Kapitel 8 Syntes av digitala filter 8. Digitala filter I kapitel 7 hade vi sambandet (7.8) för ett linjärt system, enligt vilket utsignalens z-transform är insignalens transform multiplicerad med systemets överföringsfunktion Ŷ (z) = H(z) ˆX(z) (8.) Här är z-transformerna nära besläktade med signalernas spektra eller Fouriertransformer. Enligt (7.6) har vi sambanden X(ω) = ˆX(z) och Y (ω) = Ŷ (z) z=e (8.2) z=e jω jω Vi får således Y (ω) = H(e jω )X(ω) (8.3) Om vi uttrycker de komplexa funktionerna ovan med hjälp av magnitud och fas, X(ω) = X(ω) e j arg(x(ω)) (8.4) H(e jω ) = H(e jω ) e j arg(h(ejω )), (8.5) så ges magnituden och fasen hos utsignalens spektrum av där Y (ω) = Y (ω) e j arg(y (ω)) (8.6) Y (ω) = H(e jω ) X(ω) (8.7) arg(y (ω)) = arg(x(ω)) + arg(h(e jω )) (8.8) Sambandet (8.3) eller (8.6) visar hur ett linjärt system H påverkar de olika frekvenskomponenterna i insignalen. Systemet H fungerar som ett filter, som förstärker eller dämpar olika frekvenskomponenter hos insignalen x beroende på beloppet av H(e jω ). Funktionen H(e jω ) visar hur magnituden av olika frekvenskomponenter påverkas av 2
systemet H. Förutom att inverka på magnituden hos de olika frekvenskomponenterna, inför systemet även en fasförskjutning av storleken arg(h(e jω )). Den komplexa funktionen H(e jω ) kallas filtrets frekvenssvar. Ett filters frekvenssvar H(e jω ) kan åskådliggöras grafiskt i ett s.k. Bode-diagram, som anger magnituden H(e jω ) och fasförskjutningen arg(h(e jω )) som funktioner av frekvensen ω (jämför kurserna i reglerteknik). Det är värt att notera det enkla sambandet (8.3) mellan in- och utsignalernas spektra. Detta enkla samband, som kan karakteriseras med hjälp av en komplex multiplikation, utgör en av orsakerna till den stora betydelse som frekvensalysen har fått inom flera tillämpningar. En följd av (8.3) är att utsignalen från ett linjärt tidsinvariant system ej kan innehålla frekvenser som ej finns i insignalen. Endast tidsvarianta system eller olinjära system kan generera sådana frekvenskomponenter i utsignalen som ej finns i insignalen. Det är skäl att notera några egenskaper hos frekvenssvaret H(e jω ). Från definitionen av H(z) har vi H(e jω ) = h(n)e jωn (8.9) n= Frekvenssvaret är alltså Fouriertransformen av impulssvaret {h(n)} = {h(), h(), h(2),...}. Då koefficienterna h(n) är reella följer H(e jω ) = H (e jω ) (8.) Från den komplexa exponentialfunktionens periodicitet följer dessutom att H(e jω ) = H(e j(2π ω) ). Frekvenssvaret satisfierar således symmetriegenskapen H(e j(2π ω) ) = H (e jω ) (8.) dvs frekvenssvaret i intervallet [π, 2π] är komplexa konjugatet av frekvessvaret i intervallet [, π]. Det räcker därför med att specificera frekvenssvaret i intervallet [, π] för att entydigt definiera det för alla frekvenser. Följande exempel visar, hur ett filter som uppdelar en signal i sina frekvenskomponenter kan tillämpas för signalrekonstruktion. Exempel 8.. I exempel 2. betraktades problemet att rekonstruera en signal x från en observerad signal y = F x + e. Om signalerna är diskreta ges spektret hos y av Y (ω) = F (e jω )X(ω) + E(ω) Antag att x har ett spektrum som är koncentrerat till ett lågfrekvensband ω ω, medan bruset e består av höga frekvenser ω ω 2 > ω. Signalen x kunde då rekonstrueras genom att konstruera ett lågpassfilter H(z) som satisfierar H(e jω ), ω ω och H(e jω ), ω ω 2. Då fås H(e jω )Y (e jω ) = H(e jω )F (e jω )X(e jω ) + H(e jω )E(e jω ) F (e jω )X(e jω ) 3
och signalen x kan approximativt rekonstrueras genom att välja x r = F Hy, vilket ger X r (e jω ) = F (e jω )H(e jω )Y (e jω ) X(e jω ) som är ekvivalent med x r x. Anmärkning 8.. Frekvenssvaret hos ett linjärt system för en periodisk signal {x(n)} = {e jωn } bestående av en enda frekvens ω kan enkelt härledas i tidsplanet direkt utgående från ekvationen (7.2). Vi får y(n) = h()x(n) + h()x(n ) + h(2)x(n 2) + = h()e jωn + h()e jω(n ) + h(2)e jω(n 2) + = [h() + h()e jω + h(2)e 2jω + ]e jωn = H(e jω )e jωn (8.2) vilket är ekvivalent med (8.3) begränsad till en frekvenskomponent. Vi skall ännu verifiera att systemet har den förväntade effekten på signaler av formen {sin(ωn)} och {cos(ωn)}. Insignalsekvensen i (8.2) kan skrivas i en reell och imaginär komponent enligt e jωn = cos(ωn) + j sin(ωn), n =, ±, ±2,... Det följer att den reella komponenten av utsignalen y(n) är systemets svar på insignalen {cos(ωn)}, och den imaginära komponenten av utsignalen är systemets svar för insignalen {sin(ωn)}. De reella och imaginära komponenterna hos utsignalen (8.2) kan bestämmas genom att introducera magnituden och fasen hos överföringsoperatorn, H(e jω ) = H(e jω ) e j arg(h(ejω )), varvid (8.2) kan skrivas Här har vi y(n) = H(e jω ) e j arg(h(ejω )) e jωn = H(e jω ) e j(ωn+arg(h(ejω ))) e j(ωn+arg(h(ejω ))) = cos[ωn + arg(h(e jω ))] + j sin[ωn + arg(h(e jω ))] Det följer att systemets transformerar sekvensen {cos(ωn)} enligt (8.3) y(n) = H(e jω ) cos[ωn + arg(h(e jω ))] (8.4) och på samma sätt fås att systemets svar för insignalsekvensen {sin(ωn)} är y(n) = H(e jω ) sin[ωn + arg(h(e jω ))] (8.5) Systemet förstärkning och fasförskjutning av frekvensenkomponenten ω är således i enlighet med det tidigare erhållna resultatet. Problem 8.. Betrakta ett diskret system av första ordningen, y(n) ay(n ) = x(n) (8.6) Bestäm systemets frekvenssvar (förstärkning och fasförskjutning) för de numeriska värdena a =.6 och a =.6. Åskådliggör sambanden i form av ett Bode-diagram. 4
8.. Klassificering av digitala filter Filtren klassificeras enligt sitt impulssvar i filter med ändligt impulssvar och filter med oändligt impulssvar. Ett filter med ett ändligt impulssvar ges av y(n) = N k= h(k)x(n k) = h()x(n) + h()x(n ) + + h(n )x(n N + ) (8.7) En standard förkortning för sådana filter är FIR filter (från Finite Impulse Response ). Ett filter med ett oändligt impulssvar har formen y(n) = h(k)x(n k) (8.8) k= Standardförkortningen för sådana filter är IIR filter (från Infinite Impulse Response ). I praktiken har IIR filter en ändlig ordning, och de kan därför skrivas i formen (jämför ekvation (7.28)) y(n) + b y(n ) + + b N y(n N) = a x(n) + a x(n ) + + a M x(n M), n =...,,,,... (8.9) 8.2 Filterspecifikationer Filtersyntes går ut på att konstruera ett filter vars frekvenssvar uppfyller givna specifikationer. Typiska specifikationer är att filtret effektivt skall spärra vissa oönskade frekvenskomponenter i insignalen, medan de intressanta frekvenskomponenternas storlek och (relativa) fasförskjutning skall vara opåverkad. Vid filtersyntesen bör olika begränsningar beaktas som filtret i praktiken skall uppfylla. En viktig begränsning i flera tillämpningar är att filtret bör vara kausalt. En annan begränsning är att filtret skall ha ändlig ordning (som i praktiken dock kan vara mycket högt). Såsom vi skall se begränsar dessa krav de frekvenssvar som i praktiken kan realiseras. 