ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½
Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð ÓÐÚ Ö Ò º Ë ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ Ø ÖÒ º ¾
Ö Ò Ö Î Ò ÐÑØØ Ø Î Ò ÑØ Ú Ò Ð Ö Ö Ö Ó Ö Ò Öº Ú ÖÚ = 360 = π Ö Ò Ö Á Ò Ö Ð Ñ Ö ÓÑÑ Ö Ò Ú Ò Ð t Ö Ò Ö Ñ Ô Ø Ö ÐÒ Ñ ÐÔÙÒ Ø ØØ Ö ÙØ Ò Ö Ð Ñ ÐÒ tº t t ÇÑ Ö Ø π ÐÒ Ö Ò Î Ò Ð Ö Ò Ö t Ö Ò Ö π Ö Ò Ö t π
Ö ØØ ÓÑÚ Ò Ð Ñ ÐÐ Ò Ö Ö Ó Ö Ò Ö Ò Ú ÙØÒÝØØ 360 = Ö Ò Ö π = π 360 = π 80 Ö Ò Ö Ö Ò Ö Ö Ò = 360 π = 80 π ( 57.3 ) 60 = 60 = 60 Ü ÑÔ Ðº π 80 = π 3 Ö Ò Ö Ö Ò Ö ÇÑÚ Ò Ð ÖÒ Ö Ö Ø ÐÐ Ö Ò Öº 7π 6 Ö Ò Ö = 7π 6 Ö Ò = 7π 6 80 π = 0 Ü ÑÔ Ðº ÇÑÚ Ò Ð ÖÒ Ö Ò Ö Ø ÐÐ Ö Öº
Ú ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Ú Ò Ð Ö ËÔ Ø ØÖ Ø Ò ÖØÚ Ò Ð ØÖ Ò Ð B Î Ò Ö Ö sina = ÑÓØ Ø Ò Ø Ø = a c c a cosa = A b C ÝÔÓØ ÒÙ ÒÖÐ Ò Ø Ø = b c tana = ÝÔÓØ ÒÙ = a Ø Ø ÑÓØ Ø Ò b = sina cosa Ø Ø ÒÖÐ Ò Ò ÐÓ Ø sinb = b/c, cosb = a/c, tanb = b/a = sinb/cosb
A Ó B Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØÚ Ò Ð Ö Ø Ú ÐÐ Ö ÙÑÑ Ö 90 A+B = 80 C = 80 90 = 90 B = 90 A ÐÐØ B {}}{ sin( 90 A) = cosa cos(90 A) = sina tan(90 A) = cota = cosa sina = tana Ä Ø ØÝÑÓÐÓ Ó ÒÙ ÒÙ Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØÚ Ò ÐÒ ÓØ Ò Ò Ø Ò Ò Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØÚ Ò ÐÒ
Ë ÒØ Ó Ó ÒØ seca = cosa csca = sina
Ü ÑÔ Ðº À ÐÚ Ú Ö Øº 45 = π 4 µ 45 d ÈÝØ ÓÖ Ø + = d d = sin45 = cos45 = tan45 =
Ü ÑÔ Ðº À ÐÚ Ð ØÖ Ò Ðº 60 = π 3, 30 = π 6 µ h 30 ÈÝØ ÓÖ Ø +h = h = 3 60 sin60 = cos30 = 3 cos60 = sin30 = tan60 = 3 tan30 = 3
Ú Ò Ð Ö Ó ØÝ Ð ØÖ Ø Ò Ø Ö ÐÒ Ñ Ö Ó Ñ ÐÔÙÒ Ø ÓÖ Ó ¾ Ú Öº P t = (x,y) y O t ½ Ú Öº x ÄØ P t = (x,y) Ú Ö Ò ÔÙÒ Ø Ô Ö ÐÒ Ó ÐØ t Ú Ö Ú Ò ÐÒ Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ø Ú x¹ Ü ÐÒ Ó OP º Ú Öº Ú Öº Î Ò Ö Ö cost = x ÆÓØ Ö cost sint = y sint tant = y x = sint cost ½¼
Ì ÒØ Ðк t 0 ½ Úº 90 ¾ Úº 80 Úº 70 Úº 360 0 π π 3π π sin t 0 + + 0 0 cos t + 0 0 + tant 0 + Ó º 0 + Ó º 0 ½½
Ö Ò ÔÙÒ Ø P = (x,y) Ô Ò Ö Ð Ñ Ö r = x +y P = (x,y) P t = (cost,sint) y r t x = rcost y = rsint ÐÐØ r O r x cost = x r r sint = y r tant = sint cost = y x ½¾
