + ) x + ) x )x ). x x x + x ) x + ) + + x + ) + + x ) ) x + ) + 8 + 4 x + x + ) + 8 + ) + x + ) + 4 ) ) x + ) + x + )) x + )) ) ) + + x x x + ) x + ) x )x + ). Erik Oscar A. Nilsson 56

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA f) Lösning. Nu räcker det med att kolla på x x +. x 4 x + x x x x + ) x + x + x + ) + ) x + ) + 4 4 x + ). Därav, x x ). Uppgift.6 a) Lösning. x x x + )x ). b) Lösning. I kommande uppgift, x +, så är den redan faktoriserad till dess minsta delar. c) Lösning. x x )x + x + ) d) Lösning. x + x + )x x + ). e) Lösning. x 4 x ) 9) x )x + ) x )x + ) 9) x )x + )x + ). f) Lösning. x 4 + 7x xx + 7) xx + )x x + 9). Erik Oscar A. Nilsson 57

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA g) Lösning. Uppgift.7 x 6 64 x ) 8) x 8)x + 8) x )x + x + 4)x + )x x + 4). Lösning. För att hitta nollställets multiplicitet och faktorisera polynomet lättast så är det just nunns bättre sätt som kommer att kunna tas upp senare) bara till att göra polynomdivision. Ska xa stilen x 5 0x + 5x 6 x Vi använder oss nu av den liggande stolen. x 4 x 5 0x + 5x 6 x ) x 5 x 4 ) x 4 0x + 5x 6 x 4 + x x 4 0x + 5x 6 x ) x 4 x ) x 0x + 5x 6 x ) x 4 + x + x x 0x + 5x 6 x ) x x ) 9x + 5x 6 x 4 + x + x 9x 9x + 5x 6 x ) 9x + 9x) 6x 6 Erik Oscar A. Nilsson 58

. Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA x 4 + x + x 9x + 6 Vi fortsätter fast nu med, 6x 6 x ) 6x 6) 0 x 4 + x + x 9x + 6. x Vi får då kvar, x + x + x 6, vi forsätter med samma procedur x + x + x 6. x Vi får då, x + x + 6, nu ser vi också att x inte är en faktor så vi får multiplicitet av. Uppgift.8 px) x ) x + x + 6). Lösning. tipset är att gissa ett nollställe till px) x x 4. Ett Tips om hur man gissar bäst är att om det nns en heltalslösning så kommer den att dela talet utan x. Då kan vi börja med att testa x, vi ser att den inte blir noll men vi fortsätter med. p) ) ) 4 8 8 0. Börjar då att faktorisera ut x. Ska xa stilen x x 4 x Detta skriver vi om x x x 4 x ) x x ) x x 4 x + x x x 4 x ) x 4x) Erik Oscar A. Nilsson 59

KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x 4 x + x + x 4 x ) x 4) 0. Vi får då att, px) x )x + x + ) Vi kan inte faktorisera den sista delen då, x + x + x + ) +, och detta är så långt som det bara går att faktorisera i reella delar. Här kommer en längre del med material, videos, länkar, idéer och tankar som kan kanske hjälpa dig eller inspirera dig. Blogg och video hjälp: Blogginlägg - kapitel - kuriosa Kapitel : Ekvationer och olikheter Jag har skrivit ihop lite text och gjort en video ekvationer och olikheter då detta är en bra träning. Blogg och video hjälp: Blogginlägg - kapitel - ekvationer och olikheter. Ekvationer Uppgift. Endiminsionell analys - kapitel - spellista a) Lösning. En lösning är ekvivalent med att en faktor är lika med noll då följden blir att allt blir lika med noll. x )x )x ) 0 Då måste en av faktorerna vara lika med noll för att den ska uppfylla likheten det vill säga, Vilket är ekivialent med följande x ) 0, x ) 0, eller x ) 0. x, x eller x. Erik Oscar A. Nilsson 60