8.2. Ideala filter För att belysa några av de begränsningar som uppstår vid filtersyntes skall vi undersöka impulssvaret hos ideala filter. Ett idealt lågpassfilter H D med bandbredden ω c < π har frekvenssvaret {, ω H D (e jω ωc ) = (8.2), ω > ω c Frekvensbandet ω ω c kallas filtrets passband och frekvensbandet ω > ω c är filtrets spärrband (eng. stopband). Ett idealt bandpassfilter och ett idealt högpassfilter definieras på analogt sätt. Observera att filtrets frekvenssvar p.g.a. symmetriegenskapen (8.) härvid betraktas i intervallet ω π. Passbandet hos ett digitalt högpassfilter är därför koncentrerat till frekvenser kring π. 5
Eftersom överföringsoperatorn är impulssvarets Fouriertransform, ges impulssvaret {h D (n)} hos det ideala lågpassfiltret genom att beräkna inversa Fouriertransformen av H D (e jω ). Enligt ekvation (4.24) fås vilket ger h D (n) = 2π π π h D () = ω c π h D (n) = ω c π H D (e jω )e jωn dω = 2π ωc ω c e jωn dω (8.2) (8.22) sin(nω c ) nω c, n = ±, ±2,... (8.23) Det ideala filtret kan ej representeras i form av en rationell överföringsfunktion av ändlig ordning. En annan viktig observation är, att impulssvaret hos det ideala filtret ej försvinner för negativa n. Det ideala filtret är icke-kausalt. I de flesta tillämpningar krävs att filtret skall vara kausalt. Det visar sig att kravet på kausalitet begränsar de filtersvar som kan erhållas. Det finns ett kvantitativt matematiskt resultat, det s.k. Paley-Wiener villkoret, enligt vilket det finns ett kausalt filter H(z) som har en given filterförstärkning H(e jω ) = g(ω), om och endast om π π log g(ω) dω <. Från detta villkor följer att förstärkningen hos ett kausalt filter ej kan försvinna i ett intervall. Det ideala filtret ovan uppfyller inte Paley-Wiener villkoret. Kravet på kausalitet begränsar även formen hos filtrets fasförskjutning. Från Fouriertransformens egenskaper i kapitel 4 följer att H(e jω ) är reellt om och endast om impulssvaret är symmetriskt; h( n) = h(n), och imaginärt om och endast om impulssvaret är antisymmetriskt; h( n) = h(n). För kausala system med h(n) =, n <, är impulssvarets symmetriska och antisymmetriska komponenter ekvivalenta, vilket introducerar ett samband mellan de reella och imaginära komponenterna hos frekvenssvaret H(e jω ). Från detta samband följer att fasförskjutningen hos ett kausalt filter ej kan specificeras oberoende av magnituden. Av reella filter som kan implementeras i praktiken krävs, att de har ändlig ordning och (vanligen) att de är kausala. Vid syntes av filter försöker man så väl som möjligt satisfiera specifikationerna med hjälp av reella filter. 8.2.2 Krav på linjär fasförskjutning Förutom filterförstärkningen påverkar även filtrets fasförskjutning utsignalen. Om fasförskjutningen i ett filters passband varierar så, att olika frekvenskomponenters faser förändras i förhållande till varandra, kommer signalen att förvrängas trots att förstärkningen i passbandet vore konstant. Detta är givetvis oacceptabelt i flera tillämpningar, bl.a. vid behandling av audiosignaler. För att se hurudana fasförskjutningar som kan tolereras, betrakta inverkan av ett linjärt diskret system H(z) på sinusformade signaler av formen x(t) = sin(ωt) (8.24) 6
Från avsnitt 8. har vi att systemet H(z) transformerar den periodiska signalen x(t) till en annan periodisk signal x f (t) med samma frekvens men med en annan amplitud och fas, x f (t) = A(ω) sin(ωt + θ(ω)) (8.25) där A(ω) = H(e jω ) och θ(ω) = arg(h(e jω )) (8.26) Det visar sig att för att ett filter ej skall införa fasförvrängning bör fasförskjutningen θ(ω) ges av det linjära sambandet eller θ(ω) = αω (8.27) θ(ω) = αω + π (8.28) där α är konstant. Ett filter vars fasförskjutning satisfierar (8.27) eller (8.28) säges vara faslinjärt. För sambnadet (8.27) ges den filtrerade signalen av x f (t) = A(ω) sin(ω(t α)) (8.29) Detta innebär att alla frekvenskomponenter tidsfördröjs med tiden α, och fasförskjutningen försorsakar därför ingen förvrängning av en signal med flera frekvenskomponenter. För sambandet (8.28) blir den filtrerade signalen x f (t) = A(ω) sin(ω(t α) + π) = A(ω) sin(ω(t α)) (8.3) Förutom tidsfördröjningen tillkommer i detta fall ett teckenbyte p.g.a. fasförskjutningen π. Det är lätt att inse att ett filter bör vara faslinjärt för att det ej skall införa fasförvrängning p.g.a. att olika frekvenskomponenters faser påverkas på olika sätt I vissa tillämpningar används s.k. generaliserat faslinjära filter. Fasförskjutningen hos generaliserat faslinjära filter satisfierar där α och β är konstanter. Den filtrerade signalen ges då av θ(ω) = β αω (8.3) x f (t) = A(ω) sin(ω(t α) + β) (8.32) dvs alla frekvenskomponenter tidsfördröjs med tiden α och fasförskjuts med vinkeln β. Faslinjära filter är en delmängd av generaliserat faslinjära filter. Ett generaliserat faslinjärt filter förorsakar fasförvrängning om β eller π. Vid studiet av ett filters fasförskjutning brukar man införa den s.k. faslöptiden eller fasfördröjningen T p (eng. phase delay) och den s.k. grupplöptiden eller gruppfördröjningen T g (eng. group delay): T p = θ(ω)/ω (8.33) T g = dθ(ω)/dω (8.34) 7
Faslöptiden T p är den tidsfördröjning som frekvenskomponenten ω får p.g.a. fasförskjutningen i filtret, ty sin(ωt + θ(ω)) = sin(ω(t T p )). Grupplöptiden T g är en vanligt använd storhet vid karakterisering av linjära filter, som uppstår vid analysen av ett filters inverkan på en amplitudmodulerad signal. Vi ser att ett filter är faslinjärt om det har en konstant fasfördröjning och generaliserat faslinjärt om och endast om det har en konstant grupplöptid. Följande exempel demonstrerar betydelsen av linjär fasförskjutning vid filtrering..5 s.5.5 s 2.5 2 s 2 Figur 8.: Signalkomponenterna s och s 2 samt signalen s i exempel 8.2. Exempel 8.2. Betrakta en signal s som består av två komponenter enligt s(n) = s (n) + s 2 (n) där s och s 2 är lågfrekventa sinusformade komponenter, s (n) = sin(ω n) s 2 (n) = sin(ω 2 n) Komponenterna s och s 2 samt signalen s visas i figur 8.. Låt signalen s påverkas av en störning e så att vi får signalen x(n) = s(n) + e(n) 8
