English Version. 1 x 4x 3 dx = 0.8. = P (N(0, 1) < 3.47) = =

Transkript

1 TAMS11: Probability and Statistics Provkod: TENB 11 June 2015, 14:00-18:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: ). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use: a calculator; formel -och tabellsamling i matematisk statistik (from MAI); TAMS 11: Notations and Formulae (by Xiangfeng Yang), a dictionary. b. Scores rating: 8-11 points giving rate 3; points giving rate 4; points giving rate 5. 1 (3 points) English Version The breaking strength X (with some unit) for certain fibers have a probability density function f(x) = 4x 3, 0 < x < 1. (1.1). (1p) Find the mean E(X) and the variance V (X) for X. (1.2). (2p) One selects 50 fibers randomly. What is the probability that the total breaking strength of these 50 fibers is less than 36? Solution. (1.1) µ = E(X) = 1 0 x 4x 3 dx = 0.8. (1.2) Since σ 2 = V (X) = 1 0 x 2 4x 3 dx µ 2 = 4/ = P (X X 50 < 36) = P ( X < 36/50) = P ( X µ σ/ n < 36/ / 50 ) = P (N(0, 1) < 3.47) = = (3 points) Two random variables X and Y have a joint probability mass function as follows X\Y p 12 =? p 13 =? p 23 =? The table tells that X can take values 1 and 2, and Y can take values 1, 2 and 3. Assume that X and Y are independent. Find p 12 =?, p 13 =? and p 23 =?. Solution. Since X and Y are independent, Finally p 11 = 0.2 = P (X = 1) P (Y = 1) = P (X = 1) ( ) P (X = 1) = 0.8 and P (X = 2) = 0.2. p 22 = 0.1 = P (X = 2) P (Y = 2) = 0.2 P (Y = 1) P (Y = 2) = 0.5. p 12 = 0.4. p 13 = P (X = 1) p 11 p 12 = = 0.2, and p 23 = P (X = 2) p 21 p 22 = = Page 1/4

2 3 (3 points) In the analysis of chloride, samples are taken at the top and bottom of a container with the following results (in %): Top: Bottom: Assume that these two samples are taken from two independent populations N(µ 1, σ 2 1) and N(µ 2, σ 2 2). (3.1). (1p) Find a 95% confidence interval of µ 1. (3.2). (1p) Find a 95% upper confidence bound of σ 2 1. (Hint: (0, b)) (3.2). (1p) If σ 1 = σ 2 are unknown, find a 95% confidence interval of µ 1 µ 2. Solution. (3.1) We can easily find x = and s x = Thus where n 1 = 4. (3.2) I µ1 = x t α/2 (n 1 1) I σ 2 1 = (0, s x n1 = = ( , ) (n 1 1)s 2 x χ 2 1 α (n 1 1) ) = (0, (4 1) ) = (0, ) (3.3) The combined sample standard deviation is s = (n s 2 1 1)s 2 x + (n 2 1)s 2 y = = = n 1 + n 2 2 Thus, I µ1 µ 2 = ( x ȳ) t α/2 (n 1 + n 2 2) s 1 n n 2 = = ( 0.048, 0.152). 4 (3 points) The following data sets represent a sample from a Poisson distribution X P o(λ), where the mean λ is unknown. In the sample the observations are: {7, 10, 8, 12}. (4.1). (1p) Find a point estimate ˆλ MM of λ using the Method of Moments. (4.2). (2p) Find a pont estimate ˆλ ML of λ using Maximum-Likelihood method. Solution. (4.1). For Method of Moments, the first equation is E(X) = x. The mean E(X) can be calculated as E(X) = λ. By solving E(X) = x, we have λ = x which yields ˆλ MM = x = = (4.2). For the Maximum-Likelihood method, we write the likelihood function as L(λ) = e λ λ x1 x 1! e λ λ x2 x 2! e λ λ x3 x 3! e λ λ x4 x 4! = e 4λ λ x1+...+x4. x 1!... x 4! Maximizing L(λ) is equivalent to maximize ln L(λ) where d ln L(λ) ln L(λ) = 4λ + (x x 4 ) ln λ ln(x 1!... x 4!). By dλ = 0, we have λ = x, therefore ˆλ ML = x = (The second derivative d2 ln L(λ) dλ < 0 yields that ˆλ 2 ML is indeed a maximal point) Page 2/4

3 5 (3 points) Elastic modulus of aluminum is 7.0 (unit: N/m 2 ). To increase the modulus, aluminum is alloyed with small bronze. One takes ten different such alloys and obtains the following measurements: which have a sample mean x = 8.57 and sample standard deviation s = These measured values can be assumed to be from N(µ, 2 2 ), where µ is the actual elastic modulus. Determine, using a test with a significance level 5%, that if the elastic modulus of alloy is bigger than that of aluminium. (5.1). (1p) What are H 0 :??? mot H a :??? (5.2). (1p) Is H 0 rejected? Why? (5.3). (1p) For the test in (5.1), what is the probability that H 0 is rejected when the actual en elastic modulus µ = 7.2? Solution. (5.1) Since we want to know if the mean has increased, we have H 0 : µ = 7 mot H a : µ > 7. (5.2) Since the population standard deviation is known σ2, the test statistic is According to H a the rejection region is T S = x µ 0 σ/ n = / 10 = C = (z α, + ) = (z 0.05, + ) = (1.645, + ). The test statistic is in the rejection region T S C, reject H 0.S (5.3) P (reject H 0 when µ = 7.2) = P ( X µ 0 σ/ n > when µ = 7.2) (need to change X µ 0 σ/ n to X µ σ/ n since X µ σ/ N(0, 1)) n = P ( X µ σ/ n + µ µ 0 σ/ > when µ = 7.2) n = P (N(0, 1) / 10 > 1.645) = P (N(0, 1) > 1.33) = = (3 points) On an island in the Pacific 40% of the inhabitants have a skin disease which is related to psoriasis. It has been found that the concentration of the enzyme NZ2 is extremely low in these inhabitants with such disease. However, healthy persons could also have low enzyme NZ2 concentration. Studies show that 32% of the islanders have both skin disease and low enzyme NZ2 concentration (below a specified limit). Furthermore, we know that 38% of the islanders have low enzyme NZ2 concentration. (6.1). (1p) What is the probability that a randomly selected islander neither carries the skin disease nor has low enzyme NZ2 concentration? (6.2). (1p) What is the probability that an islander with low enzyme NZ2 concentration carries the skin disease? (6.3). (1p) What is the probability that a healthy islander has normal enzyme NZ2 concentration level (which is above the specified limit)? Page 3/4