ØØ ÑÑ Ò ÐÐ Ö Ñ ÚÖ Ø Ö Ò Ø ÓÒ Ú ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò Ö Ô Ø Ú Ò Ð Ö Ñ ÐÐ Ò 0 Ó 90 µ r y r r }{{} r t O }{{} x P = (x,y) y r x cost = x r sint = y r tant = y x ½
y ( x, y) (x, y) t 80 t t t x (x, y) ËÝÑÑ ØÖ Ö sin(80 t) = sint cos(80 t) = cost sin( t) = sint cos( t) = cost Ù µ ÑÒµ Ü ÑÔ Ðº sin(50 ) = sin(30 ) = cos(50 ) = cos(30 ) = 3 sin( 45 ) = sin(45 ) = cos( 45 ) = cos(45 ) = ½
ËÝÑÑ ØÖ Ö ÓÖØ.µ sin(80 +t) = sint ØØ ÐÚØ Ú ÖÚµ cos(80 +t) = cost sin(90 t) = cost Ô Ð Ò Ð Ò Ò y = xµ cos(90 t) = sint ½
È Ö Ó Ø Ø Ö Ö Ú ØØ ÐØ ÒØ Ð Ú ÖÚ ÓÑÑ Ö Ú Ø ÐÐ Ø ÐÐ ÑÑ ÔÙÒ Ø sin(t+n 360 ) = sint cos(t+n 360 ) = cost n ÐØ Ðµ Ü ÑÔ Ðº sin(790 ) = sin(70 +70 ) = sin(70 + 360 ) = sin(70 ) ½
Ö Ø Ò Ò ÐÐ Ö tan(t+n 80 ) = tant y (x,y) t+80 t x ( x, y) n ÐØ Ðµ tan(t+80 ) = sin(t+80 ) cos(t+80 ) = sint cost = tant Ü ÑÔ Ðº tan( 5π 4 ) = tan(π 4 +π) = tan(π 4 ) = ½
ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ø Ö ÖÒ Ø ÐÐ y = Ó sinx y cosxº = ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ô Ö Ó Ñ Ô Ö Ó 360 sin(x+n 360 ) = sin(x) cos(x+n 360 ) = cos(x) n ÐØ Ðµ Ë ÒÙ Ö Ù sin( x) = sin(x) Ó ÒÙ Ö ÑÒ cos( x) = cos(x) Ø Ö Ö Ö Ö ØØ Ö Ò ÚÖ Ø ÐÐ Ö 0 x 80 º ½
ÎÖ Ø ÐÐ x 0 30 60 90 0 50 80 sin x 0 3 3 0 cosx 3 }{{} 0.87 0 3 sin(80 x) = sin(x) cos(80 x) = cos(x) ÃÓÑ ½
y y = sinx 360 80 90 30 90 80 360 x y y = cosx 360 80 90 30 90 80 360 x ¾¼
Î Ö Ø Ö ÒÙ Ö Ò Ø ÐÐ y = tanxº Ì Ò Ò Ö Ô Ö Ó Ñ Ô Ö Ó 80 tan(x+n 80 ) = tan(x) n ÐØ Ðµ Ì Ò Ò Ö Ù tan( x) = sin( x) cos( x) = sin(x) cos(x) = tan(x) Ø Ö Ö Ö Ö ØØ Ö Ò ÚÖ Ø ÐÐ Ö 0 x < 90 º ¾½
x 0 30 45 60 90 ÎÖ Ø ÐÐ sin x 0 3 cosx 3 tan x 0 3 }{{} 0.58 0 3 Ó º }{{}.73 ÆÓØ Ö tanx = sinx cosx ÒÖÑ Ö +, x ÒÖÑ Ö 90 ¾¾
y y = tanx 360 70 80 90 30 90 80 70 360 x ¾
Î ØÖ Ø Ö ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖÑ Ò y = Asin(kx) y = Acos(kx) Ö A > 0 ÐÐ ÑÔÐ ØÙ Ó k > 0 ÐÐ Ú Ò Ð Ö Ú Ò º ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú Ö Ö Ö Ñ ÐÐ Ò +A Ó Aº Ò Ý Ð ÒÓÑÐ Ô 0 kx 360,.Ú.. È Ö Ó Ò Ð Ö ÐÐØ 360 k º 0 x 360 k ¾
y = 3sin(x) y Ü ÑÔ Ðº 3 90 80 70 360 x 3 ÆÓØ Ö È Ö Ó Ò = 360 = 80 Ð Ý Ð Ö ÒÓÑÐ Ô x Ö Ñ 360 º ¾
