Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1
Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner F(r) = (P (r), Q(r)) = (P (x, y), Q(x, y)), (1) där r är en positionsvektor. Vidare har vi definierat kurvintegralen av vektorfältet längs en given kurva som F(r) dr = P dx + Qdy, (2) där dr är en en liten förflyttning längs kurvan. Om vektorfältet är ett kraftfält så är en naturlig tolkning av integralen ovan det av kraftfältet utförda arbetet längs kurvan, varför integralen ofta kallas arbetsintegral. I vissa fall är det utförda arbetet av ett kraftfält (till exempel tyngdkraftfältet) endast beroende av kurvans start- och slutpunkt, det vill säga oberoende av vägen mellan punkterna. Matematiskt definieras ett sådant vektorfält som ett potentialfält, även kallat konservativt fält. efinition 1. Ett vektorfält F = (P, Q) är ett potentialfält i det öppna området Ω om det finns en C 1 -funktion U, kallad potential, så att F = U. (3) Varför det här definierar vektorfält så att kurvintegralen blir oberoende av vägen förklaras av följande sats: Sats 1. (9.4.2) Låt F = (P, Q) vara ett potentialfält med potentialen U i det öppna området Ω. För varje kurva i Ω gäller då att F dr = U(b) U(a), (4) 2
där a och b är start- respektive slutpunkten för. Satsen säger då speciellt att om F är ett potentialfält så är kurvintegralen av F oberoende av vägen i Ω. Ytterligare en konsekvens är att kurvintegralen lägns varje sluten kurva blir 0, F dr = 0, (5) eftersom startpunkten är samma som slutpunkten. Beviset av satsen använder i princip kedjeregeln baklänges: Bevis. Låt r = r(t), α t β, vara en parameterframställning av. Speciellt är r(α) = a och r(β) = b. Per definition av potentialfält gäller att F = U. Vi får då att F dr = = = = β α β α β α β α F(r(t)) r (t)dt = β U(x(t), y(t)) (x (t), y (t))dt ( U x x t + U y y t α U(r(t)) r (t)dt ) β dt kedjeregeln = α d U(x(t), y(t))dt dt d U(r(t))dt = U(r(β)) U(r(α)) = U(b) U(a). dt Om mängden Ω är bågvis sammanhängande så gäller även det omvända av satsen ovan, det vill säga att om en kurvintegral är oberoende av vägen i Ω så är vektorfältet konservativt. Sats 2. (9.4.3) Låt F = (P, Q) vara ett kontinuerligt vektorfält definierat i en bågvis sammanhängande öppen mängd Ω. å gäller att om F dr är 3
oberoende av vägen så har F en potential i Ω. Bevisidén är att ansätta en potential u(x) och sedan visa att F = u. Bevis. Välj en baspunkt a Ω. För en godtycklig punkt x Ω sätt u(x) = F dr, där är en valfri styckvis C 1 -kurva i Ω som startar i a och slutar i x. å u är väldefinierat återstår att visa att u = F. Betrakta en specifik partiell derivata i en punkt x = b. Vi ska visa att Per definition gäller u x i (b) = F i (b). u u(b + he i ) u(b) (b) = lim x i h 0 h = lim h 0 1 F dr h 2 F dr, där 1 är en valfri styckvis C 1 -kurva från a till b+he i sådan att 1 = 2 + 3, 2 är en styckvis C 1 -kurva från a till b och 3 är raksträckan från b till b+he i. Härav fås u (b) = lim 3 F dr x i h 0 h = lim h 0 h F 0 i(b + te i )dt, (6) h ty r(t) = b + te i, 0 t h, är en parametrisering av 3. Vi integrerar alltså längs med det räta linjestycket i e i -led. å F antogs vara kontinuerlig kan vi här tillämpa integralkalkylens generaliserade medelvärdessats vilken ger att h 0 F i (b + te i )dt = hf i (b + θ h e i ), θ h [0, h]. (7) 4
Insättning av (7) i (6) ger lim F i(b + θ h e i ) = F i (b), h 0 ty F är kontinuerlig. Alltså är u x i (b) = F i (b) och därmed u = F. et är värt att notera att båda föregående satserna gäller även i R n godtyckligt n utan att modifiera bevisen. för Virvelfria fält En annan underkategori av vektorfält är virvelfria fält, vilka i planet uppfyller att F y x = F x y. (8) Alla C 1 -konservativa fält är virvelfria, vilket är en konsekvens av att de blandade andraderivatorna är lika. En intressant frågeställning är när det omvända gäller, det vill säga när är ett virvelfritt fält konservativt? enna fråga besvaras i R 2 av Greens sats och i R 3 av Stokes sats. et gäller i allmänhet inte att virvelfria fält är konservativa, vilket framgår av följande exempel: Exempel Betrakta vektorfältet B(x, y) = ( y x, ), (x, y) (0, 0). B är virvelfritt x 2 +y 2 x 2 +y 2 ty: Q x = y2 x 2 y 2 + x 2 = P y. Om B är konservativt så måste dess kurvintegral över alla slutna kurvor vara lika med noll. Men om vi integrerar B över kurvan : r(θ) = (r cos θ, r sin θ), 0 5