4 Solution. For the conditions, we know (6.1) (6.2) (6.3) P (disease low) = 32%, P (disease) = 40%, P (low) = 38%. P (disease c low c ) = 1 P (disease low) = 1 (P (disease) + P (low) P (disease low)) = 1 (40% + 38% 32%) = 54%. P (disease low) = P (disease low) P (low) P (low c disease c ) = P (low disease c ) P (disease c ) = 32%/38% = = (from (1.1)) = 54%/(1 40%) = 0.9. Page 4/4

5 TAMS11: Probability and Statistics Provkod: TENB 11 juni 2015, kl Examinator: Xiangfeng Yang (Tel: ). Vänligen svara på ENGELSKA om du kan. a. Tillåtna hjälpmedel är: en räknare; formel -och tabellsamling i matematisk statistik (från MAI); TAMS 11: Notations and Formulae (by Xiangfeng Yang); en ordbok. b. Betygsgränser: 8-11 poäng ger betyg 3; poäng ger betyg 4; poäng ger betyg 5. 1 (3 poäng) Svensk Version Brottstyrkan X (i viss enhet) för vissa fibrer har täthetsfunktionen f(x) = 4x 3, 0 < x < 1. (1.1). (1p) Bestäm väntevärde E(X) och varians V (X) för X. (1.2). (2p) Man väljer ut 50 fibrer slumpmässigt. Vad är sannolikheten att den totala brottstyrkan av dessa 50 fibrer understiger 36? 2 (3 poäng) Två stokastiska variabler X och Y har sannolikhetsfunktionen X\Y p 12 =? p 13 =? p 23 =? Tabellen berättar att X kan ha värden 1 och 2, och Y kan ha värden 1, 2 och 3. Antag att X och Y är oberoende. Beräkna p 12 =?, p 13 =? och p 23 =?. 3 (3 poäng) Vid analys av kloridprov tagna längst upp och längst ned i en behållare erhölls följande (i %): Längst upp: Längst ned: Anta att de två mätserierna är oberoende stickprov på N(µ 1, σ 2 1) och N(µ 2, σ 2 2). (3.1). (1p) Bilda ett 95% konfidensintervall för µ 1. (3.2). (1p) Bilda ett 95% upper confidence bound för σ 2 1. (Ledning: (0, b)) (3.2). (1p) Om σ 1 = σ 2 men okända, bilda ett 95% konfidensintervall för µ 1 µ 2. 4 (3 poäng) Följande datamaterial utgör ett stickprov från en Poisson fördelning X P o(λ), där väntevärdet λ är okänd. I stickprovet har man observerade värden: {7, 10, 8, 12}. (4.1). (1p) Hitta en punktskattning ˆλ MM av λ genom att använda momentmetoden. (4.2). (2p) Hitta en punktskattning ˆλ ML av λ genom att använda Maximum Likelihood-metoden. Page 1/2

6 5 (3 poäng) Elasticitetsmodulen hos aluminium är 7.0 (enhet: N/m 2 ). För att öka elasticitetsmodulen legeras aluminiumet med litet brons. Man tar tio olika prover på legeringen och erhåller följande mätningar på elasticitetsmodulen: med medelvärdet x = 8.57 och stickprovsstandardavvikelsen s = De uppmätta värdena kan antas vara observationer från N(µ, 2 2 ), där µ är den verkliga elasticitetsmodulen. Undersök med ett test på nivån 5% om man kan visa att elasticitetsmodulen hos legeringen är större än hos aluminium. (5.1). (1p) Vad är H 0 :??? mot H a :??? (5.2). (1p) H 0 förkastas? Varför? (5.3). (1p) För testet i (5.1), vad är sannolikheten att H 0 förkastas med den verkliga elasticitetsmodulen µ = 7.2? 6 (3 poäng) På en ö i Oceanien lider 40% av invånarna av en hudsjukdom som är besläktad med psoriasis. Man har funnit att halten av enzymet NZ2 är extremt låg hos många av de drabbade. Dock förekommer låga halter även hos friska personer. Studier visar att 32% av öborna har såväl sjukdom som låg halt av NZ2 (ligger under en specificerad gräns). Vidare vet man att 38% av befolkningen har nämnda låga enzymhalt. (6.1). (1p) Vad är sannolikheten för att en på måfå vald öbo varken bär på sjukdomen eller har låg enzymhalt? (6.2). (1p) Vad är sannolikheten att en öbo med låg enzymhalt bär på sjukdomen? (6.3). (1p) Vad är sannolikheten att en frisk öbo har normal enzymhalt (ligger ovanför den specificerade gränsen)? Page 2/2