s N = i 2 = s = i=1

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½

ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ö ØØ Ò ØÓÖ ØØ Ð ØØ Ô Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÐ Ò Ò Ö Ö Ö ÑÝ Ø Ñ Ò Ñغ ¾

ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖØ ºµ ÅÓÑ ÒØ Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÚÒ Ò ½º ËÔ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Øº ÁÒ Ø º Ê ÙÐØ Ø»ÙØ Ø ºµ ¾º Ò ÐÝ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Øº ËØÖÙ ØÙÖ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ð ÙÔÔ ÐÔÖÓ Ð Ñºµ Ö ÙÔÔ Ò ÔÐ Ò Ö ÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø» ÐÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÐ Ð º º Ð Ò Ò Ñ ØÓ º ÃÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ð ÓÖ ØѺµ ÎÐ º ÃÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Øº Ú Ö ØØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ ÓÑÑ Ò ÓÒº Ë Ö Ú Å¹ кµ º Ì Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Øº ÒÚÒ ÓÐ Ò Ø º Î ÓÚ Ð ºµ º Ó ÙÑ ÒØ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Øº Ö Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ö Ò Ø Ó ÙØ Ø ºµ

Ø Ö ÙØ Ö ÖÓ Ò Ô ÓÑ Ú Ú ÐÐ ÓÖ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ º ÇÐ ¹ Ø Å ÌÄ ÖÙÔÔ Ú Ø Ö ÙØ Ö Ö Ò Öº Ò Û Ð ¹ Ø ÓÖ¹ Ø Å ÌÄ Ð ÓÖ ØÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ò ÓÒ» Ø Öµ ÓÑ ÐÐ ÙØ Ö Ö ØØ Ð ØØ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ö ØØ ÐÔÖÓ Ð Ñº Å Ò ÒÚÒ Ö ÙÚÙ Ð Ò Ú Ð Ò ØÖ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ½º Ë Ú Ò Ë Ø Ö ÙØ Ö Ò Ó Ò ØÙÖ Ó ÓÖ Ò Ò º ¾º Ë Ð Ø ÓÒ» ÐØ ÖÒ Ø Ú º ÁØ Ö Ø ÓÒ»Ê Ô Ø Ø ÓÒ

N ÚÐ ØØ 1/N 2 > TOL Ñ Ò 1/(N +1) 2 TOL Ö TOL Ö Ò Ú Ò ØÓÐ Ö Ò º Ö Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖØ ºµ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÙØØÖÝ Ó Ø Ñ ÐÔ Ú ØØ Ñ º Ü ÑÔ Ðº Ö ØØ Ö Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ s N = 1 1 + 1 2 2 + 1 2 3 +...+ 1 2 N 2 s = i=1 1 i 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 +... Ø ÐÐ ÙÑÑ Ò

ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Å¹ Ð Ö Ú Ö Ú Ø ØØ ÐÐ ÐÐ ÓÑÑ Ò Ó Ð Ö ÐÐ Ö Ö ÔØ Ð Öº Î ÐÐ ÒÙ ØÙ Ö Ò ÒÒ Ò ØÝÔ Ú Å¹ Ð Ö ÓÑ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÒÔ Ö Ñ ØÖ Ö Ó ÙØÔ Ö Ñ ØÖ Öº Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÒÖÓÔ ÖÒ Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÖÒ Ò ÓÑÑ Ò Ó Ð ÐÐ Ö ÖÒ Ò ÒÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ðº

ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÒÖÓÔ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº Ö Ø Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÐÐ ÐÐØ ÒÐ Ñ ÓÖ Ø ÙÒØ ÓÒº Ü ÑÔ Ðº Î Ô Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ ½ºÑ ÓÑ Ö Ò Ö y = x 2 +1º ÙÒØ ÓÒ Ý ÙÒ ½ ܵ ± ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ö Ý Ü ¾ ½º ± ÁÒÔ Ö Ñ Ø Ö Ü ± ÍØÔ Ö Ñ Ø Ö Ý Ý Üº ¾ ½ ± Ð Ñ ÒØÚ ÔÓØ Ò Ò ÒÔ Ö Ñ Ø Ö ± Ó Ú Ö Ò Ú ØÓÖº

ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÒÖÓÔ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Æ Ö ÒÖÓÔ Ú ÙÒ ½ ÖÒ Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÙÒ ½ ¼µ Ò ½ ݽ ÙÒ ½ ½µ ݽ ¾ ܾ ¾ ݾ ÙÒ ½ ܾ ½µ ݾ ½¼ Ü ¼ ½ ¾ Ý ÙÒ ½ ܵ Ý ½ ¾

ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÒÖÓÔ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÓÖØ ºµ ËÝÒØ Üº ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÒ ÑÒºÑ Ñ ÒÔ Ö Ñ ØÖ Ö x 1,x 2,...,x m Ó ÙØÔ Ö Ñ ØÖ Ö y 1,y 2,...,y n ÐÐ ÙØ Ô Ð Ò ØØ ÙÒØ ÓÒ Ý½ ݾ ººº ÝÒ ÐÒ ÑÒ Ü½ ܾ ººº Üѵ ± ÃÓÑÑ ÒØ Ö Öº ± Ö ÚÒ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑØ Ú Ò¹ Ó ÙØÔ Ö Ñ ØÖ Öº ± Ë Ø Öº ± Á Ø Ö Ñ Ø Ý½ ݾ ººº ÝÒ Ø ÐÐ Ð ÚÖ Òº ½¼

x m y n...... x 2 y 2 x 1 y 1 ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ñ Ò Ö x 1,x 2,...,x m ÚÖ Ò ÖÒ ÒÔÙغ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ù Ö Ö ØØ Ö ÙÐØ Ø y 1,y 2,...,y n ÓÑ Ò Ú Ö ÓÙØÔÙصº ½½

ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÒÖÓÔ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÓÖØ ºµ Ö ØØ ÒÖÓÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÒ ÑÒºÑ Ö Ú Ö Ñ Ò ½ ¾ ººº Ò ÐÒ ÑÒ ½ ¾ ººº ѵ ÁÒÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ a 1,a 2,...,a m ÐÐ Ð Ò ØÙ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Öº ÅÓØ Ú Ö Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö x 1,x 2,...,x m ÒÙØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÐ ÓÖÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Öº Î ÙÒ Ø ÓÒ ÒÖÓÔ Ø ÓÔ Ö ØÙ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ a 1,a 2,...,a m µ Ø ÐÐ ÑÓØ Ú Ö Ò ÓÖÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ö x 1,x 2,...,x m µ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Òº ÆÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ü Ú Ö ÓÔ Ö ÙØÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ y 1,y 2,...,y n Ø ÐÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Ú Ö Ð Ö b 1,b 2,...,b n º Ç Ë Ö Ø Ö Ö Ö ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ó ÐÓ Ð Ú Ö Ð Ö ºÚº º ÓÑ Ô Ø ÒÙØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Òµ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ó Ð Ö Ò ÐÐØ ÒØ Ú Ö Ñ ÒÒ Øº ½¾

a m x m y n b n............ x 2 a 2 y 2 b 2 a 1 x 1 y 1 b 1 Ç Ë ØÙ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÔÚ Ö ÒØ Ú Ú ÓÑ Ò Ö ÒÙØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Øº ܺ ÓÑ ÓÖÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÚÖ Ò Ò Ö º ½

ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÒÖÓÔ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ñ ÐÚºÑ Ö Ò Ö Ñ ÐÚÖ Ø Ú ØÚ Ø Ð x Ó yº ÙÒØ ÓÒ Þ Ñ ÐÚ Ü Ýµ ± ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ö Ñ ÐÚÖ Ø ± Þ Ü Ýµ»¾ Ú Ø Ð Ò Ü Ó Ýº ± ÁÒÔ Ö Ñ ØÖ Ö Ü Ý ± ÍØÔ Ö Ñ Ø Ö Þ Þ Ü Ýµ»¾ ½

ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÒÖÓÔ Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ð Öº ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ ØØ Ô Ö ÒÖÓÔ Ú Ñ ÐÚ ÖÒ Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò Ñ ÐÚ µ º ¼¼¼ Ñ ÐÚ µ ± Ò Ò Ò Ú Ö Ð ÑÒ Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ò º Ò ½