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER b) Lösning. Börjar med att faktorisera, xx 4) xx ) xx + )x ). Nu får vi att en av följande faktorer måste vara lika med noll, xx + )x ) x 0, x + ) 0 eller x ) 0. Vilket är ekvivalent med, x 0, x eller x. c) Lösning. Vi börjar med att faktorisera polynomet genom kvadratkompletering. x + 0x + 4 x + 0 ) + 4 x + 5) + 4 5 x + 5) + 4 5 x + 5) x + 5) ) 0 x + 5) )x + 5) + ) x + 4)x + 6). Om en av fakotrerna är lika med noll så blir allt lika med noll. x + 4)x + 6) 0 x + 4) 0 eller x + 6) 0. Vilket ger oss följande lösningar, x 4 eller x 6. d) Lösning. Vi börjar med att faktorisera polynomet genom kvadratkompletering. x + 0x + 5 x + 0 ) + 5 x + 5) + 5 5 x + 5) + 5 5 x + 5) x + 5)x + 5). ) 0 Erik Oscar A. Nilsson 6

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Vi kan nu se att det är en dubbelrot i punkten, x x 5. e) Lösning. Vi börjar med att förenkla problemmet genom att faktorisera ut ett x. x + 0x + 4 xx + 0 + 4). Nu kan vi se att en lösning är x 0, och att vi fortsätter faktorisera genom kvadratkompletering. Vi kan nu hitta nolställena. x + 0x + 4 x + 0x + 4, x + 0 ) + 4 x + 5) + 4 5 x + 5) + 4 5 x + 5) x + 5) ) 0 x + 5) )x + 5) + ) x + 4)x + 6). x + 4)x + 6) 0 x + 4) 0 eller x + 6) 0. Vi får då följande lösningar, x 0, x 4 eller x 6. f) Lösning. Vi börjar med att förenkla problemmet genom att faktorisera ut x. x 4 + 0x + 5x x x + 0x + 5). Nu ser vi att en lösning är x 0, vilket är också en dubbelrot. Vi fortsätter faktorisera genom kvadratkompletering. x + 0x + 5 x + 0x + 5, x + 0 ) + 5 x + 5) + 5 5 x + 5) + 5 5 x + 5) ) 0 Erik Oscar A. Nilsson 6

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Vi kan nu se att det är en dubbelrot i punkten x + 5)x + 5). x 5. Svaret blir då, Uppgift. x x 0 och x x 4 5. a) Lösning. Om x ska lösa ekvationen x + 4x + a 0. Så stoppar vi in på "x:s" plats och sen löser vi för a. + 4 + a 0 4 + 8 + a 0 + a 0 a. b) Lösning. Om x ska lösa ekvationen x + bx + 0. Så stoppar vi in på x plats och sen löser vi för b. ) + b ) + 0 9 + b + 0 b + 0 b b b 7 Erik Oscar A. Nilsson 6

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER b 7. Uppgift. Jag kommer att lösa alla uppgifterna genom kvadratkompletering då ett annat förslag redan nns i boken. a) Lösning. Vi sätter nu px) 0. px) x x 4 x ) 4 x x 4 0 ) 0 x ) 4 4 0 x ) + 0 4 x 0 ) x ) 0 x ) x + ) 0 x + ) x ) 0 Erik Oscar A. Nilsson 64

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x eller x. Därav följer det att, px) x + ) x ). b) Lösning. Börjar med att sätta px) 0, då px) x x. Fortsätter med att kvadratkomplitera, x x 0 x ) x 0 x 4) ) 0 4 x ) 9 0 4 6 x ) 6 + 9 0 4 6 x ) 5 4 4 0 x 4) ) 5 0 4 x 4 + 5 4 ) x 4 5 4 )) 0 Erik Oscar A. Nilsson 65

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x + ) x 8 )) 0 4 4 x + ) ) x ) 0. x eller x. Därav följer det att, px) x + ) ) x ). c) Lösning. x + x + x x ) x ) x ) 4 ) x ) 4 4 4 x ) 48 + 4 x ) 7 x ) x + 7 ) ) 7 x 7 ) Vi får nu rötterna, x + )x 4). x 4 och x. Erik Oscar A. Nilsson 66

