Lektion 13, Flervariabelanals den 15 februari 2 15.1.2 Skissera vektorfältet och bestäm dess fältlinjer. F, = e + e I varje punkt, har vektorfältet en vektor med komponenter,, d.v.s. vektorn utgående från punkten är lika med punktens ortsvektor. Integration m.a.p. t av båda led ger t [ ] t t dt = log t ẏt [ t dt = log t t = ± t. ] t = log t log = log t = log t log = log t Minustecknet kan förkastas eftersom = +. Fältlinjerna är alltså räta linjer som går genom origo. En kurva r = rt = t, t är en fältlinje till vektorfältet om ṙt är parallell med F rt. Detta villkor kan vi t.e. formulera som ṙt F rt =, Om = eller = ger att = respektive ẏ =, vilket ger fältlinjer längs -aeln respektive -aeln. Om = och = befinner vi oss i en singulär punkt där vektorfältet har en nollvektor. där ṙt = t, ẏt, F rt = t, t. Determinantvillkoret blir alltså t t ẏt t = ẏ =. Om vi antar att, då kan skrivas = ẏ.
15.1.4 Skissera vektorfältet En kurva r = rt = t, t är en fältlinje om F, = e + sin e och bestäm dess fältlinjer. I varje punkt har vektorfältet -komponenten 1. Vektorfältets -komponent har beroendet sin. d.v.s. om ṙt F rt Vi integrerar båda led ṙt är parallell med F rt, = t ẏt = ẏ = sin. 1 sin t ẏt dt = t, t sin t dt = Alltså är fältlinjerna i formen [ ] t cos t = cos t + cos. = cos + C. Sammanlagt har vektorfältet utseendet 15.1.1 Beskriv fältlinjerna till hastighetsfältet v,, = e + e e. En kurva rt = t, t, t är en fältlinje om ṙt är parallell med v rt.
Detta villkor kan formuleras som ṙt = λt v rt för någon skalärfunktion λt. 1 och 3 ger att som efter integrering ger t = λt t 1 ẏt = λt t 2 żt = λt t 3 żt = λt t = t Ekvation 1 och 2 kan skrivas om till Integrering av båda led ger żt dt = t, t dt = t +, t = t + +. t t = ẏt t. t [ ] t t dt = log t ẏt [ t dt = log t t = ± t. = log t = log t ] t 15.2.2 Undersök om vektorfältet F,, = e + e + 2 e är konservativt, och bestäm i sådant fall potentialen. Vektorfältet F är konservativt om det finns en potential Φ s.a. Φ =,, = F,, =,, 2. Ett nödvändigt villkor för att en potential Φ ska eistera är att vektorfältet F har en smmetrisk Jakobian. Vi har F,, = 1 = 1 2 som är smmetrisk. Vektorfältet kan alltså möjligtvis vara konservativt. Integrerar vi upp /, / och / i fås Dessa samband tillsammans visar att Φ = + C 1,, Φ = + C 2,, Φ = 1 3 3 + C 3,. Φ = + 1 3 3 är en potential till F som därmed är konservativ. Stoppar vi in t = i formeln för t fås = ± och därför måste minustecknet förkastas. Alltså ges fältlinjerna av kurvskaran = C 1, = + C 2.