ÄÓ ÙØØÖÝ ØØ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ö ØØ ÙØØÖÝ ÓÑ Ò Ú Ö ÒØ Ò Ò ÒØ ÐÐ Ö Ð Øº Ü ÑÔ Ðº Ë ÒÒ ÐÓ ÙØØÖÝ º Ò Ú Ö Ø Ö ÝÖ ÓÖº Å ÌÄ ØÝ Ö Å ÌÖ Ü Ä ÓÖ ØÓÖݺ 5 Ö Ø ÖÖ Ò 4º Ü ÑÔ Ðº Ð ÐÓ ÙØØÖÝ º Ò ØÖ Ò Ð Ö ÝÖ ÓÖº ÂÙÐ ØÓÒ Ò ÐÐ Ö ÖÙ Ö º 5 Ö Ð Ñ 4º Á ÙÒ Ö Ø Ü ÑÔÐ Ò Ö Ú Ñ ÖØ Ø Ð Ò 4 Ó 5º ½

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ Á Å ÌÄ ÒÒ Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ñ Ö Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Öµ ÓÑ Ò ÒÚÒ ÒÖ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ñ Ö Ð Ö Ê Ð Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÝ Ð Ñ Ò Ö Ò Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ø ÖÖ Ò Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ð Ñ ÒØ Ð Ñ ½

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº Ë ÒÒ ÐÓ ÙØØÖÝ Å ÌÄ º ¾ Ü ÑÔ Ðº Ð ÐÓ ÙØØÖÝ Å ÌÄ º ½ ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ½

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ ØØ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Å ÌÄ Ö ÚÖ Ø ½ ÓÑ ÙØØÖÝ Ø Ö ÒØ Ó ÚÖ Ø ¼ ÓÑ ÙØØÖÝ Ø Ö Ð Øº Ü ÑÔ Ðº ¾ Ò ½ Ò ½ ¾ Ò ¼ Ò ¼ ½

Ü ÑÔ Ðº ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ ¾ ± Ë Òغ Ò ½ ¼ ± Рغ Ò ¼ ± Ë Òغ Ò ½ ± Рغ Ò ¼ ¾¼

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº Ë Ð ÒÓ Ô Ö Ð Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÒ Ó Ø ÐÐ ÐÒ Ò Ú ÚÖ Ø ÐÐ Ú Ö Ð ÓÑ Ö Ñ Ü ± Ü Ø ÐÐ Ð ÚÖ Ø º Ü Ü ± Ð Ø ÐÓ Ø ÙØØÖÝ º Ò ¼ Ü ± Ü Ø ÐÐ Ð ÚÖ Ø º Ü Ü ± Ë ÒØ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ º Ò ½ ¾½

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ ÄÓ ÙØØÖÝ Ò ÓÑ Ò Ö Ñ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö & Ó ÐÓ Ø ÐÓ Ø ÐÐ Ö ÄÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÝ Ð ÐÓ Ø ÒØ ÐÓ Ò Ø ÓÒµ ¾¾

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ ÄØ Ó Ú Ö ØÚ ÐÓ ÙØØÖÝ º Ø ÐÓ ÙØØÖÝ Ø & Ó Ö ÒØ ÓÑ Ö ÒØ Ó Ö Òغ Ø ÐÓ ÙØØÖÝ Ø ÐÐ Ö Ö ÒØ ÓÑ Ö ÒØ Ó» ÐÐ Ö Ö Òغ Ø ÐÓ ÙØØÖÝ Ø ÒØ Ö ÒØ ÓÑ Ö Ð Ø Ó Ð Ø ÓÑ Ö Òغ ¾

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ½¼ ² ¼ ± Ë ÒØ ÙØØÖÝ º Ò ½ ½¼ ² ¼ ± Ð Ø ÙØØÖÝ º Ò ¼ ½¼ ¼ ± Ë ÒØ ÙØØÖÝ º Ò ½ ½¼ ¼ ± Ð Ø ÙØØÖÝ º Ò ¼ ¾

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ Ó & Ö Ð Ö ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò Øººµ Ú Ð Ò ØÙÖ Ö Ð Ö ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ Ö ØÑ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹»µº Ò ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖÒ Ö Ö ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò Ö ØÑ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ Ñ Ò Ð Ö ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò ÔÓØ Ò Öº ¾