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER d) Lösning. x x + 4 x x x x + 4 ) x x ) + 4 x x ) + 4 4 x x ). ) Detta ger oss följande rötter, x 0 och x x. e) Lösning. x + 6x + 5x x x + x x + x 5 x x + x + 5 ) x x ) + 5 x x ) + 5 4 ) x x ) + 5 4 4 4 x x ) + 9 4 x x + x + 5 ). Detta ger oss följande rot då det inte går att förenkla x + x + 5, x 0. f) Lösning. x 4 6x + 8 x 6 ) x + 8 ) 6 ) + 8 9 Erik Oscar A. Nilsson 67

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x ) ) x ) ) x ) x + ) x ) x ) x )x + )x )x + ). Detta ger oss följande olikheter, x, x, x eller x 4. Uppgift.4 Lösning. Finns redan lösning i boken. Uppgift.5 a) Lösning. x + x + x + 0 x + x ) + x x ) x + 0 x )x + ) xx )x + ) + xx ) x + )x )x 0 x )x + ) + xx )) xx )x + ) 0 x x + x + x x xx )x + ) 0. x xx )x + ) 0. Ekvationen vi då får är, x 0 x Erik Oscar A. Nilsson 68

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x ±. Därav får vi följande lösningar, x eller x. b) Lösning. x x x x 4 x ) x ) x )x ) x 4) x ) x )x 4) x x + x )x ) x 4 x + x )x 4) x )x ) x )x 4) x )x 4) x )x ) 0 x )x ) x )x 4) x )x )x )x 4) 0 Vilket ger oss följande ekvation att lösa, x x + x 7x + ) x )x )x )x 4) 0 4x 0 x )x )x )x 4) 0. 4x 0 0 Erik Oscar A. Nilsson 69

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Vilket ger oss följande svar x 0 4 5. x 5. c) Lösning. Ekvationen vi får då är x x + x + x 0 xx ) + xx + ) 0 x + ) + x ) xx )x + ) 0 x + + x xx )x + ) 0 x + xx )x + ) 0. x + 0 x. Lösning till ekvationer är då följande, x. d) Lösning. x + x + x x ) x + )x + ) x + )x ) x x + 4x + 4 ) x 4 x 4 x x x 4 x x 4 Erik Oscar A. Nilsson 70

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Detta ger oss följande ekvation x x + 4x + 4 ) x 4 + x x 4 0 x x 6 + x x 0 4 x 6 0 x 6 x 6 x 4 0. Vilket ger oss "lösningen", x 6. x, här gäller det dock att komma ihåg att nämnare får inte vara noll vilket den blir och därför har inte ekvationen någon lösning. Uppgift.6 Lösning. Finns redan lösning i boken. Uppgift.7 a) Lösning. x + x Forsätter med att kvadratkomplitera x + ) x x + x x x 0. x ) ) 0 x ) 9 4 x ) 9 4 Erik Oscar A. Nilsson 7

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x ± x ± x eller x. Vi måste nu undersöka om våra lösningarna är rätt. +, underbart x är en lösning., därav är ingen lösning. b) Lösning. x + x x + ) x) x + x x x 0. Vi fortsätter med att kvardratkomplentera uttrycket x ) ) x ) 9 4 x ) ) 9) x ) + ) x ) ) x ) x + )x ). x + därav så måste antingen x eller x vara lika med noll då den ska uppfylla, x + )x ) 0. Vi kan se att beräkningarna är nästan exakt den samma som i a), och vi måste nu kolla vårt svar. Börjar med x + ) ) ), kanon! Därav är x en lösning. Fortsätter nu med x, + Erik Oscar A. Nilsson 7

. Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER 4, därav är x ingen lösning. c) Lösning. Vi fortsätter med att kvadratkompletera x 4) x 8) x 8x + 6 x x 9x + 8 0. x 9 ) + 8 ) 9 0 x 9 ) 9 4 x ) 9 9 4 x 9 ± Vi får nu dubbelkolla våra resultat. Börjar med x därav så är x en lösning. Nu undersöker vi den andra, därav så är x 6 också en lösning. x 9 ± x eller x 6. 4) ), 6 4) 6 ) 4, Kommentar: Resultatet är att båda talen är en lösning till ekvation, detta kommer sig med tanke på att vi inte lägger till mer information än vad vi gjorde i början. Med andra ord så bevarar vi ekivalens i första stegt jämfört med a) och b). Uppgift.8 a) Lösning. x + x + x + ) x + ) Erik Oscar A. Nilsson 7