Ö y = Ð Ö Ô Ö Ó Ò tan(kx) 80 Ó k Ð Ý Ð Ö ÒÓÑÐ Ô k x Ö Ñ 80 º Ü ÑÔ Ðº y = tan(3x) y 90 60 30 30 60 90 x ¾
ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ú Ó cost ÑØ ÈÝØ ÓÖ Ø Ö sint y }{{} t O }{{} cost P t = (cost,sint) ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ØØ Ò sint x sin t+cos t = Ç Ë (sint) Ö Ú sin t ÆÓØ Ö ØØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ØØ Ò ÐÐ Ö Ö ÐÐ Ú Ò Ð Ö tº Ò Ò Ð Ø ÐÐ Ö Ò ÒØ Ø Øº Î Ú Ö ÒÙ Ò Ö Ö ÒØ Ø Ø Öº ¾
Ó Ù ØÖ Ø ÓÒ ÓÖÑÐ Ö Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÖÑÐ Ö Ö ÒÙ Ó Ó ÒÙ sin(s+t) = sinscost+cosssint cos(s+t) = cosscost sinssint ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÓÖÑÐ Ö Ö ÒÙ Ó Ó ÒÙ sin(s t) = sinscost cosssint cos(s t) = cosscost+sinssint ¾
y P s P t = P s t A Ú Ú Ù ØÖ Ø ÓÒ ÓÖÑ ÐÒ Ö Ó ÒÙ P s = (coss,sins) P t = (cost,sint) P s t = (cos(s t),sin(s t)) x +y = s t s t ½ ¼µ x Ç ¾
Ú ØÒ ÓÖÑ ÐÒ Ö (P s P t ) = (P s t A) (coss cost) +(sins sint) = (cos(s t) ) +sin (s t) cos s cosscost+cos t+sin s sinssint+sin t = cos (s t) cos(s t)++sin (s t) cos(s t) = cosscost+sinssint ¼
Ø ÓÒ ÓÖÑ ÐÒ Ö Ó ÒÙ Ð Ö ÒÓÑ ØØ ÙØÒÝØØ ØØ ÒÙ Ö Ó Ó ÒÙ ÑÒ Ù cos(s+t) = cos(s ( t)) = cosscos( t)+sinssin( t) = cosscost sinssint Ø ÓÒ ÓÖÑ ÐÒ Ö ÒÙ Ð Ö ÙØ ÓÖÑÐ ÖÒ sin(90 t) = cost Ó cos(90 t) = sint Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØÚ Ò Ð Ö sin(s+t) = cos(90 (s+t)) = cos((90 s) t) = cos(90 s)cost+sin(90 s)sint = sinscost+cosssint ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÓÖÑ ÐÒ Ö ÒÙ Ð Ö Ò ÐÓ Ø Ñ ÓÚ Ò ÙÖ Ù» ÑÒ Ò Ô ÖÒ Ó ÒÙ Ó Ó ÒÙ º ½
Ö Ù Ð Ú Ò ÐÒ ÓÖÑÐ Ö ËØØ s = Ø ÓÒ ÓÖÑÐ ÖÒ Ö ÓÖÑÐ Ö Ö Ù Ð Ú Ò ÐÒ t sin(t) = sintcost cos(t) = cos t }{{} sin t sin t }{{} cos t ÒÚÒ Ö Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ØØ Ò cos t+sin t = Ò Ö Ù Ð Ú Ò ÐÒ Ö Ó ÒÙ Ö Ú ÓÑ ÓÖÑ ÐÒ cos(t) = sin t = cos t Ú Ð Ø Ö sin t = cos(t) cos t = +cos(t) ¾
Î Ø ÓÒ ÓÖÑ ÐÒ Ö Ø Ò Ò Ü ÑÔ Ðº tan(s+t) = tans+tant tanstant Ú Î.Ä. = sin(s+t) cos(s+t) = sinscost+cosssint cosscost sinssint = ( Ú Ö ØÐ Ö Ó ÒÑÒ Ö Ñ cosscost) = sins coss + sint cost sinssint cosscost = tans+tant tanstant = À.Ä.