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ ÈÖ ÓÖ Ø Ø Ø ÐÐ ½º È Ö ÒØ Ö µ ¾º ÈÓØ Ò µ º Æ Ø ÓÒ ¹µ ÄÓ Ò Ø ÓÒ µ º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ µ Ú ÓÒ»µ º Ø ÓÒ µ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ¹µ º ÃÓÐÓÒÓÔ Ö ØÓÖÒ µ º Å Ò Ö Ò µ Å Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ñ µ ËØ ÖÖ Ò µ ËØ ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ µ Ä Ñ µ ÁÒØ Ð Ñ µ º ÄÓ Ø Ç À ²µ º ÄÓ Ø ÄÄ Ê µ Ö Ù Ó Ö ÒÚÒ Ô Ö ÒØ Öº ¾

ÄÓ ÙØØÖÝ ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ½ ½ ² ¾ Ò ½ Ö ÑÑ ÓÑ ½ ½µ µ ² ¾ µ µ Ò ½ ¾

Á ¹ Ø Ö Î ÐÐ ÒÙ ÙÖ ÐÓ ÙØØÖÝ Ò ÙØÒÝØØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò º ÖÓ Ò Ô ÓÑ ØØ Ú Ø ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ö ÒØ ÐÐ Ö Ð Ø Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ò ØÖÙ Ö ØØ Ö ÓÐ Öº ØØ ÐÐ Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú µ ºÚº º Ú Ð Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö ÓÐ Ú Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Øº ¾

Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ Ø Ú ÒÐ Ø ØØ Ø ØØ Ø ÓÑÑ Ð Ø ÓÒ ØØ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ØØ ÒÚÒ ¹ Ø Òº Ü ÑÔ Ðº ÒØ ØØ Ú Ö Ú Ø Å¹ Ð Ò Ü ÑÔ Ð½ºÑ ÒÔÙØ ³Å Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð ³µ ¼ Ô ³ Ù Ñ Ø Ò Ð ³µ Ò Ô ³ Ù Ñ Ø Ò Ø Ð Ø ³µ Ô µ ¾

Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Ð Ò ÙØ Ö Ø Ú ØÚ ÓÐ ÖÒ Ò Ö Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ð½ Å Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð ¾¼ Ù Ñ Ø Ò Ø Ð Ø ¾¼ Ü ÑÔ Ð½ Å Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð ¹½¾ Ù Ñ Ø Ò Ð Ù Ñ Ø Ò Ø Ð Ø ÆÓØ Ö ØØ ÓÑÑ Ò ÓØ ¹½¾ Ô ³ Ù Ñ Ø Ò Ð ³µ Ò Ø ÙØ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ÙØØÖÝ Ø ¼ Ö Òغ ¼

º º º Ò ÐÐ ØØ Ò ÒØ Ö º Ø Ô Ð Ö Ò Ò ÖÓÐÐ Ö Å ÌÄ Ð ØØ Ø Ö Ð Ð ÔÖÓ Ö Ñº Ñ Ò Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ ËÝÒØ Üº Ò Ð Ø ÓÖÑ Ò Ú ¹ Ø ºµ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ ÓÑÑ Ò Ó ½ ÓÑÑ Ò Ó ¾ ÃÓÑÑ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ò Ó Ò ÙØ Ö Ö ÓÑ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ö Òغ ÆÓØ Ö ØØ ÓÑÑ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ò Ó Ò ÙØ Ø Ò Ð Ø Ø ÐÐ Öº ½

Ð Ñ Ö ¹ Ø º ¾

Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ Î ÐÐ ÒÙ Ô Ò Ñ Ö Ò Ö ÐÐ ÓÖÑ Ú ¹ Ø Òº Ü ÑÔ Ðº ÒØ ØØ Ú Ö Ú Ø Å¹ Ð Ò Ü ÑÔ Ð¾ºÑ ÒÔÙØ ³Å Ø Ò ØØ Ø Ð ³µ ¼ Ô ³ Ù Ñ Ø Ò ØØ Ò Ø ÚØ Ø Ð ³µ ¹ Ð ¼ Ô ³ Ù Ñ Ø Ò Ø Ð Ø ¼ ³µ Ð Ô ³ Ù Ñ Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð ³µ Ò Ô ³ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ø Ð Ø Ö ³µ Ô µ

Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Ð Ò ÙØ Ö Ø Ú ØÖ ÓÐ ÖÒ Ò Ö Ü ÑÔ Ð¾ Å Ø Ò ØØ Ø Ð Ù Ñ Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ø Ð Ø Ö Ü ÑÔ Ð¾ Å Ø Ò ØØ Ø Ð ¼ Ù Ñ Ø Ò Ø Ð Ø ¼ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ø Ð Ø Ö ¼ Ü ÑÔ Ð¾ Å Ø Ò ØØ Ø Ð ¹¾ Ù Ñ Ø Ò ØØ Ò Ø ÚØ Ø Ð ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ø Ð Ø Ö ¾

Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ Î Ò Ó Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ºÑ ÙÒØ ÓÒ Ý Ñ Ò Üµ ± ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ü ± ÒÐ Ø Ö ÐÒ ± ± Ñ Ò Üµ Ü ÓÑ Ü ¼ ± ¹Ü ÓÑ Ü ¼ Ü ¼ Ý Ü Ð Ý ¹Ü Ò

Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ Ì Ø ÖÒ Ò Ñ Ò µ Ò Ñ Ò ¼µ Ò ¼ Ñ Ò ¹ µ Ò

Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ ËÝÒØ Üº ÐÓ Ø ÙØØÖÝ ½ Ø ÖÙÔÔ ½ Ð ÐÓ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ø ÖÙÔÔ ¾ º º º Ð ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ò Ø ÖÙÔÔ Ò Ð Ø ÖÙÔÔ Ò Ò Ø ÖÙÔÔ ØÖ Ö Ò ÐÐ Ö Ö Ø Ö» ÓÑÑ Ò ÓÒº ÆÓØ Ö ØØ Ñ Ò Ð ÓÑ Ò Ò Ð Ø ÓÖÑ Ò Ú ¹ Ø Ò Ø Ö Ò ÙØ ÐÑÒ Ð Ó» ÐÐ Ö Ð º

Ø ÖÙÔÔ ¾ ÙØ Ö ÓÑ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ ½ Ö Ð Ø ÃÓÑÑ Ò ÓÒ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ö Òغ Ó Á ¹ Ø Ö ÓÖØ ºµ ËÝÒØ Üº ÓÖØ ºµ ÃÓÑÑ Ò ÓÒ Ø ÖÙÔÔ ½ ÙØ Ö ÓÑ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ ½ Ö Òغ º º º ÃÓÑÑ Ò ÓÒ Ø ÖÙÔÔ Ò ÙØ Ö ÓÑ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ ½ غӺѺ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ò¹½ Ö Ð Ó ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ò Ö Òغ ÃÓÑÑ Ò ÓÒ Ø ÖÙÔÔ ÙØ Ö ÓÑ ÑØÐ ÐÓ ÙØØÖÝ Ö Ð º

Ð Ñ Ö ¹ Ø º

Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö Á Ò Ò Ð Ø ØÝÔ Ò Ú ÔÖÓ Ö Ñ ÙØ Ö ÑØÐ ÓÑÑ Ò ÓÒ ØÙÖ Ó ÓÖ Ò Ò µ ÔÖ Ò Ò º Î Ö ÒÝ ØØ ÙÖ Ñ Ò Ñ ¹ Ø Ò Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ØØ ÚÐ ØØ ÙØ Ö Ú ÓÑÑ Ò ÓÒ Ñ Ò ÒØ Ò Ö º ØØ ÐÐ Ð Ø ÓÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú µº Î ÐÐ ÒÙ ÙÖ Ñ Ò Ñ Û Ð ¹ Ø Ò Ó ÓÖ¹ Ø Ò Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ØØ ÙØ Ö Ú ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ò Öº ØØ ÐÐ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ø ÓÒµº ¼

º º º Ò Ï Ð ¹ÐÓÓÔ Ö Á Ò Û Ð ¹ÐÓÓÔ Ö Ô Ø Ö Ò Ø ÖÙÔÔ ÐÒ ÓÑ ØØ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ö Òغ ËÝÒØ Üº Û Ð ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ Ø ¾ Ë Ø ÖÒ Ñ ÐÐ Ò Û Ð Ó Ò ÙØ Ö ÐÒ ÓÑ ÐÓ Ø ÙØØÖÝ Ö Òغ ½