2 s 2.5 e.5 2 x 2 Figur 8.2: Den störningsfria signalen s, störningen e, samt signalen x i exempel 8.2. där e(n) är en högfrekvent sinusformad signal, e(n) = sin(ω e n) med ω e > ω och ω e > ω 2. Signalerna s, e och x visas i figur 8.2. Den lågfrekventa störningsfria signalen s kan bestämmas ur x genom lågpassfiltrering med ett filter H(z) som har frekvenskomponenterna ω och ω 2 i passbandet och som spärrar frekvensen ω e, dvs H(e jω ) och H(e jω 2 ), samt H(e jω e ). Den filtrerade signalen y ges då av y(n) y (n) + y 2 (n) där y (n) = sin ( ω n + arg(h(e jω )) ) y 2 (n) = sin ( ω 2 n + arg(h(e jω 2 )) ) Figur 8.3 visar signalkomponenterna s, s 2 och y, s 2 samt den filtrerade signalen y(n) för två olika lågpassfilter. Till vänster i figuren visas resultatet med ett filter som fasförskjuter de lågfrekventa komponenterna på olika sätt, varför den filtrerade signalen y blir förvrängd och signalen s rekonstrueras ej korrekt. Till höger visas resultatet med ett faslinjärt filter. I detta fall är fasförskjutningen sådan att den motsvarar samma 9
tidsförskjutning för alla frekvenskomponenter i passbandet, och den filtrerade signalen y är därför endast en tidsförskuten version av signalen s..5 s,y.5.5 s,y.5.5 s,y 2 2.5.5 s,y 2 2.5 2 s,y 2 2 s,y 2 Figur 8.3: Signaler i exempel 8.2. Överst: signalkomponenten s (heldragen) och motsvarande filtrerade signal y (streckad). I mitten: signalkomponenten s 2 (heldragen) och motsvarande filtrerade signal y 2 (streckad). Nederst: den störningsfria signalen s (heldragen) och den lågpassfiltrerade signalen y (streckad). Till vänster visas resultatet som fås med ett lågpassfilter med olinjär fasförskjutning, och till höger resultatet som fås med ett faslinjärt lågpassfilter. 8.2.3 Reella lågpass, bandpass- och högpassfilter Reella filter, som är kausala och har en ändlig ordning, kan endast approximativt uppfylla specifikationerna hos ideala lågpass-, bandpass- och högpassfilter. För reella filter anges specifikationerna därför med hjälp av toleranser, jämför figur 8.4. För ett lågpassfilter är specifikationerna av formen δ p H(e jω ) + δ p, ω ω p (8.35) H(e jω ) δ s, ω ω s (8.36) 2
Här är - ω ω p passbandet, - ω ω s spärrbandet, och - ω (ω p, ω s ) övergångsbandet. Talet δ p anger toleransen i passbandet, dvs den största tillåtna avvikelsen från det konstanta värdet ett hos filtrets förstärkning i passbandet. Talet δ s är toleransen i spärrbandet, dvs den maximala tillåtna förstärkningen i spärrbandet. Eftersom förstärkningen hos reella filter inte kan förändras diskontinuerligt som funktion av frekvensen, finns mellan passband och spärrband ett övergångsband. Ju snävare toleranser och smalare övergångsbandet är, desto högre filterordning fordras för att satisfiera specifikationerna. I stället för vinkelfrekvenser anges frekvensspecifikationerna ofta i form av frekvenser f p (= ω p /(2π)) respektive f s (= ω s /(2π)) och uppfattas som normerade i förhållande till samplingsfrekvensen. Om frekvenserna anges i Hz eller khz bör man observera att beakta samplingsfrekvensen f s vid filtersyntesen, så att frekvensen f motsvarar filtersvaret H(e jω ) vid ω = 2πf/f s. Vanligt är också att toleranserna anges i den logaritmiska enheten decibel. Den största avvikelsen A p i passbandet och den minsta dämpningen A s i spärrbandet angivna i decibel är således A p = 2 log( + δ p ) (8.37) A s = 2 log(δ s ) (8.38) Observera att för små δ p gäller med god noggrannhet approximationen A p = 2 log( + δ p ) = 2 ln( + δ p )/ ln 8.7δ p Bandpassfilter och högpassfilter definieras på analogt sätt. För bandpassfilter består passbandet av ett frekvensband [ω, ω 2 ]. För högpassfilter med bandbredden ω p är passbandet beläget i ett högfrekvent band [π ω p, π + ω p ]. 8.2.4 Frekvenstransformationer Ett bandpass- och högpassfilter skiljer sig från ett lågpassfilter endast i avseende å passbandets och spärrbandets lägen. Det är därför möjligt att ur ett lågpassfilter konstruera motsvarande bandpass- eller högpassfilter genom en frekvenstransformation som förskjuter passbandet till det önskade frekvensbandet. Denna metod är mycket användbar, eftersom man då kan utnyttja standardmetoder för syntes av lågpassfilter även för beräkning av andra filtertyper. Vid frekvenstransformation av ett filter substitueras variabeln z i överföringsfunktionen med en rationell funktion g(z ), så att det frekvenstransformerade filtret definieras av H f (z) = H(z) (8.39) z =g(z ) För att filtret H f (z) skall vara väldefinierat krävs att avbildningen z g(z ) bevarar filtrets stabilitet, samt att punkter på enhetscirkeln e jω, som ju definierar 2
.2.8.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8.9 Figur 8.4: Specifikationer för förstärkningen hos ett lågpassfilter, samt förstärkningen H(e jω ) hos ett reellt filter som funktion av normerad frekvens ω/π. frekvenssvaret, avbildas till andra punkter på enhetscirkel i enlighet med den önskade frekvenstransformationen. Dylika frekvenstransformationer finns utvecklade, se t.ex. tabell 8.3 i Proakis och Manolakis (996). En speciellt enkel formel fås för tranformationen av ett lågpassfilter H LP (z) till ett högpassfilter H HP (z) med samma bandbredd. Transformationen består då helt enkelt av en förskjutning av frekvenserna enligt ω ω + π, så att lågpassbandet lokaliserat runt frekvensen noll förskjuts till ett högpassband lokaliserat runt frekvensen π. Högpassfiltrets frekvenssvar definieras då av och dess överföringsfunktion är således Eftersom H HP (e jω ) = H LP (e j(ω+π) ) = H LP ( e jω ) (8.4) följer att högpassfiltrets impulssvar h HP (k) ges av H HP (z) = H LP ( z) (8.4) H LP ( z) = ( ) k h LP (k)z k (8.42) k= h HP (k) = ( ) k h LP (k) (8.43) Problem 8.2. Betrakta de två filtren som studerades i problem 8. (a =.6 och a =.6). Visa att de är relaterade enligt (8.4) och (8.43), och att deras frekvenssvar är förskjutna i förhållnade till varandra med π. 22