θ 2π, som är randen av en cirkel kring (0, 0) med godtycklig radie r, så fås B dr = 1 2π ( r sin θ, r cos θ) ( r sin θ, r cos θ)dθ = r 2 0 0 2π dθ = 2π 0. Alltså är B ej virvelfritt. et gäller alltså i allmänhet inte att virvelfria fält är konservativa, men med Greens sats, som introduceras nedan, går det att bevisa att alla virvelfria fält definierade på en enkelt sammanhängande mängd är konservativa. efinition 2. En delmängd Ω R 2 sägs vara enkelt sammanhängande om Ω är sammanhängande och om det gäller att för varje sluten enkel kurva i Ω så tillhör insidan av i sin helhet Ω. Greens formel Sats 3. (Greens formel) Låt P och Q vara två C 1 -funktioner definierade i en öppen mängd Ω R 2. Om det kompakta delområdet har en rand som utgörs av en eller flera styckvis C 1 -kurvor och som är positivt orienterade så gäller följande: P dx + Qdy = ( Q x P ) dxdy. y Från denna formel kan sedan följande sats härledas: Följdsats 1. Om F är ett C 1 -fält i ett enkelt sammanhängande område i R 2 så gäller följande: F virvelfritt F konservativt. 6
Tillämpningar av Greens formel Kurvintegraler Beräkningar av kurvintegraler längs slutna kurvor som inte kan integreras direkt, utan först måste delas upp i olika delar, kan ofta underlättas med hjälp av Greens formel. Exempel Beräkna kurvintegralen y 3 dx + x 3 dy, där är den positivt orienterade randen till cirkelsektorn x 2 + y 2 1, 0 y x. Eftersom vi integrerar över randen till en cirkelsektor hade vi behövt dela upp randen för att kunna beräkna integralen som en kurvintegral. Vi använder därför Greens formel och erhåller följande integral: y 3 dx + x 3 dy = ( 3x 2 + 3y 2) dxdy. Med ett polärt koordinatbyte kan denna integral därefter beräknas som vanligt. Areaberäkning Greens formel kan även appliceras vid areaberäkning för att omvandla mellan enkel- och dubbelintegraler. Om vi till exempel ska beräkna arean av ett kompakt område kan vi använda Greens formel baklänges och på så sätt få 7
följande likhet: dxdy = ydx = xdy = 1 2 ydx + xdy, där den sista integralen erhålls genom addition av de första enkelintegralerna. Sammanfattningsvis används Greens formel för att konvertera mellan enkel- och dubbelintegraler. Vilken integral som går fortast att beräkna beror på funktionen man integrerar samt området man integrerar över. I många fall kan användningen av Greens formel förkorta beräkningarna avsevärt. Flöden i två och tre dimensioner För att beräkna arbetet som utförs längs en kurva,, har vi sett att Greens sats kan användas på en integral av skalärprodukten av vektorfältet, F, och tangenten, T, F T ds = F 1 dx+f 2 dy = ( F2 x F ) 1 dxdy := y ( F) Ndxdy, där T ds = (dx, dy) och ds är det infinitesmala längdelementet av kurvan. Minns också att F definieras som rotationen av F eller curl(f). Om tangenteten byts ut mot kurvans utåtgående enhetsnormal som är Nds = ( dy, dx), då denna är ortogonal mot tangenten, så ger Greens sats på samma sätt F Nds = F 2 dx + F 1 dy = ( F1 x + F ) 2 dxdy := y ( F)dxdy, där även F har fått en egen benämning, divergensen av F eller div(f). 8
