Hållfasthetslära Strength of Materials 7,5 högskolepoäng 7.5 Credits Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TM091B Maskiningenjör - Produktutveckling Name: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 10 januari 2017 Tid: 9.00 13.00 Hjälpmedel: Tore Dahlbergs formelsamling TeFyMa eller annan liknande formelsamling inom fysik och matematik Valfri miniräknare Passare och linjal Total antal poäng på tentamen : 100 poäng För att få respektive betyg krävs: För betyg 3 krävs 40 poäng För betyg 4 krävs 60 poäng För betyg 5 krävs 80 poäng Rättningstiden är i normalfall tre veckor Viktigt! Glöm inte att skriva namn på alla blad du lämnar in Lycka till! Ansvarig lärare: Sunil Kumar Ramamoorthy Telefonnummer: 0735734515
Spänning och töjning (10 poäng) Stress and Strain (10 points) 1) Vad är ett frikroppsdiagram (kraftdiagram)? Rita ett frikroppsdiagram för bilden nedan. (2 poäng) What is free-body diagram? Draw free-body diagram for the picture below. (2 points) 2) Den stegvis avsmalnande stången endan utsätts för en kompressiv belastning av 35 kn. Finn maximum- och minimumspänning. (2 poäng) A stepped bar shown is subjected to compressive load of 35 kn. Find maximum and minimum stress (2 points) 3) Vad är termiska spänningar? (1 poäng) What are thermal stresses? (1 point) 4) Vad är Poissons tal? (1 poäng) What is Poisson s ratio? (1 point) 5) Bestäm E-modul och Poissons tal för en metallstång som är 30 cm lång, 4 cm bred och 4 cm tjock när stången utsätts för en axiell kompressiv belastning på 400 kn. Minskningen i längd är 0,075 cm och ökningen i bredd 0,003 cm. (4 poäng) Determine the E-modulus and Poisson s ratio of a metallic bar of length 30 cm, breadth 4 cm and depth 4 cm when the bar is subjected to an axial compressive load of 400 kn. The decrease in length is given as 0.075 cm and increase in breadth is 0.003 cm (4 points) Spännings-töjningssamband & spänningskoncentration (10 poäng) Stress-Strain Relation & Stress Concentration (10 points) 1) Förklara spännings-töjningskurvan (dragprovkurva). Vad menas med linjär elastisk, ickelinjär elastisk och elastisk-plastisk? Förklara med diagram. (5 poäng) Explain stress-strain curve. What is linear-elastic, nonlinear elastic and elastic-plastic? Explain with diagrams (5 points) 2) Vad är spänningskoncentration? Hur orsakas den av den strukturella förändringen? (2 poäng) What is stress concentration? And how it is caused due to structural change? (2 points)
3) Den platta stången I figuren nedan är 6 mm tjock och har ett hål med 18 mm diameter. Den har tre bredder b1=40 mm, b2=50 mm and b3=36 mm. Spänningskoncentrationsfaktorn för filler, hål och käl är 1.24, 2.28 and 1.31. Den tillåtna spänningen är 41 MPa. Vilken är den tillåtna belastningen/kraften? (3 poäng) A stepped flat bar of 6 mm thick has a hole of 18 mm diameter. It has three widths of b1=40 mm, b2=50 mm and b3=36 mm. Stress concentration factors for the filler, hole and the right fillet are 1.24, 2.28 and 1.31 respectively. The allowable stress is 41 MPa. What is the permissible load/force? (3 points) Analys av spänning (10 poäng) Analysis of Stress (10 points) 1. I figuren nedan, vilken riktning har normal- och skjuvspänningen? (1 poäng) In figure below, what direction the normal and the shear stress act? (1 point) 2. Vilka är krafterna som verkar I figurerna nedan? (1 poäng) What are the forces acting on diagram below? (1 point) 3. Rita en 3D kub och rita ut stress tensor matrix som uttrycker bade normal- och skjuvspänning (2 poäng) Draw a 3D cube and write the stress tensor matrix expressing both normal and shear stress. (2 points) 4. Vad är lika med tvärskjuvning (1 poäng) What is equality of cross shear? (1 point) 5. Det plana spänningstillståndet I en punkt representeras av spänningselementet I figuren nedan. Bestäm huvudspänningarna och rita ut motsvarande spänningselement. (5 poäng) The state of plane stress at a point is represented by the stress element given in the diagram. Determine the principal stresses and draw the corresponding stress element. (5 points)