8.3 Syntes av filter med ändligt impulssvar I detta avsnitt diskuteras syntes av filter med ändligt impulssvar (FIR filter). Sådana filter beskrivs av y(n) = h()x(n) + h()x(n ) + + h(n )x(n N + ) (8.44) och deras överföringsfunktion har formen H(z) = h() + h()z + + h(n )z N+ (8.45) Filter av denna typ har en del fördelar som har gjort dem mycket populära inom signalbehandlingstillämpningar. Syntesen av FIR filter är i flera avseenden enklare än syntesen av IIR filter. Deras stabilitet är i motsats till IIR filter garanterad, ty kriteriet (7.37) är automatiskt uppfyllt. Eventuell instabilitet behöver därför inte kontrolleras eller beaktas i samband med syntesen. Dessutom har de den trevliga egenskapen att det är enkelt att konstruera FIR filter med exakt linjär fasförskjutning, vilket är viktigt i flera tillämpningar (jämför avsnitt 8.2.2). Däremot finns det ej IIR filter som beskrivs av en rationell överföringsfunktion som skulle ha en exakt linjär fasförskjutning. Vid syntesen av FIR filter bestäms filterparametrarna så att det önskade frekvenssvaret approximeras möjligast väl. De viktigaste metoderna för syntes av FIR filter baserar sig dels på de ideala filterformlerna i kombination med s.k. fönsterfunktioner eller s.k. frekvenssampling, dels på direkt optimering av filterparametrarna. Vi kommer att behandla dessa metoder nedan. 8.3. Faslinjära FIR filter Såsom tidigare diskuterats är det i flera tillämpningar viktigt att filtrets fasförskjutning är linjär i passbandet, dvs θ(ω) = arg(h(e jω )) = β αω. En trevlig egenskap hos filter med ändligt impulssvar är att de enkelt kan konstrueras så att fasförskjutningen är linjär. För att se hur detta kan åstadkommas, betrakta FIR filtret i ekvation (8.45). Filtrets frekvenssvar är H(e jω ) = N k= h(k)e jωk = h() + h()e jω + h(2)e j2ω + + h(n )e j(n )ω (8.46) Låt N vara udda, och antag att impulssvaret väljs så att h(k) = h(n k), k =,,..., (N )/2 (8.47) Ett sådant impulssvar säges vara symmetriskt. Betrakta för enkelhetens skull fallet N = 5. Då implicerar symmetrin h() = h(4) och h() = h(3). Frekvenssvaret ges av H(e jω ) = h() + h()e jω + h(2)e j2ω + h()e j3ω + h()e j4ω 23
Här är = e j2ω[ ) ) h() (e j2ω + e j2ω + h() (e jω + e jω + h(2) ] = e j2ω[ 2h() cos(2ω) + 2h() cos(ω) + h(2) ] (8.48) = e j2ω H r (ω) (8.49) H r (ω) = 2h() cos(2ω) + 2h() cos(ω) + h(2) (8.5) reell. Vi kan skriva sambandet ovan i formen och, eftersom e jπ =, H(e jω ) = H r (ω) e j2ω, om H r (ω) > (8.5) H(e jω ) = H r (ω) e j2ω = H r (ω) e j(2ω π), om H r (ω) < (8.52) Det följer att filtrets fasförskjutning är linjär, om H r (ω) ej byter tecken. Det är fallet endast om H(z) har nollställen på enhetscirkeln z = e jω. För jämna N fås ett analogt resultat. Betrakta t.ex. fallet N = 4. Då har vi h() = h(3) och h() = h(2), och impulssvaret blir H(e jω ) = h() + h()e jω + h()e j2ω + h()e j3ω = e j3ω/2[ ) ) ] h() (e j3ω/2 + e j3ω/2 + h() (e jω/2 + e jω/2 = e j3ω/2[ 2h() cos(3ω/2) + 2h() cos(ω/2)] (8.53) = e j3ω/2 H r (ω) (8.54) och fasförskjutningens linjäritet följer på samma sätt som ovan. Resultatet kan generaliseras till det allmänna fallet, och kan sammanfattas enligt följande. Frekvenssvaret hos symmetriska FIR filter. Betrakta ett symmetriskt FIR filter av längden N, för vilket impulssvaret satisfierar h(k) = h(n k). Dess frekvenssvar är där H(e jω ) = e j(n )ω/2 H r (ω) (8.55) H r (ω) = h( N (N 3)/2 ) + 2 h(k) cos [ ( N ], ω k) N udda (8.56) 2 2 k= (N/2) H r (ω) = 2 h(k) cos [ ω k= ( N ], k) N jämn (8.57) 2 24
Faslinjära FIR filter kan också åstadkommas genom att välja impulssvaret antisymmetriskt, varvid h(k) = h(n k), k =,,..., (N )/2 (8.58) För k = (N )/2 implicerar villkoret h( N ) =. Frekvenssvaret för detta fall 2 kan bestämmas i analogi med ovan. På grund av den antisymmetiska egenskapen kombineras de komplexa exponentialfunktionerna i frekvenssvaret i detta fall till sinusfunktioner. Vi kan sammanfatta resultatet enligt följande. Frekvenssvaret hos antisymmetriska FIR filter. Betrakta ett antisymmetriskt FIR filter av längden N, för vilket impulssvaret satisfierar h(k) = h(n k). Dess frekvenssvar är där H(e jω ) = e j[(n )ω/2 π/2] H r (ω) (8.59) (N 3)/2 H r (ω) = 2 h(k) sin [ ( N ], ω k) N udda (8.6) 2 k= (N/2) H r (ω) = 2 h(k) sin [ ( N ], ω k) N jämn (8.6) 2 k= Anmärkning 8.2. Vi har ovan specificerat FIR filtrets längd N, som antalet impulssvarskoefficienter h(), h(),..., h(n ). Denna konvention används bl.a. i böckerna av Ifeachor och Jervis (993) och Proakis och Manolakis (996). En annan vanlig konvention är att specificera filtrets ordning M, som den högsta potens z M i överföringsfunktionen. Ett filter vars längd är N har således ordningen M = N. Vid diskussion av symmetriska och antisymmetriska FIR filter bör man observera att filter med ett jämnt antal koefficienter N har en udda ordning M och vice versa. Anmärkning 8.3. De ovan beskrivna faslinjära FIR filtren är av fyra typer beroende på om N är udda eller jämnt och om filtret är symmetriskt eller antisymmetriskt. Enligt en standardklassificering uppdelas de faslinjära FIR filtren i typerna I IV enligt följande schema: Typ I: Symmetriskt med N udda (M jämnt) Typ II: Symmetriskt med N jämnt (M udda) Typ III: Antisymmetriskt med N udda (M jämnt) Typ IV: Antisymmetriskt med N jämnt (M udda) 25
Vid syntes av FIR filter bestäms filterkoefficienterna h(k), k =,,..., N, så att frekvenssvaret uppfyller specifikationerna. Villkoren för faslinjäritet är härvid enkla att beakta. Vid val av filtertyp bör man observera att de olika filtertyperna har olika egenskaper. Speciellt gäller att de symmetriska och antisymmetriska filtren har olikheter som gör dem lämpade för olika sorters tillämpningar. Vi har t.ex. att för de antisymmetriska filtren gäller H r () =, vilket gör dem olämpliga vid syntes av lågpassfilter. För det antisymmetriska filtret med udda N (filtertyp III) gäller dessutom H r (π) =, varur följer att denna filtertyp är ett bandpassfilter och är ej lämpad för syntes av lågpass- eller högpassfilter. Exempel 8.3. En enkel lågpassfiltreringsmetod består av att bilda det aritmetiska medelvärdet av ett antal signalvärden, y(n) = N N k= x(n k) (8.62) Filtret är tydligen ett faslinjärt FIR filter av typ I eller II, beroende på om N är udda eller jämn. Filtrets överföringsfunktion är H(z) = N N k= z k = N z N z (8.63) Överföringsfunktionen nollställen består av lösningarna till z N = med undantag av z =, som förkortas av nämnaren, dvs punkterna z k = e j2πk/n, k =, 2,..., N Alla nollställen befinner sig således på enhetscirkeln. Problem 8.3. Bestäm förstärkningen och fasförskjutningen som funktion av frekvensen för filtret (8.62) för fallet N = 3. 8.3.2 Syntes baserad på fönsterfunktioner I detta avsnitt diskuteras en standardmetod för syntes av faslinjära FIR filter, som baserar sig på trunkering av impulssvaret hos ett idealt filter. För att undvika en försämring av filtrets frekvenssvar som en direkt trunkeringen av det optimala impulssvaret medför, utnyttjas speciella viktfunktioner. Impulssvaret hos ett idealt lågpassfilter med bandbredden f c = ω c /(2π) ges av (8.22), h D () = ω c π = 2f c (8.64) h D (n) = ω c sin(nω c ) sin(nω c ) = 2f c, n π nω c nω c (8.65) 26