Eftersom normalen är ortogonal mot randens orientering kan denna integral ses som flödet ut ur området, där vektorfältet representerar strömning av någon materia. För att div(f) ska vara nollskilt krävs att det finns källor eller sänkor i området som producerar respektive konsumerar materia. Om div(f) = 0 kallas F för källfritt. Med andra ord är div(f) = måttet på den lokala produktionen av den strömmande substansen. Generalisering av flödet från två till tre dimensioner innebär att det infinitesmala areaelementet, ds, av ytan används istället för det infinitesimala längdelementet, ds, av kurvan och integralen skrivs " F NdS. S Vid beräkningen av NdS gäller ds = r s r t dsdt NdS = ±(r s r t)dsdt, där r(s, t) är parametriseringen av ytan. Tecknet avgörs från fall till fall så att N pekar ut från kroppen. et finns två specialfall av ytans form då vi kan göra en allmän omskrivning av NdS. Specialfall 1. Om ytan är en funktionsyta av formen r(x, y) så kan en punkt på ytan skrivas som (x, y, f(x, y)), vilket gör att NdS = ±( f x, f y, 1)dxdy. Specialfall 2. Om ytan istället är en implicit definierad funktionsyta, det vill säga att den är av formen f(x, y, z) = 0 så ger den implicita funktionssatsen att z kan skrivas z = g(x, y), så länge f z 0. Partialderivatorna av g är då följande g x = f x f z och g y = f y f z. 9
Vi kan nu skriva detta som ett exempel av specialfall (1) vilket ger oss ( f NdS = ± f z ) dxdy. Gauss och Stokes satser Gauss divergenssats Gauss divergenssats kan sägas vara den tredimensionella motsvarigheten till flödesversionen av Greens sats. Sats 4. (Gauss sats) Låt F = (F 1, F 2, F 3 ) vara ett C 1 -fält definierat i en öppen mängd Ω R 3. Om den kompakta mängden K Ω har en rand, K som består av en eller flera C 1 -ytor vars normaler är riktade utåt från K så gäller att " VL = F NdS = div(f)dv = HL. K K Bevis. Vi bevisade Gauss sats i fallet med ett rätblock på följande sätt. Rätblocket K definierar vi som K = {(x, y, z) a x b, c y d, e z f}. Vårt VL i det här fallet blir K = 6 i=1 S i " K F NdS = 6 i=1 S i F NdS. Nu ansatte vi S 1, S 2 till de två sidorna parallella med yz-planet, S 3, S 4 till de två sidorna parallella med xz-planet och S 5, S 6 till de två sidorna parallella med xy-planet. S 1 kan då beskrivas med x = a, c y d, e z f med normalen N 1 = ( 1, 0, 0) och S 2 kan då beskrivas med x = a, c y d, e z f med normalen N 2 = (1, 0, 0) vilket gör att vi kan göra följande 10
beräkningar F NdS = S 1 F N 1 = F 1, F N 2 = F 1, ds = dydz f d f d F 1 (a, y, z)dydz och F NdS = F 1 (b, y, z)dydz. S 2 e c e c (9) Vårt HL kan också skrivas om enligt K K FdV = 3 i=1 f F 1 dxdydz = x 1 e d c K F i x i dxdydz (F 1 (b, y, z) F 1 (a, y, z))dydz. (10) Ekvation (9) och (10) visar att vårt VL och HL är samma och analogt kan det visas för alla parallella par av sidor som begränsar rätblocket. Maxwells ekvationer et elektriska fältet E som produceras av en punktladdning i origo är enligt Coloumbs lag radial och avtar i styrka med kvadrat av radien E r r 3, r = r. Observera nu att F = r r 3 har en potential φ = 1 r. Alltså gäller att så länge vi inte har några laddningar i rörelse så är arbetet som utförs av det elektriska fältet runt en sluten kurva alltid noll. 11
Gauss lag Gauss lag beskriver hur det totala elektriska flödet ur ett slutet område är lika med den totala laddningen inom området gånger någon konstant som beror på mediet. Matematiskt kan Gauss lag skrivas " K E NdS K ρdv, där ρ = laddningsdensiteten. Enligt Gauss divergenssats gäller " K E NdS = K ( E)dV alltså E ρ. Kombinerar vi detta med Coloumbs lag så fås E = ρ ɛ där ɛ är mediets eletriska permeabilitet. enna PE kallas Maxwells första ekvation. Stokes sats Stokes sats generaliserar Greens formel för arbeten längs kurvor i planet till arbeten längs ränderna till allmänna ytor i rymden. Vi låter Y vara en C 1 -yta med parametriseringen r = r(s, t), där r : R 3, och vara ett kompakt område i planet med positivt orienterad C 1 -rand. Positiv rikting för ytstycket och randen definieras som då vektorprodukten av normalen, N, 12
till Y och tangenten T till Y pekar in mot ytan i varje punkt på randen. Här av följer satsen: Sats 5. (Stokes sats) Låt F = (F 1, F 2, F 3 ) vara ett C 1 -fält definierat i en öppen mängd Ω i rummet. Om Y är ett orienterat ytstycke i Ω med orienterad rand Y så gäller F dr = curl(f) NdS. Y Y 13