Vridning (20 poäng) Torsion (20 points) 1. Om vridmomentet ökar, kommer förvridningsvinkeln att öka eller minska? Svaret skall motiveras. (1 poäng) If torque increases, will angle of twist increase or decrease? Motivate (1 point) 2. I figuren är två spänningar (a och c) visade. Vilken är normal- och vilken är skjuv-? Motivera svaret. (1 poäng) In the diagram, two stresses (a and c) are shown, normal and shear. Which is normal stress and which shear stress? Motivate (1 point) 3. En solid axel överför 425 kw vid 100 rpm. Beräkna vridmomentet som överförs av axeln. (2 poäng) A solid shaft is to transmit 425 kw at 100 rpm. Find the torque transmitted by the shaft. (2 points) 4. En solid axel med 25 mm diameter överför en effect vid 700 rpm. Den maximal skjuvspänningen är 60 N/mm 2. Beräkna den överförda effekten. (2 poäng) A solid shaft of 25 mm diameter transmits power 700 rpm. The maximum shear stress is 60 N/mm2. Calculate power transmitted (2 points) 5. En stålaxel och ett aluminiumrör är fastsatta i ett fast stöd och i en stel skiva. Givet att den initiala spänningen är noll, beräkna minmum-vridmomentet T 0, som kan läggas på skivan om den tillåtna spänningen är 120 MPa I stålaxeln och 70 MPa I aluminiumröret. G = 80 GPa för stål och 27 GPa för aluminium. (10 poäng) A steel shaft and aluminium tube are connected to a fixed support and to a rigid disk. Knowing that the initial stresses are Zero, determine the minimum torque T 0, that may be applied to the disk if the allowable stresses are 120 MPa in the steel shaft and 70 MPa in the aluminium tube. G = 80 GPa for steel and 27 GPa for aluminium. (10 points)
6. Ett aluminiumrör, 1,2 m långt, har ett halvcirkelformat tvärsnitt enligt figuren nedan. Om man bortser från spänningskoncentrationer I hörnen, beräkna (1) vridmomentet som orsakar en maximal skjuvspänning på 40 MPa och (2) motsvarande förvridningsvinkel hos röret. Använd G = 28 GPa för aluminium. (4 poäng) An aluminum tube, 1.2 m long, has the semicircular cross section shown in the figure. If stress concentrations at the corners are neglected, determine (1) the torque that causes a maximum shear stress of 40MPa and (2) the corresponding angle of twist of the tube. Use G = 28 GPa for aluminum. (4 points) Tyngdpunkt, tröghetsmoment (20 poäng) Centre of Gravity, Moment of Inertia ( 20 points) 1. Definiera skillnaden mellan centroid och tyngdpunkt. (1 poäng) Differentiate centroid and centre of gravity (1 point) 2. Vad menas med first moment of area? Vad menas med second moment of area (yttröghetsmoment)? (2 poäng) What is first moment of area? What is second moment of area? (2 points) 3. Det är lättare att svänga hammaren om du håller den i huvudet än om du håller den i skaftet. Förklara varför. (2 poäng) It is easier to swing the hammer if you hold the head than if you hold by handle. Why? (2 points)
4. Finn tyngdpunkten för I-sektionen i figuren. (5 poäng) Find the centre of gravity of the I-section (5 points) 5. Beräkna tröghetsmomentet för tvärsnittet i den horisontella axeln som går genom sektionens (nedan) tyngdpunkt. (10 poäng) Find the moment of inertia of the section about the horizontal axis passing through the centre of gravity of the section (10 points) Balkar (20 poäng) Beams (20 points) 1. Lista olika balktyper med diagram. (3 poäng) List different types of beams with diagram (3 points) 2. En konsolbalk (nedan) med längden 2 m utsätts för punktbelastningar. Rita diagram för skjuvkraft och för böjmoment. (7 poäng) A cantilever beam of length 2 m carries point loads. Draw the shear force and bending moment diagrams (7 points)
3. Vilken balk kommer att böjas eller utböjas mest kring X-axeln? Varför? Alla dimensioner är i cm. (3 poäng) Which beam will bend (or deflect) the most about X-axis? And why? All dimensions are in cm (3 points) 4. En konsolbalk med 2 m längd bär en jämnt varierande last av 25 kn/m vid den fria änden och 75 kn/m vid den fasta änden. Om E = 1*10 5 N/mm 2 och I = 1*10 8 mm 4, bestäm (i) Lutningen vid den fria änden (3 poäng) (ii) Utböjningen vid den fria änden. (3 poäng) A cantilever of length 2 m carries a uniformly varying load of 25 kn/m at the free end to 75 kn/m at the fixed end. If E = 1*10^5 N/mm2 and I = 10^8 mm4. Determine (i) Slope at the free end (3 points) (ii) Deflection at the free end (3 points) 5. Vad menas med skjuvcentrum? (1 poäng) What is shear center? (1 point) Knäckning (5 poäng) Buckling (5 points) 1) Vad är skillnaden mellan knäckning och böjning? (2 poäng)