På samma sätt kan man bestämma impulssvaret hos ideala högpass, bandpass- och bandspärrfilter, se tabell 6.2 i Ifeachor och Jervis (993) för en sammanfattning. Som vi tidigare såg kan de ideala filtren ej realiseras med system av ändlig ordning. Ett sätt att approximera det ideala filtret är att trunkera dess Fourierserieutveckling. Enligt tidigare har vi att det ideala filtrets frekvenssvar är impulssvarets Fouriertransform, H D (e jω ) = h D (n)e jωn (8.66) n= Genom att trunkera summan fås en approximation enligt H M (e jω ) = som motsvaras av överföringsfunktionen M n= M h D (n)e jωn (8.67) H M (z) = h D ( M)z M + h D ( M + )z M + + h D (M)z M (8.68) Detta filter är fortfarande icke-kausalt, men genom att introducera en extra tidsfördröjning på M tidsenheter, fås det kausala filtret H M,kausal (z) = z M H M (z) = h D ( M) + h D ( M + )z + + h D (M)z 2M (8.69) Det ideala filtrets frekvenssvar är en pulsfunktion. Trunkeringen enligt (8.67) är därför jämförbar med approximationen i ekvation (3.48) av en pulsfunktion med en trunkerad Fourierserieutveckling. Vi såg i kapitel 3 att en dylik trunkerad summautveckling av en pulsfunktion ger överskjutningar vid diskontinuitetspunkterna, jämför anmärkning 3.3 och Gibbs fenomen. Detta illustreras i figur 8.5, som visar förstärkningen hos filtret (8.68) (eller (8.69)) för olika M. För att få en bättre approximation av det ideala filtret bör det trunkerade filtret i (8.69) därför i praktiken modifieras. En praktisk procedur för att förbättra den trunkerade utvecklingen är att införa en funktion w(n) och ersätta approximationen (8.67) med H(e jω ) = M n= M w(n)h D (n)e jωn (8.7) Funktionen w(n) kallas fönsterfunktion (eng. window function). Observera att den trunkerade summan (8.67) är ett specialfall av (8.7) med den rektangulära fönsterfunktionen w(n) = {, n M, n > M (8.7) För att se hur fönsterfunktionen påverkar frekvenssvaret H(e jω ) betraktar vi operationen i högra ledet av (8.7) i frekvensplanet. Vi introducerar Fouriertransformen 27
Figur 8.5: Förstärkningen H M (e jω ) hos trunkerade filter av formen (8.68) (eller (8.69)) för M = 6, 2 och 25. Det ideala lågpassfiltrets bandbredd är 2.4π. Frekvensen är angiven som en normerad frekvens ω/π. av fönsterfunktionen w(n), W (ω) = M n= M w(n)e jωn (8.72) Enligt (8.7) är H(e jω ) Fouriertransformen av sekvensen w(n)h D (n). Precis som diskret faltning i tidsplanet motsvarades av multiplikation i frekvensplanet, så kan man visa att multiplikationen w(n)h D (n) i tidsplanet motsvaras av en kontinuerlig faltningsintegral i frekvensplanet. Fouriertransformen av produkten w(n)h D (n) kan således uttryckas som faltningen av Fouriertransformerna H D (e jω ) och W (ω) av sekvenserna {h D (n)} 28
respektive {w(n)}, och det följer att H(e jω ) ges av H(e jω ) = π π H D (e jθ )W (ω θ)dθ (8.73) Hur väl (8.73) approximerar det ideala frekvenssvaret H D (e jω ) beror av formen hos fönsterfunktionen W (ω). Ur (8.73) följer, att ju bättre W (ω) är koncentrerad till frekvensen ω =, desto bättre approximerar (8.73) det ideala frekvenssvaret. Exakt likhet kan emellertid endast fås om fönsterfunktionen väljs oändligt bred (M ). Problemet är därför att välja en fönsterfunktion av given längd M, så att möjligast god approximation fås. För att undersöka formen hos fönsterfunktioner av ändlig längd, betrakta den rektangulära fönsterfunktionen i ekvation (8.7). Dess Fouriertransform är Dess absoluta belopp, W (ω) = W (ω) = M n= M e jωn = sin(ω(2m + )/2) sin(ω/2) (8.74) sin(ω(2m + )/2), ω π (8.75) sin(ω/2) har en karakteristisk form bestående av en s.k. huvudlob (eng. main lobe) vid ω = omgiven av ett antal sidlober (eng. side lobes), se figur 8.6. Det visar sig att andra fönsterfunktioner har en liknande form, och genom lämpligt val av fönsterfunktion kan man påverka huvudlobens bredd och sidlobernas amplitud. Dessa påverkar filterapproximationen, och för god approximation skall huvudloben vara möjligast smal och sidlobernas amplitud möjligast liten. För en fönsterfunktion av given längd kan dessa storheter ej minimeras oberoende av varandra. Vi har följande generella egenskaper: Då fönstrets längd N = 2M + ökas, minskar huvudlobens bredd, vilket resulterar i ett smalare övergångsband mellan passband och spärrband. Övergångsbandets bredd f ges approximativt av en formel av typen f = c/n (8.76) där c är en konstant som beror av fönsterfunktionens form. Den dominerande sidlobens amplitud beror främst av fönsterfunktionens form, och är ej starkt beroende av fönsterlängden. En fönsterfunktion som reducerar sidlobens amplitud resulterar i allmänhet i en bredare huvudlob. De vanligaste fönsterfunktionerna är Hanningfönstret, med fönsterfunktionen w(n) =.5 +.5 cos(2πn/n), n (N )/2 (8.77) 29
Figur 8.6: Förstärkningen W (ω) hos en rektangulär fönsterfunktion (M = 5) som funktion av normerad frekvens ω/π. Hammingfönstret, med fönsterfunktionen w(n) =.54 +.46 cos(2πn/n), n (N )/2 (8.78) Blackmanfönstret, med fönsterfunktionen och w(n) =.42 +.5 cos[2πn/(n )] +.8 cos[4πn/(n )], n (N )/2 (8.79) Kaiserfönstret, med fönsterfunktionen ( β( [2n/(N )] 2 ) /2) w(n) = I I (β), n (N )/2 (8.8) där β är en positiv parameter och funktionen I (x) är en modifierad Besselfunktion av nollte ordning, som ges av serieutvecklingen I (x) = + [ ] (x/2) k 2 (8.8) De olika fönsterfunktionernas viktigaste egenskaper kan sammanfattas i övergångsbandets bredd f, den maximala avvikelsen i passbandet, förhållandet mellan huvudlobens och den dominerande sidlobens amplituder, samt dämpningen i spärrbandet. Se tabell 8.. k= k! 3