Ð Ñ Ö Ò Û Ð ¹ÐÓÓÔº ¾

Ò ØØ ÒÝØØ Ø Ð ÐÒ ÓÑ ÒÑ ØÒ Ò Ò Ö Ð Ø º Ö Ø Ö Ñ Ø Ú Ö ØÖÓØ Ò ÙÖ Ø Ð Ø Ö Ò Ó Ö Ú ÙØ Ô ÖÑ Òº ÐÐ Ï Ð ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº Ë Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑ Ö ÒÚÒ Ö Ò Ñ Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ ÇÑ Ø Ð Ø ÓÑ Ñ Ø Ò Ö Ò Ø ÚØ ÐÐ ÒÚÒ Ö Ò ÙÔÔÑ Ò ØØ Ø Ðº Î Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ò Û Ð ¹ Ø Å¹ Ð Ò Ú Ö ØÖÓØºÑ Ü ÒÔÙØ ³Å Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð ³µ Û Ð Ü ¼ Ü ÒÔÙØ ³ Ä Å Ø Ò ØØ ÈÇËÁÌÁÎÌ Ø Ð ³µ Ò Ô ³ÊÓØ Ò ÙÖ Ø Ð Ø Ö ³µ Ô ÕÖØ Üµµ

Ï Ð ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Ò ÖÒ Ò Ú ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ú Ö ØÖÓØ Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ú Ö ØÖÓØ Å Ø Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð ¹¾ Ä Å Ø Ò ØØ ÈÇËÁÌÁÎÌ Ø Ð ¹ Ä Å Ø Ò ØØ ÈÇËÁÌÁÎÌ Ø Ð ¹½ Ä Å Ø Ò ØØ ÈÇËÁÌÁÎÌ Ø Ð ½ ÊÓØ Ò ÙÖ Ø Ð Ø Ö

Ï Ð ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº Ë Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑ Ö Ø Ö ÒÚÒ Ö Ò Ñ Ø Ò Ò s N = N i=1 1 i 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 +...+ 1 N 2 ØÓÐ Ö Ò ÌÇĺ Ö Ø Ö ÐÐ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ò ÙÑÑ Ò Ö N ÚÐ ØØ 1/N 2 > TOL Ñ Ò 1/(N +1) 2 TOLº Ì ÖÑ Ö ÐÐ ÐÐØ Ö ÐÒ ÓÑ Ö Ø ÖÖ Ò ÌÇĺ

Ï Ð ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Î Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ò Û Ð ¹ Ø Å¹ Ð Ò ÙÑÑ ºÑ ÌÇÄ ÒÔÙØ ³ ÚÖ Ô ÌÇÄ ³µ ± Ä Ò ØÓÐ Ö Ò º ¼ ± ËØØ ÙÑÑ Ò Ø ÐÐ ÒÓÐк ½ ± ËØØ Ø ÐÐ ½º Ø ÖÑ ½» ¾ ± Ö Ò Ö Ø Ø ÖÑ Òº Û Ð Ø ÖÑ ÌÇÄ ± ÁØ Ö Ö ÐÒ Ø ÖÑ ÌÇĺ Ø ÖÑ ± Ö Ø ÖÑ Ø ÐÐ ÙÑÑ Òº ½ ± ËØ ÙÔÔ ØØ Ø º Ø ÖÑ ½» ¾ ± Ö Ò ÒÝ Ø ÖѺ Ò ÔÖ ÒØ ³ËÙÑÑ Ò Ö ±½¾º½¼ Ò³ µ ± Ë Ö Ú ÙØ Ö ÙÐØ Ø Øº ÔÖ ÒØ ³ Ø Ð Ú Æ ±Ù Ø ÖÑ Ö³ ¹½µ ± Ë Ö Ú ÙØ Æº

Ï Ð ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Ò ÖÒ Ò Ú ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÙÑÑ Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø ÙÑÑ ÚÖ Ô ÌÇÄ ½ ¹½¼ ËÙÑÑ Ò Ö ½º ¾ ¼ Ø Ð Ú Æ Ø ÖÑ Ö ÃÓÑÑ ÒØ Öº lim N s N = π 2 /6 = 1.6449340668482...