15.2.4 Undersök om vektorfältet F,, = 2 + 2 e + 2 + 2 e är konservativt, och bestäm i sådant fall potentialen. Det första testet vi ska utföra är att undersöka om vektorfältets Jakobian är smmetrisk. Uttrckt i F = F 1, F 2 blir detta villkor = som i vårt fall blir 2 2 + 2 = 2 + 2 2 = 2 2 + 2 2, 2 2 + 2 = 2 + 2 2 = 2 2 + 2 2. Vektorfältet klarade alltså testet. En potential Φ till F ska uppflla Φ =, = F, = 2 + 2, 2 + 2 och i komponentform = 2 + 2, 1 = 2 + 2. 2 Vi integrerar upp 1 med avseende på, Φ = 2 + 2 d = { s = 2 + 2 ; ds = 2 d } ds = 1 2 s = 1 2 log s + C = 1 2 log2 + 2 + C. Detta insatt i 2 ger vl av 2 = 1 = 2 2 + 2 2 + C = 2 + 2 + C hl av 2 = 2 + 2 vilket ger C =, d.v.s. C = konstant som vi kan välja till. En potential är alltså Φ,, = 1 2 log2 + 2. Notera att eftersom vektorfältet inte är definierat i origo är F konservativt överallt utom i origo. 15.2.6 Undersök om vektorfältet F,, = e 2 + 2 + 2 e + e + e är konservativt, och bestäm i sådant fall potentialen. Ett nödvändigt villkor för att F ska vara konservativ är att dess Jakobian F,, = är smmetrisk, d.v.s. att följande samband är uppfllda =, 1 =, 2 =. 3
Vi kontrollerar, vl av 1 = e 2 + 2 + 2 = e 2 + 2 + 2 2, hl av 1 = e 2 + 2 + 2 = e 2 + 2 + 2 2, vl av 2 = e 2 + 2 + 2 = + 2 2 e 2 + 2 + 2, hl av 2 = e 2 + 2 + 2 = + 2 2 e 2 + 2 + 2, vilket visar att F inte är konservativ. Detta insatt i 2 ger som efter integrering m.a.p. ger C 1, = + C 1 2 = 2 d = 2 + C 2, d.v.s. Φ = 2 + 2 + C 2. Stoppar vi slutligen in detta i 3 fås C 2 2 2 2 2 = 1 2 + 2 2 C 2 = 1 C 2 = + C 3. En potential till F är alltså C 3 vald till 15.2.1 Visa att vektorfältet F,, = 2 2 e + e + 1 2 + 2 e 2 är konservativt och bestäm dess potential. Beskriv ekvipotentialtorna och bestäm fältlinjerna till F. Vektorfältet F är konservativt om det finns en potential Φ s.a. d.v.s. = 2, Φ = = 2,, = F, och Vi integrerar upp 1 med avseende på, Φ = 2 = 1 2 + 2 2. 1, 2, 3 d = 2 + C 1,. Φ = 2 + 2 +. Ekvipotentialtorna ges av alla punkter,, som uppfller för ett fit C, d.v.s. Φ,, = C 2 + 2 + = C 2 + 2 + 2 = C 2 + 2 + C/2 2 = C/2 2. Ekvipotentialtorna är alltså sfäriska skal med mittpunkt i,, C/2 och radie C/2. En fältlinje r = rt = t, t, t uppfller villkoret ṙt är parallell med F rt som vi kan formulera som determinantvillkoret ẏ ż 2 2 1 2 + 2 2 = a b c
för alla vektorer a, b, c. Kofaktorutveckling längs tredje raden ger ẏ ż a 2 1 2 + 2 2 b ż 2 1 2 + 2 2 + c ẏ 2 2 =. Eftersom detta ska gälla för alla val av a, b och c måste de tre minorerna vara noll. ẏ ż 2 1 2 + 2 1 2 = ẏ 2 + 2 2 2ż =, ż 2 1 2 + 2 1 2 = 2 + 2 2 2ż = ẏ 2 2 = 2 2ẏ =, som efter förenkling ger ekvationerna Ekvation 3 ger och efter integrering se uppgift 15.1.2 Sätter vi in detta i 1 och 2 får vi 2 2 C 2 2 2ż = ẏ 2 2 2 2ż = 1 2 2 2 2ż = 2 = ẏ t = t = C t. ẏ = 3 2 = / ż/ 2 / 1 + C2. Notera att variabeln förekommer endast i kombinationerna / och ż/. Om vi därför prövar att införa en n variabel u = / får vi att u = ż 2 = ż = ż u ż = u + u och ekvationen blir 1 u u + u 2 = u 2 1 + C 2 Vi integrerar båda led m.a.p. t, [ dt = ] t log t = u u u 2 1 + C 2 1 2 u 2 u 2 1 + C 2 = log t 2u u = u 2 + 1 + C 2. 2u u dt u 2 + 1 + C 2 = { s = u2 + 1 + C 2 ; ds = 2u u dt } ds = s = log st s = log u 2 + 1 + C 2 D 1 = log 2 / 2 + 1 + C 2 D 1 = D 1 2 2 + 1 + C 2 2 1 = 2 + 1 + C 2 2 = D 2 2 + 1 + C 2 2 2 D3 + = 1. D 3 Fältlinjerna kan alltså skrivas i formen D 2 21 + C 2 2 = D 2 2 41 + C 2 = C, 2 D3 2 + = 1, D 3 D 2 2 + 1 + C 2 2 d.v.s. fältlinjerna blir räta linjer när de projiceras på, -planet och ellipser när de projiceras på, -planet.