Fönster- Övergångsbandets Maximal avvikelse Förhållande Dämpning i Fönsterfunktionens bredd (Hz) i passbandet mellan huvudlob spärrbandet funktion namm (normerad) (db) och sidlob (db) (db) w(n) Rektangulär.9/N.746 3 2 (8.7) Hanning 3./N.546 3 44 (8.77) Hamming 3.3/N.94 4 53 (8.78) Blackman 5.5/N.7 57 74 (8.79) Kaiser 2.93/N (β = 4.54).274 5 (8.8) 4.32/N (β = 6.76).275 7 5.7/N (β = 8.96).275 9 Tabell 8.: Några viktiga egenskaper hos ett antal vanliga fönsterfunktioner. I tabellen ges Kaiserfönster som ger dämpningen 5, 7 och 9dB i spärrbandet. Hanning-, Hamming- och Blackmanfönstren har fixerade egenskaper som beror enbart av N och som ej kan påverkas. Kaiserfönstret har däremot en parameter β, med vilken filtrets egenskaper kan påverkas för att uppnå önskad kompromiss mellan huvudlobens bredd och sidlobens amplitud. För β = reduceras Kaiserfönstret till ett rektangulärt fönster, medan t.ex. värdet β = 5.44 ger ett fönster som är mycket likt Hammingfönstret. Kaiserfönstret är även nära optimal i den meningen att för en given amplitud hos sidloben har ett Kaiserfönster den mesta energin koncentrerad i huvudloben. Filtersyntes med hjälp av fönsterfunktioner består av följande faser: Specificering av det ideala frekvanssvaret H D (e jω ) och dess impulssvar h D (n). Val av en lämplig fönsterfunktion och fönsterlängd N så att förstärkningen i passband och spärrband, samt övergångsbandets bredd f uppfyller givna specifikationer. Bestämning av filterapproximationen (8.7), där M H(z) = h(n)z n (8.82) n= M h(n) = w(n)h D (n), n = M, M +,..., M = (N )/2 (8.83) Bestämning av det sökta kausala FIR filtret genom introduktion av en tidsfördröjning motsvarande faktorn z M, H kausal (z) = z M H(z) (8.84) 3
Observera att alla de ovan beskrivna fönsterfunktionerna uppfyller symmetriegenskapen w( n) = w(n). Då det ideala filtrets impulssvar h D (n) normalt har en motsvarande symmetriegenskap, följer att h(n) i (8.83) satisfierar h( n) = h(n), n =,,..., M (8.85) Det följer att det kausala FIR filtret (8.84) är symmetriskt, och således ett faslinjärt filter, jämför avsnitt 8.3.. Syntes av FIR filter som baserar sig på det ideala frekvenssvaret och fönsterfunktioner är en enkel och i praktiken mycket användbar metod. En begränsning hos metoden är att det kräver beräkning av det ideala filtrets impulssvar, vilket kan vara besvärligt i vissa tillämpningar där det ideala frekvenssvaret H D (e jω ) är sådant att impulssvaret h D (n) ej kan erhållas analytiskt. Exempel 8.4. Betrakta problemet att konstruera ett lågpass FIR filter som satisfierar följande specifikationer: - passbandets bredd:.5khz - övergångsbandets bredd:.5 khz - dämpning i spärrbandet: > 5 db, då samplingsfrekvensen är 8 khz. Det ideala lågpassfiltret har impulssvaret (8.22), h D () = 2f c h D (n) = 2f c sin(nω c ) nω c, n Enligt tabell 6.3 i Ifeachor och Jervis (993) uppfyller Hamming-, Blackman- och Kaiserfönstren (men inte det rektangulära fönstret eller Hanningfönstret) kravet på dämpning i spärrbandet. Vi väljer i detta exempel ett Hammingfönster. Med samplingsfrekvensen f s = 8 khz motsvarar den specificerade bredden.5 khz för övergångsbandet (normerad till samplingsperioden T s = ) f =.5/8 =.625. Övergångsbandets bredd som en funktion av filterlängden ges av (8.76). Enligt tabellen är för ett Hammingfönster c = 3.3, och det följer att filtrets längd bör vara minst N = 3.3/ f c = 3.3/.625 = 52.8. Vi väljer därför N = 53. Då är M = (N )/2 = 26 och filterkoefficienterna ges av (8.83), h(n) = w(n)h D (n), n 26 där h D (n) är givet ovan och w(n) är Hammingfönsterfunktionen w(n) =.54 +.46 cos(2πn/n), n 26 För att få god approximation i det specificerade passbandet är det vanlig praxis att välja det ideala lågpassfiltrets bandbredd f c mitt i övergångsbandet, dvs f c = (.5 +.5/2)kHz =.75kHz 32
vilket med samplingsfrekvensen f s = 8 khz motsvarar den normerade bandbredden f c =.75/8 =.2875. Filterkoefficienterna kan nu bestämmas enligt ovan. Tack vare symmetrin behöver endast h(), h(),..., h(26) beräknas, ty h( n) = h(n). För n = fås På samma sätt fås för n =, h D () = 2.2875 =.4375 w() =.54 +.46 cos() = h() = w()h D () =.4375 sin(2π.2875) h D () = 2.2875 =.329 2π.2875 w() =.54 +.46 cos(2π/53) =.9873 h() = h( ) = w()h D () =.39 De övriga koefficienterna fås på analogt sätt. Ett kausalt filter bestäms till slut enligt ekvation (8.84). Det kausala filtrets koefficienter ges i tabell 6.4 i Ifeachor och Jervis (993). Filtrets förstärkning och fasförskjutning visas i figur 8.7. Man kan verifiera att filtret satisfierar specifikationerna. 2 Magnitude (db) 2 4 6 8 2 5 5 2 25 3 35 4 Frequency (Hz) Phase (degrees) 5 5 2 25 5 5 2 25 3 35 4 Frequency (Hz) Figur 8.7: Förstärkning och fasförskjutning hos filtret i exempel 8.4. 8.3.3 Frekvenssampling Ett alternativt sätt att approximera ett idealt filter med ett kausalt FIR filter är genom s.k. frekvenssampling. Om det ideala filtret har frekvenssvaret H D (e jω ) ges impulssvaret av (jämför ekvation (8.2)) h D (n) = 2π π π H D (e jω )e jωn dω = 2π 33 2π H D (e jω )e jωn dω (8.86)
Frekvenssampling går ut på att approximera det ideala frekvenssvaret med en sekvens diskreta värden vid N ekvidistanta frekvenspunkter ω k = 2πk/N, k =,,..., N, så att vi har sekvensen H(k) = H D (e j(2π/n)k ), k =,,..., N (8.87) bestående av sampel av frekvenssvaret. Den diskreta sekvensen {H(k)} utgör en diskret Fouriertransform (DFT) av sekvensen {h(n)}, som kan bestämmas med hjälp av invers DFT (jämför avsnitt 4.3), h(n) = N N k= H(k)e j2πkn/n, n =,,..., N (8.88) Denna sekvens kan tas som koefficienterna hos ett FIR filter av längden N som approximerar det ideala filtret, H N (z) = h() + h()z + + h(n )z N+ (8.89) Från konstruktionen följer att frekvenssvaret överensstämmer exakt vid frekvenserna 2πk/N, H N (e j(2π/n)k ) = H D (e j(2π/n)k ), k =,,..., N (8.9) men tyvärr finns det inga garantier för att överensstämmelsen är god också mellan de diskreta frekvenspunkterna. För att förbättra approximationens egenskaper brukar man införa frekvenssampel i ett övergångsband mellan det ideala filtrets passband och spärrband. Sampelvärdena i övergångsbandet kan optimeras så att variationerna i passbandet och förstärkningen i passbandet minimeras. Se Ifeachor och Jervis (993) för detaljer. 8.3.4 Syntes baserad på optimering av filterkoefficienter De ovan beskrivna syntesmetoderna är inte optimala i den meningen att de skulle ge den bästa approximationen av det ideala frekvenssvaret för en given filterlängd. Ett optimalt filter kan beräknas genom att direkt optimera filtrets koefficienter h(n) så att avvikelsen från det ideala svaret minimeras. Låt H D (e jω ) vara det ideala frekvenssvaret som skall approximeras av ett FIR filter av längden N, vars frekvenssvar är H(e jω ) = N n= Vi introducerar ett frekvensviktat fel mellan frekvenssvaren, h(n)e jωn (8.9) E(e jω ) = W (e jω )[H D (e jω ) H(e jω )] (8.92) där W (e jω ) är en viktfunktion som reflekterar det faktum att att de tillåtna felen i t.ex. passbandet och spärrbandet kan vara olika stora. I den optimeringsbaserade 34