ËØÝÖÚ Ö ÐÒ ØØ Ø ÐÐ Ø Ò Ö ÚÖ Ø ØÝÖÑÒ Ò Ó ¾º Ø ÖÙÔÔ ÙØ Ö º Ø ÖÒ Ú Ö Ø ÐÐ Ø ØØ ØÝÖÚ Ö ÐÒ Ö Ð ÔØ ÒÓÑ Ð Ó ØÝÖÑÒ Òº ÓÖ¹ÐÓÓÔ Ö Á Ò ÓÖ¹ÐÓÓÔ Ö Ô Ø Ö Ò Ø ÖÙÔÔ ÐÒ Ò ØÝÖÚ Ö Ð Ð Ô Ö Ò ØÝÖÑÒ º ËÝÒØ Üº ÓÖ ØÝÖÚ Ö Ð ØÝÖÑÒ Ø ÖÙÔÔ Ò ½º ËØÝÖÚ Ö ÐÒ ØØ Ø ÐÐ Ø Ö Ø ÚÖ Ø ØÝÖÑÒ Ò Ó Ø ÖÒ Ø ÖÙÔÔ ÙØ Ö º º º º

Ð Ñ Ö Ò ÓÖ¹ÐÓÓÔº ¼

Ü ÑÔ Ðº Ö ØØ Ö Ò Ó Ö Ú ÙØ Ú Ö Ø ÖÒ Ô Ñ Ö Ø ÐØ Ð Ò Ò Ú ÒÚÒ Ò ÓÖ¹ Ø Å¹ Ð Ò Ú Ö Ø ÖºÑ ÔÓ Ø Ú ÓÖ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ô ³ ¾³µ Ô ³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹³µ ÓÖ ½ ¾ ÔÖ ÒØ ³ ±Ù ±Ù Ò³ ¾µ Ò Ö Ø Ø ÐÐ Ð ØÝÖÚ Ö ÐÒ k ÚÖ Ø 1º Ë Ø Ò ÔÖ ÒØ Ö Ú Ö ÙØ ½º Ó k k 2 º Ë Ò Ø ÐÐ Ð ØÝÖÚ Ö ÐÒ k ÚÖ Ø 2º Ë Ø Ò ÔÖ ÒØ Ö Ú Ö ÙØ ¾º Ó k k 2 º º º º Óº ºÚº ½

ÓÖ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Ò ÖÒ Ò Ú ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ú Ö Ø Ö Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ú Ö Ø Ö ¾ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾

ÓÖ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ç Ø ÒÚÒ ÓÐÓÒÒÓØ Ø ÓÒ Ö ØØ Ò Ö ØÝÖÑÒ Òº Ü ÑÔ Ðº Ö ØØ Ö Ò Ò Ö ØÑ Ø ÙÑÑ Ò s = 5+8+11+14+...+101 Ò Ú ÒÚÒ Ò ÓÖ¹ Ø Å¹ Ð Ò Ö ØÑ Ø ºÑ ÙÑÑ ¼ ± ËØØ ÙÑÑ Ò Ø ÐÐ ÒÓÐк ÓÖ ½¼½ ± ËØÝÖÚ Ö ÐÒ Ð Ô Ö ÒÓÑ ÚÖ Ò ½½ ººº ½¼½ ÙÑÑ ÙÑÑ ± Ö Ø ÐÐ ÙÑÑ Òº Ò ÔÖ ÒØ ³ËÙÑÑ Ò Ö ±Ùº Ò³ ÙÑÑ µ ± Ë Ö Ú ÙØ Ö ÙÐØ Ø Øº

Ü ÑÔ Ðº ÓÖØ ºµ Ò ÖÒ Ò Ú ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö ØÑ Ø Ö Ð Ò ÓÖ¹ÐÓÓÔ Ö ÓÖØ ºµ Ö ÙÐØ Ø Ö ØÑ Ø ËÙÑÑ Ò Ö ½ º ÃÓÑÑ ÒØ Öº ÌÚ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ò ÓÖ¹ÐÓÓÔ ÙÑ ½¼½µ ± ÒÚÒ Å ÌÄ Ò Ý ÙÑÑ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº ½ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ö Ð Ò Ø ½¼½µ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ö ½¼½µ»¾ ± ÓÖÑ Ð Ö Ö Ò Ò Ú Ö ØÑ Ø ÙÑÑ ± ËÙÑÑ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ö Ñ ÐÚÖ Ø Ú ½ ± Ö Ø Ó Ø Ø ÖÑ Ò