Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 22 April 2014, 14:00am-18:00noon. English Version

Transkript

1 Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 22 April 2014, 14:00am-18:00noon Examinator/Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: ) a. You are permitted to bring: a calculator; formel -och tabellsamling i matematisk statistik (from MAI); TAMS 11: Notations and Formulae (by Xiangfeng Yang), OR a personal formula sheet (two pages); a dictionary. Please answer in ENGLISH if you can. b. Scores rating: 8-11 points giving rate 3; points giving rate 4; points giving rate 5. 1 (3 points) English Version The following table gives information on the type of coffee selected by someone purchasing a single cup at a particular airport kiosk Small Medium Large Regular 14% 20% 26% Decaf 20% 10% 10% Consider randomly selecting such a coffee purchaser. (1.1). (1p) What is the probability that the individual purchased a small cup? (1.2). (1p) If we learn that the selected individual purchased a small cup, what now is the probability that he/she chose Decaf coffee? (1.3). (1p) If we learn that the selected individual purchased Decaf, what now is the probability that a small size was selected? Solution. (1.1). 14%+20%=34%. (1.2). 20% 34% = 58.82%. (1.3). 20% 20%+10%+10% = 50.00%. 2 (3 points) Suppose that a random variable X has the probability mass function (pmf) as follows X p(x) 1/4 1/4 1/2 (2.1). (1p) Find the mean µ = E(X). (2.2). (1p) Find the variance σ 2 = V (X). (2.3). (1p) Find the cumulative distribution function (cdf) F (x). Solution. (2.1). µ = E(X) = 0 1/ / /2 = (2.2). σ 2 = V (X) = E(X 2 ) µ 2 = 0 2 1/ / / = = (2.3). 0, if x < 0; 1/4, if 0 x < 5; F (x) = P (X x) = 1/4 + 1/4 = 2/4, if 5 x < 10; 1/4 + 1/4 + 1/2 = 1, if 10 x. Page 1/3

2 3 (3 points) Rockwell hardness of pins of a certain type is known to have a mean value of 50 and a standard deviation of 1.2. (3.1). (1p) If the distribution is normal, what is the probability that the sample mean hardness for a random sample of 9 pins is at least 51? (3.2). (2p) Without assuming population normality, what is the (approximate) probability that the sample mean hardness for a random sample of 40 pins is at least 51? Solution. (3.1). P ( X 51) = P ( X µ σ/ n 51 µ σ/ n ) = P ( X / / ) = P (Z 2.5) = (3.2). From CLT, it follows that P ( X 51) = P ( X µ σ/ n 51 µ σ/ n ) = P ( X / / ) P (Z 5.27) (3 points) Suppose that the distribution of a population X has the probability density function (pdf) { e (x θ), if x θ; f(x) = 0, otherwise, where θ is an unknown parameter. A random sample {X 1, X 2,..., X n } from this population is now given. (4.1). (1.5p) Find a point estimator ˆθ MM of θ using Method of Moments. (4.2). (1.5p) Find a point estimator ˆθ ML of θ using Maximum Likelihood method. Solution. (4.1). Since there is only one unknown parameter θ, we just need one equation E(X) = X for the Method of Moments. Now we compute E(X) = xf(x)dx = xe (x θ) dx = 1 + θ, thus we have θ 1 + θ = X, so ˆθ MM = X 1. (4.2). The likelihood function is: for X 1 θ, X 2 θ,..., X n θ, f(x 1, X 2,..., X n ; θ) = f(x 1 )f(x 2 )... f(x n ) = e (X1 θ) e (X2 θ)... e (Xn θ) = e nθ n i=1 Xi. Maximizing f(x 1, X 2,..., X n ; θ) is equivalent to maximize ln f(x 1, X 2,..., X n ; θ) where n ln f(x 1, X 2,..., X n ; θ) = nθ X i. d ln f(x1,x2,...,xn;θ) Notice that the first derivative dθ = n which is always positive, we know that ln f(x 1, X 2,..., X n ; θ) is increasing as a function of θ. Thus the maximal value of θ will give the maximal value of ln f(x 1, X 2,..., X n ; θ). From the condition X 1 θ, X 2 θ,..., X n θ, we can see that the maximal value of θ is min{x 1, X 2,..., X n }. Thus i=1 ˆθ ML = min{x 1, X 2,..., X n }. 5 (3 points) The gold content in a test bar for electroplating of connectors is to be determined by measuring its density. The following five measurements [g/cm 2 ] can be regarded as observations of independent normally distributed random variables N(µ, σ 2 ). (5.1). (1p) For this sample, find the sample variance S 2. (5.2). (2p) Based on this sample, find a lower 95% confidence bound of the mean µ. Solution. (5.1). By definition x = n i=1 x i/n = and s 2 n i=1 = (xi x)2 n 1 = (= ). (5.2). Since the population is normal with an unknown variance σ 2, we have 95% confidence interval as ( x t α (n 1) s ) (, = ), = (17.833, ). n 5 Page 2/3