metoden minimeras det maximala värdet av det absoluta felet E(e jω ) med avseende å filterkoefficienterna {h(n)}, dvs man bestämmer filterkoefficienterna genom att lösa optimeringsproblemet [ min max h(),...,h(n ) ω π E(ejω ) ] (8.93) I allmänhet kräver man dessutom att filterkoefficienterna satisfierar symmetriegenskapen h(n) = h(n n) (8.94) eftersom man då kan garantera att det konstruerade filtret är faslinjärt. Då ett faslinjärt filter ej ger upphov till fasförvrängning räcker det i detta fall med att den ideala filterförstärkningen approximeras, medan fasförskjutningen kan ignoreras vid optimeringen. Felfunktionen (8.92) förenklas då till E(e jω ) = W (e jω )[ H D (e jω ) H(e jω ) ] (8.95) Då filtret är symmetriskt ges H(e jω ) som funktion av filterkoefficienterna av (8.56) eller (8.57). Optimeringsproblemet (8.93) är ett s.k. minimax optimeringsproblem, och filter som konstrueras genom lösning av (8.93) kallas därför även minimax filter. Minimax optimeringsproblem är i allmänhet numeriskt mycket krävande. Optimeringsproblemet (8.93) har emellertid en speciell struktur som gör det möjligt att konstruera effektiva algoritmer för dess lösning. Speciellt gäller att de optimala koefficienterna h(n) som minimerar (8.93) är sådana att det existerar L frekvenser ω l, l =,..., L, för vilka E(e jω ) antar sitt maximala värde, E(e jω l ) = max ω π E(ejω ), l =,..., L (8.96) Här beror L av filterlängden och de antagna symmetriegenskaperna hos impulssvaret. Ur egenskapen (8.96) följer, att felet hos det optimala filtret i passbandet och spärrbandet kommer att variera mellan maxima och minima vars absoluta belopp är lika stora (s.k. equiripple filter). För givna frekvenser ω l definierar (8.96) ett linjärt ekvationssystem från vilket koefficienterna h(),..., h(n ) kan beräknas. I praktiken är frekvenserna ω l emellertid ej kända, utan måste sökas fram iterativt. Detta kan göras med hjälp av en s.k. utbytesalgoritm, i vilken frekvenserna ω l iterativt byts ut mot nya frekvenser enligt en algoritm som ger konvergens till lösningen. Sådana utbytesalgoritmer är standardmetoder inom funktionsapproximering. En effektiv implementering av utbytesalgoritmen för optimering av filterkoefficienterna är Parks-McClellan algoritmen, som baserar sig på Remez utbytesalgoritm. Parks-McClellan metoden för syntes av FIR filter med optimerade koefficienter tillhör en av de mest populära filtersyntesmetoderna. Effektiv programvara som implementerar algoritmen finns tillgänglig. Den filterlängd N som fordras för att uppnå givna specifikationer kan i princip bestämmas iterativt genom att lösa minimax optimeringsproblemet för att antal filterlängder tills specifikationerna uppfylls. Då N i praktiken kan vara rätt stort är denna 35
metod emellertid inte speciellt effektiv. Därför har det utvecklats empiriska formler med vilka den fordrade filterlängden kan uppskattas. För ett faslinjärt lågpassfilter med toleransen δ p i passbandet och toleransen δ s i spärrbandet (jämför avsnitt 8.2.3), och med ett övergångsband av bredden f har vi skattningen N log(δ pδ s ) 3 4.6 f + (8.97) Se även Ifeachor och Jervis (993) för ytterligare formler för skattning av filterordning. Exempel 8.5. Ett faslinjärt lågpassfilter skall ha passbandet ω ω p =.3π och spärrbandet skall börja vid ω s =.35π. Toleransen i passbandet är δ p =. och toleransen i spärrbandet är δ s =. (motsvarande 6 db dämpning). Filtrets ordning kan uppskattas med (8.97), vilket ger N log( 5 ) 3 4.6(.35.3)/2 + 3 Eftersom toleransen i spärrbandet är ggr strängare än toleransen i passbandet skall felet i (8.95) viktas i motsvarande förhållande. Därför väljs viktfunktionen W (e jω ) = {, ω.3π,.35π ω π Optimering av filtret med hjälp av Parks-McClellan algoritmen kan utföras med hjälp av programmet remez i MATLABs Signal Procesing Toolbox. Optimeringen ger ett faslinjärt FIR filter som uppfyller specifikationerna. Filtrets förstärkning och fasförskjutning visas i figur 8.8. 8.4 Syntes av filter med oändligt impulssvar I detta avsnitt behandlas några standardmetoder för syntes av filter med oändligt impulssvar (IIR filter). Ett IIR filter av ordningen N beskrivs av differensekvationen y(n) + b y(n ) + + b N y(n N) = a x(n) + a x(n ) + + a M y(n M) (8.98) och dess överföringsfunktion är H(z) = a z N + a z N + + a M z N M z N + b z N + + b N (8.99) En styrka hos filter med oändligt impulssvar är den extra flexibilitet som nämnarpolynomet hos H(z) erbjuder. Ett IIR filter kräver därför i allmänhet ett färre 36
2 Magnitude (db) 2 4 6 8 2..2.3.4.5.6.7.8.9 Normalized Angular Frequency ( π rads/sample) 5 Phase (degrees) 5 2 25 3 35..2.3.4.5.6.7.8.9 Normalized Angular Frequency ( π rads/sample) Figur 8.8: Förstärkning och fasförskjutning hos filtret i exempel 8.5. antal koefficienter än ett FIR filter för att uppnå givna specifikationer. De är därför lämpade för tillämpningar där höga krav ställs på prestanda och beräkningshastighet. En nackdel hos IIR filter är att de kan vara känsligare för t.ex. kvantiseringsfel. Detta beror på den återkopplingsmekanism som uppstår p.g.a. att filtrets utsignal y(n) är en funktion av tidigare utsignaler y(n k). Om man vid syntesen inte tar hänsyn till filtrets känslighet kan avrundningsfel ha en betydande effekt på prestandan eller till och med göra filtret instabilt. Det är också i allmänhet svårare att beräkna koefficienterna hos ett IIR filter än det är för ett FIR filter. Det finns t.ex. inte lika effektiva algoritmer för beräkning av optimala koefficienter hos IIR filter som de som utvecklats för FIR filter (avsnitt 8.3.4). Vi skall i detta avsnitt diskutera tre standardmetoder för syntes av IIR filter: direkt placering av poler och nollställen, diskretisering av analoga standardfilter, samt en optimeringsbaserad syntesmetod. 8.4. Placering av poler och nollställen En enkel metod för syntes av filter baserar sig på direkt placering av filtrets poler och nollställen utgående från filterspecifikationerna. Låt överföringsfunktionen (8.99) ha nollställena z, z 2,..., z M och polerna p, p 2,..., p N. Genom faktorisering av täljaroch nämnarpolynomen kan överföringsfunktionen kan då skrivas i formen H(z) = K(z z )(z z 2 ) (z z M ) (z p )(z p 2 ) (z p N ) (8.) Filtersyntes kan utföras genom direkt placering av poler och nollställen genom att utnyttja följande observationer. Fullständig eliminering av en frekvens ω s fås genom att placera ett nollställe i z = e jω s, vilket implicerar H(e jω s ) =. Om e jω s ej är reell, dvs ω s är olikt eller 37