Î ØØ cos(3t) = 4cos 3 t 3cost Ü ÑÔ Ðº Î.Ä. = cos(t+t) = cos(t)cost sintcost {}}{ sin(t) sin t Ú = (cos t )cost sin tcost = (cos t )cost ( cos t)cost = cos 3 t cost cost+cos 3 t = 4cos 3 t 3cost = À.Ä.
ÌÖ Ò Ð ÓÐÚ Ö Ò ØØ ÓÐÚ Ö Ò ØÖ Ò Ð ÒÒ Ö ØØ ØÑÑ Ú ØÓÖ Ø Ö Ú Ò Ð Ö ÓÖµ Ò ØÖ Ò Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ ÐÔ Ú ØØ ÒØ Ð Ò Ö ØÓÖ Ø Öº Ö ÖØÚ Ò Ð ØÖ Ò Ð Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ú ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò Ö Ô Ø Ú Ò Ð Ö ÑØ ÈÝØ ÓÖ Ø ÒÚÒ º Ö ÐÐÑÒÒ ØÖ Ò Ð Ö Ò ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ Ø Ò ÒÚÒ º
ÌÖ Ò ÐÒ ABC Ö Ò ÖØ Ú Ò Ð Ú C B = 50 Ó BC = 5 Ѻ Ö Ò Ö Ø Ö Ò ÓÖ Ó Ú Ò Ð Ö ØÖ Ò ÐÒº Ü ÑÔ Ðº A 50 B 5 Ñ C A = 80 tanb = AC BC 50 {}}{ 90 {}}{ B C = 40 AC = BC tanb = 5 tan50 5.96 Ñ AB = (AC) +(BC) 7.78 Ñ
Ë ÒÙ Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò c b A sina a = sinb b = sinc c B a C a sina = b sinb = c sinc ÐÐ Ö Ë ÒÙ Ø Ò Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØÑÑ Ö Ø Ö Ò ÓÖ Ó Ú Ò Ð Ö ÐÐÑÒÒ ØÖ Ò Ð Ö Ð Ò ÐÐ ½º Ò ØÚ Ú Ò Ð Ö Ò º ¾º ÌÚ ÓÖ Ò Ñ ÐÐ ÒÐ Ò µ Ú Ò Ð Ò º Ç Ë Ã Ò ØÚ Ðк
Ó ÒÙ Ø Ò A ÓÖÑÙÐ Ö Ò c b a = b +c bccosa b = a +c accosb B a C c = a +b abcosc Ó ÒÙ Ø Ò Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØÑÑ Ó Ò ÓÖ Ó Ú Ò Ð Ö ÐÐÑÒÒ ØÖ Ò Ð Ö Ð Ò ÐÐ ½º ÌÖ ÓÖ Ò º ¾º ÌÚ ÓÖ Ó Ñ ÐÐ ÒÐ Ò Ú Ò Ð Ò º