3 6 (3 points) The melting point of each of 16 samples of a certain brand of hydrogenated vegetable oil was determined, resulting in x = Assume that the distribution of the melting point is normal with σ = Now we test H 0 : µ = 95 versus H a : u 95. (6.1). (1p) Given a significance level α = 0.01, what is the rejection region (R.R.)? (6.2). (1p) Do you reject H 0? and why? (6.3). (1p) If a level 0.01 is used, what is the probability of not concluding that u 95 when the actual µ = 94? (Hint: this is a Type II error β(94).) Solution. (6.1). Since two-sided, the R.R. is (, z α/2 ) and (z α/2, ), namely, (, 2.58) and (2.58, ). (6.2). Since the population is normal with known variance, we know X µ σ/ N(0, 1). Thus the value of the test statistic n is z = X µ 0 σ/ n = / = 2.27, while the R.R. is (, z ) or (z 0.005, ) where z = Since the value of the test statistic z = 2.27 is not in the R.R., we do NOT reject H 0. (6.3) From (6.1), the R.R. is (, 2.58) or (2.58, ). That is to say, we do not reject H 0 if 2.58 < X µ 0 σ/ n < Thus the type II error is β(94) = P (do not reject H 0 when µ = 94) = P ( 2.58 < X µ 0 σ/ n < 2.58 when µ = 94) (remember X µ σ/ n N(0, 1), NOT X µ 0 σ/ n N(0, 1), so need to change X µ 0 σ/ n to X µ σ/ n ) = P ( 2.58 < X µ + µ µ 0 σ/ n < 2.58 when µ = 94) = P ( 2.58 < X µ σ/ n + µ µ 0 σ/ < 2.58 when µ = 94) n = P ( 2.58 < Z + 1.2/ 16 < 2.58) = P (0.75 < Z < 5.91) = P (Z < 5.91) P (Z < 0.75) = = Page 3/3

4 Kurskod: TAMS11 22 april 2014, kl Provkod: TENB Examinator/Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: ) a. Tillåtna hjälpmedel är: en räknare; formel -och tabellsamling i matematisk statistik (från MAI); TAMS 11: Notations and Formulae (by Xiangfeng Yang); ELLER egna anteckningar (max två sidor); en ordbok. Vänligen svara på ENGELSKA om du kan. b. Betygsgränser: 8-11 poäng ger betyg 3; poäng ger betyg 4; poäng ger betyg 5. 1 (3 poäng) Svensk Version Följande tabell ger information om vilken typ av kaffe som valts av någon att köpa en enda kopp på en viss flygplats kiosk Small Medium Large Regular 14% 20% 26% Decaf 20% 10% 10% Nu har vi slumpmässigt välja ett sådant kaffe köpare. (1.1). (1p) Vad är sannolikheten att individen köpte en Small kopp? (1.2). (1p) Om vi vet att individen köpte en Small kopp, vad är sannolikheten att han/hon valde Decaf kaffe? (1.3). (1p) Om vi vet att individen köpte Decaf kaffe, vad är sannolikheten att han/hon valde Small? 2 (3 points) Antag att en stokastiska variabler X har massfunktionen (pmf) följande (2.1). (1p) Beräkna väntevärdet µ = E(X). (2.2). (1p) Beräkna variansen σ 2 = V (X). (2.3). (1p) Beräkna fördelningsfunktionen (cdf) F (x). X p(x) 1/4 1/4 1/2 3 (3 points) Rockwell-hårdhet av stift av en viss typ är känd för att ha ett väntevärde 50 och en standardavvikelse av 1.2. (3.1). (1p) Om fördelningen är normalt, vad är sannolikheten att stickprovsmedelvärdet för ett slumpmässigt stickprov av 9 stift är minst 51? (3.2). (2p) Utan antar befolknings normalitet, vad är (ungefärliga) sannolikheten att stickprovsmedelvärdet för ett slumpmässigt stickprov av 40 stift är minst 51? Page 1/2

5 4 (3 points) Antag att fördelningen för en population X har täthetsfunktionen (pdf) { e (x θ), if x θ; f(x) = 0, otherwise, där θ är en okänd parameter. {X 1, X 2,..., X n } är ett slumpmässigt stickprov från populationen. (4.1). (1.5p) Hitta en punktskattning ˆθ MM av θ genom att använda momentmetoden. (4.2). (1.5p) Hitta en punktskattning ˆθ ML av θ genom att använda Maximum Likelihood-metoden. 5 (3 points) Man vill bestämma guldhalten i en provstav för plätering av kontaktdon genom att mäta dess densitet. Följande fem mätningar [g/cm 2 ] kan anses vara utfall av oberoende normalfördelade stokastiska variabler N(µ, σ 2 ). (5.1). (1p) För detta stickprov, finn variansen S 2. (5.2). (2p) Baserat på detta stickprov, finn ett lower 95% confidence bound för µ. 6 (3 points) Smältpunkten för var och en av 16 prover av ett visst märke av hydrerad vegetabilisk olja bestämdes, vilket ger x = Antag att fördelningen av Smältpunkten är normalt med σ = Nu prövar vi H 0 : µ = 95 versus H a : u 95. (6.1). (1p) Givet en significance level α = 0.01, vad är the rejection region (R.R.)? (6.2). (1p) Förkastar du H 0? Varför? (6.3). (1p) Om en level 0.01 används, vad är sannolikheten att inte dra slutsatsen att u 95 men µ = 94? (Hint: Ledning: detta är en Type II error β(94).) Page 2/2