π, bör ett komplexkonjugerat nollställe placeras i z 2 = e jω s för att koefficienterna hos H(z) skall vara reella. Ett smalt passband vid frekvensen ω p kan åstadkommas genom att placera en pol vid p = re jωp, där den positiva radien r bör satisfiera r < för att ge ett stabilt filter. Om e jω p ej är reell, bör en komplexkonjugerad pol placeras i p 2 = re jω p. Valet av r påverkar passbandets bredd. Ett lämpligt värde för r kan bestämmas ur det approximativa sambandet r Bπ (8.) där B (Hz) anger den önskade bandbredden, definierad som frekvensbandet mellan de frekvenser där förstärkningen är 2 /2 3dB. Det approximativa sambandet mellan B och r kan användas om B <.3. Ett filter med ett smalt spärrband vid frekvensen ω s, och som helt eliminerar denna frekvens (ett s.k. notch-filter), kan konstrueras genom att placera ett nollställe vid z = e jω s och en pol vid p = re jω s (jämte motsvarande komplexkonjugerade nollställen och poler vid behov). Polerna introduceras för att påverka filterförstärkningens form kring notch-frekvensen, och för att göra spärrbandet smalare. Spärrbandets bredd beror av r, och även för det gäller det approximativa sambandet (8.). Vid behov kan filtrets förstärkning i passbandet justeras med den konstanta faktorn K i filteruttrycket (8.). Följande exempel visar hur metoden kan användas för att konstruera ett notchfilter. Exempel 8.6. Ett digitalt notch-filter skall konstrueras för att eliminera 5 Hz komponenten från nätet. Spärrbandets 3 db bredd skall vara 5 ± 5 Hz. Samplingsfrekvensen är 5 Hz. Med samplingsfrekvensen 5 Hz motsvaras notch-frekvensen 5 Hz av den normerade frekvensen 5/5 =., och den normerade bredden hos spärrbandet är B = /5 =.2. För eliminering av 5 Hz komponenten bör vi ha nollställen vid z = e j2π. och z 2 = e j2π.. För att få den specificerade bandbredden placeras poler i p = re j2π. och p 2 = re j2π.. Radien r bestäms enligt (8.), Filtrets överföringsfunktion blir således r =.2π =.937 (z e j2π. )(z e j2π. ) H(z) = (z.937e j2π. )(z.937e j2π. ) z 2 2 cos(2π.) z + = z 2 2.937 cos(2π.) z +.937 2 = z2.68z + z 2.56z +.878 38
Filtret beskrivs i tidsplanet av differensekvationen y(n).56y(n ) +.878y(n 2) = x(n).68x(n ) + x(n 2) och dess förstärkning visas i figur 8.9..4.2.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 8.9: Förstärkningen hos filtret i exempel 8.6. 8.4.2 Metoder baserade på diskretisering av analoga filterprototyper I motsats till FIR filter, som saknar en direkt analog motsvarighet, är IIR filter den diskreta motsvarigheten till standard analoga filter som beskrivs av differentialekvationer. Differensekvationbeskrivningen för ett IIR filter kan uppfattas som en diskret approximation av en differentialekvation. Ett IIR filter av ändlig ordning kan därför betraktas som en diskret approximation av ett analogt filter. En viktig metod för syntes av digitala filter med oändligt impulssvar baserar sig på analoga filterprototyper, som sedan diskretiseras så, att filterspecifikationerna bibehålls hos det digitala filtret. Denna syntesmetod består således av två faser enligt följande. Syntes baserad på diskretisering av analoga filter: Steg. Konstruera ett analogt filter med överföringoperatorn H a (s) enligt de givna filterspecifikationerna. Steg 2. Diskretisera det i steg beräknade filtret för att ge ett digitalt IIR filter H(z) som satisfierar filterspecifikationerna. Denna metod kan verka som en onödig omväg. Varför gå omvägen att först konstruera ett analogt filter som sedan diskretiseras, om målsättningen är att beräkna ett digitalt filter? Det naturliga vore väl att beräkna det digitala filtret direkt utgående från specifikationerna. Trots detta är proceduren en av de vanligaste metoderna för 39
syntes av digitala IIR filter, så man väntar sig att det finns någon rationell orsak till detta. En orsak till att först beräkna ett analogt filter kan vara den, att de signaler som manipuleras vanligen är analoga. Det kan då vara naturligt att först beräkna det bästa analoga filtret för ifrågavarande signalbehandlingsuppgift, och sedan diskretisera filtret. Syntesmetoden reflekterar således direkt implementeringsprocessen, i vilket ett analogt signalbehandlingsproblem implementeras digitalt. På detta sätt får man också en direkt uppfattning om vad som kan utföras i kontinuerlig tid, och hur stor försämring i prestanda som den diskreta implementeringen medför. Detta resonemang beaktar emellertid inte det faktum att de digitala filtren inte har samma begränsningar som analoga filter. Det är därför möjligt att med digitala filter lösa signalbehandlingsuppgifter som inte kan utföras med analoga filter. Det är t.ex. inte möjligt att konstruera exakt faslinjära analoga filter av ändlig ordning, vilket som vi ovan sett utan svårighet kan åstadkommas med ett symmetriskt FIR filter. I detta ljus utgör det en onödig inskränkning att begränsa sig till filtertyper som fås genom diskretisering av analoga standardfilter. En viktig orsak till metodens popularitet torde helt enkelt vara den att metoder för analog filtersyntes har utvecklats tidigare än syntesmetoderna för digitala filter. Då digitaltekniken först infördes i olika tillämpningar var det mest ändamålsenligt att helt enkelt diskretisera de tidigare använda analoga filtren, med vilka man redan hade en lång erfarenhet och vars funktionssätt man kände till. Det finns ockå en mängd effektiva klassiska syntesmetoder utvecklade för analoga filter, medan motsvarande digitala syntesmetoder tenderar att vara mera komplicerade. I praktiken är en diskretisering av de analoga filtren en enkel och effektiv, och helt acceptabel syntesmetod för beräkning av digitala filter. Proceduren har däför kvarlevt som en standardmetod för digital filtersyntes, och den finns implementerad i de flesta programbibliotek för syntes av digitala filter. Vi skall i det följande beskriva en effektiv diskretiseringsmetod samt några av de viktigaste analoga filterprototyperna. Den viktigaste metoden för diskretisering av analoga filter baserar sig på den s.k. bilinjära transformationen. I denna metod bildas det diskreta filtret H(z) från det analoga filtret H a (s) enligt H(z) = H a (s) s= 2 z T +z ( 2 z ) = H a T + z (8.2) där T >. Avbildningen s = 2 z, T > (8.3) T + z kallas bilinjär transformation. Den har inversen z = + (T/2)s (T/2)s 4 (8.4)