What is the difference between buckling and bending? (2 point) 2) Ange olika typer av pelare. Var dominerar knäckning? Och varför? (3 poäng) Write different types of columns. Where does buckling dominate? And why? (3 points) FEM (5 poäng) FEM (5 points) 1) Vad betyder det att använda FEM? (1 poäng) What is the use of FEM? (1 point) 2) Hur hjälper FEM till att lösa ett givet problem? Skriv steg för steg. (3 poäng) How the FEM helps to solve the given problem? Write step by step (3 points) 3) Skriv användningsområden för FEM. (1 poäng) Write the applications of FEM (1 point)
Name Formula Unit Notes Area of a rod Area of a cylindrical rod mm 2, cm 2, m 2 Solid rod = π 4 D2 Area of a hollow rod Area of hollow cylinder = π 4 (D2 d 2 ) mm 2, cm 2, m 2 Tubes are example Area of a rectangular bar Area of rectangular bar = length breadth mm 2, cm 2, m 2 When you calculate stress at a particular area; one should be careful to choose which is length and breadth Volume of cylinder V=πr 2 L mm 3, cm 3, m 3 Check the unit Volume of rectangular bar Factor of safety (FoS) FoS = V=L*b*t mm 3, cm 3, m 3 Check the unit Ultimate stress Working stress No unit See stress-strain curve Stress, σ Strain, ε ε = σ = Load Area = P A Stress E modulus = σ E N/m2 (or) Pa And variations like N/mm2, MPa, GPa etc. No unit This suits for all stresses such as tensile, compresssive, etc. Check the formula for E modulus formula. G (shear modulus) has similar expression Change in length ε = Original length = δl L Elongation, δl δl = strain L = ε L mm, cm, m Compare it with strain formula. If it is % elongation, then the value should be multiplied by 100 Longitudinal strain No unit This is along the applied force Lateral strain No unit Perpendicular to the applied force Poisson s ratio Stress Concentration Poisson s ratio, = Lateral strain Longitudinal strain No unit No unit Necessary to understand what are lateral and longitudinal strains Stress near the hole sigma max Stress for viscoelastic material Relation between E, G and υ σ(t) = E ε(t) + η d ε d t N/m2 (or) Pa And variations like N/mm2, MPa, Gpa etc. N/m2 (or) Pa; and variations like above You have elastic and viscous parts E, G and Poisson s ratio calculated
Condition Sketch Formula Varying sections Tapering circular rod Tapering rectangular rod
Composite bar Thermal stresses (alpha is co-efficient of linear expansion and T is temperature rise) (NOTE: if the support expands then the actual expansion of the material expansion of the support gives actual expansion) Thermal stresses in composite bars
Volumetric strain of rectangular bar = ev = change in volume original volume = δv V δlbd + δbld + δdlb L b d = δl L + δb b + δd d ev = (longitudinal strain) + 2 (lateral strain) ev = (longitudinal strain) +2 ( poisson s ratio longitudinal strain) ev = longitudinal strain (1-2μ) ev = δl (1 2μ) L Volumetric strain of rectangular bar subjected to 3 forces Volumetric strain of cylindrical rod General state of stress stress at a point Normal stresses and shear stresses are denoted as showed.
Stress tensor - matrix Six stress components Equality of cross-shear τ yx = τ xy τ xz = τ zx τ yz = τ zy Differential equations of equilibrium stress Transformati on of plane stress Principal stress and principal angle (maximum and minimum normal stress) Maximum shear stress
Relation between principal and maximum shear Trignometric Identities and values Different Types of Forces
TORSION Condition Formula Diagram Torsional shearing stress J-polar moment of inertia Polar moment of inertia Angle of twist This is always in radians, degree should be converted into radians Power transmitted f is in seconds; you could have rotations in minute, then the formula is divided by 60 Shear strain γ max = rφ L By Hooke s law in the elastic range, Strain=shear stress/shear modulus
Stress concentration Polar moment of inertia Polar moment of inertia changes So the shear stress also changes: Thin walled,, r is average Arbitrary cross section Thick walled, J in the above equation is substituted from the table Torque, T = 2 τ(s) t(s) A Shear stress, τ(s) = A = area T 2At(s) Angle of twist
CENTRE OF GRAVITY AND MOMENT OF INERTIA Condition Formula Diagram First moment of inertia Centroid/Centre of gravity Area moment of inertia (Second moment of inertia) Mass moment of inertia I = m 1 r1 2 + m 2 r2 2 + Parallel Axis Theorem M mass/area R distance from center axis to new axis Rotated axis Moment of inertia of the new axis Principal axes and corresponding moment of inertia
BENDING MOMENT AND SHEAR FORCE DIAGRAMS